四川省瀘縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月期中試題文科含解析

Page19Page192024年春期高二期中考試數(shù)學(xué)（文史類）第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某地區(qū)小學(xué)，初中，中學(xué)三個(gè)學(xué)段的學(xué)生人數(shù)分別為4800人，4000人，2400人．現(xiàn)接受分層抽樣的方法調(diào)查該地區(qū)中小學(xué)生的“才智閱讀”狀況，在抽取的樣本中，初中學(xué)生人數(shù)為70人，則該樣本中中學(xué)學(xué)生人數(shù)為（）A.42人 B.84人 C.126人 D.196人【答案】A【解析】【分析】設(shè)中學(xué)抽取人數(shù)為，依據(jù)條件，建立比例關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)中學(xué)抽取人數(shù)為x則，得故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的除法即可求解.【詳解】，所以z的虛部為.故選：A.3.若橢圓的焦距為，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用橢圓的性質(zhì)求解．【詳解】橢圓的焦距為2，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該橢圓的焦點(diǎn)不行能在軸上，，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的焦距求參數(shù)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要細(xì)致審題，留意橢圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．4.已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.（0，4）C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)命題與它的否定命題真假性相反，寫出該命題的否定命題，再求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，當(dāng)時(shí)，不等式為，明顯成立；所以時(shí)，應(yīng)滿意，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定的程序框圖，依次計(jì)算直到條件被滿意即可作答.【詳解】由程序框圖知，第一次循環(huán)，推斷不成立，，；其次次循環(huán)，推斷不成立，，；第三次循環(huán)，推斷不成立，，；第四次循環(huán)，推斷成立，，；第五次循環(huán)，推斷成立，，；第六次循環(huán)，推斷成立，，，跳出循環(huán)，輸出．故選：B6.下表是某廠月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：月份用水量由散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回來直線方程是，則A B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：先求出樣本中心點(diǎn)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入回來方程可求得的值．詳解：由題意得．∴樣本中心為．∵回來直線過樣本中心，∴，解得．故選A．點(diǎn)睛：回來直線過樣本中心是一個(gè)重要的結(jié)論，利用此結(jié)論可求回來直線中的參數(shù)，也可求樣本數(shù)據(jù)中的參數(shù)．由于此類問題常涉及到大量的運(yùn)算，所以在解題是要留意計(jì)算的精確性．7.已知命題p：若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)；命題q：“”是“”的充分不必要條件，則下列命題正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先推斷p、q的真假，然后對A、B、C、D分別推斷復(fù)合命題的真假.【詳解】若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t恒成立，則，解得，所以命題為假命題；由得，所以“”是“”的必要不充分條件，所以命題為假命題.所以為假，為假，為假，為真，故選：D.【點(diǎn)睛】復(fù)合命題真假的判定:(1)推斷簡潔命題的真假;(2)依據(jù)真值表推斷復(fù)合命題的真假.8.某醫(yī)療探討所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名運(yùn)用血清的人與另外500名未運(yùn)用血清的人一年中的感冒記錄作比較，利用列聯(lián)表計(jì)算得，則下列表述中正確的是（）A.有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”B.若有人未運(yùn)用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒C.這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%D.這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%【答案】A【解析】【分析】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可得出選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋杂?5%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”，故選：A.9.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求得導(dǎo)函數(shù)，由原函數(shù)單調(diào)遞增求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合題意將原問題轉(zhuǎn)化為子區(qū)間的問題，得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】詳解：因?yàn)?，令可?2≤x≤2，所以要使函數(shù)f(x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則區(qū)間（2m，m+1）是區(qū)間的子區(qū)間，所以，求解不等式組可得：，解得-1≤m<1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D10.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其它元素，其含量不斷削減，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設(shè)、在放射性同位素銫衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時(shí)間（單位：年）滿意函數(shù)關(guān)系：，則銫含量在時(shí)瞬間變更率為（）A.（太貝克/年） B.（太貝克/年）C.（太貝克/年） D.（太貝克/年）【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令即可得到含量在時(shí)的瞬間變更率．【詳解】解：依題意，，所以銫含量在時(shí)的瞬間變更率為：（太貝克年），故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)變更率，屬于基礎(chǔ)題．11.在三棱錐中，平面，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意畫出圖形，求出底面三角形的外接圓的半徑，進(jìn)一步求得三棱錐的外接球的半徑，再由球的表面積公式求解.【詳解】解：如圖，設(shè)為三棱錐外接球的球心，為外接圓的圓心，連接.在中，，則由余弦定理可得，從而，故的外接圓半徑.因?yàn)?，所以，所以外接球半徑，故三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題型；解題方法是依據(jù)幾何關(guān)系求出底面三角形的外接圓的半徑，再由勾股定理求得三棱錐的外接球的半徑，進(jìn)而求解；解題的關(guān)鍵點(diǎn)是三棱錐的外接球的半徑的求解或者說是直角三角形的構(gòu)造.12.設(shè)函數(shù)，若不等式僅有1個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式，即，兩邊除以，則，轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象上僅有1個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)點(diǎn)落在直線的下方，結(jié)合圖象，即可求解．【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式，即，兩邊除以，則，留意到直線恒過點(diǎn)，不等式僅有1個(gè)正整數(shù)解，即函數(shù)圖象上僅有1個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)落在直線的下方，由圖象可知，這個(gè)點(diǎn)，可得，即，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，其中解答中轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象上僅有1個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)落在直線的下方，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于中檔試題．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若命題，則命題__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)全稱量詞的否定的結(jié)構(gòu)特征可得正確的選項(xiàng).