高中數(shù)學《平面向量》單元質(zhì)量測評

第二章《平面向量》單元質(zhì)量測評

本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.滿分150

分，考試時間120分鐘.

第I卷(選擇題，共60分)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題

給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

-A-A-A—?-A

1.(A8+MB)+(B0+BC)+0M化簡后等于()

—?—?

A.BCB.AB

—?-?

C.ACD.AM

答案C

—?—?—?—?—?-?

解析原式=AB+80+0M+MB+3C=AC

—?—?-?

2.設(shè)點4一1,2),8(2,3),C(3,-1),且AQ=2A8—38C,則點

D的坐標為()

A.(2,16)B.(—2,-16)

C.(4,16)D.(2,0)

答案A

-■>—■>—?

解析設(shè)。(x,y),由題意可知AO=(%+1,>—2),A6=(3,1),BC

=(1，-4),

所以2A3—38。=2(3,1)—3(1,-4)=(3,14),

%+1=3,x=2,

所以所以“

k2=14,J=16.

3.若向量a=(l,l)，b=(2,5),c=(3,幻，滿足條件(8a—A>c=

30,則％=()

A.6B.5

C.4D.3

答案C

解析V?=(l,l),6=(2,5),?.8a-Z>=(8,8)-(2,5)=(6,3).

XV(8a-ft)c=30,A(6,3)-(3,x)=18+3x=30./.x=4.

4.設(shè)非零向量a,b,c滿足⑷=|〃|=|c|,a+b=c,則向量a,b

的夾角為()

A.150°B.120°

C.60°D.30°

答案B

解析設(shè)向量a,b的夾角為e,則|c|2=|a+肝=|a『+W+

2\a\\b\cos0,則cos0=一；.

又6E[0。,180°],所以6=120。.

5.設(shè)非零向量a,b,c,若0=言+條+臺則1加的取值范圍為()

IQ

A.[0,1]B.[1,2]

C.[0,3]D.[1,3]

答案C

解析,*jfpjfj分別為a,從c方向上的單位向量一..當a,

A,c同向時，網(wǎng)取最大值3,|p|的最小值為。

--?-?

6.向量84=(4,-3),向量3C=(2,-4),則△ABC的形狀為()

A.等腰非直角三角形

B.等邊三角形

C.直角非等腰三角形

D.等腰直角三角形

答案C

―?-?

解析V5A=(4,-3),BC=(2,-4),

：.AC=BC-BA=(-2,-1),

ACA-CB=(2,l)-(-2,4)=0,

—>—?—>—?

AZC=90°,k\CA\=y[5,\CB\=2y/5,\CA\^\CB\.

△ABC是直角非等腰三角形.

—"?-?

—?―?—?―?—?

7.在△ABC中，^\AB\=1,|AC|=V3,\AB+AC\=\BC\,則,警。

\BC\

-\f)

1

V3

22-

A.CB.

1D.近

答22

B

案

解析由向量的平行四邊形法則，知當|AB+4c|=|8C|時，NA=

—?-?

—?—?—?

90°.又|A陰=1,|AC|=小，故N5=60°,ZC=30°,\BC\=2,所以」警。

\BC\

_|Ag||gC|cosl20°_1

=

\BC\

8.如圖，在矩形ABC。中，AB=y[3,BC=4,點E為3c的中

—?—?—?-?

點，點尸在。。上.若AB-AF=&則AE3/的值是（）

A.-5—y/3B.5+^3

C.4+^3D.5一5

答案B

D

F

C

解析如圖，過點尸作FGA.AB于點G,因為ABAF=|ABHAf]cos

—>—?-?—>—>—?-?—?—?-?—>

(A5,AF>=\AB\-\AG\=^3,所以以&=1工43/=(43+3￡)-(3。+。尸

—?—?—?—A—?—?—?-?

=ABBC+ABCF-\-BEBC-\-BECF=0~yl?>X(y[3-1)+2X4-\-0=5

+小，故選B.

-?—>—?-?

9.已知點。為△A3C所在平面內(nèi)一點，且O^+B^MO^+CA

—?—?

