高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) (29)(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（29）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共7小題，共35.0分）

1.在三棱錐4-BCD中，△4C0與ABC。都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面4co_L平面3CD,則

該三棱錐外接球的表面積為（）

「

A207rc87r

A,FB.等-TD.y

2.如圖，四面體A—BCD中，AB=1,AC=CD=DA=2,當(dāng)8CA

與面ACQ所成角最大時(shí)，四面體A-BCO的體積為（）

1

A.

2

B.c

c.V3

D.不確定

3.已知正四面體P—ABC,Q為團(tuán)ABC內(nèi)的一點(diǎn)，記尸Q與平面PA8、PAC,P8C所成的角分別為

a、/?、y,則下列恒成立的是（）

A.sin2a4-siM。+sin2y>2B.cos2a+cos2/?+cos2y>2

ii

C.tan2a+tan2/?+tan2y<1D.tan2a+tan2^+高w1

4.設(shè)a,0表示平面，/表示直線(xiàn)，A,B,C表示三個(gè)不同的點(diǎn)，給出下列命題:

①若ae/,A&a,Bel,Bea,則/ua；

②若A6a,Ae0,BEa,Be0,則an￡=AB；

③若I(ta,A&l,則Aga；

④若A,B,Cea,A,B,Ce0,則a與/?重合.

其中，正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.三棱錐P-ABC中，P4_L平面ABC,^ABC=30°,△?!「（；的面積為2,則三棱錐P-4BC的外

接球體積的最小值為（）

A.4兀B.yC.64兀D.等

6.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱；

②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐；

③用一個(gè)面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺(tái)；

④側(cè)面都是長(zhǎng)方形的棱柱叫長(zhǎng)方體.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

7.四棱錐S-4BCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面是正方形且和球心。在同一平面內(nèi),

當(dāng)此四棱錐體枳取得最大值時(shí)，其表面積等于8+8W，則球。的體積等于（）

A.—B,現(xiàn)空C.167rD,見(jiàn)史

333

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

8.對(duì)于四面體A8CD,以下命題中正確的是（）.

A.若AB=AC=AD,貝!MB,AC,4D與底面所成的角相等

B.若ABLCD,ACLBD,則點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是/BCD的內(nèi)心

C.四面體4BCQ的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形

D.若四面體ABC。的6條棱長(zhǎng)都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為g

6

三、填空題（本大題共12小題，共60.0分）

9.如圖，在四棱錐P-4BCD中，頂點(diǎn)P在底面的投影。恰為正方

形ABCD的中心且AB=2或，設(shè)點(diǎn)M,N分別為線(xiàn)段尸￡>,PO

上的動(dòng)點(diǎn)，已知當(dāng)川V+MN取得最小值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M恰為PO的中

點(diǎn)，則該四棱錐的外接球的表面積為.

10.已知”,6為空間中成60。角的兩條異面直線(xiàn),P為兩直線(xiàn)外一點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)P可以作個(gè)平面與a,b都平行；過(guò)點(diǎn)P可以作條直線(xiàn)與a,b均成60。角.

11.已知三棱錐S-4BC的所有頂點(diǎn)在球。的球面上，SA_L平面A8C,△4BC是等腰直角三角形，

SA=AB=AC=2,。是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)。作球O的截面，則截面面積的最小值是.

12.某兒何體的三視圖如圖所示，正視圖為腰長(zhǎng)為I的等腰直角三角形，側(cè)視圖、俯視圖均為邊長(zhǎng)

為1的正方形，則該幾何體的表面積是.

裕視圖

13.如圖，在直三棱柱力BC-4181cl中，底面為直角三角形，AC=6,^ACB

BC=CC[=V2,P是Be1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+P占的最小值是.

14.在四面體ABC。中，若AB=CD=*,AC=BD=娓,AD=BC=

四面體ABCD的外接球的表面積為

15.三棱錐P-4BC中，24_1_面48<?,/.ABC=30°,△APC的面積為2,則三棱錐P-48c外接球

體積的最小值為。

16.如圖，在正三棱柱ABC—4&G中，AB=2,44=3,則四棱錐

A1-BiGCB的體積是.

17.一個(gè)直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒(méi)入水中后，水面升高9厘米，則此

球的半徑為

18.下列各圖中A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出4B〃面MNP

的圖形序號(hào)是.（寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào)）

19.已知棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)接于球。點(diǎn)P是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)。是正方體一條棱的中點(diǎn),

則直線(xiàn)PQ被球。截得線(xiàn)段長(zhǎng)的最大值為

20.一個(gè)帳篷下部的形狀是高為2m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為

3〃?的正六棱錐(如圖所示).試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)。到底面中心01的距

離為

時(shí)，帳篷的體積最大？

四、解答題(本大題共10小題，共120.0分)

21.如圖，在四面體A8CC中，AD=2AB=2AC,BD=BC=y^AB，二面角C一4B-0的大小等

于120。，點(diǎn)M,N分別在邊BC和OC上，且BM=2MC,DN=2NC.

