高中數(shù)學(xué)必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練 (十二)

必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(12)

1.如圖，在四棱錐P-4BCD中，/P4D是等邊三角形，。是AO上一點(diǎn)，平面P/W1平面ABC。,

AB//CD,AB1AD,AB=1,CD=2,BC=3.

(1)若O是AD的中點(diǎn)，求證：08_L平面POC；

(2)設(shè)等=九當(dāng);I取何值時(shí)，三棱錐8-POC的體積為次?

2.如圖，在四邊形ABC。中，AB=2,PD=DC=BC=1,AB//DC,/.BCD=90°,F為AB

上的點(diǎn)且=若PC_L平面ABC。，￡為PC的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面PAD；

(2)求四棱錐P-的側(cè)面積.

3.如圖，在三棱臺(tái)力BC-AiBiG中，4cl&B,。是8c的中點(diǎn)，Ar0ABC.

(1)求證：AC1BCt

(2)若&。=1,AC=2A/3,BC=A1B1=2,求二面角/一8C-4的大小.

4.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PBC是正三角形，E是PB的中

點(diǎn)，且4E_L平面PBC.

(1)證明：PO〃平面ACE；

(2)若PC=2,求點(diǎn)尸到底面ABC。的距離.

5.如圖，已知三棱柱ABC-A/?的所有棱長(zhǎng)均為2,=

8'C

(1)證明：B]C_L平面ABC1；

(2)若平面_L平面4BC,M為4C]的中點(diǎn)，求二面角C-4當(dāng)一M的余弦值.

6.已知四邊形A88的C=〃DC=9。。，DC=/M=*B，ADC^ACPAC.

(1)若PA=PB,求證PA_LBC；

(2)若二面角P-AC-B為求直線BC與平面PAB所成角的正弦值.

7.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB//CD,ABA.AD,△PAB和△P力。是兩個(gè)邊長(zhǎng)

為2的正三角形，DC=4,。為8。的中點(diǎn)，E為P4的中點(diǎn).

(I)求證：P01平面ABCD-,

(II)求面尸AQ與面尸BC所成角的大小.

8.如圖，在三棱錐4-BCD中MB=AD=CD=^BC=2,E為BC的中點(diǎn),BO1CD,且AE=夜.

A

\D

B

C

(1)證明：平面4CD1平面ABD.

(2)求平面ABC與平面ACD所成銳二面角的余弦值.

9.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面ABC。為正方形，側(cè)棱PA，底面ABCD,。為棱PD的中點(diǎn),

PA=AB.

(I)求證：AQ1CD；

(口)求直線PC與平面AC。所成角的正弦值;

(皿)求二面角C-AQ-。的余弦值.

10.如圖，在四棱錐P—4BCO中，AB//CD,R^BAP=Z.CDP=90"..

(1)證明：平面P4B1平面PAD：

(2)若P4=PD=4B=DC,^APD=90°,求二面角4-PB-C的余弦值.

11.已知正方體4BCD-&當(dāng)前/和平面a,直線4cl〃平面a,直線BD〃平面a.

(1)求證：平面aJ■平面當(dāng)。。1；

(2)點(diǎn)P為線段4Q上的動(dòng)點(diǎn)，求直線8P與平面a所成角的最大值.

12.在四棱錐P-4BCD中，P4J"平面ABCC,四邊形ABCC為平行四邊形，AD=2AB.

(1)在8c上是否存在點(diǎn)M,使DM,平面P4W,若存在，指出M位置并證明；若不存在，說(shuō)明

理由；

(2)若P4=AB,AABC=60°,求二面角P-BD-4余弦值的大小.

13.在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCO中，ABAD=60。，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)(如圖1),將AAOE沿QE折

起到△4CE的位置，連接4B，4C,得到四棱錐4一BCDE(如圖2).

(1)證明：平面&BE_L平面8CDE；

(2)若&E_LBE,連接CE,求直線CE與平面&CD所成角的正弦值.

14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCO是直角梯形，4B14D,4B〃CD,PC_L底面ABCC,

AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是PB的中點(diǎn).

(1).求證：平面EAC1平面PBC;

(2).若二面角P-4C一E的余弦值為等,求直線PA與平面E4c所成角的正弦值.

15.矩形ABC。中，AB=2,AD=2W,將△ABD沿80折起,

(1)求三棱錐A-BCD的外接球的表面積；

(2)當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，求異面直線A8與CZ)所成角的余弦值；

(3)從點(diǎn)A在平面BC。上起，旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A落在平面8C。上止，求動(dòng)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度.

16.在四棱錐P-/BCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2VI的正方形，平面P4C1底面ABC。，PA=PC=

2V2.

(1)求證:PB=PD；

(2)點(diǎn)M,N分別在棱PA,PC,PM=AM,PN=CN,求平面PC。與平面。MN所成角的正弦

值.

