人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義1.4充分條件與必要條件(原卷版+解析)

1.4充分條件與必要條件【知識點梳理】知識點一：充分條件與必要條件充要條件的概念符號與的含義“若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：.充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件.②如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件.知識點詮釋：對的理解：指當(dāng)成立時，一定成立，即由通過推理可以得到.①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達(dá).知識點二：充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關(guān)系看命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件.從集合與集合間的關(guān)系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件.知識點詮釋：充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進(jìn)行：①確定哪是條件，哪是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論，③再嘗試用結(jié)論推條件，④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件.知識點三：充要條件的證明要證明命題的條件是結(jié)論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）知識點詮釋：對于命題“若，則”①如果是的充分條件，則原命題“若，則”與其逆否命題“若，則”為真命題；②如果是的必要條件，則其逆命題“若，則”與其否命題“若，則”為真命題；③如果是的充要條件，則四種命題均為真命題.【題型歸納目錄】題型一：充分條件與必要條件的判斷題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍題型五：充要條件的證明【典型例題】題型一：充分條件與必要條件的判斷例1．（2022·湖南·永州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數(shù)根”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例2．（2022·廣東·化州市第三中學(xué)高一期末）已知命題p：x為自然數(shù)，命題q：x為整數(shù)，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例3．（2022·上?！ど贤飧街懈咭黄谥校啊笔顷P(guān)于的不等式的解集為R的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件例4．（2022·湖南·高一期中）2022年3月21日，東方航空公司MU5735航班在廣西梧州市上空失聯(lián)并墜毀．專家指出：飛機墜毀原因需要找到飛機自帶的兩部飛行記錄器（黑匣子），如果兩部黑匣子都被找到，那么就能形成一個初步的事故原因認(rèn)定.3月23日16時30分左右，廣西武警官兵找到一個黑匣子，雖其外表遭破壞，但內(nèi)部存儲設(shè)備完整，研究判定為駕駛員座艙錄音器．則“找到駕駛員座艙錄音器”是“初步事故原因認(rèn)定”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件例5．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則甲是丁的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【技巧總結(jié)】1.判斷充分條件、必要條件的注意點(1)明確條件與結(jié)論.(2)判斷若p，則q是否成立時注意利用等價命題.(3)可以用反例說明由p推不出q，但不能用特例說明由p可以推出q.2.充分條件、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法：①確定誰是條件，誰是結(jié)論;②嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件;③嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.(2)命題判斷法：①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件;②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件.題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍（多選題）例6．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列條件中是“”的充分條件的是（

）A．B．C．D．且例7．（2022·河南信陽·高一期末）若“”是“”的充分不必要條件，則（

）A． B． C． D．（多選題）例8．（2022·山東·煙臺二中高一階段練習(xí)）若不等式成立的充分條件是，則實數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．1例9．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是______例10．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高一期中）已知集合，或．(1)當(dāng)時，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．例11．（2022·新疆·兵團第十師北屯高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.(1)若a=3，求；(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.例12．（2022·黑龍江·哈師大附中高一期末）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【技巧總結(jié)】(1)化簡p、q兩命題，(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，(3)利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，(4)求解參數(shù)范圍．題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍例13．（2022·廣東·梅州市梅州中學(xué)高一練習(xí)）已知集合，或，，若“”是“”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是___________．例14．（2022·江西·豐城九中高一階段練習(xí)）已知集合或，集合(1)若，且，求實數(shù)的取值范圍．(2)已知集合，若是的必要不充分條件，判斷實數(shù)是否存在，若存在求的范圍例15．（2022·徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一階段練習(xí)）已知集合，，全集．(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．例16．（2022·河北滄州·高一開學(xué)考試）已知或或，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【技巧總結(jié)】(1)化簡p、q兩命題，(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，(3)利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，(4)求解參數(shù)范圍．題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍例17．（2022·全國·高一專題練習(xí)）方程至少有一個負(fù)實根的充要條件是（

）A． B． C． D．或例18．（2022·廣西欽州·高一期末）若“”是“”的充要條件，則實數(shù)m的取值是_________．例19．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若“”是“”的充要條件，則的值為________.例20．（2022·江蘇·高一單元測試）已知（1）是否存在m∈R使是的充要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由.例21．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知命題，命題.（1）若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.（2）是否存在實數(shù)，使得是的充要條件？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【技巧總結(jié)】(1)化簡p、q兩命題，(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，(3)利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，(4)求解參數(shù)范圍．題型五：充要條件的證明例22．（2022·福建福州·高一期中）證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.例23．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求方程至少有一個負(fù)根的充要條件.例24．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若a，，p：，q：．判斷p是否為q的充要條件．例25．（2022·江蘇·高一課時練習(xí)）求證：一元二次方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數(shù)根的充要條件是q＜0.【技巧總結(jié)】(1)證明充分性；(2)證明必要性.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·浙江浙江·高一期中）已知命題p：“”，命題q：“”．則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高一期中）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（