【詳解】由全稱命題的否定可得命題“”的否定為“”．故答案為：．14.若1，2，3，x的平均數(shù)是5，而1，3，3，x，y的平均數(shù)是6，則1，2，3，x，y的方差是________.【答案】24.56【解析】【分析】先求出x和y,再求出1，2，3，x，y的方差.【詳解】由題得，所以.所以1，2，3，x，y的平均數(shù)為，所以1，2，3，x，y的方差為.故答案為：24.56【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)和方差的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.15.已知直線與函數(shù)的圖象相切于，則直線的方程是___________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出直線的方程.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得：，則，直線的斜率為1，所以直線的方程是：.故答案為：16.已知過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,直線經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F,則___________．【答案】64【解析】【分析】用字母進(jìn)行一般化探討,先求出切點(diǎn)弦方程,再聯(lián)立化簡,最終代入數(shù)據(jù)計(jì)算【詳解】設(shè),點(diǎn)處的切線方程為聯(lián)立,得由,得即,解得所以點(diǎn)處的切線方程為,整理得同理,點(diǎn)處的切線方程為設(shè)為兩切線的交點(diǎn),則所以在直線上即直線AB的方程為又直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)所以,即聯(lián)立得所以所以本題中所以故答案為:64【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)弦的方程為三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17.已知函數(shù)（其中）.（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極大值點(diǎn)為，微小值點(diǎn)為；（2）.【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得極值點(diǎn)；（2）函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)的極值，列不等式即可求得的范圍．【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，則定義域?yàn)?，且，令，解得?當(dāng)變更時(shí)，，變更狀況如下表：極大值微小值因此函數(shù)處取得極大值；在處取得微小值，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，微小值點(diǎn)為（2）函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)由（1）可知，在處取得極大值；在處取得微小值，因?yàn)榈膱D象與軸有三個(gè)交點(diǎn)則，解得故實(shí)數(shù)的取值范圍為18.為推行“新課堂”教學(xué)法,某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個(gè)平行班進(jìn)行教學(xué)試驗(yàn),為了解教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個(gè)班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出的莖葉圖如下圖,記成果不低于70分者為“成果優(yōu)良”.（1）分別計(jì)算甲、乙兩班20個(gè)樣本中,化學(xué)成果前十的平均分,并據(jù)此推斷哪種教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳;（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,是否有95%的把握認(rèn)為“成果優(yōu)良與教學(xué)方式關(guān)”?甲班乙班總計(jì)成果優(yōu)良成果不優(yōu)良總計(jì)0.0500103.8416.635【答案】（1），，運(yùn)用“高效教學(xué)法”的乙班教學(xué)效果更佳.（2）有的把握認(rèn)為“成果優(yōu)良”與“教學(xué)方式”有關(guān).【解析】【分析】（1）先求出甲班、乙班的平均分，然后再作出推斷．（2）依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)求出，再結(jié)合臨界值表得到結(jié)論．【小問1詳解】甲班化學(xué)成果前10名學(xué)生的平均分為乙班化學(xué)成果前10名學(xué)生的平均分為由于，所以可推斷運(yùn)用“高效教學(xué)法”的乙班教學(xué)效果更佳.【小問2詳解】依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表如下：甲班乙班總計(jì)成果優(yōu)良101626成果不優(yōu)良10414總計(jì)202040由表中的數(shù)據(jù)可得，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，即有的把握認(rèn)為“成果優(yōu)良”與“教學(xué)方式”有關(guān).19.如圖，在三棱柱中，，，.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連，，證明與底面垂直，得面面垂直，再由棱柱上下底面平行得證結(jié)論；（2）由棱柱、棱錐體積得，計(jì)算三棱錐體積可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連，，因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)椋?，在中，由，滿意，所以，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面平面.（2）由（1）可知平面，，所以四棱錐的體積.20.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)且斜率為k的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn).當(dāng)A為橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí),.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）當(dāng)時(shí),試推斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn),并說明理由.【答案】（1）（2）以為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn),理由見解析【解析】【分析】(1)將直線方程求出來,再帶入向量等式即可求出橢圓方程;(2)聯(lián)立計(jì)算出的值,即可推斷是否經(jīng)過.【小問1詳解】由題意,得橢圓的半焦距,當(dāng)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),,設(shè),則,.由,得,,∴,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程,得，解得.又,∴,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【小問2詳解】以AB為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn),理由如下:依題意,知直線的方程為.聯(lián)立,消去,并整理得.設(shè),,則由根與系數(shù)的關(guān)系,得,.易知,直線,的斜率都存在且不為0.若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),則，所以直線,的斜率之積為-1,即,而,所以以為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn).21.已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，求證：.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把代入，由，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由于函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，是的兩個(gè)不等實(shí)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系把與用含有的代數(shù)式表示，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可【詳解】（1）解：由，得，當(dāng)時(shí)，，由，得，解得或，由，得，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，（2）證明：由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，則，所以，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以【點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．（選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.已知曲線的方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）過作直線交曲線于、兩點(diǎn)，且，求直線的斜率.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程