第14講 直線的方程8種常見考法歸類解析版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第14講直線的方程8種常見考法歸類根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式)，體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.知識點(diǎn)1直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式名稱條件方程圖形點(diǎn)斜式直線l過定點(diǎn)P(x0，y0)，斜率為ky－y0＝k(x－x0)斜截式直線l的斜率為k，且與y軸的交點(diǎn)為(0，b)(直線l與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距)y＝kx＋b注：1．直線的點(diǎn)斜式及斜截式方程適用條件是什么？斜率存在及已知點(diǎn)(或直線在y軸上的截距)．2．經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)的直線有無數(shù)條，可以分為兩類：(1)斜率存在的直線，方程為y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在的直線，方程為x－x0＝0，即x＝x0.3．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，方程可簡寫為y＝y(tǒng)0.特別地，x軸的方程是y＝0；當(dāng)直線與y軸平行或重合時(shí)，不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程．此時(shí)可將方程寫成x＝x0.特別地，y軸的方程是x＝0.4．直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b是直線的點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)的特例．如：直線l的斜率為k且過點(diǎn)(0，b)，該直線方程為y＝kx＋b.5．縱截距不是距離，它是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零．6．斜截式方程與一次函數(shù)的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有區(qū)別：當(dāng)k≠0時(shí)，y＝kx＋b為一次函數(shù)；當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b，不是一次函數(shù)．故一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一條直線的斜截式方程．知識點(diǎn)2直線的兩點(diǎn)式與截距式方程兩點(diǎn)式截距式條件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x軸上截距a，在y軸上截距b圖形方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過原點(diǎn)的直線注：（1）兩點(diǎn)式方程①利用兩點(diǎn)式求直線方程必須滿足x1≠x2且y1≠y2，即直線不垂直于坐標(biāo)軸．（即：當(dāng)經(jīng)過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的直線斜率不存在(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式方程表示．）②兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無關(guān)．③方程中等號兩邊表達(dá)式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等．截距式方程①如果已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程．②將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來作圖．③與坐標(biāo)軸平行和過原點(diǎn)的直線都不能用截距式表示．④過原點(diǎn)的直線的橫、縱截距都為零．知識點(diǎn)3直線的一般式方程1．定義：關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．2．系數(shù)的幾何意義：當(dāng)B≠0時(shí)，則－eq\f(A,B)＝k(斜率)，－eq\f(C,B)＝b(y軸上的截距)；當(dāng)B＝0，A≠0時(shí)，則－eq\f(C,A)＝a(x軸上的截距)，此時(shí)不存在斜率．3．直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征①方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．②方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列．③x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)．④雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程．4.當(dāng)直線方程Ax＋By＋C＝0的系數(shù)A，B，C滿足下列條件時(shí)，直線Ax＋By＋C＝0有如下性質(zhì)：①當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；②當(dāng)A≠0，B＝0，C≠0時(shí)，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直；③當(dāng)A＝0，B≠0，C≠0時(shí)，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直；④當(dāng)A＝0，B≠0，C＝0時(shí)，直線與x軸重合；⑤當(dāng)A≠0，B＝0，C＝0時(shí)，直線與y軸重合．注：（1）平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示（2）每一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為零)都能表示一條直線1、求直線的點(diǎn)斜式方程的方法步驟(1)求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)；(2)點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．2、直線的斜截式方程的求解策略(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．(2)用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時(shí)要特別注意截距和距離的區(qū)別；(3)直線的斜截式方程y＝kx＋b不僅形式簡單，而且特點(diǎn)明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖象就一目了然．因此，在解決一次函數(shù)的圖象問題時(shí)，常通過把一次函數(shù)解析式化為直線的斜截式方程，利用k，b的幾何意義進(jìn)行判斷．3、求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程．(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系．4、截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)(1)如果問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．(2)選用截距式直線方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直．(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用．5、求直線一般式方程的策略(1)當(dāng)A≠0時(shí)，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程．(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式．6、含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時(shí)為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗(yàn)根．7、利用直線的斜截式方程解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：y＝k1x＋b1與直線l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，則k1＝k2，此時(shí)兩直線與y軸的交點(diǎn)不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2時(shí)，l1∥l2.所以有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1時(shí)，l1⊥l2.所以有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.注若已知含參數(shù)的兩條直線平行或垂直，求參數(shù)的值時(shí)，要注意討論斜率是否存在，若是平行關(guān)系注意考慮b1≠b2這個(gè)條件．8、利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.9、與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法（1）由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫方程．（2）①可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點(diǎn)確定C1；②與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點(diǎn)確定C2.考點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程例1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線的方程是，則（）A．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1 B．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1C．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1 D．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為1【答案】C【分析】將直線的方程化為點(diǎn)斜式方程的形式，即可得出答案.【詳解】根據(jù)已知可得出直線的點(diǎn)斜式方程為，所以，直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1.故選：C.變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，，求直線l的方程，并求直線l在y軸上的截距.【答案】，.【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率，再利用直線點(diǎn)斜式方程求解作答.【詳解】依題意，直線的斜率，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為，直線l在y軸上的截距為.變式2．（2023春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，過點(diǎn)且傾斜角為的直線不經(jīng)過第__________象限.【答案】四【分析】由題意可寫出直線的方程，作出其圖象，即可得答案.【詳解】由題意知在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為，即，直線與x軸交點(diǎn)為，與y軸交點(diǎn)為，即該直線經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故答案為：四變式3．（河南省開封市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知直線的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由直線的方向向量求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.故選：D變式4．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）直線過點(diǎn)，且與向量垂直，則直線的方程為______.【答案】【分析】依題意可得直線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與向量垂直，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即.故答案為：變式5．（2023秋·高一單元測試）已知的頂點(diǎn)分別為，求：(1)直線AB的方程(2)AB邊上的高所在直線的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）由AB的坐標(biāo)可得斜率，由點(diǎn)斜式方程可寫出方程，化為一般式即可；（2）由垂直關(guān)系可得高線的斜率，由高線過點(diǎn)C，同（1）可得.【詳解】（1），，由點(diǎn)斜式方程可得，化為一般式可得（2）由（1）可知，故AB邊上的高線所在直線的斜率為，又AB邊上的高線所在直線過點(diǎn)，所以方程為，化為一般式可得.