）A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．（2022·安徽·合肥市第十中學(xué)高一期中）設(shè)集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2022·新疆吐魯番·高一期末）下列各題中，p是q的充要條件的是（

）A．p：，

q：B．p：，

q：C．p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分D．p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例5．（2022·湖北·宜昌市一中高一期中）設(shè)是一元二次方程的根，，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2022·全國·高一單元測試）已知，為任意實數(shù)，則的必要不充分條件是（

）A．且 B．或C．且 D．或7．（2022·全國·高一期末）若不等式成立的充分條件為，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·河南·南陽中學(xué)高一階段練習(xí)）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，．給出如下四個結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)，屬于同一‘類’”的充要條件是“”．其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．“且”是“”的充分不必要條件C．當(dāng)時，“”是“方程有解”的充要條件D．若P是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件10．（2022·廣東·揭陽華僑高中高一階段練習(xí)）已知p：或，q：，則a取下面那些范圍，可以使q是p的充分不必要條件（）A． B．C． D．11．（2022·安徽·高一期中）已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，下列命題正確的是（

）A．是的必要不充分條件 B．是的充要條件C．是的充分不必要條件 D．是的充要條件12．（2022·江蘇·高一單元測試）已知p：；q：.若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的值可以是（

）A．﹣2 B． C． D．三、填空題13．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，或，則p是q的________條件．14．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是______15．（2022·上海虹口·高一期末）設(shè)：；：．若是的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為______．16．（2022·上海市大同中學(xué)高一階段練習(xí)）已知或，或，若是的必要條件，則實數(shù)的取值范圍是___________.四、解答題17．（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)高一期中）已知集合，.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分條件，求的取值范圍.18．（2022·廣東·化州市第三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知其中.(1)若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.19．（2022·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在下列命題中，試判斷是的什么條件.(1)p：x2>0，q：x>0；(2)：與都是奇數(shù)；：是偶數(shù)；(3)：一元二次方程有兩個實數(shù)根，：；20．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知集合，.(1)若，求實數(shù)t的取值范圍；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)t的取值范圍．21．（2022·江蘇揚州·高一期末）已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)給出以下兩個條件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要條件．在以上兩個條件中任選一個，補充到橫線處，求解下列問題：若_____________，求實數(shù)a的取值范圍．（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）22．（2022·江蘇·高一）已知集合（1）判斷8，9，10是否屬于集合A；（2）已知集合，證明：“”的充分條件是“”；但“”不是“”的必要條件；（3）寫出所有滿足集合A的偶數(shù).1.4充分條件與必要條件【知識點梳理】知識點一：充分條件與必要條件充要條件的概念符號與的含義“若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：.充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件.②如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件.知識點詮釋：對的理解：指當(dāng)成立時，一定成立，即由通過推理可以得到.①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達(dá).知識點二：充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關(guān)系看命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件.