高中數(shù)學(xué)習(xí)題1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第一冊(cè) 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

1.L2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

課堂檢測(cè)?固雙基

1.下列命題中，不正確的有（）

@yja?a=|a|；②加4a）?b=（m入）a?b；③&?（，+c）=（8+c）?a；④

ab=ba.

A.4個(gè)B.3個(gè)

C.2個(gè)D.1個(gè)

2.已知a,力均為單位向量，它們的夾角為60°,那么|a—3團(tuán)等于（）

A.小B.回

C.y/13D.4

JI——

3.已知空間四邊形物回中，OB=OaZAOB=ZAOC=-9則COS〈》，BO

的值為（）

1蛆

A.2-民2

1

C.—~D.0

4.若a,b,c為空間兩兩夾角都是60°的三個(gè)單位向量，則a~b+2c\=

5.

如圖，在長(zhǎng)方體力四一46K〃中，設(shè)/片屈=1,AB=2,尸是G〃的中點(diǎn),

則瓦與石所成角的大小為_(kāi)__,瓦C?碇=

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測(cè)

一、選擇題

1.設(shè)a、b.c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，則

①（a?b）c—（c,a）6=0；

②a—|Z>|<a~b；

③（力,a）c—（c,a）b不與c垂直；

④（3a+2A）?（3a-2Z>）=9|a|2-4|Z>|2.

其中正確的是（）

A.①②B.②③

C.③④D.②④

2.若a、b均為非零向量，則a?b=a|同是a與b共線的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

3.（2020?北京市房山區(qū)期末檢測(cè)）在正方體力6切-4AG〃中，向量宓與向

量BL的夾角是（）

A.150°B.135°

C.45°D.30°

4.已知a\=l,罰=/，且a-?與a垂直，則a與b的夾角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.135°

5.（多選題）設(shè)a,b,c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列

命題正確的有（）

A.（a,6）c—（c,a）b=Q

B.a=\]a,a

C.ab=Ifa

D.（3a+2力）（3a—26）=9|a|2一4|6「

二、填空題

6.已知正方體能N—4AG〃的棱長(zhǎng)為a,則布?覺(jué)=.

7.在空間四邊形力時(shí)中，AB-CD+BC-AD+CA-BD=__.

8.（2020?福建廈門(mén)市高二質(zhì)檢）如圖，平行六面體/四一4AG〃的所有棱

JI、

長(zhǎng)均為1,ABAD=ZAJD=ZAJB=—,￡為CG的中點(diǎn)，則4E的長(zhǎng)度是

O

三、解答題

9.如圖所示，在空間四邊形/比"中，0A=8,AB=&,AC=4,BC=3,￡OAC

=45°,/物8=60°,求物與a1的夾角的余弦值.

10.如圖，在四面體如a'中，設(shè)灑=a,OB=b,OC=c,G為的重心,

以｛a,b,c｝為空間基底表示向量詼，06.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.已知在空間四邊形/時(shí)中，AACD=ZBDC=^°,且/8=2,CD=\,

則48與繆所成的角是（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

2.已知Ci，目是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則a=e+◎與b—et~2e，

的夾角是（）

A.60°B.120°

C.30°D.90°

3.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D,已知（應(yīng)+龍-25I）?（AB-Ab）

=0,則△/8。是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

4.（多選題）在正方體/歐―4AG〃中，有下列命題，其中正確的有（）

A.（麻葉位葉疵2=3痞

B.兢>（誦-而=0

C.」必與誦的夾角為60°

D.正方體的體積為|花?筋??勸|

二、填空題

5.已知向量a,b,c兩兩夾角都是60°,且a=|b=|c|=1,則|a—2Z>

+c|=.

6.四棱柱4發(fā)力一48《〃各棱長(zhǎng)均為1,ZAJB=ZAJD=ZBAD=6Q°,則

點(diǎn)6與點(diǎn)〃之間的距離為一.

7.在四面體勿勿中，棱勿，OB,冗兩兩垂直，且的=1,OB=2,OC=3,

61為的重心，則應(yīng)1?{OA+OB+~OC）=.

三、解答題

8.如圖，在正四面體口中，棱長(zhǎng)為a,MN分別是棱/反切上的點(diǎn)，

且逋=24加CN=^ND,求MN.

9.如圖所示，已知平行六面體/靦一4AG〃的底面力頗是菱形，且NG"

=4C\CD=4BCD.

⑴求證：CCBD；

(2)當(dāng)外的值為多少時(shí)，能使4cL平面。劭？請(qǐng)給出證明.

COi

LL2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

課堂檢測(cè)?固雙基

1.下列命題中，不正確的有（D）

（D\/a,a—|a\；②加（4a）?b=（加兒）a?b；③a,（Z）+c）=（Z>+c）?a；④

elb=ba.

A.4個(gè)B.3個(gè)

C.2個(gè)D.1個(gè)

［解析］④中aZWbZ,①②③均正確，選D.

