高中數(shù)學函數(shù)題型

高中數(shù)學函數(shù)題型

篇一：高中數(shù)學函數(shù)：題型分類

高中數(shù)學函數(shù)學生常見問題以及函數(shù)常見題型、解法指導

一、學生常見問題：

（一）、認知層面的問題：

這個問題是在高一學習函數(shù)時就一直在困擾學生的問題。

我們要了解高一學生在學習數(shù)學時產(chǎn)生困難的原因，首先要

了解學生的數(shù)學認知結構。即學生在對數(shù)學對象、數(shù)學知識

和數(shù)學經(jīng)驗感知和理解的基礎上形成的一種心理結構。通俗

地說：數(shù)學認知結構就是人們按照自己的經(jīng)驗與理解，根據(jù)

自己的感知、記憶、思維的特點，把數(shù)學知識在大腦中組合

而成的具有內部規(guī)律的整體結構。數(shù)學認知結構受個體認知

特點的制約，具有濃厚的認知主體性與鮮明的個性色彩。高

一新生在學習數(shù)學時的困難正是由于數(shù)學認知結構的特點

所決定。高一新生在學習高中數(shù)學時，碰到的困難比如無法

理解函數(shù)的概念，無法建立對應的觀念，對集合的概念理解

不夠透徹等問題，導致高中數(shù)學的學習存在很大的困難。

（二）、基礎知識層面的問題：

在進行高三復習的時候，同學們普遍的反映都不太好。原

因在于，同學們感覺學校老師復習得很快。學校老師的講課

思路是先大致的把知識點串講一遍，接著在課上做一些例

題，課后給同學發(fā)一些卷子以做為練習，這些練習在做完之

后老師也不一定會仔細的講解，知識點的落實也不太扎實。

因此同學感覺老師的復習很快。（因此這里學生會出現(xiàn)的問

題就是基礎知識不扎實）

那么我們在具體的操作中，首先應該了解學生復習的程

度。在總復習的過程中側重于整體性，所以可以先了解一下

學生是否有一個整體的框架。（框架的作用是幫助PEC檢查

學生的知識體系是否完善）

函數(shù)被分成了兩塊：橫軸和縱軸。（參見策略庫函數(shù)基本

概念第一部分）

接下來，就是要求學生能夠對這個表格里的每個點都比較

了解。（框架完善了，就要看基礎知識點是否真的落實）

首先這六大基礎函數(shù)，學生是否都了解呢？包括：正比例

函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)

函數(shù)。只有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是在高中的時候新學的，其

他函數(shù)都是以前的時候就學過的。但是在考試當中會結合到

一起，尤其是二次函數(shù)。抽象函數(shù)就是在考察的時候只告訴

函數(shù)的一些基本性質，進行一些證明等等。復合函數(shù)就是

f?g?x??這種形式的函數(shù)，因此在跟學生交流的時候，如果學

生沒有這樣一個整體知識框架，可以讓學生首先熟悉這一塊

的內容，因為這是屬于知識層面比較基礎的部分。函數(shù)性質

和圖像的內容，同樣要看學生是否都知道，如果掌握的不是

特別清楚，那么都屬于基礎知識層面的問題。

（三）、（接下來）基本題型的問題

可以按照表格中體現(xiàn)出的順序來考察學生基本題型的能

力。

（1）定義域相關的基本題型

兩類：

1.給定函數(shù)式，在函數(shù)式當中有些限定性的條件，如存在,

以及對數(shù)log要求大于零，以及存在分母（分母不能為零）

等等基本的方式去求定義域。

2.復合函數(shù)求定義域的問題。復合函數(shù)求定義域是很嚴格

的。就是這樣一層一層的函數(shù)順序下來要求的。如f?g?xl??

和f?t?x2??,首先就要求其中g?xl?和t?x2?必須符合f?x?