從集合與集合間的關(guān)系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件.知識點詮釋：充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進(jìn)行：①確定哪是條件，哪是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論，③再嘗試用結(jié)論推條件，④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件.知識點三：充要條件的證明要證明命題的條件是結(jié)論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）知識點詮釋：對于命題“若，則”①如果是的充分條件，則原命題“若，則”與其逆否命題“若，則”為真命題；②如果是的必要條件，則其逆命題“若，則”與其否命題“若，則”為真命題；③如果是的充要條件，則四種命題均為真命題.【題型歸納目錄】題型一：充分條件與必要條件的判斷題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍題型五：充要條件的證明【典型例題】題型一：充分條件與必要條件的判斷例1．（2022·湖南·永州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數(shù)根”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】討論，，可得“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數(shù)根”等價于“”再根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，方程即為，解得；當(dāng)時，，得，；所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數(shù)根”等價于“”“”能推出“方程至少有一個實數(shù)根”，反之不成立；所以“”是“方程至少有一個實數(shù)根”的充分不必要條件.故選：B.例2．（2022·廣東·化州市第三中學(xué)高一期末）已知命題p：x為自然數(shù)，命題q：x為整數(shù)，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩個命題中的取值范圍，分析是否能得到pq和qp．【詳解】若x為自然數(shù)，則它必為整數(shù)，即p?q．但x為整數(shù)不一定是自然數(shù)，如x＝－2，即qp．故p是q的充分不必要條件．故選：A.例3．（2022·上海·上外附中高一期中）“”是關(guān)于的不等式的解集為R的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】B【解析】【分析】取，時可判斷充分性；當(dāng)不等式的解集為R時，分，，討論可判斷必要性.【詳解】若，取時，不等式，此時不等式解集為；當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)，且時，不等式，所以，若關(guān)于的不等式的解集為R，則.綜上，“”是關(guān)于的不等式的解集為R的必要非充分條件.故選：B例4．（2022·湖南·高一期中）2022年3月21日，東方航空公司MU5735航班在廣西梧州市上空失聯(lián)并墜毀．專家指出：飛機墜毀原因需要找到飛機自帶的兩部飛行記錄器（黑匣子），如果兩部黑匣子都被找到，那么就能形成一個初步的事故原因認(rèn)定.3月23日16時30分左右，廣西武警官兵找到一個黑匣子，雖其外表遭破壞，但內(nèi)部存儲設(shè)備完整，研究判定為駕駛員座艙錄音器．則“找到駕駛員座艙錄音器”是“初步事故原因認(rèn)定”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】因為兩部黑匣子都被找到，就能形成一個初步的事故原因認(rèn)定，根據(jù)充分與必要條件的定義即可判斷出結(jié)果．【詳解】因為兩部黑匣子都被找到，就能形成一個初步的事故原因認(rèn)定，則“找到駕駛員座艙錄音器”不能形成“初步事故原因認(rèn)定”；而形成“初步事故原因認(rèn)定”則表示已經(jīng)“找到駕駛員座艙錄音器”，故“找到駕駛員座艙錄音器”是“初步事故原因認(rèn)定”的必要不充分條件，故選：C．例5．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則甲是丁的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】記甲、乙、丙、丁各自對應(yīng)的條件構(gòu)成的集合分別為，，，，根據(jù)題目條件得到集合之間的關(guān)系，并推出D，，所以甲是丁的充分不必要條件.【詳解】記甲、乙、丙、丁各自對應(yīng)的條件構(gòu)成的集合分別為A，，，，由甲是乙的充分不必要條件得，B，由乙是丙的充要條件得，，由丁是丙的必要不充分條件得，D，所以D，，故甲是丁的充分不必要條件.故選：A.【技巧總結(jié)】1.判斷充分條件、必要條件的注意點(1)明確條件與結(jié)論.(2)判斷若p，則q是否成立時注意利用等價命題.(3)可以用反例說明由p推不出q，但不能用特例說明由p可以推出q.2.充分條件、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法：①確定誰是條件，誰是結(jié)論;②嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件;③嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.(2)命題判斷法：①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件;②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件.題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍（多選題）例6．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列條件中是“”的充分條件的是（