(/)求證：平面4B0J■平面AMN；

(〃)求直線(xiàn)CD與平面ABD所成角的正弦值.

22.如圖。四棱錐P—4BCD中，P4ABCD,AD//BC,AB1AD,AD=2AB=2BC=2,PA=2,

點(diǎn)M滿(mǎn)足而=2PM.

(1)求證：PB〃平面MAC；

(2)求直線(xiàn)PC與平面MAC所成角的正弦值.

23.如圖，四棱錐P-ABC。中，PA_L平面ABC￡>,4D〃BC,4B=2AB=2BC=2,PA=2,

點(diǎn)M滿(mǎn)足而=2PM.

(1)求證：PB〃平面MAC；

(2)求直線(xiàn)PC與平面MAC所成角的正弦值.

24.在如圖所示的多面體中，平面ABBi&L平面A8CZ),四邊形ABB14是邊長(zhǎng)為2的菱形，四邊形

ABCQ為直角梯形，四邊形BCGBi為平行四邊形，且4B〃CD,AB1BC,CD=1.

Bl

(1)若E,尸分別為4a，BG的中點(diǎn)，求證：EF1平面力BlCl：

(2)若44/8=60。，4cl與平面ABC。所成角的正弦值為，，求二面角4一AC】一D的余弦值.

25.如圖所示，正四棱錐P-48co中，。為底面正方形的中心，側(cè)棱PA與底面ABC。所成的角的

正切值為漁.

2

(1)求側(cè)面PAO與底面ABC。所成的二面角的大??；

(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)與AE所成角的正切值；

(3)問(wèn)在棱AO上是否存在一點(diǎn)F,使EF1側(cè)面P8C,若存在，試確定點(diǎn)戶(hù)的位置；若不存在,

說(shuō)明理由.

26.如圖，四棱錐E-ABCD中，底面A8CD為梯形，AB//CD,S.AB=2CD,側(cè)面AOE為等邊三

角形，側(cè)面ABE為等腰直角三角形，且NE4B為直角，平面4BE1平面4OE.

(I)求證：平面4BE_L平面8CE；

(11)求平面4?！旰推矫鍮CE所成二面角(銳角)的大小.

27.如圖，四棱錐尸-4BCD的底面為菱形且N4BC=120°,PA，底

ffiABCD,AB=1,PA=痘,E為PC的中點(diǎn).

(1)求直線(xiàn)DE與平面PAC所成角的大小;

(2)求二面角E-AD-C平面角的正切值;

(3)在線(xiàn)段PC上是否存在一點(diǎn)M,使PC工平面MBZ)成立.如果存在，求出MC的長(zhǎng)；如果不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

28.四面體4一BCO中，AB=AC=AD=BC=BD=3,E是A8上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CD、EF

的中點(diǎn).

(1)當(dāng)E是AB中點(diǎn)，CD=3時(shí)，求證：DGLBC-,

(2)4E=1,當(dāng)四面體力-BCO體積最大時(shí)，求二面角。-CE—B的平面角的正弦值.

29.在三棱柱ABC-a/iG中，AC=BC=2,乙4cB=120。，。為必當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn).

(I)證明:41c〃平面BC】。；

(II)若&A=&C,點(diǎn)兒在平面4BC的射影在AC上，且側(cè)面為ABB1的面積為2%，求三棱錐

&一BGD的體積.

30.如圖，在四棱錐A-8COE中，平面ABC平面BCQE,Z.CDE=Z.BED=90°,AB=CD=2,

DE=BE=1,AC=V2.

(1)證明：ACBCDE；

(2)求直線(xiàn)AE與平面ABC所成的角的正切值.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，涉及球的表面積公式的應(yīng)用，屬于較難題目.

解：取AB,CD中點(diǎn)分別為E,F,連接EF,AF,BF,

由題意知力F1BF,AF=BF,EF=—>

2

易知三棱錐的外接球的球心。在線(xiàn)段EF上，

連接OA,OC,^R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,

求得”=I，

所以其表面積為等.

故選A.

2.答案：A

解析：

本題本題主要考查了直線(xiàn)與平面所成的角，以及三棱錐的體積的求法.重點(diǎn)考查求四面體4-BCD的

最大體積，屬于基礎(chǔ)題。由于底面積固定，所以只要高最大時(shí)，體積最大。

解：vAC=CD=DA=2,即△AC。是等邊三角形，

S&MD—,,x2X2siit(i()■—.

當(dāng)A8LBC時(shí)，8c與面4C。所成角最大，

此時(shí)BC=V22-l2=V3-

^A-BCD=^B-ACD=3^6ACD'%('^^AACD'BC=-X>/3X

故選A.

3.答案：B

解析：

本題考查直線(xiàn)與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

利用特殊點(diǎn)，判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.

