2024年高考數學第一輪復習講義第三章3.6　利用導數證明不等式(學生版+解析)

§3.6利用導數證明不等式考試要求導數中的不等式證明是高考的?？碱}型，常與函數的性質、函數的零點與極值、數列等相結合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構造函數法、放縮法等，針對不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達到事半功倍的效果．題型一將不等式轉化為函數的最值問題例1(2023·濰坊模擬)已知函數f(x)＝ex－ax－a，a∈R.(1)討論f(x)的單調性；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)當a＝1時，令g(x)＝eq\f(2fx,x2).證明：當x>0時，g(x)>1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函數，有時對復雜的式子要進行變形，利用導數研究其單調性和最值，借助所構造函數的單調性和最值即可得證．跟蹤訓練1設a為實數，函數f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調區(qū)間與極值；(2)求證：當a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二將不等式轉化為兩個函數的最值進行比較例2(2023·蘇州模擬)已知函數f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)討論f(x)的單調性；(2)當a＝e時，證明f(x)－eq\f(ex,x)＋2e≤0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構造兩個函數，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標．本例中同時含lnx與ex，不能直接構造函數，把指數與對數分離兩邊，分別計算它們的最值，借助最值進行證明．跟蹤訓練2(2023·合肥模擬)已知函數f(x)＝ex＋x2－x－1.(1)求f(x)的最小值；(2)證明：ex＋xlnx＋x2－2x>0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三適當放縮證明不等式例3已知函數f(x)＝aex－1－lnx－1.(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))處的切線方程；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)證明：當a≥1時，f(x)≥0._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________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n2)上單調遞減，在(ln2，＋∞)上單調遞增，∴g(x)min＝g(ln2)＝eln2－2ln2＝2(1－ln2)>0，∴g(x)≥g(ln2)>0，∴ex>2x成立，故當x>0時，ex>2sinx．課時精練1．(2023·廣州模擬)已知函數f(x)＝aex－lnx－1.(1)若x＝2是f(x)的極值點，求a的值并求f(x)的單調區(qū)間；(2)求證：當a＝eq\f(1,e)時，f(x)≥0.(1)解f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝a·ex－eq\f(1,x)，由題設知，f′(2)＝a·e2－eq\f(1,2)＝0，得a＝eq\f(1,2e2)，從而f(x)＝eq\f(1,2e2)ex－lnx－1，f′(x)＝eq\f(1,2e2)ex－eq\f(1,x)(x>0)．因為f′(x)＝eq\f(1,2e2)ex－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f′(2)＝0，所以當0<x<2時，f′(x)<0；當x>2時，f′(x)>0.所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,2)，單調遞增區(qū)間為(2，＋∞)．(2)證明當a＝eq\f(1,e)時，f(x)＝eq\f(ex,e)－lnx－1，所以只要證明eq\f(ex,e)－lnx－1≥0即可．設g(x)＝ex－ex(x>0)，則g′(x)＝ex－e(x>0)，可知g(x)在(0,1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增，所以g(x)≥g(1)＝0，即ex≥ex?eq\f(ex,e)≥x.又由ex≥ex(x>0)，得x≥1＋lnx(x>0)，所以eq\f(ex,e)－lnx－1≥x－lnx－1≥0，所以eq\f(ex,e)－lnx－1≥0得證，所以當a＝eq\f(1,e)時，f(x)≥0.2．(2023·淄博模擬)已知函數f(x)＝ex－x－1.(1)求函數f(x)的單調區(qū)間和極值；(2)當x≥0時，求證：f(x)＋x＋1≥eq\f(1,2)x2＋cosx.(1)解易知函數f(x)的定義域為R，∵f(x)＝ex－x－1，∴f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，令f′(x)<0，解得x<0，f(x)在(－∞，0)上單調遞減，即f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－∞，0)，∴函數f(x)的極小值為f(0)＝0，無極大值．(2)證明要證f(x)＋x＋1≥eq\f(1,2)x2＋cosx，即證ex－eq\f(1,2)x2－cosx≥0，設g(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－cosx，要證原不等式成立，即證g(x)≥0成立，∵g′(x)＝ex－x＋sinx，sinx≥－1，∴g′(x)＝ex－x＋sinx≥ex－x－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當x＝－\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時等號成立))，由(1)知，ex－x－1≥0(x＝0時等號成立)，∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，∴在區(qū)間[0，＋∞)上，g(x)≥g(0)＝0，∴當x≥0時，f(x)＋x＋1≥eq\f(1,2)x2＋cosx得證．3．已知函數f(x)＝xlnx－ax.(1)當a＝－1時，求函數f(x)在(0，＋∞)上的最值；(2)證明：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx＋1>eq\f(1,ex＋1)－eq\f(2,e2x)成立．(1)解函數f(x)＝xlnx－ax的定義域為(0，＋∞)，當a＝－1時，f(x)＝xlnx＋x，f′(x)＝lnx＋2，由f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,e2)，當0<x<eq\f(1,e2)時，f′(x)<0；當x>eq\f(1,e2)時，f′(x)>0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2)))上單調遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)，＋∞))上單調遞增，因此f(x)在x＝eq\f(1,e2)處取得最小值，即f(x)min＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)))＝－eq\f(1,e2)，無最大值．(2)證明當x>0時，lnx＋1>eq\f(1,ex＋1)－eq\f(2,e2x)，等價于x(lnx＋1)>eq\f(x,ex＋1)－eq\f(2,e2)，由(1)知，當a＝－1時，f(x)＝xlnx＋x≥－eq\f(1,e2)，當且僅當x＝eq\f(1