高中數學直線與平面垂直的性質專項練習

高中數學直線與平面垂直的性質專項練習

■知識對點練?

ZHISHIDUIDIANLIAN

知識點一直線與平面垂直的性質

1.在圓柱的一個底面上任取一點（該點不在底面圓周上），過該點作另一個底面

的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.相交或平行

2.直線/垂直于梯形ABCD的兩腰AB和CD,直線m垂直于AD和BC，則

/與m的位置關系是（）

A.相交B.平行C.異面D.不確定

3.a,b是異面直線,直線/_La,lA.b,直線mLa,m±b，則/與根的位置

關系是________.

4.如圖戶,已知aCl/3=I,EA.La于A,￡8_1_用于B,aua,a.LAB.

求證：a//l.

5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，43,平面PAD,AD

=AP,E是PD的中點，M,N分別在4?,PC±,fiMN±AB,MNLPC.證明：

AE//MN.

證明因為AB，平面PAD,AEu平面PAD,

6.如圖所示，在正方體ABC。-ABGQi中，加是45上一點，N是4c的

中點，MAQ平面AiDC.

求證：(l)MN〃ADi；

(2)M是AB的中點.

知識點二平行、垂直關系的綜合問題

7.設a,b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是()

A.存在唯一一條直線I,使得l±a,且l1b

B.存在唯——條直線/,使得l//a,且ILb

C.存在唯---個平面a,使得aua，且方〃a

D,存在唯---個平面a，使得aua，且匕_La

8.給出下列命題：

①a_l_a,Z?ua=>a_Lb；(2)a±a,a//b=bLa；③a_La,b//a=?a_Lb；(4)?±Z?,

a_Lc,bua,cua=>a_La；⑤?！╝,a±Z?=>Z?±a；⑥a_La,b工a=b〃a.

其中真命題的個數是()

A.3B.4C.5D.6

9.已知/,〃z,〃是三條不同的直線，a是一平面.下列命題中正確的個數為

（）

①若I//m,m//n,/_La,則；

②若I//m,m_La,,則/〃〃；

③若I//a,l-Lm,則

A.1B.2C.3D.0

-------課時綜合練-------

KESHIZONGHELIAN

一、選擇題

1.is.ABC所在的平面為a,直線l^AB,/.LAC,直線mYBC,m^AC,貝1]

直線/，機的位置關系是（）

A.相交B.平行C.異面D.不確定

2.已知加，n為異面直線，m_L平面a,平面[i,直線/滿足,

18，/印,則（）

A.a//￡且/〃a

B.a_L夕且/，夕

C.a與4相交，且交線垂直于/

D.a與夕相交，且交線平行于/

3.如圖，在反43。中，NACB=90°,直線I過點A且垂直于平面ABC,動

點PG/,當點P逐漸遠離點A時，NPC8的大小（）

p

B

C

A.變大B.變小

C.不變D.有時變大有時變小

4.多選）如圖,直線PA垂直于圓。所在的平面,AABC內接于圓。，且A3

為圓。的直徑，點M為線段PB的中點.以下各命題中，真命題為（）

A.BCLPC

B.0M〃平面APC

C.點B到平面PAC的距離等于線段BC的長

D.三棱錐M-PAC的體積等于三棱錐P-ABC體積的一半

5.已知正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，=2,CC=2啦，E為CG的中

點，則直線AC\與平面BED的距離為（）

A.1B.小C.啦D.2

二、填空題

6.地面上有兩根旗桿，底端相距a米，它們的高分別是b米和c米3〉c）,

則它們頂端的距離為米.

7.邊長為a的正方形ABCD中，E為A8的中點下為BC的中點，將“即,

△8ER和△￡＞（而分別沿DE,故和DF折起使A,B,。重合于一點4,則三棱錐

A-EFD的體積為.

8.如圖，在正方體ABCD-AliGOi中，點E是棱BC的中點，點F是棱

CF—

CO上的動點.當而=時，。歸，平面

三、解答題

9.如圖，在正方體ABCD-A\B\C\D\中，點E,尸分別在A\D,AC±,EF

±AiD,EFLAC,求證：EF//BD\.

10.如圖，菱形ABC。中,ZABC=60°,AC與8。相交于點。，EB=EC=

ED,CF//AE,AB=2,CF=3.

⑴求證：EAL平面ABC。；

⑵求四面體F-ECB的體積.

第2課時直線與平面垂直的性質

-------知識對點練-------

ZHISHIDUIDIANLIAN

知識點一直線與平面垂直的性質

1.在圓柱的一個底面上任取一點（該點不在底面圓周上），過該點作另一個底面

的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.相交或平行

答案B

解析圓柱的母線垂直于圓柱的底面，所作的垂線也垂直于底面，由線面垂

直的性質定理可知，二者平行.