^OC5+AB2,則0一定為△48。的()

A.外心B.內(nèi)心

C.垂心D.重心

答案C

—?—?—?―?—?—?—?—?-?

解析+BC2=OB2+CA2=>OA2-OB2=CA2-BC2=>(OA-

~?—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?-?

0B)?(OA+03)=(CA—BC)(CA+BC)nBA(OA+08)=84(CA—BC)

—?—?—?—?―?—?—?—?—?—?-?

=3A-(0A+03—CA+BC)=0023A?0C=003AJ_0C,同理C3J_QA.

故0為△ABC的垂心.

10.設(shè)向量a與力的夾角為仇定義a與?的“向量積”：aXb

是一個向量，它的模|aX》|=|a||b|sin仇若a=(一小,-1),b=(l,小),

則|aX"=()

A.仍B.2

C.2sD.4

答案B

解析cos。一⑷血一2X2-2，

.,.sine=g,|aXZ>|=2X2X2.

—?—?

11.設(shè)OW*設(shè),已知兩個向量0尸i=(cos。，sin。),0P2—(2+sin/9,

-A

2—COS。)，則向量尸1尸2長度的最大值是()

A.也B.小

C.3/D.2小

答案C

—?—?-?

解析,.,。［尸2=0尸2—OPi=(2+sin。一cos。，2—cos。一sin。)，

-A

，IP/2I—^(2+sin^—cos0)2+(2—cos^—sin6>)2=-\J10-8cos6>

W3P.

12.已知0為坐標原點，A,8兩點的坐標分別為(a,0),(0,a),

—?—?—?-?

其中常數(shù)a〉0,點尸在線段上，且4尸=MB(OW/W1),貝UOAOP的

最大值為()

A.aB.2a

C.3aD.a2

答案D

—>—■>—>

解析AB=OB-OA=(0,a)~(a,0)=(~a,a),

-?―A

.'.AP=tAB—(—at,at).

―?―?-?

又OP=OA+AP=(a,0)+(—ar,at)=(a-at,at),

.,.OA-OP=a(a—at)-\-OXat=c^(l—t)(0^t^l).

—?-?

...當1=0時，O4OP取得最大值，為上

第II卷(非選擇題，共90分)

二'填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填

在題中的橫線上)

13.設(shè)向量。，?滿足⑷=2書，b=(2,1),且G與b的方向相反,

則a的坐標為.

答案(-4,-2)

解析設(shè)a=(%,y),%V0,y<0,則x—2y=0且%之十/二？。，解

得％=—4,y=—2.即”=(—4,—2).

—"?-?

14.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若ARAC

—?―?

=BABC=\,那么c=.

答案也

-?—?—?-?

解析由題知，ABAC+BABC=2,

—?—?—?—?—?—?—?—?-?

^ABAC-AB-BC=AB-(AC+CB)=AB2=2^c=\AB\=\[2.

—>

15.如圖，在正方形ABC。中，已知|A8|=2,若N為正方形內(nèi)(含

邊界)任意一點，則A?AN的最大值是

AB

答案4

解析'：AB-AN^\AB\\AN\-cosZBAN,\AN\-co^ZBAN表示AN在

-A—?—A—?

AB方向上的投影，又|A8|=2,AB4V的最大值是4.

16.已知向量。=(1,1),b=(l,—1),c=(6cosa,啦sina)(a￡

R)，實數(shù)加，〃滿足〃wi+〃》=c,貝U(相-3)2+1的最大值為.

答案16

m-\-n—y[2cosa,o

解析由ma-\-nb—c,可得，廠故(m+〃)+(m—

jn—n=72sina,

研=2,即"，+/=i,故點M(根,〃)在單位圓上,則點2(3,0)到點M

的距離的最大值為00+1=3+1=4,其中O為坐標原點，故("2-3)2

+力的最大值為42=16.

三'解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知O,A,8是平面上不共線的三點，

直線AB上有一點C,滿足2AC+CB=0,

—?—?-?

(1)用0A,03表示。C；

(2)若點。是03的中點，證明四邊形0CAD是梯形.

—>―?

解(l)V2AC+CB=0,

-?—A—?—?

