湖南省邵陽市綏陽縣2024屆高三下學(xué)期沖刺（一）數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

綏陽縣高三沖刺（一）數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合A，解一次不等式化簡集合B，然后利用補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，又，所?故選：B2.已知向量，，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用線性坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后利用共線向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解?故選：A3.若點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而求出即可求出離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，得，解得，所以的離心率.故選：C4.“四書五經(jīng)”是我國9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次講座，再將《大學(xué)》《論語》《周易》這3次講座插空，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得答案.【詳解】先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次經(jīng)典名著的講座，共有種排法；再從7個(gè)空位中選3個(gè)，排《大學(xué)》《論語》《周易》這3次講座，有種排法，故總共有種排法；故選：D.5.記為公比小于1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A.6 B.3 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列片斷和性質(zhì)列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，成等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，設(shè)其公比為，則，由，得，整理得，由等比數(shù)列的公比小于1，得，解得，所以故選：B6.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由，排除BC；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)排除D即可.【詳解】依題意，，恒成立，即函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，則，即，BC不滿足；當(dāng)時(shí)，令，則，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，D不滿足，A滿足.故選：A7.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖、八角攢尖．如圖是圓形攢尖，可近似看作圓錐與圓柱的組合體（圓錐與圓柱的底面重合且半徑相等），已知此組合體中圓柱底面的半徑為4，圓錐與圓柱的高相等，若圓錐的頂點(diǎn)與圓柱的上、下底面圓周都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出示意圖，根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系即可求解.【詳解】如圖，是圓錐的錐頂，是圓柱上底面的圓心，是圓柱下底面的圓心，是圓球的圓心，是圓柱上底面和圓球的交點(diǎn)，，設(shè)圓錐和圓柱的高為，則，，因?yàn)椋?，所以，所以圓球的半徑為，所以圓球體積為.故選：D.8.已知均為銳角，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用角的變換，結(jié)合和差角的正弦公式、二倍角的余弦公式計(jì)算即得.【詳解】由，得，展開整理得，由均為銳角，得，，則，，于是，而，所以.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和與差的公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙鉀Q三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，年輕一代的父母更加重視親子陪伴，以往“以孩子為中心”的觀念正逐步向與孩子玩在一起、學(xué)在一起的方向轉(zhuǎn)變．如圖為2023年中國父母參與過的各類親子活動(dòng)人數(shù)在參與調(diào)查總?cè)藬?shù)中的占比，根據(jù)該圖，下列說法正確的是（）A.在參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)中父母參與過的親子活動(dòng)最多的是親子閱讀B.在參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)中同時(shí)參與過親子閱讀與親子運(yùn)動(dòng)會(huì)的父母不少于C.圖中各類親子活動(dòng)占比的中位數(shù)為D.圖中10類親子活動(dòng)占比的極差為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定的扇形圖，結(jié)合中位數(shù)、極差的意義逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】對(duì)于A，親子閱讀閱讀占比，為最大，A正確；對(duì)于B，由于，B正確；對(duì)于C，圖中各類親子活動(dòng)占比的中位數(shù)為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圖中10類親子活動(dòng)占比的極差為，D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知圓，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.圓關(guān)于直線對(duì)稱B.的最小值為C.的最小值為D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)判斷A；求出圓心到點(diǎn)的距離結(jié)合圓的性質(zhì)判斷B；利用三角代換結(jié)合輔助角公式判斷C；令，聯(lián)立方程組，借助判別式求出最值判斷D.【詳解】圓的圓心，半徑，對(duì)于A，顯然點(diǎn)在直線上，圓關(guān)于直線對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，點(diǎn)與點(diǎn)的距離，則點(diǎn)與點(diǎn)距離的最小值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，其中銳角由確定，因此當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，令，由消去得：，則，整理得，解得，因此，，D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，，都有，則（）A.是奇函數(shù) B.C.的圖象關(guān)于對(duì)稱 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和題設(shè)條件，推得是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)求值，利用單調(diào)性比較大小，逐項(xiàng)判定即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以,即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，C正確;由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱可知,又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則,所以,即,所以,所以是周期為4的周期函數(shù)，所以,又,所以,所以,所以,B正確;是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤;對(duì)任意的,且,都有,不妨設(shè),則,由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增又,,所以得，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)，解題關(guān)鍵是合理利用抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性周期性分析題意，然后逐個(gè)選項(xiàng)分析即可．