備戰(zhàn)2024年高考數學一輪復習7.5外接球(精講)(原卷版+解析)

7.5外接球（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現考點呈現例題剖析例題剖析考點一漢堡模型【例1】（2022·陜西）已知底面邊長為1，側棱長為則正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）已知在三棱錐中，，，，平面，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）已知在三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·山西大同·高三階段練習）球內接直三棱柱，則球表面積為___________.考點二墻角模型【例2】（2022·全國·高三專題練習）長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）已知四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為，則四棱錐P-ABCD的體積為（

）A．3 B．2 C． D．12．（2022·全國·高三專題練習）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．3．（2022·海原縣）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為___________.考點三斗笠模型【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上是邊長為的正三角形，則球的表面積等于（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2022·全國·高三專題練習）已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北武漢·高三開學考試）已知正三棱錐的各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正三棱錐體積的最大值為___________.3．（2022·江西）正三棱錐P－ABC底面邊長為2，M為AB的中點，且PM⊥PC，則三棱錐P－ABC外接球的體積為（）A． B． C． D．考點四麻花模型【例4】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐A-BCD中，，，二面角A-BD-C是鈍角.若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（

）A．12π B．13π C． D．考點五L模型【例5】（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2022·江西高三）在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．2．（2022·四川雅安市）在四面體ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面積為（）A． B． C． D．3．（2023·重慶九龍坡區(qū)）在三棱錐中，平面平面，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．考點六懷表模型【例6】（2022·全國·高三專題練習）在邊長為6的菱形ABCD中，，現將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A．60π B．45π C．30π D．20π【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．考點七矩形模型【例7】（2022·湖北襄陽市）若矩形ABCD的面積是4，沿對角線AC將矩形ABCD折成一個大小是60°的二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積最小值為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022.江西）在矩形中，，沿對角線進行翻折，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．（2022·天津河）將長、寬分別為和的長方形沿對角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．（2022·四川）中國古代數學家劉徽所注釋的《九章算術》中，稱四個面均為直角三角形的四面體為“鱉臑”.如圖所示的鱉臑中，面，，若，，且頂點均在球上，則球的表面積為______.考點八內切球【例8】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·江西·高三階段練習（理））在正三棱錐中，，分別是，的中點，且，，則正三棱錐的內切球的表面積為（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內切球），則球的表面積為（

）A． B． C． D．3.（2022黑龍江）如圖，在四棱錐中，是正方形的中心，底面，，，則四棱錐內切球的體積為（）A． B． C． D．7.5外接球（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現考點呈現例題剖析例題剖析考點一漢堡模型【例1】（2022·陜西）已知底面邊長為1，側棱長為則正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，正四棱柱的體對角線即為外接球的直徑，故，解得，故球的體積為：.故選：D.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）已知在三棱錐中，，，，平面，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理得：，，外接圓半徑，又平面，三棱錐的外接球半徑，則三棱錐的外接球的表面積.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習）已知在三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因平面，平面，則，而，則，三棱錐的外接球截平面所得小圓圓心是正的中心，，連，則平面，取線段的中點，則球的球心在過E垂直于直線的垂面上，連，如圖，則四邊形是矩形，，因此，球的半徑有：，所以三棱錐外接球的表面積.故選：C3．（2023·山西大同·高三階段練習）球內接直三棱柱，則球表面積為___________.【答案】【解析】設三角形ABC和三角形的外心分別為D，E．可知其外接球的球心O是線段DE的中點，連結OC，CD，設外接球的半徑為R，三角形ABC的外接圓的半徑r，可得，由正弦定理得，，而在三角形OCD中，可知，即，因此三棱柱外接球的表面積為．故答案為：考點二墻角模型【例2】（2022·全國·高三專題練習）長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】球O的半徑為，∴體積．故選：A【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）已知四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為，則四棱錐P-ABCD的體積為（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】D【解析】設四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R，則，即．由題意，易知，得，設，得，解得，所以四棱錐P-ABCD的體積為．故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如圖所示，將三棱錐放在長、寬、高分別為，，的長方體中，則三棱錐的外接球即為該長方本的外接球，所以外接球的直徑，∴該球的體積為.故選：B3．（2022·海原縣）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為___________.【答案】【解析】平面，平面，，，又，，，，，則可將三棱錐放入如下圖所示的長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，球的半徑，球的表面積.故答案為：.考點三斗笠模型【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上是邊長為的正三角形，則球的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，是邊長為的正三角形，如圖所示：取BC的中點D，點H為底面的中心，所以設外接球的半徑為R，所以，利用勾股定理可得，解得則球的表面積為故選：B.【一隅三反】1（2022·全國·高三專題練習）已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓臺上、下底面的面積之比為1：4，則半徑比為1：2，設圓臺上、下底面半徑為，因母線與軸的夾角為60°，可得圓臺高為1，則；設圓臺外接球的半徑為，球心到下底面的距離為，易得圓臺兩底面在球心同側，則，且，解得，則該圓臺外接球的表面積為.故選：C.2．（2022·湖北武漢·高三開學考試）已知正三棱錐的各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正三棱錐體積的最大值為___________.【答案】【解析】因為，所以正三棱錐外接球半徑，正三棱錐如圖所示，設外接球圓心為，過向底面作垂線垂足為，因為是正三棱錐，所以是的中心，所以，,又因為，所以，所以，令，解得所以在遞增，在遞減，故當時，取最大值，.故答案為：.3．（2022·江西）正三棱錐P－ABC底面邊長為2，M為AB的中點，且PM⊥PC，則三棱錐P－ABC外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖，設，則，而，因為PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，由對稱性可知：三棱錐P－ABC外接球的球心在三棱錐P－ABC的高PD上，假設為O點，則，因為,所以，又由于點D是三角形ABC的外心，且三角形ABC為等邊三角形，所以,在三角形ODC中，由勾股定理得,即，解得，所以三棱錐P－ABC外接球的體積為.故選：C考點四麻花模型【例4】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，設長方體的長、寬、高分別為，則，，，解得，，．所以三棱錐外接球的半徑．三棱錐外接球的體積．故選：C【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】三棱錐中，，，，構造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，設長方體的棱長分別為，，，則，，，則，因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：A2．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐A-BCD中，，，二面角A-BD-C是鈍角.若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（