2.已知a,人均為單位向量，它們的夾角為60°,那么|a—3引等于（A）

A.3B.A/10

C.y［13D.4

［解析］a-3b\=\J（a-3b）：

6a,b+9tr

=yj1-6X1XIX|+9=A/7.

JI—f

3.已知空間四邊形如%中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=-則〈OA,BO

09COS

的值為（D）

1yl2

A.-B.

1

--O

2D.

［解析］OA-BC=OA?(OC-OB)=OA-0C-OA?0B=\OA\\OC\cosZAOC-\OA

|\OB\cosZAOB

=)游||走|一J而||第|=0,

乙乙

所以而，慶：所以cosBA,BO)=o.

4.若a,b,c為空間兩兩夾角都是60°的三個(gè)單位向量，則g—b+2cl=

一V5—?

［解析］a-b+2”=(a-8+2C)2

=a2+b2+4c2—2a,8+4a?c-4b?c=5.

a—Z>+2c|=y［5.

5.

如圖，在長(zhǎng)方體力靦〃中，設(shè)4?=44尸1,AB=2,。是G〃的中點(diǎn),

則流與乖所成角的大小為60°,旗??誦=」.

［解析］方法一：連接4〃（圖略），則/必防就是覺(jué)與了慚成角，連接PD,

在中，易得必產(chǎn)必=電鏡，即△孫〃為等邊三角形，從而N/%P=60°,

即血與誦所成角的大小為60°,因此豌?止心X巾Xcos60°=1.

方法二：根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得

KC*A^P={M+Ab）.例+利=亦=1.

由題意可得/%=5仁:，則小X/Xcos（武C,加=1,即cos〈武C,

由=1,從而〈瓦7,宿=60°.

乙

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成練案［2］

A組?素養(yǎng)自測(cè)

一、選擇題

1.設(shè)&、枚c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，則

①(a?t))c—(c,a)6=0；

②a—|Z>|<a~b；

③(b?a)c—(c?a)b不與c垂直；

④(3a+26)?(3a—20=91al-4|叱.

其中正確的是(D)

A.①②B.②③

C.③④D.②④

［解析］根據(jù)數(shù)量積的定義及性質(zhì)可知：①③錯(cuò)誤，②④正確.故選D.

2.若a、6均為非零向量，則a?力=|a||引是a與b共線的(A)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

［解析］a?b=a\|b\=^cos〈a,b)=1=(a,b)=0°,即a與6共線,

反之不成立，因?yàn)楫?dāng)a與8共線反向時(shí)，a?b=~\a\b\.

3.(2020?北京市房山區(qū)期末檢測(cè))在正方體469一46C〃中，向量宓與向

量球?的夾角是(B)

A.150°B.135°

C.45°D.30°

［解析］如圖,正方體ABCD-A\BCD1中,

,:AB〃AB,AC//A,Cx,

，NG45的補(bǔ)角即為向量能與向量的夾角.

???△G48為等腰直角三角形，

.?.NG4A=45°,

，向量宓與向量的夾角為180°-45°=135°,故選B.

4.已知㈤=1,\b\=y/2,且a—6與a垂直，則a與方的夾角為(B)

A.30°B.45°

C.60°D.135°

［解析］6與a垂直，，(a—6)?a=0,

a?a—a?b=|a|2—|a|?b?cos(a,b)

=1-1?y［2,cos(a,b)=0,

cos〈a,b)V0°W〈a,b)W180°,/.〈a,b)=45°.

5.(多選題)設(shè)a,b,c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列

命題正確的有(BD)

A.(a,b)c~(c,a)b=0

B.|a|=7a.a

C.a2Z>=a

D.(3a+2/>)(3a-2Z>)=9|a|2-4|Z>|2

［解析］由于數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故A不正確；由數(shù)量積的性質(zhì)知B正確;

C中|ab=b'a不一定成立；D正確.

二、填空題

6.已知正方體/次刀一46K〃的棱長(zhǎng)為a,則檢?能=才.

［解析］如圖，猛?枇=猛?詢

=|而?|沏?cos(凝,硒=，^ax/aXcos600=a2.

7.在空間四邊形力靦中，AB-Cb+BC-AD+CA-BD=0

［解析］原式=誦?CD+BC*AD+CA?(而一位

=AB*(CD-CA)+AD*(BC+CA)

=~AB*應(yīng)血.BA=AB,AD—AD*A^=0.

8.（2020?福建廈門(mén)市高二質(zhì)檢）如圖，平行六面體力靦一48￡〃的所有棱

長(zhǎng)均為1,/BAD=/4Ag/A、AB=?E為了的中點(diǎn)，則熊的長(zhǎng)度是—呼.

［解析］由題可知，AE=AB+BC+^,

所以宓=（窕+應(yīng)'+；花;尸=|崩『+|距'「+，在『+2池?BC+AB.花+

BC'CC,

=\AB\2+\BC\2+^\CCX+2\AB\?|5C|cos60°+\AB\?|0；|cos600+\BC

?|CG|cos60°

,,1,1,1,117

=1+1+-+2X-+-+-=T，

得|森匚手.