17.如圖，四邊形ABDP是直角梯形，^SLDB//PA,AB1DB.DB=\PA,CAiTffiABDP,E為

PC的中點(diǎn),

(1)求證;DE〃平面ABC;

(2)若。B=1,AE=V3,BC=2V3,求銳二面角?！狝E—C的余弦值.

18.如圖，在五面體ABCQEF中，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF〃BC,EF=2,CE=DE,

CE1DE,平面CDEJ■平面ABCD

⑴求證：DE_L平面EFBC；

(2)求二面角4-BF-C的余弦值.

19.如圖，正方形ABC。與直角梯形AOE尸所在平面相互垂直，/.ADE=90。，AF//DE,AD=DE=

2AF=2.

E

(1)求證：AC〃平面BEF；

(2)求點(diǎn)D到平面BEF的距離.

20.如圖，已知多面體4BCD-Ai/CiDi，4&、B&、CQ、。劣均垂直于平面ABCQ,AD//BC,

AB=BC=CD=AAr=CCX=2,BBX=1,AD=DD1=4.

(1)證明：41cli平面CDDiG；

(2)求直線BC】與平面A/iCi所成角的正弦值.

【答案與解析】

1.答案：解：(1)如圖，取BC的中點(diǎn)E,連接0E.

因?yàn)?B〃CD,。是AQ的中點(diǎn)，所以0E=：G4B+CD),

因?yàn)锳B=LCD=2,BC=3,所以O(shè)E=^BC,

所以。C1OB.

因?yàn)閳F(tuán)PAD是等邊三角形，。是AD中點(diǎn)，所以P01AD.

因?yàn)槠矫鍴4D1平面ABCD,所以P。，平面ABCD.

又因?yàn)镺Bu平面ABC。，所以P010B,

因?yàn)镺CnP。=0,0Cu平面POC,POu平面POC,

所以O(shè)B_L平面POC.

(2)因?yàn)锳BIAD,AB=1,CD=2.BC=3,所以AO=2魚(yú).

因?yàn)閳F(tuán)PAD是等邊三角形，可得等邊三角形的高為遙，即四棱錐P-2BCC的高為九=石.

由穿=4及4D=2近可得，。。=窖，。4=品|.

OA1+A1+A

由%-POC=^P-OBC=gS目08c,~XS團(tuán)08cXV6=V3,解得Sg]08c=

所以SAOBC=S四邊形ABCD_So團(tuán)/iB_SOmCD=3x(1+2)x2V2—IxODx2—^xOAx1=詈,

即打(1+2)*2近-卜鬻、2-如言*1=咨解得4=1.

所以當(dāng)卷=1時(shí)，三棱錐B-POC的體積為

解析：本題考查了線面垂直的判定定理以及棱錐體積求解，屬于中檔題.

(1)取8c的中點(diǎn)E,連接0E.通過(guò)證明0C1OB,P010B,即可證OB1平面POC；

(2)由籌=4及=2VI可得，0。=名，。4=史|.

OA1+A1+A

由%-POC=^P-OBC=gS[30BC,八=,XSmoBCXV6=V3,解得S?0BC=~2',從而求解.

2.答案：(1)證明：設(shè)CO中點(diǎn)為“，連接E”、FH,

???E為PC的中點(diǎn)，

???EH//PD,

又“PDu平面PAD,EH,平面PAD,

￡7/〃平面PAD,

又：CD=1,AB//DC,AF=

DH1LAF=

2

???四邊形AFHD為平行四邊形，

FH//AD,

又4。u平面PAD,FH<t平面PAD,

.1FH〃平面PAD,

又?：EHCFH=H,￡77<=平面￡777,FHu平面EFH,

???平面PAD〃平面EFH,

又???EFu平面EFH,

：.EF〃平面PA。；

(2)解：???4BCD=90。，

ACD1BC,

又PD_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

???PD1BC,

又???PDnC7)=D,PDPDC,CDu平面POC,

/.BC1^11PDCfPCc^jllPDC,

???BC1PC,

nPDC、△PZX4、APCB為直角三角形，

???AB=2,PD=DC=BC=19AB//DC,4BCD=90°,

???PC=VLAD=V2,PA=晅,PB=V5,

**?^APBC=^APDC=2fS"DA=^APAB=

?*,SAPBC+SAPDC+SAPDA+^APAB=~~~，

.??四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為包.

2

解析：本題考查面面平行的判定和性質(zhì)，線面平行的判定，棱錐的側(cè)面積計(jì)算，考查空間思維能力

與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

(1)利用線面平行的判定定理先得出EH〃平面PAD,再得出FH〃平面PAO,得出面24?！鍱FH,

進(jìn)而得出線面平行；

(2)由線面垂直的性質(zhì)得出BC1PC,再借助三角形面積求出四棱錐的側(cè)面積.

