人教版高中數(shù)學(xué)必修一《基本初等函數(shù)》之《冪函數(shù)》教學(xué)案及練習(xí)解析

2.3幕函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：通過(guò)具體實(shí)例了解募函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

過(guò)程與方法：能夠類比研究一般函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的過(guò)程與方法，來(lái)研究累函

數(shù)的圖象和性質(zhì)。

情感、態(tài)度、價(jià)值觀：體會(huì)基函數(shù)的變化規(guī)律及蘊(yùn)含其中的對(duì)稱性。

教學(xué)重點(diǎn)：從五個(gè)具體事函數(shù)中認(rèn)識(shí)募函數(shù)的一些性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：畫(huà)五個(gè)具體基函數(shù)的圖象并由圖象概括其性質(zhì),體會(huì)圖象的變化規(guī)律。

教學(xué)過(guò)程：

—.溫故知新

復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

形如y=a'(a>0,ah1)的函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)；

形如y=log“x{a>0,aw1)的函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)。

提問(wèn)：之前還學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？

生答：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)。

將這些函數(shù)的特殊形式寫(xiě)出：y=x,y=x2,y=%T

提問(wèn)：這些是指數(shù)函數(shù)嗎？若不是說(shuō)出它們與指數(shù)函數(shù)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

生答：相同點(diǎn)：幕的形式。不同點(diǎn)：自變量x的位置。

引出上述三個(gè)函數(shù)的一般形式丁=%0,從而引出課題------幕函數(shù)

二.基函數(shù)定義

1.塞函數(shù)的定義：一般地，形如y=eR)的函數(shù)叫稱為基函數(shù)(powerfunction),

其中x是自變量，a是常數(shù)。

概念辨析：

在下列函數(shù)中哪些是塞函數(shù)？

(1)y=2-Jx(2)y=x3-x(3)y=(x-2)2(4))

x

同桌討論，給出觀點(diǎn)

例1：已知塞函數(shù)y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,2),試求出這個(gè)函數(shù)的解析式。

1-

解：設(shè))，=X—又過(guò)(4,2),所以4"=2na=5=>y=x2

三.探究基函數(shù)圖象與性質(zhì)

可通過(guò)研究幾個(gè)常見(jiàn)幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)------在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出

y=x,y=x)y=》T,y=x\y函數(shù)的圖象，然后觀察圖象，歸納特征。

學(xué)生活動(dòng)：在事先發(fā)給他們的作圖紙上通過(guò)描點(diǎn)法畫(huà)

圖。

教師巡視并輔導(dǎo)。

師生一起校對(duì)所畫(huà)圖象的正確性，并根據(jù)圖象編成

基函數(shù)操，(幫助學(xué)生記圖的同時(shí)，也提高學(xué)生學(xué)習(xí)的

興趣)。

要求學(xué)生通過(guò)觀察圖形，完成性質(zhì)表格的填寫(xiě)

2￡1

y=xy=xy=x?y=x

EB[0,+oof{x|x^O)^

定義域RRR膽

值域R[0,+°0)Rro,+s){y|y對(duì)}

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函教於奇非偶奇函數(shù)

單調(diào)性[0,g)遞增(-8,0)遞減

(-W,0]遞減(0,4?)遞減

眄

公共點(diǎn)(Li)

師：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，歸納概括基函數(shù)的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律。

生：觀察圖象，分組討論，探究哥函數(shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律，展示各自的結(jié)論進(jìn)行交流

評(píng)析。

教師幫助歸納總結(jié)

基函數(shù)性質(zhì)歸納：

(1)所有的募函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)。

(2)?！?時(shí)，基函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,+8)上是增函數(shù)。

特別地，當(dāng)0〈a<l時(shí)，基函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)a>l時(shí)，塞函數(shù)的圖象上凸；

(3)a<0時(shí)，基函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)。在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向

原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于”時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)

限地逼近x軸正半軸。

四.探究與發(fā)現(xiàn)

]?3

探究題：如圖所示，是基函數(shù)丁=丁在第一象限內(nèi)的圖象，己知。分別取-四個(gè)

值，則相應(yīng)圖象依次為:

提問(wèn)：你們是否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(學(xué)生討論，給出猜測(cè))

利用幾何畫(huà)板探索基函數(shù)y=Z圖象隨a的變化規(guī)律

五.小結(jié)

1.塞函數(shù)的概念

2.五種常見(jiàn)的圖象分別為a=3,2,1,(1/2),-1

3.性質(zhì)：定義域

值域

單調(diào)性(a>0和a<0兩種情況)

奇偶性

公共點(diǎn)

體現(xiàn)思想：數(shù)形結(jié)合從特殊到一般

雙基達(dá)標(biāo)20

a—1a-9

1.若黑函數(shù)尸工為偶函數(shù)，則a的值不可能是().