2(0C—OA)+(03—0C)=0,

—?—?—?—?

20C-2OA+OB-OC=0,

―?—?-?

：.OC=2OA-OB.

—?—?—?—?—?—?—?

(2)如圖，DA=DO+OA=-^OB-\-OA^2OA-OB).

B

故D4=g（9C故四邊形OCAD為梯形.

—?—?

18.（本小題滿分12分）如圖，平行四邊形A8CD中，AB=a,AD

=b,H,M分別是A。，0c的中點，尸為BC上一點，JLBF=^BC.

(1)以a,b為基底表示向量4M與"R

—>—>

(2)若⑷=3,網(wǎng)=4,a與，的夾角為120。,^AMHF.

-*,-?-?

解(1)由已知，得AM=4￡>+￡>M=]a+b.

—?—?-?

連接A尸，'：AF=AB+BF=a+\b,

HF=HA~\-AF=+(a=a—/.

(2)由已知，得。電=同網(wǎng)cosl20o=3X4x1-J=-6,

從而AM-HF=\^a+“%一=g⑷?+b—=^X32+1^

12H

X(-6)-^X4-=-y.

—?-A

19.(本小題滿分12分)在四邊形ABC。中，A3=(6,l),BC=(x,

—>—?—>

y),CD=(-2,-3),BC//DA.

(1)求％與y的關(guān)系式；

-A->

(2)若AC13。，求％,y的值以及四邊形ABCD的面積.

解(1)如圖所示.

—?―?—?-?

因為A3=43+BC+a)=a+4,y-2),

~?-?

所以QA=-40=(一%—4,2—y).

—?—?-?

又因為3C〃QA,BC=(x,y),

所以％(2—y)—(一%—4)y=0,即％+2y=0.

—?—?—?—?—?-?

(2)由于AC=AB+3C=(%+6,y+1),BD=BC-\-CD=(x~2,y-

-?—>—>—>

因為AC_LBD,所以AC8D=0,

即(x+6)(%—2)+(y+l)(>—3)=0,

所以y2—2y—3=0,所以y=3或y=-1.

―?―?-?

當y=3時,x=~6,于是3c=(—6,3),AC=(0,4),80=(—8,0).

―?-?

所以|AC]=4,|即=8,

—■>―?

所以S四邊形ABC￡>=^ACW=16.

—?—?-?

當了=-1時，％=2,于是有3c=(2,-1),AC=(8,0),BD=(0,

—4).

所以|AC|=8,\BD\=4,S四邊形ABC。=16.

%二-6x:=2

綜上可知或,9

尸3”,

S四邊形ABC￡>=16.

20.(本小題滿分12分)平面直角坐標系中，已知點A(3,0),3(0,3),

C(cosa,sina).

(1)若ACBC=-1,求sinacosa的值；

(2)若|。4+00=&5且0￡(0,兀)，求03與OC的夾角.

解(l)：A(3,0),8(0,3),C(cosa,sina),

.*.AC=(cosa—3,sin?).SC=(cosa,sina—3),

-A-A

又—

cosa(cosa-3)+sina(sina-3)=-1,

...cosa_十Ls.ma=g2,

4

兩邊平方，得l+2sina?cosa=d.

y

?.5

..sin?cosa=一同.

―?-?

(2)*/0A+OC—(3+cosa,sina),

―?-?

|OA+OQ=V^,

/.(3+cosa)2+sin2a=13,

二.cosa=T，Va^(0,兀),

._7T.5

??Q—3,sintx—2，

當,OBOC=乎,

f-*3事

,11OBOC2A/3

..cos〈08,OC〉—=ZTTT=、,

ff3X12

\OB\\OC\

21.體小題滿分12分)如圖，在△OAB中，尸為線段A3上一點,

-?-A-A

且0P=%0A+y03.

-A-A

(1)若4尸=尸3,求x,y的值；

~?—?—?—?—>—?

(2)若AP=3P8,|0A|=4,\0B\=2,且。4與08的夾角為60°,求

-?-A

0PA3的值.

解(1)若則0尸=；04+；03,

故％=y=,

—?—?—?—?—?—?—?—?