3.答案：解：(1)???41。1平面ABC,ACu平面48C,二4。14C,

又因?yàn)?C14/,AiBC\AO=A,u平面48。，&。u平面4B。，

所以4C1平面&B0.

又因?yàn)锽Cu平面4$。，所以ACLBC.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，與CA平行的直線為x軸，08所在直線為y軸，。4所在直線為z軸，建立如

所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則0(0,0,0),7I(273,-1,0),B(0,l,0),4(0,0,1).

所以布=(0,1，0),AB=(-273,2,0),西=(0,0,1),于是4B=4.

由ABC-&B1C1是三棱臺(tái)，所以〃4

又因?yàn)閍Bi=2,所以曬=[荏=(一百』，0).

所以西=西+=(-73,1,1))

設(shè)平面BBiGC的法向量方=(x,y,z),

由8,西。壽°=°

[n?0B1=0'(-V3%+y+z=O'

?。?1,則y=0,z=V3,即記=(1,0,百)

因?yàn)椤?_L平面ABC,所以平面ABC的法向量為西=(0,0,1).

/-ndAi1X0+0X04-V3X1V3

所以eg，。號(hào)=而麗=及…改行厘二三

因?yàn)槎娼蔷?BC-A為鈍二面角，所以二面角&-BC-4的大小是萼.

O

解析：本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定以及利用空間向量求面面的夾角

(1)先由線面垂直的判定定理證明AC1平面&B。，再由線面垂直的性質(zhì)即可求解；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，與CA平行的直線為x軸，。8所在直線為y軸，。公所在直線為z軸，建立如

所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,利用向量法進(jìn)行求解即可.

4.答案：(I)證明：連接B。，交AC于點(diǎn)F,連EF

P

?.?底面A8CD是平行四邊形,

??.F是B。的中點(diǎn).?.EF//PD,

?：PD，平面ACEEFu平面ACE,

：.PD〃平面ACE；

（口）解：VAEPBC,BP,CEu平面P8C,：.AE1CE,AE1PB,

■■ABLAP,為正三角形，PC=2,E為BP中點(diǎn),

.?.△4BP為等腰直角三角形，AB=AP=&,AE=lBP=l,

CE=V3>AC=y/AE2+CE2=2△ABC是底面邊長(zhǎng)為夜，

腰長(zhǎng)為2的等腰三角形二A4BC的面積為S=ixV2x〃==旦,

2yj22

設(shè)點(diǎn)P到底面ABC。的距離為4,

由力筋c=匕屈c(diǎn)得：?S4BC?d=/SPBC-4E解得d=筆=竽，

/ioC?OOy//

???點(diǎn)P到底面ABCD的距離為返

7

解析：本題考查線面平行判斷定理及空間中點(diǎn)到平面的距離，屬基礎(chǔ)題目.

（I）利用線面平行判斷定理即可證明；

（n）等體積法求點(diǎn)到平面的距離即可.

5.答案：證明：（1）如圖取A8中點(diǎn)。，連接B1D,CD.

因?yàn)樗倪呅蜝CGBi為菱形，所以&C1BC1

又因?yàn)槿庵乃欣忾L(zhǎng)均為2,4B$A=p

所以I34BC和AABBi是等邊三角形，所以CD1AB

因?yàn)镃Du平面當(dāng)CD,B^QCD=D,

所以481平面/CD

所以B1C1AB,rfuBQn/is=B,

所以81C_L平面4BG

(2)因?yàn)槠矫鍭BB1&，平面ABC,且交線為AB,由(I)知&。1AB

所以&D1平面ABC,則DB,DBi，DC兩兩垂直，則以。為原點(diǎn)，。B為x軸，OC為)，軸，為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則。(0,0,0),4(-1,0,0),(0,0,V3),C(0,V3,0).

CK-1,V3,V3),&(-2,0,V3)

因?yàn)镸為4C1的中點(diǎn)，所以M(一|,g,b)

所以北=(1,國(guó),0),ABX=(1,0,V3),心=(后,手，板),

設(shè)平面的法向量為元=(%,y,z),

ABr-=x+V3z—0

取z=1,得心—(—V3,—3,1)

AM-nx=-+~~y+6z=0

同理設(shè)平面48傳的法向量為R=(x2,y2,z2)1

則(A自B-吊n7="x+V舟3z=0?！="l/，日得幾—2=(一廣丹1，1)

z4

所以COS＜扇苒＞=||=（一四-3,1）?（一

V13xV565

所以所求二面角CTBLM的余弦值為普

解析：本題考查線面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理及向量求二面角，屬于中檔題.

(1)取AB中點(diǎn)。，連接aD,CD,BG，則由已知可得，B1D14B,CDLAB,從而可得4B1平面

BQ,AB1BXC,所以有BiC_L平面4BG.

(2)由于。B,DB],OC兩兩垂直，所以以。為原點(diǎn)，為x軸，QC為)，軸，DB1為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法求解..