變式6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊所在直線的點(diǎn)斜式方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得直線與軸平行，且過點(diǎn)，可得直線的方程；（2）由題意可得直線的傾斜角為，可得斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式方程求解即可．【詳解】（1）如圖所示，

直線過點(diǎn)，，可得直線與軸平行，故邊所在直線的方程為（2）由可得直線的傾斜角為，故斜率，故所在直線的方程為．考點(diǎn)二：直線的斜截式方程例2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下列直線的斜率以及在y軸上的截距.并畫出圖形.(1)；(2).【答案】(1)斜率為－3，在y軸上的截距為5，圖像見解析(2)斜率為，在y軸上的截距為0，圖像見解析【分析】（1）根據(jù)斜率和截距的概念可直接寫出結(jié)果，然后兩點(diǎn)作圖法作出圖像即可；（2）根據(jù)斜率和截距的概念可直接寫出結(jié)果，然后兩點(diǎn)作圖法作出圖像即可.（1）斜率為－3，在y軸上的截距為5；圖像如下圖：（2）斜率為，在y軸上的截距為0，圖像如下圖：變式1．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）一次函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過一、二、三象限B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過一、三、四象限C．時(shí)，函數(shù)圖像必經(jīng)過一、三象限D(zhuǎn)．時(shí)，函數(shù)在實(shí)數(shù)上恒為增函數(shù)【答案】ABCD【分析】根據(jù)一次函數(shù)的斜率以及的正負(fù)，對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可；【詳解】在一次函數(shù)中，若，則圖像經(jīng)過一、二、三象限；若，則圖像經(jīng)過一、三、四象限；若，函數(shù)圖像必經(jīng)過一、三象限，且函數(shù)在實(shí)數(shù)上恒為增函數(shù)；故選:ABCD.變式2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率與軸上的截距的關(guān)系判斷選項(xiàng)即可得解.【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時(shí)，軸上的截距為2，故D正確，當(dāng)時(shí)，,故B不正確，當(dāng)時(shí)，或，由圖象知AC正確.故選：B變式3．【多選】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，，則它們的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由兩直線的解析式可得直線的斜率為a、縱截距為b，的斜率為，縱截距為a，再逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，可能成立；選項(xiàng)B，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，可能成立；選項(xiàng)C，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，不成立；選項(xiàng)D，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，不成立.故選：AB.變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系下，直線總在直線的上方，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】結(jié)合直線的圖像，利用直線的斜率與縱截距進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)橹本€總在直線的上方，所以直線與直線平行，且直線在y軸上的截距必大于直線在y軸上的截距，所以，．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.考點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程例3．【多選】（2023秋·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的有（