解：當(dāng)。為底面ABC的中心時(shí)，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則底面三角形的高為:fa，如圖QE=9a，

PQ=.a,此時(shí)：siMa+siMj?+sin2y=3x（含）

=[,排除選項(xiàng)

/吟2g

COS2a+COS2s+COS2y=3x（/）=->

tan2a+tan2/?+tan2y=3x（金）=1<1>

/V6\2

-^-+-^T+^-3x=24>1，排除。.

tan2atan2ptan2y、蟲(chóng)J

/，唇)飛，&

當(dāng)。與A重合時(shí)，a=￡=0。，y=乙4PF,血丫=完

tany=--F-----=------------------=V2

-2a2-a

cos2a+cos2jff+cos2y>2,

tan2a+tan2s+tan2y=2,排除C.

故選B.

4.答案:A

解析：

本題考查平面的基本性質(zhì)及推論的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中點(diǎn)，線(xiàn)，面間的

位置關(guān)系的合理運(yùn)用.

在(1)中，由公理2知a；在(2)中，由公理3知a0夕=48或a,口重合；在(3)中，4Ca或4ea；

在(4)中，只有A,B,C不共線(xiàn)時(shí)a與口重合.

①若4Cl,Aea,Bel,BEa,且A,8表示兩個(gè)不同的點(diǎn)，則由平面的基本性質(zhì)的公理1,可

得，ua,故正確.

②若若4ea,A&p,B&a,Be￡,且4,B表示兩個(gè)不同的點(diǎn)，分兩種情況：若a,夕表示兩個(gè)

不同的平面，則由平面的基本性質(zhì)的公理2,可得anS=4B；若a與/?表示相同的平面，則a與口重

合，故不正確.

③若AEl,則不能判定A是否在平面a上，故不正確.

④若A,B,C&a,A,B,Ce￡,分兩種情況：若A,B,C不共線(xiàn)，由平面的基本性質(zhì)的公理3,

可得a與/?重合；若A,B,C共線(xiàn)，則不能判定a與夕重合，故不正確.所以其中正確的有1個(gè).

故選4.

5.答案：D

解析：

本題考查線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，球的體積，屬于中檔題.

由已先求出;P4-4C=2,—^―2r（rA.ABC的外接圓半徑），即AC=r,PA=~,再求出R=

2siuMhr

卜+《）2=卜+（>2,從而求出體積?

解：因?yàn)镻4L平面ABC,/.ABC-3（?,AAPC的面積為2,

所以;P4?4C=2,-^―-2r（rA.ABC'的外接圓半徑），

2siikMb

即J4c=r,PA=r

所以三棱錐P-4BC的外接球的半徑R=9+與2=卜++>2.當(dāng)且僅當(dāng)r=1時(shí)，等號(hào)成立.

所以三棱錐P-ABC的外接球體積的最小值為.%正：TTx如:.

故選D

6.答案：A

解析：

本題考查棱錐，棱柱，棱臺(tái)定義的應(yīng)用，考查空間想象能力，基本知識(shí)的考查，利用棱柱，棱錐，

樓臺(tái)的定義判斷選項(xiàng)的正誤即可.

解：①有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱；不滿(mǎn)足棱柱的定義，所以

不正確；

②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐；不滿(mǎn)足棱錐的定義，所以不正確；

③用一個(gè)面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺(tái)；沒(méi)有說(shuō)明兩個(gè)平面平行，不滿(mǎn)足棱臺(tái)定義,

所以不正確；

④側(cè)面都是長(zhǎng)方形的棱柱叫長(zhǎng)方體.沒(méi)有說(shuō)明底面形狀，不滿(mǎn)足長(zhǎng)方體的定義，所以不正確；

正確命題為0個(gè).

故選A.

7.答案：A

解析：解：由題意，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱

錐，

B

???該四棱錐的表面積等于8+8通，

設(shè)球。的半徑為R,則AC=2R,SO=R,如圖，

???該四棱錐的底面邊長(zhǎng)為AB=y[2R，

則有(eR)2+4X|XV2RxJ咨R)2+R2=8+88，

???/?=2>

.?.球0的體積是疑x23=y?r.

故選：A.

當(dāng)四棱錐體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐，根據(jù)該四棱錐的表面積等于8+8如，確定該四棱

錐的底面邊長(zhǎng)和高，進(jìn)一步求得球的半徑為R,代入球的體積公式得答案.

本題考查球內(nèi)接多面體的體積，解題的關(guān)鍵是確定球的半徑，是中檔題.

8.答案：ACD

解析：

本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積，空間中線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

對(duì)于A,根據(jù)線(xiàn)面角的定義即可判斷；對(duì)于B,根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)可知，。是△BCD的垂心，

對(duì)于C在正方體中，找出滿(mǎn)足題意的四面體，即可得到直角三角形的個(gè)數(shù)，對(duì)于。作出正四面體的

圖形，找到球的球心位置，說(shuō)明0E是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表面積.

