備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習6.4求和方法(精練)(原卷版+解析)

6.4求和方法（精練）（提升版）題組一題組一公式法求和1．（2022·黑龍江）已知等差數(shù)列滿足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和Sn．2．（2021·四川攀枝花市）在公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.3．（2022·全國·高三專題練習）已知各項為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，，且，，成等比數(shù)列.(1)求；(2)若，求的前項和.題組二題組二裂項相消求和1．（2022·江蘇江蘇·一模）已知數(shù)列，，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求證：.2．（2022·浙江臺州·二模）在數(shù)列中，，且對任意的正整數(shù)，都有.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.3．（2022·廣東·廣州市第四中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為，求證：．4．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高三階段練習）已知數(shù)列的前項和，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和．5．（2022·陜西·模擬預測（理））已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)記為數(shù)列的前n項和，證明：．6．（2022·安徽安慶·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.(1)求的通項公式；(2)若，求的前n項和.題組三題組三錯位相減求和1．（2022·廣東·模擬預測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．問題：已知數(shù)列的前n和為，若，且，求數(shù)列的前n項和．2．（2022·廣東肇慶·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和.3．（2022·廣東韶關·一模）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并做出解答.設數(shù)列的前項和為，__________，數(shù)列是等差數(shù)列，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.4．（2022·廣東·模擬預測）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．5．（2022·廣東佛山·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，且對任意，都有．(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．題組四題組四分組求和1．（2022·甘肅·一模）已知數(shù)列滿足，．數(shù)列滿足，，，．(1)求數(shù)列及的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．2．（2022·江蘇南京·高三開學考試）設數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和為.3．（2022·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列，滿足，是與的等差中項.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.4．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式以及前n項和；(2)若，求數(shù)列的前2n－1項和.5．（2022·河南·模擬預測（理））在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，證明：數(shù)列的前n項和.6．（2022·云南·一模（理））已知數(shù)列的前項和為，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.7．（2022·天津三中三模）已知在各項均不相等的等差數(shù)列中，，且、、成等比數(shù)列，數(shù)列中，，，.(1)求的通項公式及其前項和；(2)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(3)設求數(shù)列的前項的和.題組五題組五周期數(shù)列1．（2021·全國·高三專題練習（理））已知數(shù)列的通項公式為()，其前項和為，則_______.2．（2020·河南鄭州·三模）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的正整數(shù)n滿足則______．題組六題組六倒序相加法1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項和為（

）A．100 B．105 C．110 D．1152．（2022·全國·高三專題練習）已知若等比數(shù)列滿足則（

）A． B．1010 C．2019 D．20203．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)，利用課本（蘇教版必修）中推導等差數(shù)列前項和的方法，求得的值為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心設函數(shù)，則

A．2016 B．2017 C．2018 D．20195．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，滿足，（均為常數(shù)），且.設函數(shù)，記，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C． D．6．（2022·湖南岳陽·二模）德國數(shù)學家高斯是近代數(shù)學奠基者之一，有“數(shù)學王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學天賦，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)列通項，則（

