第23講 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種常見考法歸類解析版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第23講拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種常見考法歸類1.了解拋物線的實(shí)際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.知識(shí)點(diǎn)1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F”，點(diǎn)的軌跡還是拋物線嗎？不一定是，若點(diǎn)F在直線l上，點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的直線．②定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．知識(shí)點(diǎn)2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注：1、拋物線方程的推導(dǎo)：我們?nèi)〗?jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.設(shè)|KF|＝p(p>0)，那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線l的方程為x＝－eq\f(p,2).設(shè)M(x，y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線是點(diǎn)的集合P＝{M||MF|＝d}．則M到F的距離為|MF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直線l的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得y2＝2px(p>0)．2、p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．拋物線的開口方向：拋物線的開口方向取決于一次項(xiàng)變量(x或y)的取值范圍．3、四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定．當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．4、（1）通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.（2）拋物線（）上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也稱為拋物線的焦半徑.1、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出對(duì)應(yīng)方程，化簡(jiǎn)方程注：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論，也可以設(shè)y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡(jiǎn)化討論過(guò)程．2、用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟3、拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題．(2)解決最值問(wèn)題．在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問(wèn)題．4、求拋物線實(shí)際應(yīng)用的五個(gè)步驟考點(diǎn)一：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程是；(2)過(guò)點(diǎn)；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）（2）（3）利用拋物線的定義及其性質(zhì)即可得出．【詳解】（1）由準(zhǔn)線方程為知拋物線的焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且，則，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）點(diǎn)在第二象限，設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，將點(diǎn)代入，得，解得，所以拋物線方程為；將點(diǎn)代入，得，解得，所以拋物線方程為．綜上所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（3）由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或或或．變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，準(zhǔn)線為直線，則此拋物線的方程為.【答案】【分析】設(shè)出拋物線解析式，通過(guò)準(zhǔn)線求出的值，即可求出此拋物線的方程.【詳解】由題意，拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，準(zhǔn)線為直線，∴設(shè)拋物線的方程為，∴，解得：，∴此拋物線的方程為：，故答案為：.