對(duì)于4選項(xiàng)，因?yàn)?B=AC=力。，設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是0,

因?yàn)閟in乙4B。=—,sin/ACO=—,sin乙4D0=—,

ABACAD

所以sinz_480=sm/.ACO=sinz.ADO,

則AB,AC,A。與底面所成的角相等，故A正確；

對(duì)于8選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影是0,

則AOJ■平面BCD,CDu平面BCD,

故A。JLCD,Y.AB1CD,

AOCtAB=A,AO,4Bu平面AB。，

故CZXL平面ABO,又OBu平面ABO,

則CD1OB,

同理可證BDIOC,所以。是△BCD的垂心，故B不正確；

如圖：直角三角形的直角頂點(diǎn)已經(jīng)標(biāo)出，直角三角形的個(gè)數(shù)是4.故C正確；

如圖，。為正四面體ABC。的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長(zhǎng)為1；

C

所以。E為內(nèi)切球的半徑，BF=AF=^，BE旌

所以AE=J一；半

因?yàn)锽O?-0E2=BE2,所以(與一0E)2-0E2=(y)2.

所以。Ej，所以球的表面積為屋，故。正確.

故選：ACD.

647T

9.答案:

解析：

本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的位置關(guān)系，球的表面積計(jì)算，屬于中檔題.

在PC上取對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M',顯然當(dāng)M'為PC的中點(diǎn)時(shí)，AM'1PC,計(jì)算棱錐的高，利用勾股定理計(jì)算

球的半徑，從而得出球的表面積.

解：依題意知，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，在PC上取點(diǎn)M',使得PM'=PM,

則MN=M'N,

當(dāng)AM，1PC時(shí),取得最小值,

即AN+NW的最小值為AW,

M為PD的中點(diǎn)，

故而W為PC的中點(diǎn)，

???PA=AC=4,PO=y/PA2-AO2=2百,

設(shè)外接球的半徑為r,

則產(chǎn)=(2V3-r)2+4.

解得：r=延，

3

,外接球的表面積為47n'2=詈.

故答案為“”.

<>

10.答案:0或1,3

解析：

本題考查空間直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系，考查線(xiàn)面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)定理，注意定理的條

件是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

解：a,。為空間中成60。角的兩條異面直線(xiàn)，尸為兩直線(xiàn)外一點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)尸分別作。，6的平行線(xiàn)a',b',

則相交線(xiàn)優(yōu)，b'確定的平面與直線(xiàn)與“，6都平行，

故過(guò)點(diǎn)尸可以作一個(gè)平面與“，人都平行.

將。、匕平移到同一平面，

則與。、%均成60度的直線(xiàn)有三條(一條在“、b所在平面內(nèi)，另外兩條在空間中)，

。為空間任一點(diǎn)，

則與〃、6成60度的三條直線(xiàn)都可以平移到。點(diǎn),

二過(guò)P可以作3條直線(xiàn)與“，6均成60。角.

故答案為?；?,3.

11.答案：2兀

解析：

本題考查了勾股定理、球的截面圓性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.

過(guò)點(diǎn)。作球。的截面，當(dāng)OC_L截面時(shí)，截面圓的半徑最小，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可

得截面面積的最小值.

解：點(diǎn)。是RtAABC的外心，過(guò)點(diǎn)。作0。平面ABC使。。=[S4=1,

￡

易得。是外接球球心，半徑設(shè)為R,OA=OS=R,

在直角梯形SA。。中，SA=2,OD=l,AD=>/2,得R=百，

過(guò)點(diǎn)。作球。的截面，當(dāng)OD1截面時(shí)，截面面積最小，

此時(shí)截面圓的半徑為VR2-=V2.

截面面積的最小值是27r.

故答案為27r.

12.答案：省

22

解析：

本題考查幾何體的三視圖和棱錐的表面積與體積問(wèn)題，根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體的形狀是本題的關(guān)鍵

難點(diǎn)，屬中檔題，難度較大，解決此類(lèi)問(wèn)題，常?？梢栽谡襟w（或長(zhǎng)方體）中根據(jù)三視圖探究幾何

體的形狀，然后根據(jù)面積和體積公式計(jì)算即可.

解：在正方體中探究可知幾何體的形狀是如圖所示的四棱錐A-BCD.A,.

5

全面積S=S&I8C+S^ABAi+S^AAiDi+，$A4rOi+S矩號(hào)兒

1111廣L6L

=-xlxl+-xlxl+-xlxl+-xV2xV2xT+V2xl

=企+1+爭(zhēng)

故答案為夜+|+冬

13.答案:5^2

解析：

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征及兩點(diǎn)之間的距離，屬于基礎(chǔ)題，沿BCi將ACBCi展開(kāi)與△力國(guó)弓在同一個(gè)

平面內(nèi)，不難看出CP+P4的最小值是的連線(xiàn).

解：由題意，不難驗(yàn)證AAICIB是直角三角形，沿BG展開(kāi)，ACGB是等腰直角三角形，

作CE1&G，CE=C1E=1,

2

???41P+PC=ArC=V7+1=5V2.

故答案為5企.

14.答案：IOTT

解析:

本題考查四面體外接球的表面積，屬中檔題.

由題意可采用割補(bǔ)法.考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可將其補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方

體，進(jìn)而求解即可.