）A．直線的斜率越大，則傾斜角越大B．兩點(diǎn)式適用于不垂直于x軸和y軸的任何直線C．若直線l的一個(gè)方向向量為，則直線l的傾斜角為135°D．任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化【答案】BC【分析】選項(xiàng)A，選取，求解對用傾斜角，可判斷；選項(xiàng)B，由兩點(diǎn)式中，分析可判定；選項(xiàng)C，化簡方向向量得到，故，分析可判定；選項(xiàng)D，分析直線，可判斷.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)傾斜角，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)傾斜角，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由于兩點(diǎn)式中，故垂直于x軸和y軸的直線不能用兩點(diǎn)式表示，其他直線都能選取兩個(gè)點(diǎn)滿足，可用兩點(diǎn)式表示，正確；選項(xiàng)C，方向向量可化簡為，故斜率，故對應(yīng)傾斜角，正確；選項(xiàng)D，直線斜率不存在，不能轉(zhuǎn)化為斜截式，錯(cuò)誤.故選：BC變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線l過點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t線l的方程為，整理得，所以直線l的方程為.故選：D.變式2．（2023秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，M為AB的中點(diǎn)，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由直線的兩點(diǎn)式方程求解.【詳解】點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，由直線的兩點(diǎn)式方程得，即.故選：D變式3．（2023秋·山東濟(jì)寧·高二?？茧A段練習(xí)）萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，則的歐拉線方程為______．【答案】【分析】根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求得三角形垂心和重心的坐標(biāo)，再求歐拉線方程即可.【詳解】由，，，可知邊上的高所在的直線為，又，因此邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線為：，即，聯(lián)立，所以的垂心坐標(biāo)為，由重心坐標(biāo)公式可得的重心坐標(biāo)為，所以的歐拉線方程為：，化簡得．故答案為：.考點(diǎn)四：直線的截距式方程例4．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是()A．y=-x+5 B．y=x+5C．y= D．y=-【答案】AC【分析】分兩種情況求解，過原點(diǎn)時(shí)和不過原點(diǎn)時(shí)，結(jié)合所過點(diǎn)的坐標(biāo)可求.【詳解】當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線過點(diǎn),所以直線方程為y=;當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為=1，代入點(diǎn)，可得a=5，即y=-x+5.故選:AC.變式1．（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有（

）條A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)，即可求解直線方程.【詳解】若直線經(jīng)過原點(diǎn)，則，在坐標(biāo)軸上的截距均為0，符合題意，若截距均不為0，則設(shè)直線方程為，將代入得，此時(shí)直線方程為，故選：C變式2．（2023春·湖南衡陽·高二衡陽市一中?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為__________.【答案】或【分析】對兩坐標(biāo)軸上的截距是否為零進(jìn)行分類討論，再利用待定系數(shù)法即可求得直線方程.【詳解】若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0，則直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以直線方程可以寫為，即；當(dāng)截距不為零時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)可得，即；綜上可知，直線方程為或.故答案為：或變式3．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等的直線方程為（

）A．B．C．或D．或或【答案】D【分析】直線過原點(diǎn)求出直線方程，直線不過原點(diǎn)設(shè)出直線方程，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】當(dāng)此直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為，化為；當(dāng)此直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，或，把點(diǎn)分別代入可得，或，解得，．直線的方程為或．綜上可知：直線的方程為或，．故選：D．變式4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為0(不過原點(diǎn))的直線方程為______，此直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為______.【答案】【分析】設(shè)直線的截距式方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用三角形面積公式求解即可.【詳解】當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，可知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，且不為0.可設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過，所以，解得，所以直線方程為.當(dāng)直線方程為時(shí)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為.變式5．（2023秋·高二校考課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)(2，0)，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于6的直線方程是____.【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，根據(jù)條件列方程組求解即可.【詳解】設(shè)直線的方程為，則解得則直線的方程為+=1，即.故答案為：變式6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1，且過定點(diǎn)，則直線l的方程為________________.【答案】或.【分析】設(shè)直線方程的截距式為，將代入解方程即可得求出的值，進(jìn)而求出直線l的方程.【詳解】設(shè)直線方程的截距式為.則，解得或，則直線方程是或，即或.故答案為：或.變式7．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為的直線的方程.【答案】或【分析】依題意設(shè)所求直線的方程為，即可得到方程組，解得、，即可得解.【詳解】由題意知，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零，故可設(shè)所求直線的方程為，由已知可得，解得或，所以或，故直線的方程為或．變式8．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線過點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】/【分析】由直線過點(diǎn)，可得，利用基本不等式“1”的代換，求出最小值．【詳解】∵直線過點(diǎn)，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號．的最小值為．故答案為：．考點(diǎn)五：直線的一般式方程（一）直線的一般式方程及辨析例5．（2023春·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)，則直線的一般式方程為___________.【答案】【分析】利用點(diǎn)斜式求出直線方程，再化為一般式即可.【詳解】，則直線的方程為，即.故答案為：.變式1．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的方程為，則下列判斷正確的是（