變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，且的開口朝上，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，再結(jié)合條件，可得的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意的開口朝上,可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)榈慕裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為:.變式3．（2023春·河南洛陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程,分類討論求參數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得，所以拋物線方程為；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得或（舍去），所以拋物線方程為．所以拋物線的方程為或．故選：C變式4．（2022秋·福建莆田·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，求拋物線C的方程.【答案】【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為.設(shè)拋物線方程為，則，所以，所以拋物線方程為x.變式5．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用幾何性質(zhì)求出參數(shù)的值，即可求出拋物線的方程.【詳解】由題意，在拋物線中，準(zhǔn)線方程，∵到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離，∴，解得：，∴拋物線方程為：，故選：A.變式6．（2022秋·高二單元測(cè)試）已知拋物線（）上一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得點(diǎn)M坐標(biāo)，代入拋物線方程求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程是，而點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為6，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以32=2p，解得p=8或p=4，故該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：D.考點(diǎn)二：根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線例2．【多選】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)拋物線，下列描述正確的是（）A．開口向上，焦點(diǎn)為B．開口向右，準(zhǔn)線方程為-C．開口向右，焦點(diǎn)為D．開口向上，準(zhǔn)線方程為【答案】AD【分析】把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式，則拋物線的開口向上，且，所以焦點(diǎn)為，直線方程為.故選：AD.變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，列出關(guān)于的方程組求解即可.【詳解】拋物線即，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，解得，則，故選：A．變式2．（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合拋物線的定義可求出的值，進(jìn)而可求的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)槭菕佄锞€：的焦點(diǎn)，所以，又，由拋物線的定義可知，解得，所以.故選：A變式3．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后結(jié)合拋物線的定義，列出方程，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，由拋物線的對(duì)稱性，易知為直角三角形，且，，即，去絕對(duì)值，解得或，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為或.故選：C.變式4．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）拋物線繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后，得到的圖象正好對(duì)應(yīng)拋物線，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】采用逆向思考：即將拋物線將其繞頂點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到拋物線，進(jìn)而即可求得的值.【詳解】拋物線即的開口向上，將其繞頂點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到的拋物線，開口向右，其方程為，則，故選：B.變式5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其上有一點(diǎn)，其到準(zhǔn)線的距離為6，則．【答案】【分析】由題意設(shè)拋物線的方程為，由條件得，進(jìn)而可得拋物線的方程，把點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求得.【詳解】由題意焦點(diǎn)在x軸正半軸上，設(shè)拋物線的方程為，∵準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，∴，∴，∴拋物線的方程為，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴.故答案為：.變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，，是的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，則.【答案】【分析】設(shè)，利用向量的關(guān)系式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程即可．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，由題意，，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，，代入得，解得（?fù)值舍），所以.故答案為：考點(diǎn)三：拋物線定義的應(yīng)用利用拋物線的定義解決軌跡問(wèn)題例3．（2019春·安徽蕪湖·高二校聯(lián)考期中）若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【詳解】依題意，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，所以的軌跡為拋物線，，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大2，記的軌跡為，求的方程；【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為到直線的距離等于到的距離，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】解：由點(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大2可轉(zhuǎn)化為到直線的距離等于到的距離所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，可得，所以，所以曲線的方程為.變式2．（2023春·廣東韶關(guān)·高二?？茧A段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據(jù)軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.【詳解】由得，等式左邊表示點(diǎn)和點(diǎn)的距離，等式的右邊表示點(diǎn)到直線的距離，整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.變式3．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過(guò)B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分別求得，的坐標(biāo)與切線，再根據(jù)拋物線的定義即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【詳解】因?yàn)閳A與軸交于，兩點(diǎn)（在的上方），所以，，又因?yàn)檫^(guò)作圓的切線，所以切線的方程為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到的距離等于到的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.利用拋物線的定義求距離或點(diǎn)的坐標(biāo)例4．（2023秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由拋物線定義列式求得，即可依次求，即點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.【詳解】由題得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則準(zhǔn)線方程為設(shè)，根據(jù)拋物線定義有有，∴，∴點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為.故選：D.變式1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線相等，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12，則的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】D【分析】直接根據(jù)拋物線定義得的軌跡為拋物線，再設(shè)其拋物線方程，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出其方程，再根據(jù)拋物線性質(zhì)即可求出的長(zhǎng).【詳解】由題意得點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為的拋物線，設(shè)拋物線的方程為，，則，解得，故拋物線方程為，當(dāng)時(shí)，，則，故選：D.變式2．（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知M是拋物線上的一點(diǎn)且在x軸上方，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以為始邊，F(xiàn)M為終邊的角，則等于（