）A．12π B．13π C． D．【答案】B【解析】如圖1，取中點，連接，則，，又，平面，所以平面，，所以，又，，，又由，，知為二面角的平面角，此角為鈍角，所以，所以，因此四面體可以放置在一個長方體中，四面體的六條棱是長方體的六個面對角線，如圖2，此長方體的外接球就是四面體的外接球，設長方體的棱長分別為，則，解得，所以外接球的直徑為，，球表面積為．故選：B．考點五L模型【例5】（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：其中D為AB的中點，O為外接圓的圓心，，∴O在CD上，且，．，D為AB的中點，，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAB．又DA，DB，平面PAB，，，．在中，，D為AB的中點，．．∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，∴該三棱錐外接球的表面積．故選：B【一隅三反】1（2022·江西高三）在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】中，，所以，，設是中點，則是外心，又是等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱錐外接球的球心，所以球半徑，球體積為．故選：C．2．（2022·四川雅安市）在四面體ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】四面體ABCD中，取AB的中點E，連CE，DE，如圖：因，則，有平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心為O2，正△ABC中心為O1，在平面CDE內分別過O1，O2作直線CE，DE的垂線，兩線交于點O，則有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圓性質知，四面體ABCD外接球球心在直線O1O和直線O2O上，即點O是球心，連OA，O1A，OA即為球O的半徑，因平面平面，則，而，即有四邊形OO1EO2是正方形，則，中，，則，所求外接球的表面積.故選：B3．（2023·重慶九龍坡區(qū)）在三棱錐中，平面平面，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取中點，中點，連接，是等邊三角形，則因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，過作平面，則，因為，所以三棱錐的外接球的球心在上，設球心為，連接，設外接球半徑為，由已知，，，，在直角梯形中，，，，所以球表面積為．故選：C．考點六懷表模型【例6】（2022·全國·高三專題練習）在邊長為6的菱形ABCD中，，現將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A．60π B．45π C．30π D．20π【答案】A【解析】當三棱錐的體積最大值時，平面平面，如圖，取的中點為，連接，則.設分別為，外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在上，在上，且,且平面，平面.平面平面，平面平面，平面，平面，，同理四邊形為平行四邊形平面，平面，即四邊形為矩形.外接球半徑外接球的表面積為故選：A.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，作平面ABC，垂足為E，連接BE，記，連接PD.由題意可得D為AC的中點.在中，，D為AC的中點，因為，所以，則.因為二面角是150°，所以，所以，.因為是邊長為的等邊三角形，且D為AC的中點，所以.設為外接圓的圓心，則.設三棱錐外接球的球心為O，因為，所以O在平面ABC下方，連接，OB，OP，作，垂足為H，則，.設三棱錐外接球的半徑為，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，為直角三角形，又，所以，因為為正三角形，所以，連接，為的中點，E為中點，則，所以為二面角的平面角所以．因為為直角三角形，E為中點，所以點為的外接圓的圓心，設G為的中心，則G為的外接圓圓心．過E作面的垂線，過G作面的垂線，設兩垂線交于O．則O即為三棱錐的外接球球心．設與交于點H，，所以,，∴．所以，故選：C.考點七矩形模型【例7】（2022·湖北襄陽市）若矩形ABCD的面積是4，沿對角線AC將矩形ABCD折成一個大小是60°的二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為球心到四個頂點的距兩相等,所以球心在對角線上,且半徑為，設矩形的的長力x,寬為y則，所以，又，由基本不等式知:，當且僅當，即時，等號成立，，故選：B【一隅三反】1．（2022.江西）在矩形中，，沿對角線進行翻折，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為在翻折過程中，始終不變，所以的中點到，，，四點的距離始終相等，三棱錐外接球的直徑為，所以外接球的表面積為，故選：D2．（2022·天津河）將長、寬分別為和的長方形沿對角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點，連接、，如下圖所示：由題意，因為，為的中點，所以，，所以，為四面體的外接球的球心，且球的半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為.故選：A.3．（2022·四川）中國古代數學家劉徽所注釋的《九章算術》中，稱四個面均為直角三角形的四面體為“鱉臑”.如圖所示的鱉臑中，面，，若，，且頂點均在球上，則球的表面積為______.【答案】【解析】由題意可知：球為鱉臑的外接球，面，面，，，又，面，，面，又面，；取中點