的定義域的要求；其次我們才去看xl和x2各自要按照哪個

函數(shù)要求去求定義域，xl需要符合函數(shù)g?x?的定義域要求,

x2需要符合函數(shù)t?x?的定義域要求。其實就是兩點：首先,

只要是同一函數(shù)對應法則，括號內的式子的范圍都是一樣

的。第二點就是求定義域，是求最核心的自變量x的范圍。

（2）值域相關的基本題型（其實關鍵的就是幾種

方法）

1.二次函數(shù)的值域問題。而且這是最為關鍵的問題。簡單

的二次函數(shù)，就可以通過頂點和最值等來求值域。困難的地

方在于函數(shù)有參數(shù)的問題。帶有參數(shù)的二次函數(shù)值域的問題

也被我們稱為限定性的二次函數(shù)求值域問題。也就是說，自

變量X的取值不是全體實數(shù)R,而是在一定范圍之內，如

x??a,b?,求函數(shù)的值域的問題。解決的辦法只有一種，即分

類討論。分類討論時需要注意的是，對稱軸x??b是在a的

左端、在b的右端還是位于區(qū)間?a,b?之內，因此需要分類討

2a

論的就是分這三類。（這個問題只要反復的練是可以達到

效果的）

2.換元法（也是最常用的方法），轉換成二次函數(shù)。這種題

的特點是，題目中的自變量的次數(shù)11關系是倍半關系，如

x,,2,x2,都可以利用換元的方法把題目轉換成上面第一類的

問題。XX

3.利用函數(shù)的單調性求值域。當前兩種辦法不能用的時候,

都可以考慮函數(shù)的單調性。因此這里存在函數(shù)是否存在單調

性的問題。有兩種方式，一種就是平時題目的積累；一種就

是猜測，去試這個函數(shù)的單調性（因為知道單調性要去證明單

調性并不是一個困難的問題），單調性的利用其實也是在利用

函數(shù)的圖像。

4.運用均值不等式。但是均值不等式適用的范圍比較窄，

且函數(shù)的形式也是比較固定的。一

11般來說都是函數(shù)帶有分母的。如y?x?或者y?x?l?等這

樣的形式可以利用均值不等式。xx?l

5.數(shù)形結合。這種類型的題目也是比較特殊的。一般的形

式如y?ax2?bx?c?mx2?nx?L兩個根號的和的形式。根號下

的函數(shù)可以轉化為點線的距離和兩點間的距離。

6.反解法。這種方法也就是說這個函數(shù)的定義域是比較清

晰的，就可以寫出反函數(shù)，利用反函數(shù)來求原函數(shù)的值域。

這種方法要求原函數(shù)得存在反函數(shù)，即y?f?x?的x與y是一

一對應的。這樣反函數(shù)才存在，才可以反解。

mx2?n7."?”法。這種方法適用于y?2這種形式的函數(shù)，“?”

法就是把分母乘到左邊ax?bx?c

去,然后整理成一個關于x降塞排列的方程,然后利用??0

來求y的取值范圍。

這些方法中，常用的就是1、2、3、7這幾種方法。其他

的幾種就題型也是比較單一的。

（3）求解析式（方法比較少，考得也不多）

1.配和湊

利用它的形式，湊出f??????k???2這樣的形式，這要求

學生做題目比較有感覺。

2.待定系數(shù)法。即設f?x??ax2?bx?c,再利用已知條件把

a,b,c的取值確定。

（4）單調性、周期性、奇偶性、對稱性

1.首先，得知道這幾個性質的概念各自的確定的含義。學

生面臨的問題就是比較偏向于用一個特定的數(shù)代入函數(shù)，以

此來判斷函數(shù)的單調性或者奇偶性等。其實核心在于他們對

于恒成立這個概念的理解存在偏差，比較模糊。因為函數(shù)的

性質是對于定義域范圍內任意的X都成立的。因此，在證明

的過程中，不能用一些特定的數(shù)代入函數(shù)，因為這只是猜測

函數(shù)的性質的一種方法。

2.各種性質的代數(shù)形式。

單調性：定義域內xl?x2,則有f?xl??f?x2?單調增

奇偶性：定義域內f??x??f?x?為偶函數(shù)

f??x???f?x?為奇函數(shù)

周期性：定義域內f?x?a??f?x?a為周期

對稱性：包括關于軸對稱，關于點對稱，

如關于函數(shù)關于x?a對稱，則f?a?x??f?a?x?

這個可以讓學生去歸納。

3.解題時，題目基本都是抽其中的一條性質或者兩條性質

結合起來考查。

??0,0）對稱的，如x???l,1?沒有奇偶性?1.定義域是關于

原點（？如說到奇偶性?2.f??x???f?x?