）A．16 B．20 C．4 D．8【答案】A【分析】作出拋出線與焦半徑及輔助線，利用直角三角形角所對(duì)的邊等于斜邊的一半及拋物線的定義，得到關(guān)于的方程，從而求得的值.【詳解】如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，作于，過(guò)作于，因?yàn)?，所以，設(shè)，在中，，顯然，又由拋物線的定義得，所以，解得：，即.故選：A.變式3．（2022秋·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學(xué)校考期中）已知拋物線：，，為上一點(diǎn)，則取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入求距離，消去y，求距離取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn).故答案為：.與拋物線定義有關(guān)的最大(小)值問(wèn)題例5．（2023春·廣東江門·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P到直線與到點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)Q在圓上，則的最小值為.【答案】3【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線定義得到其軌跡方程為，計(jì)算得，則得到的最小值.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線與到點(diǎn)的距離相等，所以P點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，即；設(shè)圓的圓心為M，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，故答案為：3.變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)與點(diǎn)距離公式計(jì)算以及的長(zhǎng)，代入所求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最大值.【詳解】設(shè)，則，又，所以，則.令，則，，即時(shí)，取得最大值，此時(shí).故選：D變式2．（2023春·廣東汕頭·高二?？计谥校┮阎狹為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為．【答案】2【分析】根據(jù)拋物線的定義，利用三點(diǎn)共線即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，根據(jù)拋物線的定義可知,所以,要使最小，只需要最小即可，由于在拋物線內(nèi)，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)最小，故最小值為，故答案為：2變式3．（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】5【分析】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義可知，的最小值是到準(zhǔn)線的距離，即的最小值為.故答案為：變式4．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，為直線的定點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】畫圖，找出拋物線焦點(diǎn)，化簡(jiǎn)圓的普通方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線定義以及共線性質(zhì)分析得出最值.【詳解】如圖所示：由知，拋物線焦點(diǎn)，由，化為，即為以為圓心，1為半徑的圓，又，得，恒過(guò)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于拋物線的準(zhǔn)線：交于點(diǎn)，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小,此時(shí)為3，所以的最小值為：，故選：A.變式5．（2023·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)?？既＃閽佄锞€上一點(diǎn)，其中，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，直線l方程為，，H為垂足，則．【答案】5【分析】利用拋物線定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義可知，又因?yàn)橹本€l方程為，所以故答案為：5.

變式6．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】由題意可得：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)動(dòng)點(diǎn)直線的距離分別為，點(diǎn)到直線的距離分別為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)到直線的垂線上且在與之間時(shí)，等號(hào)成立，動(dòng)點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是3.故選：B.變式7．（2023·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為.【答案】3【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)求出，再借助式子幾何意義作答.【詳解】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，于是，

因此，表示拋物線上的點(diǎn)到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)的距離的和，而點(diǎn)在拋物線內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是過(guò)點(diǎn)垂直于y軸的直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.變式8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即可求出到軸距離就是到焦點(diǎn)的距離減去，接著利用兩點(diǎn)之間直線最短而得到答案.【詳解】由于為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，圓心為，半徑，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸距離之和最小值可結(jié)合拋物線的定義，到軸距離為到焦點(diǎn)距離減去，則最小值為拋物線的焦點(diǎn)到圓心的距離減去半徑和，故最小值為=.故選：B.變式9．（2023春·四川成都·高二期末）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為.【答案】7【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)作于，過(guò)作于，由拋物線的性質(zhì)可將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，從而可求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)，由，得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)作于，過(guò)作于，則，所以的周長(zhǎng)為，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)的最小值為，因?yàn)?，所以的最小值?，即的周長(zhǎng)的最小值為7，故答案為：7

