備考2025屆高考數(shù)學一輪復習強化訓練第一章集合常用邏輯用語與不等式第2講常用邏輯用語突破雙變量“存在性”或“任意性”問題

突破雙變量“存在性”或“隨意性”問題角度1雙變量“存在性”或“隨意性”的等式問題例5[2024江蘇省宿遷市模擬]定義域為R的函數(shù)f（x）滿意f（－x）＝f（x），[f（x）]4－（4＋x2)[f（x)]2＋4x2＝0對隨意的實數(shù)x都成立，且值域為[0，2].設函數(shù)g（x）＝2x－m－2，x≤2，－m+2，x>2，若對隨意的x1∈（－4，－1），都存在xA.[－5，0] B.[－2，0]C.（－1，0） D.（0，1]解析由[f（x）]4－（4＋x2）[f（x）]2＋4x2＝0，得{[f（x）]2－4}{[f（x）]2－x2}＝0，解得f（x）＝±x或f（x）＝±2.因為f（x）為偶函數(shù)，且值域為[0，2]，所以f（x）＝2若對隨意x1∈（－4，－1），都存在x2＞－1，使g（x2）＝f（x1）成立，則f（x）在（－4，－1）上的值域是g（x）在（－1，＋∞）上的值域的子集.易知當x∈（－4，－1）時，f（x）∈（1，2]；當x∈（－1，＋∞）時，g（x）∈（－4－m，2－m]，所以－4－m≤1，2－m≥2，所以m例6[2024黑龍江省哈爾濱市第一中學模擬]已知函數(shù)f（x）＝lg1－xx+1，函數(shù)g（x）＝2－ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈（0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍為（2解析函數(shù)g（x）＝2－ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈（0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，則f（x）和g（x）在x∈（0，1）上的值域的交集不為空集.當0＜x＜1時，f（x）＝lg1－xx+1＝lg（－1＋2x+1）明顯單調(diào)遞減，所以其值域為（－∞，0）g（x）＝2－ax在（0，1）上單調(diào)遞減，所以g（x）的值域為（2－a，1），此時只需2－a＜0，即a＞2，所以a＞2；若0＜a＜1，則g（x）＝2－ax在（0，1）上單調(diào)遞增，可得g（x）的值域為（1，2－a），此時（1，2－a）與（－∞，0）的交集明顯為空集，不滿意題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍是（2，＋∞）.方法技巧1.解決雙變量“存在性”或“隨意性”的等式問題的關鍵：一是理解量詞的含義，“脫去”量詞，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的值域之間的問題；二是會利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域.2.常見的轉(zhuǎn)化形式（1）?x1∈M，?x2∈N，f（x1）＝g（x2）?f（x）的值域為g（x）的值域的子集；（2）?x1∈M，x2∈N，f（x1）＝g（x2）?f（x）的值域與g（x）的值域的交集不為空集.訓練3[2024上海市華東師范高校松江試驗高級中學模擬]已知函數(shù)f（x）＝3×2x＋2，對于隨意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＋32f（x2＋m）＝20成立，則實數(shù)m的取值范圍為[log243，1]解析x1∈[0，1]，故f（x1）∈[3＋2，3×2＋2]＝[5，8]，由f（x1）＋32f（x2＋m）＝20f（x1）＝20－32f（x2＋m），因為x2∈[0，1]，所以20－32f（x2＋m）∈[17－9×217－9×2m－1]，若對于隨意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＋32f（x2＋m）＝20成立，則[5，8]?[17－9×2m，17－9×2m－1]，所以17－9×2m≤5，17－9×2角度2雙變量“存在性”或“隨意性”的不等式問題例7[2024四川仁壽第一中學模擬]已知函數(shù)f（x）＝x＋4x，g（x）＝2x＋a，若?x1∈[12，1]，?x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是[12，＋解析依題意知f（x）max（x∈[12，1]）≤g（x）max（x∈[2，3]）.因為f（x）在[12，1]上是減函數(shù)，所以當x∈[12，1]時f（x）max＝f（12）＝172.又g（x）在[2，3]上是增函數(shù)，所以當x∈[2，3]時，g（x）max＝g（3）＝8＋a.因此172≤8＋a，即a≥1＋∞）.方法技巧（1）?x1∈M，x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）max；（2）?x1∈M，x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）max＞g（x）min；（3）?x1∈M，?x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）min；（4）?x1∈M，?x2∈N，f（x1）＞g（x2）?f（x）max＞g（x）max.訓練4[2024河北省唐縣第一中學模擬]已知函數(shù)f（x）＝x2－2x－1，g（x）＝logax（a＞0且a≠1），若對隨意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f（x1）＜g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（1，2）.解析f（x）＝（x－1）2－2，當x∈[－1，2]時，f（x）max＝f（－1）＝2.因為對隨意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f（x1）＜g（x2）成立，因此函數(shù)f（x）在[－1，2]上的最大值小于函數(shù)g（x）在[2，4]