2.直線/垂直于梯形ABCD的兩腰AB和CD,直線m垂直于AD和BC,則

/與m的位置關系是（）

A.相交B.平行C.異面D.不確定

答案D

解析根據題意，L平面ABCD，機可能在平面ABCD內，也可能垂直平面

ABCD,所以直線/與〃，可能平行、相交或異面，故選D.

3.0,/?是異面直線，直線/_La,ll.b,直線mLa,mVb，則/與，〃的位置

關系是________.

答案I//m

解析將b平移至c,且使a與c相交，則a,c確定一個平面,記作平面a.

,機_Lc,又l^La,m^a，二/_L平面a,〃？_1_平面a,.,.I//

m.

4.如圖月,已知aC0=l,EAA.aA,EBLQ于B,qua,aA-AB.

求證:a//1.

證明,JEALa,EBLp,aC\0=I,：.l±EA,ILEB.

又?：EAClEB=E,E4u平面EAB,EBu平面EAB,

."J■平面EAB.

又aua,EA±a,.'.a.LEA.

又a±AB,ABHEA=A,ABu平面EAB,E4u平面EAB,."JL平面EAB,：.

a//l.

5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，A3,平面PAD,AD

=AP,E是P。的中點，M,N分別在AB,PC上，SMN.LAB,MNLPC證明：

AE//MN.

證明因為AB,平面PAD,AEu平面PAD,

所以AELAB,SLAB//CD,所以AE±CD.

因為AO=AP,E是P。的中點，所以AELPD

又CDCPD=D,所以AE,平面PCD.

因為MNLAB,AB//CD,所以MNLCD.

又MNA-PC,PCQCD=C,

所以MN_L平面PCD,所以AE〃MN.

6.如圖所示，在正方體ABC。GD中，加是45上一點，"是4。的

中點，MN,平面A?DC.

求證：（l）MN〃AOi；

⑵M是AB的中點.

證明⑴???四邊形ADD14為正方形，

?.,。￡>_1_平面4。￡）自1,，8_1_4。1.

\'AiDC}CD=D,.,MDil5F?AiDC.

又MN_L平面4OC,.?.MN〃ADi.

⑵如圖所示，設A￡h與4。的交點為。，連接ON,在△AiOC中,A\O=OD,

AiN=NC

：.ON^CD^AB,

：.ON//AM.

又MN//OA,

，四邊形AMNO為平行四邊形,

：.AM=ON=^AB,即M是A3的中點.

知識點二平行、垂直關系的綜合問題

7.設。,b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是（）

A.存在唯——條直線I，使得,且

B.存在唯——條直線/,使得l//a,且ILb

C.存在唯---個平面a,使得aua，且Z?〃a

D.存在唯---個平面a,使得aua，且匕_La

答案C

解析過直線a上任意一點P,作匕的平行線。，由a,c相交確定一個平面

a.直線/只需垂直于平面a,就會與a,b都垂直，這樣的直線有無數條，故A錯

誤.根據異面兩條直線所成角的定義，排除B.根據線面垂直的概念，排除D.故選

C.

8.給出下列命題：

①,Oua=>a_Lb；②aJLa,a〃/?=b_La；③a_La,b〃a0aLb；@al.b,

a_Lc,bua,cua=a_La;⑤?！╝,a_Lb=b_La；⑥a_La,bLa=b〃a.

其中真命題的個數是（）

A.3B.4C.5D.6

答案A

解析因為?±a,所以a垂直于平面a內的任意直線，所以①正確.若兩條

平行線中的一條直線與一個平面垂直，則另一條直線也與這個平面垂直，所以②

正確.由線面垂直，線線、線面平行的性質知，若,b//a,則aLb,所以

③正確.由線面垂直的判定定理可知，④不正確.當a〃a,萬時，〃可能與a

平行、垂直、斜交或b在。內，所以⑤不正確.當a_La,b±a時，b可能與a平

行，b也可能在a內，故⑥不正確.

9.已知/,機，〃是三條不同的直線，a是一平面.下列命題中正確的個數為

（）

①若I//m,m//n,Z_Lot,則n_La；

②若I//m,〃2_La,”_La,則/〃〃；

③若/〃a,l-Lm,則

A.1B.2C.3D.0

答案B

解析對于①，因為/〃m,m//n,所以/〃〃，又/±a,所以〃_La,即①正

確;對于②，因為m±a,n±a,所以m//n，又Z〃加，所以l//n,即②正確；對

于③,因為/〃a,l-Lm,所以m//a或mua或mLa或相與a斜交,即③錯誤.