變式10．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形的面積的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由，當(dāng)最小時(shí)求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)，，連接，圓為：，則，則，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，的最小值為，所以，故選：C考點(diǎn)四：拋物線的軌跡問(wèn)題例6．【多選】（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二統(tǒng)考期末）已知，，直線AP，BP相交于P，直線AP，BP的斜率分別為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的橢圓B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的雙曲線C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為拋物線D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一條直線【答案】AB【分析】設(shè)出，直接法求出軌跡方程，注意去掉不合題意的點(diǎn)，從而判斷軌跡為哪種曲線，判斷ABC選項(xiàng)，D選項(xiàng)，結(jié)合，得到軌跡為去掉一個(gè)點(diǎn)的直線，故D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)，A選項(xiàng)，，故，變形為，且，故點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的橢圓，A正確；B選項(xiàng)，，故，變形為，且，故點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的雙曲線，B正確；C選項(xiàng)，，故，變形為，且，故點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的拋物線，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，即，變形為，且，故點(diǎn)的軌跡為除去點(diǎn)的直線，D錯(cuò)誤；故選：AB變式1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，，連接PA并延長(zhǎng)至Q，使得，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，點(diǎn)P坐標(biāo)，利用，求出、代入曲線方程可得答案.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，點(diǎn)P坐標(biāo)，，因?yàn)?，所以，，可得，，代入得，整理得，所以?dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為．變式2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一學(xué)校?？计谥校┰O(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)A是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF并作AF的垂直平分線l，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為．【答案】【分析】由題意作等價(jià)轉(zhuǎn)換，結(jié)合拋物線第一定義可直接寫出方程.【詳解】如圖，由垂直平分線的性質(zhì)可得，符合拋物線第一定義，拋物線開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，點(diǎn)P的軌跡方程為.故答案為：變式3．（2022秋·福建寧德·高三?？计谀┮阎獔A：與定直線：，動(dòng)圓與圓外切且與直線相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為.【答案】【分析】設(shè)，由點(diǎn)線距離及兩點(diǎn)距離公式列式化簡(jiǎn)即可.【詳解】設(shè)，動(dòng)圓與圓外切且與直線相切，則有，化簡(jiǎn)得.故曲線的方程為.故答案為：變式4．（2022秋·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到直線的距離小1.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求線段中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法1：根據(jù)已知條件，設(shè)點(diǎn)，列出方程，化簡(jiǎn)；解法2：定義法求拋物線的方程.（2）軌跡法求點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）解法1：設(shè)M(x,y)，由題意知當(dāng)時(shí)，可化為，整理得，（舍去）當(dāng)x<3時(shí)，可化為整理得，故點(diǎn)M的軌跡方程為解法2：由題可知，點(diǎn)M到點(diǎn)F（－2，0）的距離與到直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F（－2，0）為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，點(diǎn)M的軌跡方程為；（2）設(shè)Q（x，y），則，

∴又，故即為所求.變式5．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線相交于點(diǎn)，且與的斜率之差為2，則的最小值為.【答案】/【分析】設(shè)，依題意表示出，，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：設(shè)，則，，所以，即，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，，所以，所以當(dāng)時(shí).故答案為：考點(diǎn)五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用例7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）清代青花瓷蓋碗是中國(guó)傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤(rùn)”“淡遠(yuǎn)”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計(jì)）（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)碗體的拋物線方程為（），將點(diǎn)代入求出，即可得到拋物線方程，設(shè)蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，代入方程計(jì)算可得.【詳解】以碗體的最低點(diǎn)為原點(diǎn)，向上方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．

設(shè)碗體的拋物線方程為（），將點(diǎn)代入，得，解得，則，設(shè)蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，代入到，解得，解得．故選：C變式1．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀﹫D中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當(dāng)水面寬度為10米時(shí)，拱頂與水面之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拱橋所在拋物線的方程為，根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，求出的值，即可得到拋物線方程，再令，求出的值，即可得解.【詳解】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)拱橋所在拋物線的方程為，又拋物線過(guò)點(diǎn)，則，解得，則拋物線的方程為，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)水面寬度為米時(shí)，拱頂與水面之間的距離為米.故選：D變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出即可得解.【詳解】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意可得的坐標(biāo)為．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得．故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：C變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽(yáng)灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過(guò)鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計(jì)原理.已知某型號(hào)探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上即可求解.【詳解】在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)頂點(diǎn)垂直于燈口直徑的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可得.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是，解得.所以拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，即光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為.故選：B.1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.故選：B3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.【答案】【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因?yàn)榍?，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.一、單選題1．（2023春·湖南·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是6，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義求解.【詳解】由題可得，，點(diǎn)到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是8，故選:C.2．（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線的定義可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則，解得.故選：C.3．（2023春·河南南陽(yáng)·高二社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．條件p：O，A，三點(diǎn)共線；條件q：動(dòng)點(diǎn)A在拋物線上，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由列式整理可知p是q的充分條件，取原點(diǎn)驗(yàn)證可知p是q的不必要條件，然后可得答案.【詳解】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A滿足p時(shí)，直線OB的斜率存在，且不為0，有，即，化簡(jiǎn)得，p是q的充分條件；反之，拋物線的頂點(diǎn)并不滿足p，p是q的不必要條件．故選：A．4．（2023秋·云南麗江·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出橢圓中的，再由離心率求出，然后由可求出，從而可求出橢圓的方程.【詳解】由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在上，所以設(shè)橢圓方程為，由可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)闄E圓與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，因?yàn)闄E圓的離心率，所以，得，所以，所以橢圓方程為，故選：C5．（2023春·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2，焦點(diǎn)為F，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，再利用拋物線的定義得解.【詳解】由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義得3.故選：B