6.答案：（1）證明：設(shè)48=2,則DC==V^即PA=PB=PC=&，

PA2+PB2=AB2,

PA1PB,

又?.?P4_LPC,PBr）PC=P,PB,PCu平面P8C,

P.A_L平面P3C,

VBCu平面PBC,

PA1BC;

（2）取AC中點(diǎn)O,3c中點(diǎn)E,連接OP,OE,則。P，AC,OE1AC,

-.-OPC平面P".OEC平面ABC.OPCOE=O,

AC±平面POE,

ZPOE:,

???，4CU平面ABC,

平面_L平面POE,

過(guò)P作PH10E,PHu平面POE,，平面4BCC平面POE=OE,

???PH1平面ABC,

???OP=1,；.OH=P”/

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，成，市分別為x,y軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系0-xyz,

則。(0,0,0),P(0,y,y).^(1,0,0),C(-l,0,0),B(1,2,0),

AP=AB=(0,2,0)，方=(2,2,0),

設(shè)五=(x,y,z)為平面PA8法向量，

件亞=0即卜x+苧y+孝z=0,

(元-AB=02y=0

可取元=(1,0,夜)，

設(shè)BC與平面PAB所成角為仇

??.sine=|cos(W,五)|=W^=?,

所以直線8c與平面PAB所成角的正弦值為它.

6

解析：本題主要考查了利用直線與平面垂直的判定與性質(zhì)證明線線垂直，空間向量法求解線面角正

弦值，屬于中檔題.

(1)利用線面垂直的判定及性質(zhì)即可證得結(jié)論；

(2)先取4c的中點(diǎn)O,BC的中點(diǎn)E,連接OP,OE,過(guò)P作PHLOE,利用證明線面垂直建立合適

的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求線面角的正弦值；

7.答案：證明：(1)設(shè)戶為。(7的中點(diǎn)，連接BF,則=

"ABVAD,AB=AD,AB//DC,

四邊形A8FD為正方形，

v。為8。的中點(diǎn)，

0為AF,80的交點(diǎn)，

???PD=PB=2,???PO工BD,

BD=>/AD2+AB2=2V2,???PO=7PB2-BO?=揚(yáng)AO*BD=g

222

在三角形PAO中，PO+AO=PA=4,APOLAO,

■■■AOQBD=0,1?.POJ"平面ABCD.

解：（II）由（I）知P。JL平面ABC。，又ZBLAD,

.??過(guò)。分別做A。，AB的平行線，以它們做x,y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由已知得：4(一1,一1,0),B(-l,1,0),D(l,-l,0)F(l,l,0),C(l,3,0),P(0,0,迎),

PA=(-1,-1,-V2)-PB=(-l,h-V2),PC=(1,3)-V2).PD=(1,-1,-V2).

設(shè)平面PAD的法向量為元=(x,y,z),

貝——,l，取2=低，得n=(0,—2,四)，

\n-PD=x-y—V2z=0

設(shè)平面PBC的法向量為沅=(x,y,z),

則(——.廠>取y=1,得?n=(-1/，V2),

(fn?PC=x+3y-V2z=0

設(shè)面PAO與面PBC所成角為。，

則cos。=罌三=0,

???面PAO與面PBC所成角的大小為攝

解析：（I）由條件先證明四邊形ABFD為正方形，由等腰三角形的性質(zhì)證明P。18。，由勾股定理

求得P。1AO,從而證得P。_L平面ABCD.

（口）過(guò)。分別做AO,A8的平行線，以它們做x,y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，求出平面抬。的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式即可求面抬。與面P8C所

成角的大小.

本題考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

8.答案：(1)證明：取8。的中點(diǎn)為。，連接OA,0E.

因?yàn)锽D1CD,BC=4,CD=2,所以BD=2遮，OB=V3.

又AB=A0=2,所以BOJ.40,且4。=1.在AAOE中，EO=：CD=1,AE迎,

^VXAO2+OE2=AE2,即0E14。，

從而CD_LAO.

又CD工BD,BDdAO=0,所以CDJ■平面4BD

因?yàn)镃Du平面ACD,

所以平面ACD平面ABD.

(2)解：由(1)知OB,OE,。4兩兩垂直，如圖，

分別以麗，OF.函的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則B(V5,0,0)，C(-V3,2,o)?D(-73,0,0).4(0,0,1)，

AC=(-V3,2,-l)(~BC=(-273,2,0).

設(shè)記=(x,y,z)是平面ABC的法向量，

可得「y+2丫1=0,令“I.Wm=(l,V3,V3).

[-2V3x+2y=0,

設(shè)元=(xi，yi，zi)是平面AC￡)的法向量，因?yàn)殄?(0,2,0)，AC=(-V3,2,-l).

則產(chǎn)片一°；n令/=1，得元=(1，。，一行).