）A．B．C．D．且【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)充分條件的定義依次討論各選項即可求解.【詳解】對于A選項，因為，故，所以A選項正確；對于B選項，因為，故不成立，故B選項錯誤；對于C選項，因為，故，故C選項正確；對于D選項，因為且，故，即：，故D選項正確.所以A，C，D中的條件均是“”的充分條件，B中的條件不是“”的充分條件.故選：ACD例7．（2022·河南信陽·高一期末）若“”是“”的充分不必要條件，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】轉(zhuǎn)化“”是“”的充分不必要條件為，分析即得解【詳解】由題意，“”是“”的充分不必要條件故故故選：B（多選題）例8．（2022·山東·煙臺二中高一階段練習(xí)）若不等式成立的充分條件是，則實數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】CD【解析】【分析】求出不等式成立的充要條件，然后根據(jù)充分條件求出參數(shù)范圍，然后判斷．【詳解】，則，．故選：CD．例9．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)是的充分不必要條件，可得，從而可得出答案.【詳解】解：因為是的充分不必要條件，所以，所以.故答案為：.例10．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高一期中）已知集合，或．(1)當(dāng)時，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）借助數(shù)軸即可確定集合與集合的交集（2）由于，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系即可求解(1)當(dāng)時，集合,或，或(2)若，且“”是“”充分不必要條件，因為，則解得.故的取值范圍是:例11．（2022·新疆·兵團第十師北屯高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.(1)若a=3，求；(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）將a=3代入求出集合P，Q，再由補集及交集的意義即可計算得解.（2）由給定條件可得，再根據(jù)集合包含關(guān)系列式計算作答.(1)因a=3，則P={x|4≤x≤7}，則有或，又Q={x|-2≤x≤5}，所以.(2)“x∈P”是“x∈Q”充分不必要條件，于是得，當(dāng)a+1>2a+1，即a<0時，，又，即，滿足，則a<0，當(dāng)時，則有或，解得或，即，綜上得：，所以實數(shù)a的取值范圍是.例12．（2022·黑龍江·哈師大附中高一期末）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)由已知，或，所以或；(2)“”是“”的充分不必要條件，則，解得，所以的范圍是．【技巧總結(jié)】(1)化簡p、q兩命題，(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，(3)利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，(4)求解參數(shù)范圍．題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍例13．（2022·廣東·梅州市梅州中學(xué)高一練習(xí)）已知集合，或，，若“”是“”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念可得集合A與B的包含關(guān)系，畫出數(shù)軸即可得不等式組從而求出a的范圍．【詳解】∵“”是”的必要條件，∴，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，由圖可知或，解得或，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為或．例14．（2022·江西·豐城九中高一階段練習(xí)）已知集合或，集合(1)若，且，求實數(shù)的取值范圍．(2)已知集合，若是的必要不充分條件，判斷實數(shù)是否存在，若存在求的范圍【答案】(1)；(2)存在，.【解析】【分析】（1）由集合交運算可得，根據(jù)集合的包含關(guān)系并討論是否為空集，列不等式組求參數(shù)范圍；（2）由題意，列不等式組求參數(shù)m范圍.(1)由題設(shè)，又，當(dāng)時，，可得.當(dāng)時，，可得.綜上，a的范圍.(2)由題意，而，所以，結(jié)合（1）有(等號不同時成立)，可得.故存在實數(shù)且.例15．（2022·徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一階段練習(xí)）已知集合，，全集．(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】（1）根據(jù)補集與交集的運算性質(zhì)運算即可得出答案.（2）若“”是“”的必要條件等價于.討論是否為空集，即可求出實數(shù)的取值范圍.(1)當(dāng)時，集合，或，．(2)若“”是“”的必要條件，則，①當(dāng)時，；②，則且，.綜上所述，或．例16．（2022·河北滄州·高一開學(xué)考試）已知或或，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】由題設(shè)、間的關(guān)系可得，根據(jù)集合A、B的描述列方程組求m的參數(shù)即可.【詳解】由是的必要不充分條件，所以，則或，解得：.的取值范圍是.【技巧總結(jié)】(1)化簡p、q兩命題，(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，(3)利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，(4)求解參數(shù)范圍．題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍例17．（2022·全國·高一專題練習(xí)）方程至少有一個負(fù)實根的充要條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】【分析】按和討論方程有負(fù)實根的等價條件即可作答.【詳解】當(dāng)時，方程為有一個負(fù)實根，反之，時，則，于是得；當(dāng)時，，若，則，方程有兩個不等實根，，即與一正一負(fù)，反之，方程有一正一負(fù)的兩根時，則這兩根之積小于0，，于是得，若，由，即知，方程有兩個實根，必有，此時與都是負(fù)數(shù)，反之，方程兩根都為負(fù)，則，解得，于是得，綜上，當(dāng)時，方程至少有一個負(fù)實根，反之，方程至少有一個負(fù)實根，必有.所以方程至少有一個負(fù)實根的充要條件是.故選：C例18．（2022·廣西欽州·高一期末）若“”是“”的充要條件，則實數(shù)m的取值是_________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)充要條件的定義即可求解.【詳解】，則{x|}＝{x|}，即.故答案為：0.例19．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若“”是“”的充要條件，則的值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知，由此求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，解得，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.例20．（2022·江蘇·高一單元測試）已知（1）是否存在m∈R使是的充要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）依題意，即可得到方程組，由方程組無解即可判斷；（2）依題意可得，再對與分兩種情況討論，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：，．（1）要使是的充要條件，則，即