）A．若，則直線l的斜率小于0B．若，則直線l的傾斜角為C．直線l可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)D．若，則直線l的傾斜角為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由直線的斜率即可判斷A，將代入即可判斷B，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入即可判斷C，將即可判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則直線l的斜率，故A正確；對于B選項(xiàng)，若，則直線l的方程為，其傾斜角為，故B正確；對于C選項(xiàng)，將代入中，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，若，則直線l的方程為，其傾斜角為，故D正確.故選：ABD.變式2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)直線方程的系數(shù)A，B，C滿足什么條件時(shí)，該直線分別具有以下性質(zhì)？(1)過坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)與兩條坐標(biāo)軸都相交；(3)只與x軸相交；(4)是x軸所在直線；(5)設(shè)為直線上一點(diǎn)，證明：這條直線的方程可以寫成．【答案】(1)且不同為(2)都不為0(3)且(4)(5)證明見解析【分析】（1）將代入可得答案；（2）分、討論，可得答案；（3）直線只與x軸相交，就是與軸平行、重合均可，根據(jù)直線方程可化成形式可得答案；（4）將直線方程化為可得答案；（5）將代入直線方程得，再代入直線方程化簡可得答案.【詳解】（1）將代入得，當(dāng)且不同為方程表示過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線；（2）直線與兩條坐標(biāo)軸都相交說明橫縱截距都存在，當(dāng)且時(shí)直線過原點(diǎn)滿足條件，當(dāng)時(shí)，令時(shí)，令時(shí)，所以都不為0，綜上所述，時(shí)直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；（3）直線只與x軸相交，就是與軸平行、重合均可，因此直線方程可化成形式，故且；（4）x軸的方程為，因此方程中時(shí)方程表示的直線是x軸所在直線；（5）因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，所以，所以，所以方程可化為，即，所以這條直線的方程可以寫成．變式3．（2023·全國·高三對口高考）以下關(guān)于直線的說法中，不正確的是（

）A．直線一定不經(jīng)過原點(diǎn)B．直線一定不經(jīng)過第三象限C．直線一定經(jīng)過第二象限D(zhuǎn)．直線可表示經(jīng)過點(diǎn)的所有直線【答案】B【分析】首先求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A、D，再分、、三種情況討論，分別判斷直線所過象限，即可判斷B、C；【詳解】對于直線，令，解得，故直線恒過點(diǎn)，一定不經(jīng)過原點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)直線即為，直線過二、三象限，當(dāng)時(shí)直線即為，若，則，，直線過一、二、三象限，若，則，，直線過二、三、四象限，所以直線一定過二、三象限，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，所以直線可表示經(jīng)過點(diǎn)的所有直線，故選：B（二）直線的一般式方程的應(yīng)用例6．（2023秋·江蘇鹽城·高二?？计谀┤糁本€經(jīng)過第一、二、四象限，則有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由一次函數(shù)的性質(zhì)判斷【詳解】直線即，經(jīng)過第一、二、四象限，則，得，故選：B變式1．（2023·全國·高二假期作業(yè)）如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】將直線化為，結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過的象限.【詳解】由題設(shè)，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.變式2．（2023秋·黑龍江佳木斯·高二?？奸_學(xué)考試）若直線不過第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線不過第二象限可確定斜率、在軸截距的范圍，從而構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】直線不過第二象限，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.變式3．【多選】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線的方程分別為，，它們在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由斜率為正及大小關(guān)系可確定；由直線在軸截距的正負(fù)可確定正負(fù).【詳解】直線斜率存在，則直線方程可化為，；，，又，，C正確，D錯(cuò)誤；又，，，A錯(cuò)誤，B正確.故選：BC.變式4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，則________.【答案】/-0.5【分析】先分別求出x軸上的截距及y軸上截距，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系計(jì)算求解即可.【詳解】令，得，令，得．由于直線在軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，故，解得．故答案為：變式5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線在x軸的截距大于在y軸的截距，則A、B、C應(yīng)滿足條件（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別令、得直線在y軸、x軸上的截距，再由在x軸的截距大于在y軸的截距可得答案.【詳解】由已知，令得直線在y軸的截距為，令得直線在x軸的截距為，由直線在x軸的截距大于在y軸的截距可得，即.故選：D.考點(diǎn)六：兩直線平行與垂直的應(yīng)用由直線方程的一般式研究直線的平行與垂直例7．【多選】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線：，：，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與不重合B．當(dāng)時(shí)，直線與相交C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】BD【分析】舉出反例判斷A；聯(lián)立，結(jié)合是否為0，討論方程組解的情況，判斷直線的位置關(guān)系，判斷，討論是否為0，結(jié)合可判斷兩直線是否垂直，判斷D.【詳解】對于A，時(shí)，若,,且時(shí)，兩直線：，：重合，A錯(cuò)誤；對于B，聯(lián)立，可得,當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組有唯一一組解，故直線與相交，B正確；對于C，時(shí)，若，則無解，此時(shí)；若，則有無數(shù)多組解，此時(shí)重合，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則由可得，即兩直線斜率之積等于，故；若,則可得，此時(shí)滿足，直線：，：，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，，D正確，故選：變式1．（2023秋·山東東營·高二統(tǒng)考期末）若直線l：與直線m：互相平行，則______．【答案】/【分析】根據(jù)兩直線方程，判斷斜率存在，由題意可得，解出a后，驗(yàn)證是否符合題意，可得答案.【詳解】由題意可知直線l：的斜率為，因?yàn)橹本€l：與直線m：互相平行，故直線m：的斜率存在，且為，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線l：與直線m：重合，不合題意，當(dāng)時(shí)，直線l：與直線m：互相平行，故答案為：變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與直線平行，則m的值為（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)直線的平行可列出方程，求得m的值，驗(yàn)證直線是否重合，即得答案.【詳解】由題意知直線與直線平行，而直線的斜率為，則直線必有斜率，即，則，故，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，符合題意，故，故選：B變式3．（2023秋·河北滄州·高二任丘市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，直線與直線平行，則的最小值是______.【答案】9【分析】由兩直線平行，求得，再利用基本不等式求的最小值【詳解】直線與直線平行，有，即，，當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為9.故答案為：9變式4．（2023秋·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線，.若，則實(shí)數(shù)a=___________，若，則實(shí)數(shù)a=___________．【答案】0-1【分析】根據(jù)直線垂直以及平行的充要條件，即可列出方程，解出即得.【詳解】因?yàn)?，所以有，解得；因?yàn)椋杂?，解得，?dāng)時(shí)，與重合，舍去；當(dāng)時(shí)，，，與不重合，滿足條件，所以.故答案為：0；-1.變式5．（2023秋·河北滄州·高二任丘市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線：，：，則“”是“”的（