(-V3%!+2%-Zi=0,

設(shè)平面4BC與平面ACQ所成的銳二面角為0,

則cos。=|cos(m,n)|=

即平面ABC與平面AS所成銳二面角的余弦值為今

解析：本題考查面面垂直的判定和利用空間向量求面面的夾角

(1)取3。的中點(diǎn)為0,連接04,0E.推導(dǎo)出CD_L4。，CDLBD,可得出CD1平面A8O,進(jìn)而可證

平面4CDJ_平面ABD.

(2)由(1)知08,0E,兩兩垂直，如圖，分別以礪，0E，成的方向?yàn)閤,y,z軸正方向建立空

間直角坐標(biāo)系O-xyz,求出平面AC。和平面ABC的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可.

9.答案:(共14分)

證明：(I)因?yàn)镻4_L底面ABCD,CDu底面ABCD,

所以PA1CD,

正方形ABC。中，AD1CD,

又因?yàn)?4=4,所以COJ■平面PA。，

因?yàn)?Qu平面PAD,所以AQ1CD.......................(4分)

解：(II)正方形A8C￡>中,ABLAD,側(cè)棱P4IjftffiiABCD.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,不妨設(shè)4B=2.

依題意，則4(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),Q(0,l,1),

所以說(shuō)=(一2,-2,2),AC=(2,2,0),而=(0,1,1).

設(shè)平面ACQ的法向量記=(x,y,z),

..(n-AC=2x+2y=0人_

則《一一>，令x=l,得Z0n=(l,-l,l),

(n-AQ=y+z=0

所以cos(元，而>=磊/

所以直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為3.............(11分)

(HI)由(I)知。。平面PAD,所以配=(2,0.0)為平面PAD的法向量,

因?yàn)閏os(元，反>=1溶=手，且二面角C-AQ-。為銳角，

\n\\DC\3

所以二面角C—AQ—D的余弦值為冬.....(14分)

解析：(I)推導(dǎo)出P4，CD,AD1CD,從而CDJ■平面PA。，由此能證明AQ_LCD.

(II)由481AD,側(cè)棱P41底面ABC。，建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,不妨設(shè)4B=2.利用向量法能

求出直線PC與平面ACQ所成角的正弦值.

(HI)求出平面PAD的法向量，利用向量法能求出二面角C-AQ-。的余弦值.

本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、

面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

10.答案：解：(1)證明：???Z.BAP=^CDP=90°,

???PA1AB,PD1CD,

-AB//CD,：.AB1.PD,

又?；PACPD=P,且P4u平面PA。，PCu平面PA。，

AB_L平面PAD,又ABu平面PAB,

平面PABJ■平面PAD；

(2)解：?:AB“CD,AB=CD,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

由(1)知4B_L平面PAD,

???ABLAD,則四邊形ABC。為矩形，

在AAPD中，由P4=PD,^APD=90°,可得△PAD為等腰直角三角形，

設(shè)PA=AB=2a,則4。=2&a.

取A￡＞中點(diǎn)O,8c中點(diǎn)E,連接尸0、OE,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以04OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則：。(一夜a,0,0),fi(V2a,2a,0),P(0,0,V2a),C(-V2a,2a,0).PD=(-V2a,0,-V2a),PB=

(V2a,2a,-42a),BC=(-2V2a,0,0).

設(shè)平面尸8c的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

illfn-PB=0得+2ay—V5az=0

l五.BC=0\—2y[2ax=0

取。=1，得為=(0,1,/).

???AB_L平面PAD,ADu平面PAD,

???AB1AD,

又PD1PA,PAOAB=A,且PA,APu平面P4B,

PD_1_平面PAB,則而為平面PAB的一個(gè)法向量，PD=(-V2a,0,-V2a).

j、PDn—2aV3

：?COSVPD,?!>=—.=---7==------.

\PD\\n\2axV33

由圖可知，二面角4一PB-C為鈍角，

???二面角4-PB-C的余弦值為一理.

3

解析：本題考查平面與平面垂直的判定及面面垂直的判定，同時(shí)考查利用空間向量求二面角的平面

角.

(1)由已知可得2414B,PD1CD,再由4B〃CD,得AB1PD,利用線面垂直的判定可得4B_1_平

面PAD,進(jìn)一步得到平面P48!_平面PAD；

(2)由已知可得四邊形ABC。為平行四邊形，由⑴知4B1平面尸AO,得到AB14D,則四邊形A8CO

為矩形，設(shè)P4=/lB=2a,貝lh4D=2&a.取AD中點(diǎn)O,8C中點(diǎn)E,連接PO、OE,以。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的一個(gè)法向量，再證明PDl￥ffiPAB,得而為平面PAB

的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角4-PB-C的余弦值.