此方程組無解，則不存在實數(shù)，使是的充要條件；（2）要使是的必要條件，則，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，要使，則有解得，所以，綜上可得，當(dāng)實數(shù)時，是的必要條件．例21．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知命題，命題.（1）若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.（2）是否存在實數(shù)，使得是的充要條件？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）集合，集合.因為是的充分條件，所以，∴集合可以分為或兩種情況來討論：當(dāng)時，滿足題意，此時，解得：；當(dāng)時，要使成立，需滿足，綜上所得，實數(shù)的取值范圍或.（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得是的充要條件，那么，則必有，解得，綜合得無解.故不存在實數(shù)，使得，即不存在實數(shù)，使得是的充要條件.【點睛】本題考查充分必要條件，集合間的關(guān)系，根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.【技巧總結(jié)】(1)化簡p、q兩命題，(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，(3)利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，(4)求解參數(shù)范圍．題型五：充要條件的證明例22．（2022·福建福州·高一期中）證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)充要條件的定義，分別證明充分性和必要性即可求證.【詳解】充分性：若，則關(guān)于的方程有一正一負(fù)根，證明如下：當(dāng)時，，所以方程有兩個不相等的實根，設(shè)兩根分別為，，則，所以方程有一正一負(fù)根，故充分性成立，必要性：若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，證明如下：設(shè)方程一正一負(fù)根分別為，，則，所以，所以若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，故必要性成立，所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.例23．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求方程至少有一個負(fù)根的充要條件.【答案】且【解析】【分析】利用充要條件的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】必要性：設(shè)，為方程的兩根.∵，∴，∴方程至少有一個負(fù)根應(yīng)滿足：當(dāng)正負(fù)根各有一個時，則，即，解得.當(dāng)有兩個負(fù)根時，則解得，充分性：當(dāng)且，當(dāng)時，，此時兩根均為負(fù)；當(dāng)時，，此時方程正負(fù)根各有一個,綜上所述，方程至少有一個負(fù)根的充要條件是且.例24．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若a，，p：，q：．判斷p是否為q的充要條件．【答案】p是q的充要條件【解析】【分析】利用充要條件的定義判斷即可【詳解】p是q的充要條件．理由：若，則，即；若，則，即，故，所以p是q的充要條件．例25．（2022·江蘇·高一課時練習(xí)）求證：一元二次方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數(shù)根的充要條件是q＜0.【答案】證明見解析【解析】【分析】充分性：根據(jù)q＜0，得出Δ＝p2－4q＞0，即充分性滿足；必要性：利用兩根之積即可證明.【詳解】證明①充分性：因為q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，故方程x2＋px＋q＝0有兩個不相等的實數(shù)根．設(shè)方程的兩根為x1，x2.因為x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數(shù)根．②必要性：因為方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數(shù)根，設(shè)兩根為x1，x2，所以x1·x2＜0.因為x1·x2＝q，所以q＜0.由①②，命題得證．【技巧總結(jié)】(1)證明充分性；(2)證明必要性.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·浙江浙江·高一期中）已知命題p：“”，命題q：“”．則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分析得到命題p：“或”再判斷即可【詳解】命題p：令，可得，即，故或，解得或，故p是q的必要不充分條件故選：B2．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高一期中）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（

）A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要條件判斷即可得解．【詳解】由題意可知：“返回家鄉(xiāng)”則可推出“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”必要條件，故選：．3．（2022·安徽·合肥市第十中學(xué)高一期中）設(shè)集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的包含與充分必要條件的關(guān)系判斷．【詳解】由題意集合是集合的真子集，因此“”是“”的必要不充分條件，故選：B．4．（2022·新疆吐魯番·高一期末）下列各題中，p是q的充要條件的是（

）A．p：，

q：B．p：，

q：C．p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分D．p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，當(dāng)時，滿足，所以充分性不成立，反之：當(dāng)時，可得，所以必要性成立，所以是的必要不充分條件，不符合題意；對于B中，當(dāng)時，可得，即充分性成立；反之：當(dāng)時，可得，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件，不符合題意；對于C中，若四邊形是正方形，可得四邊形的對角線互相垂直且平分，即充分性成立；反之：若四邊形的對角線互相垂直且平分，但四邊形不一定是正方形，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件，不符合題意；對于D中，若兩個三角形相似，可得兩個三角形三邊成比例，即充分性成立；反之：若兩個三角形三邊成比例，可得兩個三角形相似，即必要性成立，所以是的充分必要條件，符合題意.故選：D.5．（2022·湖北·宜昌市一中高一期中）設(shè)是一元二次方程的根，，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】代入進(jìn)入方程，可證明充分性；將代入因式分解，可證明必要性【詳解】由題意，若是一元二次方程的根，故，即p可以推出q，充分性成立；反之，若，則，即，即是一元二次方程的根，即q可以推出p，必要性成立；即p是q的充要條件，故選：C6．（2022·全國·高一單元測試）已知，為任意實數(shù)，則的必要不充分條件是（