解：由題意可采用割補(bǔ)法.考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形,

所以可將其補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y,z的長(zhǎng)方體,

如圖，且M+y2=5,%2+z?=9,y2+z?=6,

則（2/?產(chǎn)=x2+y2+z2=10（R為四面體ABCD外接球的半徑）,

即4R2=10兀，所以外接球的表面積S=4nR2=107r.

故答案為10m

15.答案：y7T

解析：

本題考查了棱錐與球的位置關(guān)系，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

由題意畫(huà)出圖形，設(shè)AC=x,由AAPC的面積為2,得再由N4BC=30。，得三角形A8C外

接圓的半徑r=x,求出球心到平面48c的距離，再由勾股定理可得外接球的半徑，利用基本不等

式求得最小值，代入球的體積公式求解.

解：如圖，

B

設(shè)4C=x,由△?!0(?的面積為2,得P4=%

v/.ABC=30°,

三角形ABC外接圓的半徑r=x,

平面

???PA1ABC,PA=X

。到平面ABC的距離為d

2X

設(shè)球。的半徑為R,

則R=Vr2+d2=卜+妥＞V23^2=2.當(dāng)且僅當(dāng)x=夜時(shí)“=”成立，

三棱錐P-ABC的外接球體積的最小值為“x23=等.

故選,兀.

16.答案:2V3

解析：

本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，屬于中檔題.

連結(jié)取BiG的中點(diǎn)E,連結(jié)為E,由已知條件推導(dǎo)&E為四棱錐&-BiCiCB的高，由此能求出四棱

錐4-B1GCB的體積.

解：如圖，取BiG的中點(diǎn)E,連結(jié)&E,易證&E1平面B/CiC,

所以&E為四棱錐4-BiGCB的高，

11——

所以%］傳椎人-BCCB=3s矩形88CCx4右=-x(2x3)xV3=2/3.

?)?)

17.答案：12cm

解析：

本題考查了圓柱和球的體積的實(shí)際應(yīng)用.由題意得到球的體積為高為9cm,底面半徑為16a〃圓柱的

體積，從而得到結(jié)果.

解：???依題意球的體積為高為9cm底面半徑為16cm圓柱的體積，

設(shè)球的半徑為K,

?申收=71X162X9,

???R=12(cm).

故答案為12cm.

18.答案：①③

解析：

本題考查立體幾何中的直線(xiàn)與平面平行的判定，屬中檔題.

根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理、面面平行的性質(zhì)定理分析即可確定.

解：①如圖，標(biāo)出C點(diǎn)的位置,

在正方體中，有4C〃MN,ACPMN,MNu平面PMN,

故AC〃平面PMN,

同理可證，BC〃平面PMN,

ACC}BC=C,AC,BCu平面ABC,.?.平面ABC〃平面PMN,

ABu平面ABC,AB〃平面PMN,故①滿(mǎn)足.

②如圖，標(biāo)出。點(diǎn)的位置，取8。的中點(diǎn)0,連接N0,

N為A力的中點(diǎn)，。為8力的中點(diǎn)，

NO//AB,

NO與平面MNP有公共點(diǎn)N,且NO，平面MNP,

與平面MNP不平行，故②不滿(mǎn)足.

③取尸上方頂點(diǎn)為C,連接AC,BC,

由題意易證4C〃MN,BC//NP,且ACCBC=C,MNCNP=N,

二平面ABC〃平面NMP。

??.4B〃平面MVP,故③滿(mǎn)足.

④如圖，標(biāo)出C點(diǎn)的位置，E為AC的中點(diǎn),

易知,ME//AB,

ME與平面MNP有公共點(diǎn)M,且MEC平面MNP,

??.4B與平面MNP不平行，故④不滿(mǎn)足.

故答案為①③.

19.答案：y

解析：

本題考查空間幾何體的特征，球與多面體的問(wèn)題.

解：要使直線(xiàn)PQ被球。截得的線(xiàn)段長(zhǎng)最大，則需要P。到球心0的距離最小，則P,。應(yīng)該在如圖

所示的相對(duì)位置.

作0M1PQ于點(diǎn)M,易知OQ=V2,PQ=3,OP=V3.AOPQ的面積為］xOQx1=0MXPQ,

所以。"=爭(zhēng)"昨析/=|,

所以此時(shí)PQ被球O截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2Mp=y.

故答案為g.

20.答案:V7

解析：

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值的方法，解題的關(guān)鍵是求出體積的表達(dá)式，設(shè)出頂點(diǎn)。到底面中心。1的

距離，再求底面邊長(zhǎng)和底面面積，求出體積表達(dá)式；接著求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出高為

何時(shí)體積取得最大值，屬中檔題.

解：解：設(shè)00］為xm,(2<x<5).

則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為J32-(x-2"=V5+4x-%2(m).

于是底面正六邊形的面積為6x曰x(V5+4x-x2)2=苧x(5+4x-M),

帳篷的體積為，V(x)=V棱柱”棱錐=S底面-也棱柱*h棱諭.

可得"(無(wú))=等x(5+4x—x2)x(x-2)+2]=y(20+21x—x3))

求導(dǎo)數(shù),得叫盼=,(21-3/).