6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意△PFQ為等邊三角形，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)及，從而可得．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1，焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，由拋物線的定義知，因?yàn)椋浴鱌FQ為等邊三角形，所以，又，所以，n＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以，所以．故選：C．

7．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，線段PF的中點(diǎn)為M，則以F為圓心且與直線OM相切的圓的面積最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作圖，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，表示中點(diǎn)，進(jìn)而寫出直線方程，結(jié)合圓與直線相切的性質(zhì)，利用點(diǎn)到直線距離公式，根據(jù)基本不等式，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：

設(shè)（不妨令），由已知可得，則，所以直線OM的方程為，設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），所以點(diǎn)F到直線OM的距離為，即圓F的半徑最大值為，面積最大值為．故選：B.8．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線，圓，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．3【答案】B【分析】先利用配方法求得到圓心的最小距離，從而求得到的最小距離.【詳解】由題意知，，設(shè)，則，所以，

故當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B.二、多選題9．（2023春·湖南益陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：焦點(diǎn)為，動(dòng)直線與曲線交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若點(diǎn)為，則周長(zhǎng)的最小值為11C．若點(diǎn)為，則的最小值為D．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，作于點(diǎn)，則點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離的最大值為2【答案】BC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，將拋物線方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷出結(jié)果的正誤；對(duì)于選項(xiàng)B，利用拋物線的定義，將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成，從而判斷出結(jié)果的正誤；對(duì)于選項(xiàng)C，直接求出，進(jìn)而可求出的最小值，從而判斷出結(jié)果正確；對(duì)于選項(xiàng)D，直接求出的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，從而判斷出結(jié)果的正誤.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)閽佄锞€，即，所以準(zhǔn)線方程為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，如圖，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則周長(zhǎng)，易知，當(dāng)在處時(shí)取到等號(hào)，又，，所以周長(zhǎng)的最小值為11，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，易知，設(shè)過(guò)且與動(dòng)直線垂直的直線方程為，由，解得，所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.10．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為拋物線：（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．直線的斜率為D．的面積為【答案】ABD【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，得拋物線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線定義求得的坐標(biāo)，確定直線的斜率與的面積，逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】由題意得，又，故解得，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故A，B正確；

由拋物線定義及，所以代入拋物線方程可得得，所以，故C不正確；則的面積，故D正確.故選：ABD.11．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C． D．【答案】BD【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用拋物線的定義結(jié)合已知可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得答案.【詳解】由題可知，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，所以，解得，所以，故選：BD.12．（2023春·全國(guó)·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則下列條件能得到拋物線C的方程為的是（

）A．焦點(diǎn)為 B．準(zhǔn)線為C．與直線相交所得弦長(zhǎng)為1 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、弦長(zhǎng)、拋物線的定義、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，從而確定正確答案.【詳解】拋物線C的方程可化為，所以拋物線焦點(diǎn)應(yīng)在y軸上，故A錯(cuò)誤；由準(zhǔn)線為，知，解得，所以拋物線C的方程為，故B正確；將直線代入，解得，所以直線與拋物線C相交所得弦長(zhǎng)為，解得，所以拋物線C的方程為，故C正確；設(shè)，，直線AB的方程為，代入，可得，，所以，故，所以，所以，故拋物線C的方程為，故D正確.故選：BCD三、填空題13．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（3，6），點(diǎn)Q在拋物線上，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義可求出結(jié)果.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，所以.當(dāng)