）條件A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【分析】先求出兩直線垂直時(shí)a的值，進(jìn)而可判斷充分必要條件．【詳解】直線：，：，當(dāng)時(shí),有，解得或.所以“”時(shí)“”成立，“”時(shí)“”不一定成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：B變式6．【多選】（2023秋·高二校考課時(shí)練習(xí)）已知直線，則（

）A．若，則B．若，則C．若與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則D．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第一象限【答案】BCD【分析】對于AB，根據(jù)線線位置關(guān)系判斷即可；對于C，由題得即可解決；對于D，數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】由題知，直線對于A，當(dāng)時(shí)，，解得或，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，解得，故B正確；對于C，在直線中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，解得，故C正確；對于D，由題知當(dāng)時(shí)，的圖象為故D正確；故選：BCD由兩條直線的平行、垂直求直線方程例8．（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的斜率相同排除A、B；再由所過的點(diǎn)排除C，即可得答案.【詳解】由斜率為，而A、B中的直線斜率為，與該直線不平行，排除；C、D中直線斜率為，對于，顯然不過，而過已知點(diǎn)，所以C中直線不符合，D中直線符合要求.故選：D變式1．（2023春·廣西南寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）直線過點(diǎn)且與直線垂直，則的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出直線的方程，化為一般式可得出答案.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故選：C.變式2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知直線，求：(1)過點(diǎn)且與直線l平行的直線的方程；(2)過點(diǎn)且與直線l垂直的直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩直線平行得到斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出方程；（2）根據(jù)兩直線垂直得到斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，所以與直線l平行的直線的斜率為，又所求直線過，所以所求直線方程為，即．（2）因?yàn)橹本€的斜率為，所以與直線l垂直的直線的斜率為，又所求直線過，所以所求直線方程為，即．變式3．（2023·全國·高三對口高考）已知直線：，則與已知直線l平行且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線方程為_________．【答案】【分析】根據(jù)平行關(guān)系可設(shè)直線為，計(jì)算與兩坐標(biāo)交點(diǎn)，根據(jù)面積公式求即可.【詳解】

由題意可設(shè)方程為：，令，得，令，得，由題意知：，得，故直線方程為：，故答案為：考點(diǎn)七：直線過定點(diǎn)問題例9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）不論取何值時(shí)，直線恒過第____象限．【答案】四【分析】化簡直線方程為，列方程組，進(jìn)而求解即可.【詳解】直線可化為，由，得，所以直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)樵诘谒南笙?，故直線恒過第四象限．故答案為：四.變式1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線不經(jīng)過第四象限，則k的取值范圍為_______．【答案】【解析】直線過定點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)所在的象限可得斜率的取值范圍.【詳解】因?yàn)榭苫癁椋手本€過定點(diǎn)，而為第二象限中的點(diǎn)，且直線不經(jīng)過第四象限，故斜率.故答案為：.變式2．【多選】（2023秋·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）對于直線：，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線斜率必定存在C．時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為D．時(shí)直線的傾斜角為【答案】BD【分析】求出過的定點(diǎn)判斷A；根據(jù)m的取值情況判斷B；當(dāng)時(shí)，求出直線的橫縱截距計(jì)算判斷C；當(dāng)時(shí)，求出直線的斜率判斷D作答.【詳解】對于A，直線：恒過定點(diǎn)，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，直線：垂直于x軸，傾斜角為，斜率不存在，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，直線：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，此時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，直線：的斜率，因此傾斜角為，D錯(cuò)誤.故選：BD變式3．【多選】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的有（