）A．98 B．99 C．100 D．1016.4求和方法（精練）（提升版）題組一題組一公式法求和1．（2022·黑龍江）已知等差數(shù)列滿足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和Sn．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意，設等差數(shù)列的公差為d，則∴，∴．（2），∴，∵，又，∴數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為2，公比為4，∴．2．（2021·四川攀枝花市）在公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由已知得，則，將代入并化簡得，解得或(舍去).所以.（2）由（1）知，所以，所以，即數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以.3．（2022·全國·高三專題練習）已知各項為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，，且，，成等比數(shù)列.(1)求；(2)若，求的前項和.【答案】(1)(2)【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為，由，且，，成等比數(shù)列可得，解得，，所以.(2)由可得，所以，所以.題組二題組二裂項相消求和1．（2022·江蘇江蘇·一模）已知數(shù)列，，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)解：因為，所有，當時，，，……，，相加得，所以，當時，也符合上式，所以數(shù)列的通項公式；(2)證明：由（1）得，所以，所以，．所以．2．（2022·浙江臺州·二模）在數(shù)列中，，且對任意的正整數(shù)，都有.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析，(2)【解析】(1)解：（1）由，得.又因為，所以數(shù)列是以2為首項，為公比的等比數(shù)列.故，即.(2)由，故，故．3．（2022·廣東·廣州市第四中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)因為數(shù)列滿足，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，則有，.(2)，所以，因為，所以.4．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高三階段練習）已知數(shù)列的前項和，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)當時，由，得或，∵，∴，由，得當時，由，得，整理得，∵，∴≠0，∴，∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列；(2)由（1）得，，∴．5．（2022·陜西·模擬預測（理））已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)記為數(shù)列的前n項和，證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)設等比數(shù)列的公比為，因為，故，解得或（舍），故，，因為，故，又，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.(2)因為，故，又是單調(diào)增函數(shù)，且，又當時，，故，即證.6．（2022·安徽安慶·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.(1)求的通項公式；(2)若，求的前n項和.【答案】(1)，(2)【解析】(1)解：時，，解得.當時，，故，所以，故.符合上式故的通項公式為，.(2)解：結(jié)合（1）得，所以.題組三題組三錯位相減求和1．（2022·廣東·模擬預測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．問題：已知數(shù)列的前n和為，若，且，求數(shù)列的前n項和．【答案】選①，；選②，；選③，.【解析】選①：當n≥2時，因為，所以，上面兩式相減得．當n＝1時，，滿足上式，所以．因為，所以，上面兩式相減，得：，所以．選②：當時，因為，所以，上面兩式相減得，即，經(jīng)檢驗，，所以是公比為－1的等比數(shù)列，．因為，所以．選③：由，得：，由累加法得：．又，所以．因為，所以，上面兩式相減得，所以．2．（2022·廣東肇慶·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：由，得，又，所以，故，故是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；(2)解：由（1）得，得，所以，設的前n項和為，則，①，②由①-②，得，則，故.3．（2022·廣東韶關·一模）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并做出解答.設數(shù)列的前項和為，__________，數(shù)列是等差數(shù)列，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)選①：，；選②：，；選③：，(2)【解析】(1)解：若選①：由，則，可得將上述個式子相加，整理的又因為，所以.若選②：，當時，，當時，所以，所以.綜上，若選③：，當時，，當時，由可得，所以，所以.經(jīng)檢驗當時也成立，所以；設等差數(shù)列的公差為，由題有，即，解得從而(2)解：由（1）可得，令的前項和是，則，，兩式相減得，，整理得；4．（2022·廣東·模擬預測）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：由，得，又，所以，故，故是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．(2)由（1）得，得，所以，設的前n項和為，則，①，②由①-②，得，則，故．5．（2022·廣東佛山·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，且對任意，都有．(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)由，得，所以是等比數(shù)列.所以從而所以，．(2)設即，所以，，于是，．因為，且，所以，使成立的最大正整數(shù)．題組四題組四分組求和1．（2022·甘肅·一模）已知數(shù)列滿足，．數(shù)列滿足，，，．(1)求數(shù)列及的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，；(2)【解析】(1)由得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，由可知數(shù)列是等差數(shù)列，首項，公差，所以.(2)即2．（2022·江蘇南京·高三開學考試）設數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和為.【答案】(1)；(2).【解析】(1)解：設數(shù)列{an}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，a1=1若a1，a2，a5成等比數(shù)列，可得a1a5=a22，即有，解得或d=0（舍去）

則.(2)解：可得前項和.3．（2022·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列，滿足，是與的等差中項.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，.【解析】(1是正項等比數(shù)列，故，所以，又，設公比為q（q>0），即，即，解得：，則數(shù)列的通項公式為(2)則當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，.4．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式以及前n項和；(2)若，求數(shù)列的前2n－1項和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)依題意，，則，故，解得d＝2，∴，故，.(2)依題意，得，故，故5．（2022·河南·模擬預測（理））在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，證明：數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)設數(shù)列的公比為q，由，得，所以.因為，，成等差數(shù)列，所以，即，解得.因此.(2)因為，所以.因為，，所以.6．（2022·云南·一模（理））已知數(shù)列的前項和為，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】(1)∵，∴.∴.∵數(shù)列的前項和為，∴.∴.所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.∴.當時，由和得，解方程得.∴.∴數(shù)列的通項公式為.(2)由（1）知：.∴.∴.∴.7．（2022·天津三中三模）已知在各項均不相等的等差數(shù)列中，，且、、成等比數(shù)列，數(shù)列中，，，.(1)求的通項公式及其前項和；(2)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(3)設求數(shù)列的前項的和.【答案】(1)，(2)證明見解析，(3)【解析】(1)解：設等差數(shù)列的公差為，則，由已知可得，即，解得，故，.(2)證明：因為，，則，因為，故數(shù)列是以為首項和公比的等比數(shù)列，因此，，因此，.(3)解：設數(shù)列的前項和中，奇數(shù)項的和記為，偶數(shù)項的和記為.當，，則，，上式下式得，故.當時，，所以，，因此，.題組五題組五周期數(shù)列1．（2021·全國·高三專題練習（理））已知數(shù)列的通項公式為()，其前項和為，則_______.【答案】【解析】，∴.故答案為：2．（2020·河南鄭州·三模）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的正整數(shù)n滿足則______．【答案】【解析】由得.又因為,故.故.故,…，.累加可得.故,故故答案為：題組六題組六倒序相加法1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項和為（

）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【解析】因為函數(shù)滿足，①，②，由①②可得，，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項和為.故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習）已知若等比數(shù)列滿足則（

）A． B．1010 C．2019 D．2020【答案】D【解析】等比數(shù)列滿足即20