?1.奇函數(shù)：關于（0,0）對稱?3.圖像????2.偶函數(shù)：關于

y軸對稱？

如周期性在三角函數(shù)里運用的比較多

另外就對稱性就跟剛才需要學生去總結的內容相同。

二、解決學生認知障礙的策略：

(1)在高一新學期開始之時，做好如下幾件事：一是要

對學生進行高中數(shù)學知識結構特點和知識系統(tǒng)構成的講解，

使其盡快進入角色，盡快適應高中數(shù)學知識學習的要求。二

是要幫助學生盡快調整相關心理結構，以盡快適應高中數(shù)學

的認知結構?？梢詮恼J知方法、認知結構及認知層次等方面,

給學生講清初中與高中的認知差異及調整方法，從而幫助學

生及早做好心理上的準備。三是要從高中與初中數(shù)學的思想

方法和學習方法等方面給學生講清二者之間的差異，讓學生

了解高中數(shù)學的思想方法和學習方法，為學習高中數(shù)學知識

作好思想和方法上的準備。具體可以從初、高中的教材教法、

思想方法和學習方法的差異入手進行調整，與高中比較，初

中明顯存在著時間多、形象記憶多、強化訓練多，教材內容

少、抽象思維少、靈活應用少；讓學生了解在初中通過強化

記憶和題海戰(zhàn)術來提高成績是可能的，甚至是行之有效的方

法。但將此類方法克隆到高中的學習中則是行不通的，甚至

是根本不可能實現(xiàn)的。

(2)注重對比。從學生初中的數(shù)學知識和數(shù)學經(jīng)驗與新

的高中數(shù)學知識的矛盾入手幫助學生消除數(shù)學認知障礙，盡

快實現(xiàn)高中數(shù)學知識與初中數(shù)學知識和知識經(jīng)驗的重新組

織。在這方面要充分發(fā)揮教師的主導作用，充分利用課堂教

學的便利條件，在課堂教學過程中要有意識地進行新、舊知

識和新、舊方法的對照、比較。讓學生通過自己的觀察、比

較、反思、總結、批判達到吸收、消化、升華的目的。實現(xiàn)

新的數(shù)學知識與初中的數(shù)學經(jīng)驗、數(shù)學知識互相促進、協(xié)調

發(fā)展。

(3)對于那些習慣于知識堆積的同學要有意識地對其進

行高中數(shù)學思維特征及思想方法的輔導。一方面要積極發(fā)揮

其直觀、形象記憶好的優(yōu)勢，另一方面要通過課堂教學發(fā)展

其抽象、形式的思維方法，樹立學習信心，培養(yǎng)學習興趣，

以期盡快消除數(shù)學認知的障礙，走出數(shù)學學習的誤區(qū)。

(4)形象直觀。由數(shù)學認知結構層次不同造成的數(shù)學認

知障礙，解決方法是教師要通過課堂教學積極地加以引導，

課堂教學要充分利用學生的直觀、形象思維好的特點，在抽

象性較強的概念教學時要通過創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情景與學習

情景從實際問題和形象化入手，直觀、形象的自然引入，盡

量避免過多的抽象性講解，幫助學生盡可能的縮短適應高中

數(shù)學認知結構的過程，減少由于數(shù)學認知結構的層次不同所

帶來的認知障礙的負面影響。

(5)針對學生由于數(shù)學認知結構的動態(tài)性所造成的認知

障礙，還是要從動態(tài)性入手加以解決。首先要從其心理上加

以調整，要學生明確這種心理障礙的存在是客觀事物發(fā)展的

必然規(guī)律，是人人都必須面對的客觀事實，是每一個同學都

會遇到的必然矛盾，它的存在并不可怕。關鍵是我們如何面

對。正確的態(tài)度是認真對待、理智應對，盡快找到解決問題

的方法，盡早消除此類認知障礙。其次在日常教育教學過程

中要充分發(fā)揮數(shù)學認知結構動態(tài)能動性的積極作用，當新的

問題情景出現(xiàn)的時候要積極引導學生用他們過去已有的數(shù)

學認知結構對所面臨的問題進行加工和處理，在這個過程中

教師要通過創(chuàng)設不同的問題情景，強化新、舊知識結構和新、

舊認知結構之間

的聯(lián)系，引導學生不斷的補充、修正過去已有的知識結構

和認知結構，加快建立新的知識結構和認知結構，以盡快適

應高中數(shù)學知識結構和認知結構的要求。

心理學的研究表明，認知一致性是人們認知結構發(fā)展的心

理機制。無論是新概念的引入、新命題的發(fā)現(xiàn)，還是新問題

的解決，都能導致學生的數(shù)學認知結構出現(xiàn)失衡。而在學生

的學習過程中，通過概念的掌握、技能的形成以及數(shù)學問題

的解決，其數(shù)學認知結構將會取得新的平衡。在舊的認知結

構平衡被打破、新的認知結構平衡重新建立的過程中，數(shù)學

教師起著重要的作用，只要我們能持之以恒，不斷研究，就

能夠在一定程度上消除數(shù)學認知障礙，實現(xiàn)認知結構的平衡

與和諧，從而實現(xiàn)有效學習，達到掌握學習的目的。

函數(shù)的定義域及其求法

函數(shù)的定義域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之

一.這里主要幫助考生靈活掌握求定義域的各種方法，并會應

用用函數(shù)的定義域解決有關問題.其中復合函數(shù)定義域的問

題就是定義域中最復雜的問題，核心在于對函數(shù)的定義域概

念的理解。

(單純考察定義域)例1.