）A．若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則在第二象限B．直線必過定點(diǎn)C．過點(diǎn)，且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為D．斜率為，且在軸上的截距為的直線方程為【答案】ABC【分析】由直線經(jīng)過象限可確定的正負(fù)，由此知A正確；整理可求得B中直線過定點(diǎn)，得B正確；由直線點(diǎn)斜式和斜截式方程定義可確定CD正誤.【詳解】對于A，由直線經(jīng)過第一、二、四象限可得：，，在第二象限，A正確；對于B，由得：，則直線恒過定點(diǎn)，B正確；對于C，由點(diǎn)斜式方程定義可知該直線方程為：，C正確；對于D，由斜截式方程定義可知該直線方程為：，D錯(cuò)誤.故選：ABC.變式4．（2023秋·安徽滁州·高二校考期末）已知直線．(1)求證：直線過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)作直線使直線與兩負(fù)半軸圍成的三角形的面積等于4，求直線的方程．【答案】(1)直線過定點(diǎn)，證明見詳解；(2)【分析】（1）變形直線方程，分離參數(shù)，利用直線系方程，解方程組求出定點(diǎn)，即可證明.（2）設(shè)直線方程，利用過點(diǎn)作直線使得直線與兩負(fù)半軸圍成的三角形面積等于4，得到方程組，即可求出直線方程.【詳解】（1）證明：方程化為：，由直線系方程的性質(zhì)有：，解得，故直線恒過點(diǎn)（2）設(shè)直線，則由題意得：，解得，所以直線，即，所以所求直線方程為：.變式5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知一條動直線，(1)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；(3)若直線與x?y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為6，求直線的方程.【答案】(1)證明見解析，定點(diǎn)；(2)；(3)或.【分析】（1）整理直線方程得．由且可求；（2）由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，討論直線與y軸是否有交點(diǎn)，若有交點(diǎn)，只需縱截距小于等于零即可；（3）設(shè)直線的方程，可得，從而可得所求直線的方程．【詳解】（1）證明：整理直線方程得．由且可得，，故直線恒過定點(diǎn)，；（2）由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線與y軸沒有交點(diǎn)時(shí)，即，此時(shí)直線方程為，符合題意；當(dāng)直線與y軸有交點(diǎn)時(shí)，，求出直線的縱截距，其小于等于零即可滿足題意，令，則，，若直線不經(jīng)過第二象限，則，∴；所以m的取值范圍為；（3）設(shè)直線方程為，，則，①由題意得，，②由①②整理得，解得，，或，，所求直線的方程為或即或．變式6．（2023秋·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？计谥校┮阎本€的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）列出方程，分別令，可求出定點(diǎn)；（2）令令，表達(dá)出三角形面積后，利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）證明：原方程整理得：．由，可得，不論為何值，直線必過定點(diǎn).（2）設(shè)直線的方程為．令令．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最?。畡t的方程為．考點(diǎn)八：直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積、周長問題例10．（2023秋·浙江臺州·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為______________【答案】【分析】先由題意及直線的幾何意義可推得，再分別令與求得在兩坐標(biāo)軸的截距，由此利用三角形面積與基本關(guān)系式即可求得面積的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，所以由化為，得，即，故，令，則；令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，即面積的最小值為.故答案為：..變式1．（2023秋·浙江紹興·高二諸暨中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)時(shí)，求直線l的方程．(2)當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)條件可知點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形比值關(guān)系即可求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出方程;（2）利用截距式找出兩截距關(guān)系，再根據(jù)代入三角形面積計(jì)算中即可找出面積的最小值，繼而求出方程.【詳解】（1）作，則.由三角形相似，，可求得，，∴方程為，即；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為，由題意，知，，∵l過點(diǎn)，∴，解得，∴的面積，化簡，得.①∴，解得或（舍去）.∴S的最小值為4，將代入①式，得，解得，∴.∴直線l的方程為.變式2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的傾斜角為銳角，并且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，周長為12，求直線l的方程．【答案】直線l的方程為或或或．【分析】設(shè)直線的截距，根據(jù)題意列式求解，再利用直線的截距式方程運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)直線l在x，y的截距分別為，由題意可得，解得或，又因?yàn)橹本€l的傾斜角為銳角，則直線l的斜率，即，可得或或或，所以直線l的方程為或或或變式3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．