11.答案：，(1)證明：連接&G，則8山11人6，因?yàn)?4i1平面AiBiQDi，

B[D]u平面41B1GD1,所以441_LB】Di；

又因?yàn)?4iCl&G=4,所以Bi。1J■平面44iG；

因?yàn)?Qu平面4&C1，所以B[Di_L4Ci；

同理BiOlCi；因?yàn)?1。1。8傳=31，所以4QJ■平面&CDi；

因?yàn)?cl〃平面a,過(guò)直線4cl作平面￡與平面a相交于直線I,則

所以11平面/CD1；又1u平面a,

所以平面a_L平面B1CD1；

(2)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4公分別為x,

y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，貝妹(0,0,0),

8(1,0,0),￡)(0,1,0),Cj(1,1,1),

所以猬=(1,1，1)，BD=(-1,1,0).

設(shè)平面a的法向量為五=(x,y,z),

則仍，ACi=0,p[x+y+

B取x=1,則元=(1,1,—2)；

ln-BD=0Ir+y

設(shè)方=tAC^(0<t<1).則弄=(tj,t)，因?yàn)辂?(-1,0,0),

所以郁=前+而=t)：

設(shè)直線8P與平面a所成的角為氏

.A|n-BP|_1]

則sin，=而市百=而百蘆三許I同3"-y+祟

所以當(dāng)t=9時(shí)，s譏9取到最大值為土

此時(shí)。的最大值為2

O

解析：本題考查線面垂直及空間向量法求線面角，屬中檔題目.

(1)結(jié)合已知證明當(dāng)。1，平面441cl，進(jìn)而證明AC11平面BiCDi，過(guò)直線4cl作平面?與平面a相交于直

線/,貝14c/〃；所以II平面4CD1即可證明平面a_L平面8道5；

.八\n-BP\11

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，表示MJ=麗麗=歷/3左21+1=司3(一/進(jìn)一步求最值即可.

12.答案：解：(1)存在點(diǎn)M,其中點(diǎn)M為8c的中點(diǎn).

取AD的中點(diǎn)N,連接MN,如圖所示：

由于四邊形A8CZ)為平行四邊形，

因此MN=4B,再結(jié)合4D=248得，AN=MN=DN,

所以4M1DM,

因?yàn)?4JL平面ABCD,DMu平面ABCD,

所以PA1DM,

而AMflPA=4AM,PAu平面PAM,

則DM_L平面PAM.

(2)以A為原點(diǎn)，A。為y軸，4P為z軸，平面ABC。內(nèi)過(guò)點(diǎn)A且和A￡＞垂直的直線為x軸，建立空

間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

如圖所示：

不妨設(shè)PA=1,依題意，4(0,0,0),P(0,0,1),D(0,2,0),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為沆=(x,y,z),

而而=(^,-p-l),PD=(0,2,-1),

則以號(hào)x-1-z=0,取“5,得沆=(5,遮,2⑸，

m-PD=2y—z=0

平面BDA的一個(gè)法向量為五=(0,0,1),

、沆員

則milcos<7m―*,n—>==—27V=3=—V30，

|m||n|2V1010

由圖知，二面角P-BC—4為銳角，

故二面角P-BD-4的余弦值為瘦.

10

解析：本題考查線面垂直的判定及利用空間向量求二面角的余弦值，屬于中檔題.

(1)存在點(diǎn)M,其中點(diǎn)M為8c的中點(diǎn).取的中點(diǎn)N,連接MN,由AM1OM,PAA.DM,即可求

解；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系g，z,如圖所示，利用空間向量求二面角的余弦值.

13.答案：(1)證明：連接8D

?；ABCD為菱形,：.AB=AD.

又???NB4D=60。，二44B0為正三角形.

???E為A8中點(diǎn)，ADE1AB,

DE±BE,DE1ArE,BEDArE=E,BE,&Eu平面A/E

DE1平面&BE,又???OEu平面BCQE,

.??平面4BE，平面BCDE.

⑵???4EJ.BE,二EB,ED,E2兩兩垂直，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EB,ED,E&分別為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系E—xyz.

??,菱形的邊長(zhǎng)為2,.?.￡)￡?=6，.?.￡>((),竟,0)

???AE=1,???&(0,0,1),CD=2,.-^(2,73,0)

設(shè)平面4CD的法向量為五=(x,y,z)

)CD-n=0,(-2x=0

|^D-n=0"lV3y-z=0

不妨設(shè)y=l，則z=8，x=0,元=(0,1,遮)，CE=(-2,-V3,0)

設(shè)CE與平面&CD所成角為a,

則sina=|cos<CE，元>1=鬻=必=察?

解析：本題考查了面面垂直的判定，線面角求解，屬于中檔題.

(1)由題意可證OE1BE,DE1ArE,即可證明DE_L平面&BE,根據(jù)面面垂直判定定理可證明平面

ArBE，平面BCDE；

(2)易得EB,ED,E4兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EB,ED,E4分別為x,y,z軸建立直

角坐標(biāo)系E-xyz.,利用向量法求解線面成角即可.