）A．且 B．或C．且 D．或【答案】B【解析】【分析】由充分必要條件的定義及特例即得.【詳解】由且可推出，故A錯誤；若或不成立即且，則，即不成立，所以由可得或；令，滿足或，不成立即由或推不出，故B正確；令，成立，顯然且不成立，或也不成立，故CD錯誤.故選：B7．（2022·全國·高一期末）若不等式成立的充分條件為，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知中不等式成立的充分條件是，令不等式的解集為A，可得，可以構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可得到答案.【詳解】解：不等式成立的充分條件是，設(shè)不等式的解集為A，則，當(dāng)時，，不滿足要求；當(dāng)時，，若，則，解得.故選：A.8．（2022·河南·南陽中學(xué)高一階段練習(xí)）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，．給出如下四個結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)，屬于同一‘類’”的充要條件是“”．其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“類”的定義計算后可判斷①②④的正誤，根據(jù)集合的包含關(guān)系可判斷③的正誤，從而可得正確的選項.【詳解】因為，故，故①錯誤，而，故，故②正確.若整數(shù)，屬于同一“類”，設(shè)此類為，則，故即，若，故為4的倍數(shù)，故除以4的余數(shù)相同，故，屬于同一“類”，故整數(shù)，屬于同一“類”的充要條件為，故④正確.由“類”的定義可得，任意，設(shè)除以4的余數(shù)為，則，故，所以，故，故③正確.故選：C.【點睛】方法點睛：對于集合中的新定義問題，注意根據(jù)理解定義并根據(jù)定義進(jìn)行相關(guān)的計算，判斷兩個集合相等，可以通過它們彼此包含來證明.二、多選題9．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．“且”是“”的充分不必要條件C．當(dāng)時，“”是“方程有解”的充要條件D．若P是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件【答案】ABD【解析】【分析】對命題進(jìn)行正反邏輯推理，并結(jié)合四種條件的定義即可判斷答案.【詳解】對A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，滿足成立，但顯然得不到.所以A正確；對B，由且顯然可以得到，但若，滿足，但不滿足且.所以B正確；對C，時，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也無法得到.所以C錯誤.對D，若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件.所以D正確.故選：ABD.10．（2022·廣東·揭陽華僑高中高一階段練習(xí)）已知p：或，q：，則a取下面那些范圍，可以使q是p的充分不必要條件（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】【詳解】p：或，q：，q是p的充分不必要條件，故，范圍對應(yīng)集合是集合的子集即可，對比選項知AB滿足條件.故選：AB.11．（2022·安徽·高一期中）已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，下列命題正確的是（

）A．是的必要不充分條件 B．是的充要條件C．是的充分不必要條件 D．是的充要條件【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義逐項判斷可得出結(jié)論.【詳解】由題意得，，，，，，所以，，，所以是的充要條件，是的充要條件，是的充要條件，故選：BD.12．（2022·江蘇·高一單元測試）已知p：；q：.若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的值可以是（

）A．﹣2 B． C． D．【答案】BC【解析】根據(jù)集合關(guān)系將條件進(jìn)行化簡，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論.【詳解】由題意得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為p是q的必要不充分條件，所以A，所以時滿足題意，當(dāng)或時，也滿足題意，解得或，故選：BC.【點睛】本題考查利用集合間的關(guān)系判斷命題間充分必要條件，屬于中檔題.三、填空題13．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，或，則p是q的________條件．【答案】充分不必要【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】命題“若p，則q”：假設(shè)不正確，即且，則有與已知矛盾，即假設(shè)是錯的，于是得q是正確的，因此，“若p，則q”是真命題，即p是q的充分條件，命題“若q，則p”：顯然當(dāng)時，有，而滿足或，于是得“若q，則p”是假命題，即p不是q的必要條件，所以是q的充分不必要條件．故答案為：充分不必要14．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)是的充分不必要條件，可得，從而可得出答案.【詳解】解：因為是的充分不必要條件，所以，所以.故答案為：.15．（2022·上海虹口·高一期末）設(shè)：；：．若是的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得所對集合包含于所對集合，再利用集合的包含關(guān)系列式作答.【詳解】令所對集合為：，所對集合為：，因是的充分條件，則必有，于是得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：16．（2022·上海市大同中學(xué)高一階段練習(xí)）已知或，或，若是的必要條件，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】是的必要條件，即，分，兩種情