(1)求邊AB上過點(diǎn)C的高所在直線的方程；(2)若直線l與AC平行，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，求直線l與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)直線的斜率公式，結(jié)合互相垂直直線的斜率性質(zhì)、直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線的截距式方程，結(jié)合平行直線的斜率性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），邊AB上的高所在直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所求直線的方程為：，即；（2）設(shè)直線l的方程為：，即，，，解得：，直線l的方程為：，直線l過點(diǎn)，三角形斜邊長為，直線l與坐標(biāo)軸圍成的直角三角形的周長為．變式4．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求面積的最小值以及面積最小時(shí)直線的方程;(2)是否存在直線，使的周長為12，若存在，求出直線的方程;若不存在，說明理由.【答案】(1)最小值為，(2)存在，或【分析】（1）設(shè)直線，代入點(diǎn)坐標(biāo)，利用均值不等式求解即可；（2）結(jié)合以及周長為12列出方程組，求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則直線，直線過點(diǎn)，則故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號，此時(shí)直線，故，此時(shí)直線的方程為.（2）假設(shè)存在滿足條件的直線，由已知有解得或故存在滿足條件的直線或變式5．（2023·全國·高三對口高考）過點(diǎn)作直線分別交，的正半軸于，兩點(diǎn)．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程；(3)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)，此時(shí)直線的方程為．(2)(3)【分析】（1）設(shè)，，，則直線的方程為，依題意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；（2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此時(shí)、的值，從而求出直線方程；（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，分別求出，的坐標(biāo)，求出的方程，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出直線方程即可．【詳解】（1）依題意設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，代入得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號，此時(shí)直線的方程為，即，所以，此時(shí)直線的方程為．（2）由（1）可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，此時(shí)直線的方程為，即．（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，令，解得，令，解得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，取最小值，此時(shí)直線的方程為．1．兩條直線垂直的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】討論直線的斜率存在性，根據(jù)兩線垂直推得相關(guān)系數(shù)的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合充要性定義即可得答案.【詳解】當(dāng)斜率不存在時(shí)、，則垂直的直線的斜率為0，即、，故；所以斜率不存在，同理有；當(dāng)兩垂直的直線斜率都存在時(shí)，此時(shí)，故；綜上，題設(shè)兩線垂直的充要條件是.故選：A2．直線與平行（不重合）的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用斜率存在的兩條直線平行的充要條件，列式計(jì)算作答.【詳解】直線，即，其斜率為，縱截距為，因直線與平行（不重合），有，化為：，所以直線與平行（不重合）的充要條件是.故選：C3．若直線與直線平行，則___________．【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行，則兩直線斜率相等，得到，解出即可.【詳解】直線的斜率為3直線的斜率即故答案為：.4．直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線過原點(diǎn)，相互垂直直線間的斜率關(guān)系，平移知識，可得到所求直線.【詳解】當(dāng)直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，所得直線斜率為，此時(shí)，該直線方程為，再將該直線向右平移1個(gè)單位可得：，即.故選：A.5．直線的傾斜角___________．【答案】【分析】先求直線的斜率，進(jìn)而得傾斜角的正切，從而得解.【詳解】直線，整理得，由直線的方程可得直線的斜率為，則，又由，故所以傾斜角為.故答案為：.6．給定三點(diǎn)，那么通過點(diǎn)A并且與直線BC垂直的直線方程是_______．【答案】【分析】先求得直線BC的斜率，進(jìn)而得到與直線BC垂直的直線的斜率，進(jìn)而得到通過點(diǎn)A并且與直線BC垂直的直線方程【詳解】直線BC的斜率，則與直線BC垂直的直線的斜率則通過點(diǎn)A并且與直線BC垂直的直線方程是，即故答案為：一、單選題1．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）過點(diǎn)且斜率為的直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出直線的點(diǎn)斜式方程，再化為一般式即可.【詳解】過點(diǎn)且斜率為的直線的方程是，即.故選：C2．（2023秋·高一單元測試）若，，則直線不經(jīng)過第象限（