A.5B.4C.3D.1

解析函數(shù)是偶函數(shù)，則a?-4品一9是偶數(shù)，將各選項(xiàng)中數(shù)值代入可知a=4時(shí)，a2-4a-9

=—9,不符合要求.

答案B

2.下列不等式在a〈從0的條件下不能成立的是().

A.a?B.a3Vb：'

C.^<aD.

解析分別構(gòu)造函數(shù)、=工4,其中

函數(shù)y=HT,y=V在(-8,0)上為減函數(shù)，而y=/,y=

工一9為(-oo,0)上的增函數(shù)，從而D項(xiàng)不成立.

答案D

3.給出四個(gè)說(shuō)法：

①當(dāng)〃=0時(shí)，y="；'的圖象是一個(gè)點(diǎn)；

②幕函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,1),；

③事,函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限；

④基函數(shù)y=x"在第一象限為減函數(shù)，則K0.

其中正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)是().

A.1B.2C.3D.4

_±

解析顯然①錯(cuò)誤；②中如y=N?的圖象不過(guò)點(diǎn)(0,0).根據(jù)基函數(shù).的圖象可知③、④正

確，故選B.

答案B

4.若幕函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,則f(25)=______.

解析由題設(shè)：=9",，。=

O

EG1

答案5

2

m—2w.—1

工

5.已知函數(shù)f(x)=(病+勿).，當(dāng)/〃=時(shí)，F(xiàn)(x)為基函數(shù).

解析當(dāng)/一+勿=1,即片T束小時(shí),背一2加一1為實(shí)數(shù)，F(xiàn)(x)為累函數(shù).

生案T土鄧

r口2

_f?n_1

6.已知尸（/〃+2〃L2）~+2〃-3是累函數(shù)，求/〃、〃的值.

m+2/〃一2=1,

解由題意得《瘍-1N0,

2n-3=0,

/?=—3,

3

解得13所以加=-3,n—~

〃=萬(wàn)，2

綜合提高限時(shí)25分鐘

7.如圖，曲線G與G分別是函數(shù)尸/和y=x"在第一象限內(nèi)圖象，則下列結(jié)論正確的是

().

A.水冰0B.冰水0

C.〃>初>0D./?>/?>0

解析由題圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減，故水0,水0.

取X=2,則有2->2",知所,故水水0.

答案A

8.若基函數(shù)/U)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,陰，則汽4),等于().

A.16B.2C.~D.~

解析設(shè)"=￡?&是常數(shù))，則2=孝=2一+,

所以?=一?3./(%)=二凸，則/(4)=4一±=/

答案C

9.下列命題中,

①幕函數(shù)的圖象不可能在第四象限；

②當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)尸/的圖象是一條直線；

③當(dāng)。＞0時(shí)，塞函數(shù)尸x"是增函數(shù)；

④當(dāng)aVO時(shí)，幕函數(shù)尸”"在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨/值的增大而減小.

其中正確的序號(hào)為,.

解析當(dāng)。=0時(shí)，是直線y=l但去掉(0,1)這一點(diǎn)，故②錯(cuò)誤.當(dāng)。＞0時(shí)，基函數(shù)尸/

僅在第一象限是遞增的，如尸產(chǎn),故③錯(cuò)誤.

答案①④

2°。

w.一乙根—3

尤

10.若哥函數(shù)f(x)=(ni—m—1)?在(0,+8)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)%=

ni—2m.13

無(wú)

解析???f(x)=(m2—R—1)為幕函數(shù)，

1=1,???勿=2或m=—l.

當(dāng)勿=2時(shí)，/'(x)=/3在(0,+8)上是減函數(shù),

當(dāng)m=一1時(shí)“f(x)=x°=l不符合題意.

綜上可知