令U'(x)=0解得x=-4(不合題意，舍去)，x=V7.

當(dāng)2cx<夕時(shí)，r(x)>0,V。)為增函數(shù)；

當(dāng)夕<x<5時(shí)，V'(x)<0,l/(x)為減函數(shù).

所以當(dāng)x=77時(shí)，U(x)最大.

故答案為近.

21.答案：(/)證明：不妨設(shè)AB=1,則4c=1,BC=BD=6,AD=2,

.-.AB2+BD2=AD2,得4BJ.B。，

-MN//BD,.-.AB1MN,

???BM=2MC,BM=―，

3

??,Z-ABC=30°,

???AM=V/1B2+AM2-2AB-AM-cos30°=—.

3

.-.AB2+AM2=BM2,得4B14M,

vAMClMN=M,且AM.AfNC平面AA/N,

：.AB±平面AMN,

???平面力BD1平面AMNt

(〃)分別以AM,AB為x,y軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

?.?二面角C-AB—D的大小等于120。，AB1BD,

不妨設(shè)AB=1,D(-今1,|),又有cg,-g,O),B(O,l,O)

設(shè)平面4BO的法向量為五=(x,y,z)

由荏=(0,1,0),而=(一/,1,|)

(y=0

得63n

-yx+y+-z=0

得元=(V3,0,1)

又5=(-尾,I)

二0皿=|cos(和記＞|=品=嚼.

解析：本題主要考查了面面垂直的判定以及線(xiàn)面所成角的計(jì)算，屬于中檔題.

(/)由條件證得/81聞/7和/814時(shí)，即可得平面」1.UN,從而得面面垂直；

(〃)分別以AM,AB為x,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得面A8O的法向量，利用向量法求解計(jì)算.

22.答案：解：(1)連接5Q,交AC于點(diǎn)。，連接OM,

-AD//BC,AD=2BC=2,

?A?D?一=OD—=r2,

BC0B

又麗=2兩，

ODDM「

???一=—=2,

OBMP

???0M//PB,

又OMU平面MAC,PB，平面MAC,

??.PB〃平面MAC；

(2)以AB,A。，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,2),C(l,l,0),4(0,0,0),

則PC=(1,1,-2),AC=(1,1,0),AM=(O.f)p,

設(shè)平面AMC的法向量為訪(fǎng)=(x,y,z),

rn'-AC=x+y=0,

,取沆=(2,-2,1),

m-AM=-y+-z=0,

.3，3

設(shè)直線(xiàn)PC與平面MAC所成角為0,

|無(wú)?沆|_y/6

則sin。|PC||m|=~9

解析：本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定，直線(xiàn)與平面所成角，利用空間向量來(lái)求線(xiàn)面的夾角的正弦

值，考查了邏輯能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)連接8。，交AC于點(diǎn)O,連接OM,通過(guò)證明。M〃PB,得出PB〃平面MAC；

(2)以AB,AD,AP所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得出正，前，祠，

通過(guò)求得平面MAC的法向量，得出直線(xiàn)尸C與平面MAC所成角的正弦值.

23.答案：解：(1)如圖，連接BD,交4c于點(diǎn)O,連接0M

AD//BC,AD=2BC=2,

—AD=—0D=2?,

BC0B

又說(shuō)=2麗嚕=等=2,

A0M//PB,

又0Mu平面MAC,PBC平面MAC,

：.PB〃平面MAC.

p.

(2)以4BMDMP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,2),C(1,1,O),4(000),

PC=(1,1,-2).前=(1,LO),AM=(0,|,|),

r,m-AC=%4-y=0

設(shè)平面MAC的法向建為沅=(%,y,z),則｛一24八，

m?AM=-y4--z=0

3Z3

取記=(2,—2,1),

設(shè)直線(xiàn)PC與平面M4c所成角為。，貝人in。=￡科=號(hào).

1Mll利9

解析：本題考查線(xiàn)面平行的判定，直線(xiàn)與平面所成角，屬于中檔題.

(1)由成比例得線(xiàn)線(xiàn)平行，再得線(xiàn)面平行；

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求出平面MAC的法向量為沅，可得直線(xiàn)PC與平面AMC所成角的正弦值

同?利_展

I用1網(wǎng)=■

24.答案:解:(1)連接&B,

???四邊形4BB1%為菱形，

???ABr1BAlf

???平面1平面ABC。，平面n平面4BCD=g8Cu平面ABC。，AB1.BC,

???BC1平面ABBMi，

又u平面

:.A±B1BC,

<BC〃BG，

???AXB1BC，

B1C1nABr=Bi，/Bi、B1C1u平面/當(dāng)?shù)模?/p>

AiB1平面力BiG.

"E,F分別為4G，BQ的中點(diǎn)，

EF//ArB,

EF_L平面AB?.

(2)設(shè)BiG=a,由(1)得BiG1平面

由N&AB=60°,BA=2,得4Bi=2百，AQ=V12+a2.