-------課時綜合練-------

KESHIZONGHELIAN

一、選擇題

1.LABC所在的平面為a,直線IA,AB,ILAC,直線mA.BC,m±AC,貝（］

直線/，加的位置關系是（）

A.相交B.平行C.異面D.不確定

答案B

解析AABC所在平面為a,/LAB,l±AC,ABQAC=A,J.lLa,又m

_LBC,m.LAC,BCC\AC=C,Z/7m.

2.已知"2,n為異面直線,m_L平面a,〃_L平面B,直線l滿足ILm,ILn,

18,l邨，則（）

A.a//4且/〃a

B.a，夕且△尸

C.a與夕相交，且交線垂直于/

D.a與4相交，且交線平行于/

答案D

解析由于m,n為異面直線，"2_1_平面a,〃_L平面B,則平面a與平面夕

必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m,n,又直線/滿足dm"_L〃"Ca,

/中，則交線平行于/，故選D.

3.如圖，在△ABC中，NACB=90°,直線/過點A且垂直于平面ABC,動

點PG/,當點P逐漸遠離點A時，NPCB的大?。ǎ?/p>

A.變大B.變小

C.不變D.有時變大有時變小

答案C

解析：直線LL平面A8C,3c又NACB=90°,.?.ACL8C,

平面APC,：.BC±PC,即NPCB為直角，即NPC8的大小與點P的位置無關，

故選C.

4.多選）如圖，直線PA垂直于圓。所在的平面,AABC內接于圓。，且A3

為圓。的直徑，點M為線段PB的中點.以下各命題中，真命題為（）

p.

A.BCtPC

B.0M〃平面APC

C.點B到平面PAC的距離等于線段BC的長

D.三棱推M-PAC的體積等于三棱錐P-ABC體積的一半

答案ABCD

解析PA±平面ABC,BCu平面ABC,：.PA±BC/：AB是圓0的直徑，

.?.ACJLBC.又%u平面PAC,ACu平面PAC，所AC=AW面PAC."：PCa

平面PAC,：.8CUC.故A,C正確；；M是PB的中點，。是AB的中點，,0M

〃刑u平面PAC,0MC平面PAC,〃平面勿C.故B,D正確.

5.已知正四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，AB=2,CG=26，E為CG的中

點,則直線AC與平面BED的距離為（）

A.1B.小C.啦D.2

答案A

解析如圖，連接AC交BD于點。.在△CGA中，易證又OEu平

面BDE,AGC平面BDE,〃平面BDE，，直線AG與平面BED的距離為

點A到平面BED的距離.連接AE.在三棱錐E-AB。中，VE-ABD=/ABDXEC=|

x；x2x2x/=半.在三棱錐A-BDE中，BD=26，BE=DE=#—BD=3

義2\取勺乖2_一取2=26.設點A至I」平面BED的距離為h,貝I」以-BDE=；

SbEBDXh=；x2mx/7=4當?=,解得/?=1,故選A.

Ik工

E

G

二、填空題

6.地面上有兩根旗桿，底端相距a米,它們的高分別是b米和c米3〉c),

則它們頂端的距離為米.

答案[?+b-c~

解析如圖，由于兩旗桿都與地面垂直，故兩旗桿AD與BC平行，且四邊

形ABCD是直角梯形，設A。=c?米，=匕米，過。作DELBC于E,則QE=

a米，CE=(b-c)米,所以DC=yja2+b-c~米).

7.邊長為a的正方形ABCD中，E為AB的中點產為BC的中點，將ME。,

△BEF和△OCT分另(J沿。E,"和折起使A,B,C重合于一點A',貝U三棱錐

A，-EFD的體積為.

球案—

口木24

解析以等腰直角三角形A'EF為底,D4為高，易求三棱錐的體積.

8.如圖，在正方體ABCD-48G。中，點E是棱BC的中點，點F是棱

C。上的動點.當哥=時，_L平面ASE

答案1

解析連接MB,則A\B是在平面ABBA內的射影.

'：AB\LA\B,平面AIBEOI.

?.?OiEu平面ABEOi,，DiEJ_A8.

若。歸_1_平面ABiF,則DiElAF.

連接DE,'：AFLDD\,DiEClDDi=D\,

平面DiED.

又OEu平面D\ED,J.DELAF.

???四邊形ABCD是正方形，E是8C的中點，

???當且僅當F是CD的中點時，DE1AF,

即當點尸是C。的中點時，AE_L平面ABiF.

?，?當務=1時，DEJ?平面ABE

三、解答題

9.如圖，在正方體ABCD-A\B\C\D\中，點E,尸分別在A\D,AC±,EF

±AiD,EFLAC,求證：EF//BD\.

證明如圖所示，連接4G,CiD,B\D\