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘方及除法運(yùn)算求出，再求出所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】依題意，，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：13.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角公式和兩角差的正弦公式化簡，利用平移變換求得，再由是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，列式求解即得.【詳解】依題意，，則，由是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，得直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則，而，解得，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：14.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，且直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則______．【答案】##0.2【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，再結(jié)合橢圓定義及勾股定理求出即可.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由，解得，即，令橢圓右焦點(diǎn)，則，，而點(diǎn)在橢圓上，由，得，設(shè)，則，顯然的中點(diǎn)都在直線上，則平行于直線，從而，在中，，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、，得到a，c的關(guān)系．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對(duì)邊分別為，且的周長為．（1）求；（2）若，，為邊上一點(diǎn)，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用三角形面積公式，結(jié)合割補(bǔ)法列式求出，再求出的面積.【小問1詳解】在中，，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，而，所以.【小問2詳解】由為邊上一點(diǎn)，及（1）得，且，即有，則，解得，所以的面積.16.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）連接，連接，證得，再利用線面平行的判定推理即得.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量及平面的法向量坐標(biāo)，再利用線面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】在直三棱柱中，，連接，連接，由點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，得，則，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)過點(diǎn)作，顯然直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，令正的邊長，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，令直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值．17.2023年8月3日，公安部召開的新聞發(fā)布會(huì)公布了“提高道路資源利用率”和“便利交通物流貨運(yùn)車輛通行”優(yōu)化措施，其中第二條提出推動(dòng)緩解停車難問題．在持續(xù)推進(jìn)緩解城鎮(zhèn)老舊小區(qū)居民停車難改革措施的基礎(chǔ)上，因地制宜在學(xué)校、醫(yī)院門口設(shè)置限時(shí)停車位，支持鼓勵(lì)住宅小區(qū)和機(jī)構(gòu)停車位錯(cuò)時(shí)共享．某醫(yī)院門口設(shè)置了限時(shí)停車場（停車時(shí)間不超過60分鐘），制定收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：停車時(shí)間不超過15分鐘的免費(fèi)，超過15分鐘但不超過30分鐘收費(fèi)3元，超過30分鐘但不超過45分鐘收費(fèi)9元，超過45分鐘但不超過60分鐘收費(fèi)18元，超過60分鐘必須立刻離開停車場．甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該停車場停車，且甲、乙的停車時(shí)間的概率如下表所示：停車時(shí)間/分鐘甲乙設(shè)此次停車中，甲所付停車費(fèi)用為，乙所付停車費(fèi)用為．（1）在的條件下，求的概率；（2）若，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)概率的性質(zhì)求出，求出的概率及的概率可得答案；（2）根據(jù)的值可得的取值，再求取值對(duì)應(yīng)的概率可得分布列、期望.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，解得，

，解得，甲所付停車費(fèi)用為18元，乙所付停車費(fèi)用為0元可得，其概率為；甲所付停車費(fèi)用為0元，乙所付停車費(fèi)用為18元可得，其概率為；甲所付停車費(fèi)用為9元，乙所付停車費(fèi)用為9元可得，其概率為；所以的概率，可得在的條件下，的概率為；【小問2詳解】的取值為0，3，6，9，15，18，，，，，，，隨機(jī)變量的分布列為所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.18.已知拋物線，過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若垂直于直線的直線與交于不同的兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過兩點(diǎn)，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）將直線與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和向量垂直的坐標(biāo)表示求出得解.（2）設(shè)，利用可得；由在以為直徑的圓上可得，，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得到，由此構(gòu)造方程求得.【小問1詳解】依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，消去y得：，顯然，設(shè)，則，，則，由，得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由（1）知，拋物線：，顯然直線的斜率，否則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，直線的斜率，則，而在以為直徑的圓上，則，，即，，，整理得，由（1）知，，，于是，兩式相減得：，又，因此，解得，所以直線的斜率為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問求解直線斜率的關(guān)鍵是能夠根據(jù)兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，得到垂直關(guān)系，進(jìn)而利用向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示構(gòu)造方程組求得.19.對(duì)于定義在上的函數(shù)，若存在距離為的兩條平行直線和，使得對(duì)任意的都有，則稱函數(shù)有一個(gè)寬度為的通道，與分別叫做函數(shù)的通道下界與通道上界．（1）若，請(qǐng)寫出滿足題意的一組通道寬度不超過3的通道下界與通道上界的直線方程；（2）若，證明：存在寬度為2的通道；（3）探究是否存在寬度為的通道？并說明理由．【答案】（1）與；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的值域，再利用給定定義求解即得.（2）利用輔助角公式求出的值域，再利用不等式的性質(zhì)可得，結(jié)合定義推理即得.（3）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，假定存在，設(shè)出通道下界與通道上界的直線方程，利用定義建立不等式，構(gòu)造函數(shù)，按探討函數(shù)值情況即可得解.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，在R上單調(diào)遞增，而，則，即，因此，取，得通道下界的直線方程：，通道上界的直線方程：，顯然直線與的距離為2，因此通道寬度不超過3，所以通道下界與通道上界的直線方程分別為與.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，而，即，則，取，得通道下界直線方程：，通道上界的直線方程：，顯