三、解答題

9.如圖所示，在空間四邊形如比'中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC

=45°,Z<245=60°,求力與a'的夾角的余弦值.

［解析］,：BC=AC-AB,

：.0A*BC=OA?(而一麗

=|湯I(xiàn)?園?cos〈灑,AC)-\0A\>\AB\?cos〈而，位=8X4Xcos135°

-8X6Xcos120°=24—16明.

-OA-BC

/.cos〈Q4,BC)---------

@11闔

24—16也3—2啦

=8X5=5'

.?.以與a1的夾角的余弦值為次?但.

5

10.如圖，在四面體。16。中，設(shè)9=a,OB=b,0C=c,G為的重心,

以｛a,b,c｝為空間基底表示向量詼，0G.

［解析］由G為的重心易知E為“'的中點(diǎn)，

：.BE=^(BA+B^

=；［(湯一麗+(亦一曲］

=^［(a—Z>)+(c—/)］=：(a+c—2Z>),

?>>2—?］1

06=0B+^G=b+'^BE=b+-(a+c—2b)=~{a+b+c).

ooo

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.已知在空間四邊形/頗中，/ACD=/BDC=9b",且/8=2,677=1,

則48與Q?所成的角是（C）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］根據(jù)已知N46?=N劭。=90°,得衣?多=歷?近=0,

：.AB*~CD=(JlC+CD+DB)?~CD=~AC*CD+\O)\2+DB*CD=\CD\2=1,

—、~AB*CD1.?

Acos〈AB,6=--------."8與切所成的角為60°.

\AB\\CD\2

2.已知e,魚(yú)是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則a=e+@與b=e—^e,

的夾角是(B)

A.60°B.120°

C.30°D.90°

［解析］由題意得a?力=(a+a)?(?1-2e,)=e；—e-2^=1—1XIX

13

--2--T

2

=71+1+1=乖,

2

bI=^/P=-\/（ei—2e?）4e,?e>+4^

=^/l—2+4=^/3.

_3

a*b21

/.cos（a,6〉=n~~rr7r="-7.「?〈26〉=120°o.

\a\\b\32

3.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D,已知（場(chǎng)十比一2^I）?（森一而

=0,則△48。是（B）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

［解析］因?yàn)槲?比一2而=（場(chǎng)一瓦I）+（DC-DA）=AB+AC,

所以（應(yīng)+配-2忌）?（焉一而=（誦+必?（宓一而=宓一彩=0,

所以I而=|近1,因此△力勿是等腰三角形.

4.（多選題）在正方體/況片4身G〃中，有下列命題，其中正確的有（AB）

A.（筋d勸+癡2=3宓

B.Z（7?（福一期）=0

C.葩與誦的夾角為60°

D.正方體的體積為|荔?筋??9|

［解析］如圖所示，

OX+9+施=（荔+R+成;尸=花2=3赤;

宿（誦一尤1）=M7?荏=0；

腦與檢的夾角是位與著夾角的補(bǔ)角，

而成與項(xiàng)的夾角為60°,故而與誦的夾角為120°；

正方體的體積為I陶I病I沏.

二、填空題

5.已知向量a,b,c兩兩夾角都是60°,且a=|，=|c|=1,則a—2b

+c\=—"x/L-.

［解析］因?yàn)镮a—2b+c*=3+42>2+c—4a?b—4b?c+2a?c=1+4+1

-4Xcos60°-4Xcos600+2Xcos60°=3,所以|a—2b+c|=m.

6.四棱柱4%力一45G〃各棱長(zhǎng)均為1,ZAtAB=ZAtAD=ZBAD=60°,則

點(diǎn)6與點(diǎn)〃之間的距離為—仁.

［解析］???四棱柱/比汐-43G〃各棱長(zhǎng)均為1,

ZAtAB=ZAJD=ZBAD=G0°,

：.Bbx=BA+Ab+DD?

.?.詼2=（用+蒞葉近）2

=滋+赤+應(yīng)2+2瓦（?施+2瓦?血+涌）?應(yīng)

=1+1+1+2X1X1XCOS120°+2XIX1Xcos120°+2X1XIXcos

60°=2,

，|麗|=鏡，.?.點(diǎn)6與點(diǎn)〃兩點(diǎn)間的距離為十.

7.在四面體勿比'中，棱/，0B,%兩兩垂直，且的=1,0B=2,0C=3,

G為△慫7的重心，則龍?（游+加擊=」=—.

O

［解析］?花=灑+赤=澇+;（范+應(yīng)）

=澇+;［（南一9）+（沅'-游）］

O

=;應(yīng)+:秀+;而，

：.0G-（OA+OB+OC）

=已曲"晟+幼卜（M+0B+0i^

yOOOJ

=（南+:花+,南

=<X2°+；X3+；Xl'=:.

oooo

三、解答題

8.如圖，在正四面體46切中，棱長(zhǎng)為a,M,川分別是棱切上的點(diǎn)，

且"=2掰CN=