過(guò)點(diǎn)G作C[M1CC,與QC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M,取A3的中點(diǎn)H,連接&H,AM,HD,如圖所示:

又Z.A\AD=60",

△4B4為等邊三角形，[A-^HLAB,

又平面_L平面ABCD,平面4幽&n平面力BCD=AB,ArHu平面/^當(dāng)仆

故A/l￥ffiABCD.

???BCGBi為平行四邊形，

:.CC、“BB\,CC1(t平面力BBiu平面ABB】A，

???CC1〃平面4BB14,

又,:CD"AB,同理可證CO〃平面4BB遇口

CCjC\CD=C,CC\、CDu平面。C】M,

平面力〃平面DGM,

由(1),得BC1平面力BBi公,

???BCL平面DCi”,

?.?的用0：平面7)6”,；.8。1.(：1”,

???BCCCD=C,BC、DCu平面ABCD,

.-.GM_L平面ABCD,

NCi4M是4G與平面ABCD所成角，

?:A\BJIAB,C[BJ/CB,同理可證〃平面ABC。，當(dāng)口〃平面A8C￡>,

nCJBJ=,A/i、GBiu平面AiBiG，

平面4BCD〃平面&BiG,

???ArH=GM=b，

siiiZCi.l.W=I'=,解得@=遮.

ACi/z12+出5

在梯形43co中，易證DHL48,

如圖，以”為原點(diǎn)，分別以"A,HD,所在直線(xiàn)為工軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),0(0,73,0),41(0,0,V3),當(dāng)(一2,0,回0),C(T",0),

由西=(-1,0,遮)，及西=鬲，得Ci=(-2,8,遙)，

,-.Aci=(-3,73,73)，AD=(-1,73,0)，7^=(-1,0,73).

設(shè)平面ADC1的一個(gè)法向量為記=(%i，yi，Zi),

,n(-3x1+V3yt+Wzi=0

可1-%i+V3yx=0

令力=1，得沅=(8,L2),

設(shè)平面AaC1的一個(gè)法向量為記=(%2，%*2)，

彳日(-3%2+V3y2+V3Z2=o

1―%2+V3Z2=0

令Z2=1,得元=(V3,2,1).

―?―示?N3+2+27

「.COS<III.//>一,,—=,......r==

)1/JI|V3+1+4-V3+4+18

又?.,二面角4-AQ-。的平面角是鈍角，

4Ci

???二面角一/一。的余弦值是—O

解析：本題考查線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)及二面角問(wèn)題，考查空間想象能力、計(jì)算能力和推理能力，

屬于難題.

(1)轉(zhuǎn)化為證明與平面481cl垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直解決問(wèn)題；

(2)先利用幾何法找到AC】與平面ABCD所成角，求出&C1，再建立空間直角坐標(biāo)系，求解二面角余

弦值.

25.答案：解：(1)取A。中點(diǎn)M,連接MO,PM,

依條件可知4。，“。，AD1P0,則NPM。為所求二面角P-4。一。的平面角.

???P01?ABCD,

NPZ0為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角.

???tanZ-PAO=—>

2

設(shè)4B=Q,AO=-Q，

2

??-a?

?PO=AO-tanZ-POA=2

tanzPMO=—=V3.

MO

???乙PMO=60°.

???OE//PD,

???4。瓦4為異面直線(xiàn)PD與AE所成的角.

???AO1BD,AO1PO,

??.AO_L平面PBD.

又OEu平面PBD,

???AO1OE.

vOE=-PD=iVPO2+DO2=叵a，

224

.廠(chǎng)八402^10

tan乙4E。=—=---:

EO5

(3)延長(zhǎng)MO交BC于N,取PN中點(diǎn)G,連BG,EG,MG.

???BC，平面PMN

.,?平面PMN1平面PBC.

又PM=PN,4PMN=60°,

???△PMN為正三角形.

MG1PN.又平面PMNn平面PBC=PN,

：.MG1平面PBC.

.?.F是A。的4等分點(diǎn)，靠近A點(diǎn)的位置.

解析：（1）取4）中點(diǎn)M,連接MO,PM,由正四棱錐的性質(zhì)知4PMO為所求二面角P-力。-。的平

面角，NPA。為側(cè)棱尸4與底面A8C。所成的角，貝iJtan/PA。=漁，設(shè)AB=a，則40=辿a，PO=

22

AO-tanZ-POA=MO=tanz.PMO=V3?Z-PMO=60°；

2N

（2）依題意連結(jié)AE,OE,則OE〃PD,故40EA為異面直線(xiàn)P。與AE所成的角，由正四棱錐的性質(zhì)

易證。41平面POB,故△AOE為直角三角形，OE=%PD="PO?+=4，所以tan乙4E。=

224

AO_2-710

EO~5

（3）延長(zhǎng)M。交BC于N,取PN中點(diǎn)G,連8G,EG,MG,易得BC工平面PMN,故平面PMNJ■平

面P2C,而APMN為正三角形，易證MG_L平面P8C,取M4的中點(diǎn)尸，連所，則四邊形MFEG為

平行四邊形，從而MG〃FE,EF1平面P8C,尸是4。的4等分點(diǎn)，靠近A點(diǎn)的位置.