14.答案：(1)證明：???PCI5]20ABCD,力Cu平面ABC。，??.AC1PC,

???四邊形A8CO是直角梯形，ABVAD,AB//CD,AB=4,AD=CD=2,AC=BC=2近,

AC2+BC2=AB2,???ACIBC.

又BCCPC=C,BCPTU平面PBC,

???AC，平面PBC.

ACu平面EAC,

平面EACJ■平面PBC.

(2)解:如圖:

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，~DA，~CD,而分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),A(2,2,0),B(2-2,0),P(0,0,2a)(a>0),

則E(l,-l,a),CA=(2,2,0),CP=(0,0,2a),CF=(l,-l,a).

取沆=(1,-1,0),則記.琳=記.麗=0，則記為平面PAC的一個(gè)法向量.

設(shè)五=(x,y,z)為平面EAC的法向量，則記.方=元.*=0，

即*=0，取X=。，y~~a,z=-2,則元=(a,-a,-2)是平面EAC的一個(gè)法向量,

由題意知，|cos<m,n>|=解得a=2,

于是丘=(2,-2,—2),PA=(2,2,—4).

設(shè)直線PA與平面EAC所成角為氏

則sin。=|cos<PA,n>|=^=y,

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為它.

3

解析：【試題解析】

本題考查了線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，面面垂直的判定和利用空間向量求線面和面面的夾

角.

(1)利用線面垂直的性質(zhì)得AC1PC,再利用線面垂直的判定得4c1平面PBC,最后利用面面垂直的

判定得結(jié)論；

(2)如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，DA，CD，而分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用

空間向量求面面的夾角得a=2,再利用空間向量求線面的夾角計(jì)算得結(jié)論.

15.答案：解：(1)設(shè)矩形ABCQ對(duì)角線交點(diǎn)為0,

v0A=OB=0C=0D,：.。為三棱錐A-BCD的外接球的球心.

???外接球半徑22+(2>/3)2

=2'

.?.外接球的表面積S=4nR2=167r.

(2)當(dāng)三棱錐4-BCD的體積最大時(shí)，平面4B01平面BCD.

設(shè)A點(diǎn)在上的射影為“，則8。為面AB。與面BCD的交線，貝lj4HL平面BCD

在平面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)8作BE〃CD且BE=CD,連接AE,EH.

中，BE=2,BH=1,AEBH=120°,

所以，由余弦定理得EH=Jl2+22-2x1x2X(-i)=V7.

在直角三角形AHE中，AH=痘,EH=小,則AE=

三角形A8E中，AB=2,BE=2,AE=VT0.

由余弦定理得，cos^ABE=4+4-101

2x2x24

由于乙4BE就是異面直線A8與CD所成角或其補(bǔ)角，則異面直線AB與8所成角的余弦值為;.

4

(3)動(dòng)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以“為圓心，A”為半徑的半圓，AH=y[3.

所以，軌跡長(zhǎng)度/一《入

A

解析：本題考查球的特征和表面積公式，異面直線所成角，曲線的軌跡，屬于難題.

(1)利用矩形的特征，確定球心為矩形對(duì)角線交點(diǎn)，求出球的表面積；

(2)根據(jù)三棱錐體積最大，可知平面48。_L平面BCQ,設(shè)A點(diǎn)在上的射影為H,貝BD

為兩平面交線。則平面BCD,在平面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)3作BE〃CD且BE=CD,連接AE、EH,則

可確定異面直線AB與CO所成角，計(jì)算可得.

(3)根據(jù)點(diǎn)4繞8。旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)A的軌跡是半圓，半徑為點(diǎn)A到BD的距離，可求得半圓的周長(zhǎng).

16.答案：(1)證明：連接8￡>,交AC于O,連接P0.

因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2vHE方形，

所以。4=0C=0B=0D=2.

因?yàn)镻4=PC,0A=0C,所以P0JL4C.

因?yàn)槠矫鍼4CJ■底面ABCD,平面P4Cn底面4BC0=AC,POu平面PAC,

所以P。_L底面A8C￡>,

而B(niǎo)Du底面ABCD,因止匕P。1BD.

又因?yàn)镺B=OD,所以PB=PD.

(2)解：由(1)知：PO1.AC,PO1BD,AC1BD,

因此以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB,OC,OP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：

(設(shè)平面DMN與直線PB交于G)

由(1)可知0P=2,可得P(0,0,2),4(0,-2,0),P(2,0,0)((0,2,0),。(-2,0,0),

M(0,-1,1),/V(0,1,1),DM=(2,-1,1),MW=(0,2,0)，CD=(-2,-2,0)，PD=(-2,0,—2)設(shè)平面DMN

的法向量元=(x,y,z),11?DM-n=0,MN-n=0

今x=l,可得五=(1,0,-2),

PB=(2,0,-2).設(shè)平面PCD的法向量記=(a,b,c),m-CD=0,m-PD=0

{m,令。=1可得記—)，

/一一、inn3V15./一一、V1O

3(小用=麗=標(biāo)=廿sm(m,n)=—.

