備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破1“隱形圓”問(wèn)題

突破1“隱形圓”問(wèn)題命題點(diǎn)1代數(shù)法確定隱形圓角度1與數(shù)量積相關(guān)的隱形圓例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－12，0），B（0，6），點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上.若PA·PB≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[－52，1].解析設(shè)P（x，y），則由PA·PB≤20可得，-12-x-x+－y·6－y≤20，即（x＋6）2＋（y－3）2≤65，所以P為圓（x＋6）2＋（y－3）2＝65上或其內(nèi)部一點(diǎn)解得x=1，y=7或x＝－5，y＝－5，即P為圓x2＋y角度2由｜PA｜2＋｜PB｜2是定值確定隱形圓（其中A，B是兩定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)）例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，點(diǎn)A（0，2）.若圓C上存在點(diǎn)M，滿意｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，3].解析設(shè)點(diǎn)M（x，y），由題知點(diǎn)A（0，2），O（0，0）.因?yàn)椋麺A｜2＋｜MO｜2＝10，所以x2＋（y－2）2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋（y－1）2＝4，即點(diǎn)M在圓E：x2+y-12=4上.因?yàn)閳AC上存在點(diǎn)M滿意｜MA｜2＋｜MO｜2＝10等價(jià)于圓E與圓C有公共點(diǎn)，所以｜2－1｜≤｜CE｜≤2＋1，即1≤a2＋（a－3）2≤3，整理得1≤2a2－6a＋9≤角度3阿波羅尼斯圓例3在△ABC中，若AB＝2，AC＝2BC，則S△ABC的最大值為22.解析以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，令A(yù)（－1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），y≠0，由｜AC｜＝2｜BC｜可得（x+1）2＋y2＝2×（x－1）2＋y2，化簡(jiǎn)可得（x－3）2＋y2＝8（y≠0），即點(diǎn)C在以（3，0）為圓心，22為半徑的圓上（不含圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)），則｜yC｜的最大值為22，S△ABC＝12｜AB｜·｜方法技巧（1）代數(shù)法確定隱形圓往往是通過(guò)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再依據(jù)已知條件列方程，依據(jù)方程確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，進(jìn)而解決與圓相關(guān)的問(wèn)題.（2）已知平面上相異兩點(diǎn)A，B，則滿意｜PA｜｜PB｜＝k（k＞0，k≠訓(xùn)練1（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（－t，0），B（t，0），t＞0，點(diǎn)C滿意AC·BC＝8，且點(diǎn)C到直線l：3x－4y＋24＝0的距離最小值為95，則實(shí)數(shù)t的取值的集合是{1}解析設(shè)C（x，y），由AC·BC＝8知，x2＋y2＝8＋t2.點(diǎn)（0，0）到直線l：3x－4y＋24＝0的距離d1＝｜24｜32＋42＝245，圓x2＋y2＝8＋t2上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值dmin=d1-8+t2=（2）設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿意CP＝λCA＋μCB，3λ＋4μ＝2（λ，μ∈R），｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜.若｜AB｜＝3，則△ABC的面積的最大值為9.解析由3λ＋4μ＝2得32λ＋2μ＝1，則CP＝λCA＋μCB＝3λ2（23CA）＋2μ（12CB），設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，BC上的點(diǎn)，且CE＝23CA，CF＝12CB，則P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.因?yàn)镻A=PB=PC，所以P是△ABC的外心，即三邊中垂線的交點(diǎn)，由F是CB的中點(diǎn)得直線EF是邊BC的中垂線，則｜EB｜＝｜EC｜＝2｜EA｜.以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸正方向，過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0），設(shè)E（x，y）（y≠0），則（x－3）2＋y2＝2x2＋y2，化簡(jiǎn)得（x＋1）2＋y2＝4（y≠0），所以點(diǎn)E在以（－1，0）為圓心，2為半徑的圓上，則｜yE｜≤2.所以S△ABC＝12｜AB｜×｜命題點(diǎn)2幾何法確定隱形圓例4（1）已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1.若圓M上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得∠APB＝60°，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2-22解析由題意得圓心M（a，a－4）在直線x－y－4＝0上運(yùn)動(dòng)，所以動(dòng)圓M是圓心在直線x－y－4＝0上，半徑為1的圓.又圓M上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得∠APB＝60°，所以｜OP｜＝2，即點(diǎn)P也在圓x2＋y2＝4上，于是2－1≤a2＋（a－4）2≤2＋1，即1≤a2＋（a－4）（2）已知圓C：（x－3）2＋（y－4）2＝1和兩點(diǎn)A（－m，0），B（m，0），m＞0，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的取值范圍是[4，6].解析由題意知，點(diǎn)P在以原點(diǎn)（0，0）為圓心，m為半徑的圓O：x2＋y2＝m2上，又點(diǎn)P在已知圓C上，所以兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，所以5－1≤m≤5＋1，故4≤m≤6.方法技巧（1）利用圓的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，從而依據(jù)圓心及半徑得出圓的方程.（2）見(jiàn)直徑，想垂直；見(jiàn)垂直，想直徑.訓(xùn)練2已知A，B是圓C1：x2＋y2＝1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且｜AB｜＝3，P是圓C2：（x－3）2＋（y－4）2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則｜PA＋PB｜的取值范圍是[7，13].解析取AB的中點(diǎn)M，則｜C1M｜＝1－（32）