已知函數(shù)f(x)?M,g(x尸ln(l?x)的定義域為N,則MAN=

(A){x|x??l}(B){x|x?l}(C){x|?l?x?l}(D)?

命題意圖：本題主要考查含有分式、無理式和對數(shù)的函數(shù)

的定義域的求法.

解：

函數(shù)f(x)的定義域M=?xx?l?,g(x)=ln(l?x)的定義域

N=?xx??l?,AMnN={x|?l?x?l}.故選C

(考察常見函數(shù)的定義域)例2.

函數(shù)y()

(A)(3,+oo)(B)[3,+oo)(C)(4,+oo)(D)[4,+oo)

命題意圖：本題主要考查含有無理式和對數(shù)的函數(shù)的定

義域的求法.

x?0解：由？？?log2x?2?0?x?4.,故選D.

(復合函數(shù)的定義域)例3.

⑴若函數(shù)

⑵若

⑶已知的定義域是[0,1],求的定義域是[-1,1],求函數(shù)

定義域是，求的定義域；的定義域；定義域.

點評：解決復合函數(shù)問題，一般先將復合函數(shù)分解，即它

是哪個內函數(shù)和哪個外函數(shù)復合而成的.解答：

⑴函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)

復合而成的函數(shù).

篇二：高一數(shù)學函數(shù)經(jīng)典練習題（含答案）

《函數(shù)》復習題

一、求函數(shù)的定義域

1、求下列函數(shù)的定義域：

（Dy?

（2）y?

⑶y?

11?1

x?l

?（2x?l）0?

2、

3

2)的定義域4、的取值范圍。

5(1)

5)(5)x

(9)y?⑩y?4(ll)y?x

2x2?ax?b

6、已知函數(shù)f(x)?的值域為[1,3],求a,b的值。

x2?l

三、求函數(shù)的解析式

1、已知函數(shù)f(x?l)?x2?4x,求函數(shù)f(x),f(2x?l)的解析

式。

2、已知f(x)是二次函數(shù)，且f(x?l)?f(x?l)?2x2?4x,求f(x)

的解析式。

3

4、設f(x)f(x)在R5、設f(x)

求f(x)

,6⑴y?x

7、函數(shù)f(2

8、函數(shù)y?

五、綜合題

9、判斷下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為()⑴

yi?

(x?3)(x?5)

,y2?x?5；⑵yl?x?lx?l,y2?(x?l)(x?l)；

x?3

(3)f(x)?x,g(x)?

x2；(4)f(x)?x,g(x)?(5)fl(x)?(2x?5)2,f2(x)?2x?5o

A、(1)、(2)B、(2)、(3)C、(4)D、(3)、(5)

10、若函數(shù)f(x)=

x?4

的定義域為R,則實數(shù)m的取值范圍是()

mx2?4mx?3

333

A、(—oo,4-oo)B、(0,]C、(,+oo)D>[0,)

444

11

、若函數(shù)f(x)?的定義域為R,則實數(shù)m的取值范圍是()

(A)0?m?4(B)0?m?4(C)m?4(D)0?m?412、對

于？l?a?l,不等式x2?(a?2)x?l?a?0恒成立的x的取值范圍

是()(A)0?x?2(B)x?0或x?2(C)x?l或x?3

(D)?l?x?l

13、函數(shù)

f(x)A、[?2,2]

14、函數(shù)f(x)AC15、函數(shù)f(x)16、已知函數(shù)口7、已知函

數(shù)yl8、把函數(shù)y?19、求函數(shù)f(

20、若函數(shù)f(x)?x?2x?2,當時的最小值為g(t),求

函數(shù)g(t)當t?[-3,-2]時的最值。

2

21、已知a?R,討論關于x的方程x2?6x?8?a?0的根的情

況。

22、已知

12?a?l,若f(x)?ax在區(qū)間[1,3]上的最大值為M(a),最

小值為N(a),令?2x?13

o(1)求函數(shù)g(a)的表達式；(2)判斷函數(shù)

g(a)g(g(a)?M(a)?N(a)

23、定義在R上的函數(shù)y?f(x),當x?0時，f(x)?L且對

任意a,b?R,f(a?b)?f(a)f(b)0

⑴求f(0)；R,fx)?O；⑶求證：f(x)在R上是增函數(shù)；⑷

若f(x)f(2x?x2)?L求x的取值范圍。

函數(shù)練習題答案

一、函數(shù)定義域：

1、(1){x|x?5或x??3或x??6}(2){x|x?0}(3){x]?2?x?2

且x?0,x?

