1.3 證明第2課時(shí) 三角形內(nèi)角和定理及推論 浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)課件

第1章三角形的初步知識(shí)1.3證明第2課時(shí)三角形內(nèi)角和定理及推論證明三角形內(nèi)角和定理，掌握它的推論，并能運(yùn)用這些定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題；經(jīng)歷探索與證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證能力；學(xué)習(xí)目標(biāo)在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提升解決問(wèn)題的能力.我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程嗎？命題：三角形的內(nèi)角和是180°.探究一

實(shí)驗(yàn)1：如下圖，先將紙片三角形一角折向其對(duì)邊，使頂點(diǎn)落在對(duì)邊上，折線與對(duì)邊平行（圖2），然后把另處兩角相向?qū)φ?，使其頂點(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相嵌合（圖2）、（圖3），最后得到（圖4）所示的結(jié)果。ACBBAC圖2圖1BABAC圖3圖4C

這只是實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論，不能當(dāng)作定理，只有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的幾何證明，得出命題的正確性，才能作為幾何定理，今后，在幾何里，常采用這種方法得到新知識(shí).ABC在證明三角形內(nèi)角和時(shí)，甲同學(xué)的想法是把三個(gè)角“湊”到A處，他過(guò)點(diǎn)A作直線DE//BC（如圖），他的想法可行嗎？DE這里的DE稱為輔助線，輔助線通常畫成虛線.驗(yàn)證結(jié)論證明：過(guò)點(diǎn)A作DE∥BC，則∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE＝∠DAE＝180o（平角的定義）.作輔助線還有沒(méi)有其他的添線方法呢？實(shí)驗(yàn)2：將紙片三角形頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起.322這種方法可以通過(guò)怎樣在原三角形中添線證明？2DBCA1E已知：如圖，△ABC.求證：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°分析：延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作射線CE∥AB，這相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.驗(yàn)證結(jié)論證明:

作BC的延長(zhǎng)線CD，過(guò)點(diǎn)C作射線CE//AB，則∠1＝∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠2＝∠B（兩直線平行，同位角相等），∵∠1+∠2+∠ACB＝180°,∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°（等量代換）.作輔助線三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°.

這兩種添線依據(jù)都是通過(guò)平行線的性質(zhì)，利用內(nèi)錯(cuò)角或同位角將三角形三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角進(jìn)行證明的，你還有別的方法嗎？BCA1E這樣添線的依據(jù)是什么？嘗試證明.方法總結(jié)證明幾何命題的格式(1)按題意畫出圖形；(2)分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論；(3)在“證明”中寫出推理過(guò)程．鞏固練習(xí)證明命題“兩條平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行”是真命題.已知：如圖，直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，EH、FG分別平分∠BEI、∠DFE.求證：EH∥FG.ABCDEFGHI12證明：∵直線AB∥CD（已知），∴∠BEI=∠DFE（兩直線平行，同位角相等），又∵EH、FG分別平分∠BEI、∠DFE，∴∠1=∠BEI，∠2=∠DFE（角平分線的定義），∴∠1=∠2（等量代換），∴EH∥FG（同位角相等，兩直線平行）.ABCDEFGHI12練習(xí)1、如圖，△ABC中，∠A=60°，∠B∶∠C=1:5，則∠B=___.分析：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的內(nèi)角和定理），∴∠B+∠C=180°-∠A=120°，又∵∠B∶∠C=1:5，∴∠B=20°.BCA鞏固練習(xí)20°練習(xí)2、如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么∠EDF=____.解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的內(nèi)角和定理），∴∠A=180°-∠B-∠C

=70°，又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠AED=∠DFA=90°，∴∠EDF=110°.110°BAC111ABC探究二ABC觀察∠1在各圖中的位置，它們有什么共同特征？1、∠1的頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；2、∠1和三角形共用一條邊；3、∠1的另一條邊是三角形的某條邊的延長(zhǎng)線....△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，稱為△ABC的外角.如右圖，∠1是△ABC的∠ABC的外角.∠1與其他角有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？423BCA1D外角的定義分析：如圖，∠1+∠4=180°（平角的定義），∠2+∠3+∠4=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠1=∠2+∠3（等量代換）.定理三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.423BCA1D例題講解例已知：如圖，∠B+∠D=∠BCD.求證：AB∥DE.分析：如圖，延長(zhǎng)BC，交DE于點(diǎn)F.根據(jù)平行線的判定定理，只要證明∠B=∠CFD，或∠B+∠BFE=180°，就能證明AB∥DE.ABDECF證明：如圖，延長(zhǎng)BC，交DE于點(diǎn)F.∵∠B+∠D=∠BCD（已知），又∵∠BCD=∠D+∠CFD（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠B+∠D=∠D+∠CFD，∴∠B=∠CFD，∴AB∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.ABDECF方法總結(jié)關(guān)于輔助線(1)輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線；(2)添加輔助線的過(guò)程需要寫入證明中，通常畫成虛線；(3)添加輔助線，可構(gòu)造新圖形，其作用是把分散的條件集中，把隱含條件凸顯出來(lái)，起牽線搭橋的作用.1、已知，如圖，AD是△ABC的高.求證：∠B+∠BAD=∠C＋∠CAD.BCAD分析：如圖，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和定理，得出∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADB=∠C＋∠CAD,題目即可得證明.課內(nèi)練習(xí)證明：由題意可得，

∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADB=∠C＋∠CAD（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）,又∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=∠C＋∠CAD.（等量代換）2、星期天，小明見爸爸愁眉苦臉地在看一張圖紙，他便悄悄地來(lái)到爸爸身邊，想看爸爸為什么犯愁．爸爸見到他，高興地對(duì)他說(shuō)：“來(lái)幫我一個(gè)忙，你看這是一個(gè)四邊形零件的平面圖，它要求∠BDC等于140°才算合格．”小明通過(guò)測(cè)量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下結(jié)論說(shuō)此零件不合格.于是爸爸讓小明解釋這是為什么？小明很輕松地說(shuō)出了原因，并用如下的兩種方法解出此題．請(qǐng)你代小明分別說(shuō)出不合格的理由．①如圖(1)，連結(jié)AD并延長(zhǎng)；②如圖(2)，延長(zhǎng)CD交AB于E.分析：直接利用各個(gè)三角形中的外角和等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解．解：(1)∠BDC＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＋∠C＝90°＋19°＋40°＝149°≠140°，故不合格；(2)∠BDC＝∠1＋∠B＝∠A＋∠C＋∠B＝149°≠140°，故不合格．(1)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．(2)三角形的內(nèi)角和是180°.求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件．規(guī)律總結(jié)3、證明命題“三角形不共頂點(diǎn)的三個(gè)外角的和等于360°”是真命題.已知：如圖，△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為∠1、∠2、∠3，相對(duì)應(yīng)的外角為∠4、∠5、∠6.求證：∠4+∠5+∠6=360°.BCA123456證明：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，∴∠1+∠2+∠3=180°（三角形內(nèi)角和定理）,又∵∠4=∠2+∠3，∠5=∠1+∠3，∠6=∠1+∠2（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠4+∠