）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】將直線方程化為，由斜率以及縱截距的正負(fù)判斷即可.【詳解】依題意、、均不為，所以直線可化為，因?yàn)?，，所以，，所以直線的斜率為正，縱截距為正，即直線通過第一、二、三象限，不通過第四象限.故選：D3．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，的傾斜角分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用斜率與傾斜角的關(guān)系判定即可.【詳解】由題意得，，所以為鈍角，為銳角，所以．故選：A．4．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或0 B．1 C．0 D．0或【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合直線平行運(yùn)算求解，注意檢驗(yàn)防止出現(xiàn)重合.【詳解】若直線與直線互相平行，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，不符合題意；綜上所述：.故選：C.5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與垂直，則m的值為（

）A． B． C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)兩直線垂直，斜率之積等于-1求解.【詳解】直線：的斜率，當(dāng)時(shí)，直線：的斜率為，由于兩直線垂直，，解得；若，，直線的斜率不存在，要保證必有，顯然不成立；；故選：D.6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與(不同時(shí)為0)的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直C．斜交 D．與的值有關(guān)【答案】B【分析】分與都不為零和與中有一個(gè)為零討論即可.【詳解】與不能同時(shí)為0，①當(dāng)兩者都不為0時(shí)，兩條直線斜率的乘積為，故兩條直線垂直；②當(dāng)與中有一個(gè)為零時(shí)，若時(shí)，則兩直線分別為與，兩直線垂直，若時(shí)，則兩直線分別為與，兩直線垂直，故兩條直線垂直．故選：B7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，而且它的斜率是直線的斜率的相反數(shù)，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)已知表示出直線mx+ny+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.【詳解】因?yàn)橹本€mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，所以，0-3n+3=0，解得.因?yàn)橹本€的斜率為，由已知可得，直線mx+ny+3=0的斜率為，即.所以.故選：D.8．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線，當(dāng)變動時(shí)，所有直線恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】整理所得直線方程為，根據(jù)題意，即可求得結(jié)果.【詳解】把直線方程整理為，令，故，所以直線恒過定點(diǎn)為.故選：C.二、多選題8．（2023秋·福建·高二校聯(lián)考期中）下列說法正確的有（

）．A．直線過定點(diǎn)B．過點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為C．斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為D．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距相等的直線方程為【答案】AB【分析】求出直線過的定點(diǎn)判斷A；寫出直線的點(diǎn)斜式方程判斷B；求出直線斜截式方程判斷C；求出直線方程判斷D作答.【詳解】對于A，直線恒過定點(diǎn)，A正確；對于B，過點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為，B正確；對于C，斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為，C錯(cuò)誤；對于D，經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距相等的直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為，當(dāng)該直線不過原點(diǎn)時(shí)，方程為，D錯(cuò)誤.故選：AB9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列各直線中，與直線平行的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】利用兩直線平行的條件即可判斷各選項(xiàng).【詳解】直線，即的斜率為2，在軸的截距為，對于A，直線，即的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，A正確；對于B，直線的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，B正確；對于C，直線，即的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，C正確；對于D，直線的斜率為－2，所以兩直線不平行，D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．（2023秋·湖南株洲·高二?？计谀┮阎本€：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為1B．向量是直線的一個(gè)法向量C．過點(diǎn)與直線平行的直線方程為D．若直線m：，則【答案】BCD【分析】根據(jù)直線截距的概念判斷A即可；根據(jù)直線方向向量與法向量的關(guān)系判斷B即可；根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系求解方程求解直線方程即可判斷C；根據(jù)一般式兩直線垂直的充要條件判斷D即可.【詳解】解：對于A，令，則，令，則，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)橹本€的方向向量為或，則，所以向量是直線的一個(gè)法向量；故B正確.對于C，設(shè)與直線平行的直線方程為（），因?yàn)橹本€過，所以，所以過點(diǎn)與直線平行的直線方程為，故C正確.對于D，直線：的斜率為1，直線的斜率為，斜率，所以兩直線垂直，故D正確.故選：BCD.11．（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】設(shè)直線的方程，分別求出直線在軸與軸上的截距，由三角形面積為2列方程求出即可得直線的方程.【詳解】易知直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程，令，得；令，得.故圍成的三角形面積為,化簡可得或.對于方程，，故方程無解.對于方程，可得或.故直線的方程或，即或.故選:CD.三、填空題12．（上海市虹口區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知平面直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)、、，若直線過點(diǎn)且與直線平行，則的方程為________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率，再利用直線的斜截式方程求解作答.【詳解】依題意，直線的斜率，因?yàn)?，因此直線的斜率為，直線過點(diǎn)，所以直線的方程為.故答案為：13．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出所求直線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程是，依題意，，解得，所以所求直線方程是.故答案為：14．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知直線過定點(diǎn)A，直線過定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則________．【答案】13【分析】根據(jù)題意求點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】對于直線，即，令，則，則，可得直線過定點(diǎn)，對于直線，即，令，則，則，可得直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，則，即，所以.故答案為：13.

15．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）過點(diǎn)且在軸、軸上截距相等的直線方程為_________.【答案】或【分析】分截距為