1

,x?l)2

2、[4,9]3、[0,];(??,?]?[,??)4、?l?m?l二、

函數(shù)值域：

5、(1){y|y??4}(2)y?[0,5](3){y|y?3)(4)(5)

y?[?(9)y?6、a??2,b?l>f(x)?x2?

4、f(x)?x(1521312

7

43

6、(1(37、［0,1］五、綜合題:

1418、解：對稱軸為x?a(1)a?0時，f(x)min?f(0)??l,

f(x)max?f(2)?3?4a

(2)0?a?lf(x)min?f(a)??a?l,f(x)max?f(2)?3?4a(3)

l?a?2時，f(x)min?f(a)??a?l,f(x)max?f(0)??l(4)a?2

時，f(x)min?f(2)?3?4a,f(x)max?f(0)??l

22

篇三：高中數(shù)學函數(shù)及其表示典型經(jīng)典例題精講精練

函數(shù)及其表示

考點一求定義域的幾種情況

①若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；

②若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實

數(shù)集；

③若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內的式子

大于或等于0的實數(shù)集合；④若f(x)是對數(shù)函數(shù)，真數(shù)應大

于零。

⑤.因為零的零次塞沒有意義，所以底數(shù)和指數(shù)不能同時

為零。

⑥若f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，則函數(shù)的定義

域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；⑦若f(x)是由實際

問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應符合實際問題考

點二映射個數(shù)公式Card(A)=m,card(B)=n,m,n?N

9*

，則從A到B的映射個數(shù)為

n

m

O簡單說成“前指后底”。

方法技巧清單

方法一函數(shù)定義域的求法

2.(2009江西卷理)函數(shù)

y?

的定義域為()

A.(?4,?1)B.(?4,1)C.(?1,1)D.(?1,1]

解析由？?x?l?0??x2

?3x?4?0???x??l

*

?4?x?l??l?x?l.故選C

1.

下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是()A.y=x

5

和

2

B.y=ln

e

x

和

y?e

Inx

C.

y?

?x?l??x?3?x?l和y??x?3?D.y?xO和y?l

X

2.函數(shù)y=f(x)的圖像與直線x=2的公共點個數(shù)為

A.0個B.1個(：.0個或1個D.不能確定3.已知函數(shù)

y=

X

2

?2定義域為??1,0.1,2?,則其值域為

f(x)?{g(x)?x?4,x?g(x),

2(2010天津文數(shù))設函數(shù)g(x)?x2

?2(x?R),

g(x)?x,x?g(x).貝!1f(x)的值域是

(A)

9?9??9?

(B)[0,??)(C)[?,??)(D)?,0?(2,??)?,0?(l,??)??4?4???4??

222???x?2?(x?4),x?x?2?x?2,x??l或x?2f(x)?2,f(x)?22

???x?2?x,x?x?2?x?2?x,?l?x?2

【解析】依題意知

ii求分段函數(shù)函數(shù)值

3.(2010湖北文數(shù))3.已知函數(shù)

?log3x,x?01

,貝!|f(f())?f(x)??x

9?2,x?0

C.-4

D-

A.4B.

1

4

14

【解析】根據(jù)分段函數(shù)可得f()?log3iii解分段函數(shù)不等式

4.(2009天津卷文)設函數(shù)

19111

??2,則f(f())?f(?2)?2?2?,所以B正確.994

?x2?4x?6,x?0

則不等式f(x)?f⑴的解集是()f(x)??

?x?6,x?0

A.(?3,l)?(3,??)B.(?3,l)?(2,??)C.(?l,l)?(3,??)

D.(??,?3)?(l,3)答案A解析由已知，函數(shù)先增后減再增當x

解得x

?0,f(x)?2f(l)?3令f(x)?3,

?l,x?3o當x?0,x?6?3,x??3故f(x)?f(l)?3,解得?3?x?l

或x?3

5.(2009天津卷理)已知函數(shù)

?x2?4x,

f(x)??2

?4x?x,

x?0x?0

若

f(2