本題考查二面角及平面角的求法，異面直線(xiàn)所成角的正切值的求法，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，

注意空間思維能力的培養(yǎng).

26.答案：證明：（1）取4后中點(diǎn)“，BE中點(diǎn)N,連結(jié)￡>M,MN,NC,

△4DE為等邊三角形，M為AE中點(diǎn)

DM1AE,

又?.?平面4DE_L平面ABE,平面4DEn平面4BE=4E,DMADE,

DM1?平面ABE,

vMN為AEAB的中位線(xiàn)，MN=-AB>

2

T7〃1//

乂；CD=-AB>MN=CD'

二四邊形CQMN是平行四邊形，

：.CN//DM,：.CN，平面ABE,

又CNu平面BCE,二平面ABE，平面BCE.

解：（11）取4力中點(diǎn)0,BC中點(diǎn)凡連結(jié)OE、OF,

???平面4DEJ■平面ABE,nADEdnABE=AE,4Bu平面ABE,AB1AE,

：.AB1平面ADE,又AB〃OF,

???OFJ_平面ADE,：.OF1OD,OF1OE,

又。E1OD,on,OE,。尸兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，OD,OF,OE分別為x,y,Z軸，建立空間直角系，

設(shè)OD=a,則B(-a,2a,0),C(a,a,0),E(0,0,V3a),

BC=(2a,—a,0)>BE—(a,-2a,V3a)>

設(shè)平面BCE的半向量記=(x,y,z),

則B￡=2ax-ay=°,取”L得五二皿百)，

n-BE=ax—2ay4-V3az=0

由0尸，平面4。/，得平面ADE的法向量記=(0/，0),

設(shè)平面ADE和平面BCE所成二面角(銳角)的大小為氏

則的0=韶=2=圣

|m||n|V824

???平面AOE和平面8CE所成二面角(銳角)的大小為全

解析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意

空間思維能力的培養(yǎng).

(1)取4e中點(diǎn)加，BE中點(diǎn)N,連結(jié)CM,MN,NC,推導(dǎo)出四邊形C￡>MN是平行四邊形，由此能

證明平面力BE1平面BCE.

(11)取4。中點(diǎn)。，BC中點(diǎn)F,連結(jié)OE、OF,以。為原點(diǎn)，OD,OF,0E分別為x,y,z軸，建

立空間直角系，利用向量法能求出平面ADE和平面BCE所成二面角(銳角)的大小.

27.答案：解：(1)連接AC,BD,設(shè)4CnBD=。，

則由P4，底面ABCD,又PAu平面PAC,

得平面PAC1?底面ABCD,平面PACC底面ABC。=AC,

又由底面ABCD為菱形可得BD14C于0,又DOu平面ABCD,

：.DO_L平面PAC.

連接OE,則OE為OE在平面PAC上的射影，

二4DEO即為OE與平面PAC所成的角.

E為PC中點(diǎn)可得EO=-PA=—,

22

由菱形性質(zhì)可得，在RtAAO。中，Z.ADO=60°,AD=1,

DO=

2

???在RtADEO中，tanzDEO,

EO3

???Z-DEO=30

(2)因?yàn)镻4IJftffiABCD,

AC,BDu平面ABC。，

則P4d.AC,PA1BD,又。E〃PA,

???OE1AC,OE1BD,

又4CnBD=。，AC,BDu平面ABC。,

所以EO1底面48CD,

又ADu底面ABCD,

EOLAD,

作OF140交AO于尸，連接EF,

OFCOE=0,OF,OEu平面OEF,

ADJ■平面OEF,乂EFu平面OEF,

則EF1AD,

所以NEF。就是二面角E-40-C的平面角,

由A8CZ)是菱形，S.Z.ABC=120°,AB=1,得OF=宜,

4

又OE=^PA=在，

22

?,在RtAOEF中，tauAEFO=^—=2.

Or

(3)過(guò)。作。M1PC于M,

貝lj由PA，底面ABCD,PAu底面ABCD,

可得平面PZCJ■底面ABCD于AC,

又BO1AC,BDu底面ABCD,

BD_L平面PAC,PCu平面PAC,

???BD1PC,

而由OMu平面PAC且OM1PC,

又OMnBD=。，。時(shí),8。<=平面"8￡>,

可得PCL平面MBD,

故在線(xiàn)段PC上存在一點(diǎn)M,使PCI平面MB。成立,

在RtAP.4C中，PA=AC=V3,

。為AC的中點(diǎn)，.??4E1PC,又OMIPC,

此時(shí)?！啊?IE,所以M是CE的中點(diǎn)，

故CM=：CE=；PC,

在RtAP-iC中，PC=J(V3)2+(V3)2=V6>

所以MC=LpC=漁.

44

解析：本題主要考查了直線(xiàn)和平面所成的角，二面角，直線(xiàn)和平面垂直的判定與性質(zhì)，需熟練掌握

空間線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面，面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，屬于難題.