解析：本題考查了線面垂直的性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成角和利用空間向量求線面的

夾角，屬于中檔題.

(1)連接BD,交AC于。，連接PO,利用平面幾何知識(shí)得P。1AC,再利用面面垂直的性質(zhì)得P。_L底

面ABCC,再利用線面垂直的性質(zhì)得PO_LBD,再利用平面幾何知識(shí)得結(jié)論；

(2)由(1)知，08,OC,OP兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線08,OC,OP的方向分別為x軸，y

軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量祐=(x,y,z),平面PCD的法向量而=

(a,b,c),解答即可.

17.答案：(1)證明：取AC的中點(diǎn)為F,分別連接EF,BF,

又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以E/7/PA,EF^\PA,

又因?yàn)镻A//DB,DB=^PA^VXEF//DB,EF=DB,

所以四邊形EFBO是平行四邊形,

所以DE〃BF,

又DE<t平面力BC,BFu平面ABC,所以DE〃平面ABC.

(2)解：由(1)可知，P44B,4c三條直線兩兩相互垂直.

以AB,4C,4P分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，連接D4,

因?yàn)?E=y/3,EF=1,AF=魚(yú),二AC=2y/2

所以BC=2百???AB=2,

所以點(diǎn)4(0,0,0),8(2,0,0),。(0,2夜,0),P(0,0,2),E(0,V2,1),。(2,0,1),

.-：AB=(2,0,0)是面AEC的一個(gè)法向量，

???AE=(0,VI1)AD=(2,0,1),

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量沆=(x,y,z),

則pn-AE=y[2y+z=0

Im-AD=2x+z=0

令y=VX得沅=(1,迎,-2)

設(shè)所成的銳二面角為仇

所以cos。=|cos<m,AB>\=|高贏|=y

故所求銳二面角。-AE-C的余弦值為它.

7

解析：本題考查線面平行的判定和二面角的求解，屬于中檔題.

(1)由題意結(jié)合題意和平行四邊形的知識(shí)，結(jié)合線面平行的判定定理可得答案；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求解.

18.答案：(1)證明：因?yàn)槠矫鍯DEJ_平面ABCD,平面CDEn平面ABC。=CD,且BC1CD,

所以BC_L平面CDE,

又因?yàn)?。Eu平面CDE,

所以BC1DE,

因?yàn)镃E1DE,BCCCE=C,BCu平面EFBC,CEu平面EF8C,

所以DE1平面“BC;

(2)如圖，取8、AB中點(diǎn)0、P,連結(jié)EO,0P.

因?yàn)槠矫鍯DE,平面ABCQ,△CDE為等腰直角三角形，

所以E0_L平面ABCD.

易知。尸，OC,0E三條直線兩兩垂直，

分別以O(shè)P,OC,0E為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則4(4,一2,0),8(4,2,0),C(0,2,0),0(0,-2,0),

F(0,0,2),尸(2,0,2),AB=(0,4,0),而=(2,2,-2),

設(shè)平面ABF的法向量為記={x,y,z),

哪嚼二小所以修;2.2Z=0,令…得五=(1。1).

由(1)知DE_L平面EFBC,所以平面BFC的法向量為屁=(0,2,2).

■一一”’21

cos伍，陽(yáng)=反亞=5，

由圖可知二面角4-BF-C為鈍角，所以二面角A-BF-C的余弦值為一

解析：本題考查線面垂直的判定及性質(zhì)，考查利用空間向量求面

面的夾角，考查空間思維能力，分析與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)由題得BCJL平面COE,又DEu平面COE,所以BC_LDE,再/，\

根據(jù)線面垂直的判定定理證得DE1平面EFBC;1/---------------丁”

(2)取C￡＞、AB中點(diǎn)。、P,連結(jié)E。，0P.由題得OP,OC,0E

三條直線兩兩垂直，建立空間思維能力，利用空間向量求得二面角A-BF-C的余弦值即可.

19.答案：解：(1)設(shè)4CnB0=。，取BE中點(diǎn)M,連接MO、MF,

???四邊形ABCD是正方形，

是8。的中點(diǎn)，又M是BE的中點(diǎn)，；.OM〃DE,OM=\DE,

?.?四邊形ADE尸是直角梯形，AF//DE,AF=\DE,：.OM/±AF,

四邊形AFMO是平行四邊形，：.AO//FM,

又FMu平面BEF,A0仁平面BEF,

4。〃平面BEF,即4C〃平面BEF-

(2)???BC//AD,BC,平面ADEF,ADu平面ADEF,BC//平面ADEF,

■■ABA.AD,平面ABC。1平面ADEF,

ABABCD,平面48coe平面4DEF=4。,

AB