新人教版高一(初升高)暑期數(shù)學銜接第10講冪函數(shù)練習(學生版+解析)

第10講冪函數(shù)【學習目標】通過具體實例，結合的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)．【基礎知識】一、冪函數(shù)的概念1.一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)(powerfunction)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2．冪函數(shù)的特征(1)xα的系數(shù)是1；(2)xα的底數(shù)x是自變量；(3)xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．二、一些常用冪函數(shù)的圖象同一坐標系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))的圖象(如圖)．三、冪函數(shù)的性質(zhì)1.所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；2.如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；3.如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；4.在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．【考點剖析】考點一：冪函數(shù)的定義例1．(2022學年河北省滄州市高一上學期期末)下列函數(shù)是冪函數(shù)的是(

)A． B．C． D．考點二：冪函數(shù)的圖象及應用例2．(2022學年河北省博野中學高一上學期開學考試)函數(shù)和的圖象如圖所示，有下列四個說法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果時，那么.其中正確的是(

).A．①④ B．① C．①② D．①③④考點三：利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小例3．比較下列各題中兩個值的大?。?1)和

(2)和.考點四：冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用例4．(多選)(2022學年廣東省普寧市高一上學期期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(9,3)，則下列結論正確的有(

)A．為偶函數(shù) B．為增函數(shù)C．若，則 D．若，則【真題演練】1.(2022學年廣西憑祥市高級中學高一下學期素質(zhì)檢測)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的值為(

)A． B．3 C．或3 D．2.(2022學年四川省南充高級中學高一上學期期中)已知冪函數(shù)(a是常數(shù))，則(

)A．的定義域是R B．在單調(diào)遞增C．過定點 D．可能過定點3.(2020-2021學年上海市晉元高級中學高一上學期期中)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的大致圖象是(

)A． B．C． D．4.(多選)(2022學年廣東省深圳市光明區(qū)高一上學期期末)已知冪函數(shù)，則(

)A． B．定義域為C． D．5.(多選)(2022學年湖北省十堰市區(qū)縣普通高中聯(lián)合體高一上學期期中)黃同學在研究冪函數(shù)時，發(fā)現(xiàn)有的具有以下三個性質(zhì)：①是奇函數(shù)；②值域是且；③在上是減函數(shù)則以下冪函數(shù)符合這三個性質(zhì)的有(

)A． B．C． D．6.(2022學年甘肅省慶陽市寧縣高一上學期期末)已知冪函數(shù)的圖象過點，則此函數(shù)的解析式為______．7.(2022學年湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高一下學期期中)已知冪函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則___________．8.(2022學年廣西十八校高一10月聯(lián)考)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．【過關檢測】1.(2022學年安徽省宣城市六校高一上學期期中)已知點(a，2)在冪函數(shù)的圖象上，則函數(shù)f(x)的解析式是(

)A． B．C． D．2.下列命題中正確的是(

)A．冪函數(shù)的圖象一定過點(0，0)和點(1，1)B．若函數(shù)f(x)＝xn是奇函數(shù)，則它在定義域上單調(diào)遞增C．冪函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限D(zhuǎn)．冪函數(shù)的圖象不可能是直線3.(2022學年】河北省石家莊市藁城區(qū)第一中學高一上學期月考)已知冪函數(shù)的圖象過點，則下列關于說法正確的是(

)A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．在單調(diào)遞減 D．定義域為4.(2022學年河南省鄭州市中牟縣高一上學期期中)若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列結論正確的是(

)A．為奇函數(shù)B．若，則C．為偶函數(shù)D．若，則5.(多選)下列關于冪函數(shù)的性質(zhì)說法正確的有(

)A．當時，函數(shù)在其定義域上遞減B．當時，函數(shù)圖象是一條直線C．當時，函數(shù)是偶函數(shù)D．當時，函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標為6.(2022學年福建省漳州市高一上學期期末教學質(zhì)量檢測)已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則(

)A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是增函數(shù)C．函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點D．函數(shù)的最小值為07.(2022學年四川省德陽市什邡市什邡中學高一下學期月考)已知點在冪函數(shù)的圖象上，則=_______．8.(2022學年遼寧省名校聯(lián)盟高一上學期12月月考)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②；③任取，，且．9.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求實數(shù)的值．10.已知冪函數(shù)的圖像關于y軸對稱，且在上函數(shù)值隨著x的增大而減小.(1)求m值.(2)若滿足，求a的取值范圍.第10講冪函數(shù)【學習目標】通過具體實例，結合的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)．【基礎知識】一、冪函數(shù)的概念1.一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)(powerfunction)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2．冪函數(shù)的特征(1)xα的系數(shù)是1；(2)xα的底數(shù)x是自變量；(3)xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．二、一些常用冪函數(shù)的圖象同一坐標系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))的圖象(如圖)．三、冪函數(shù)的性質(zhì)1.所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；2.如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；3.如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；4.在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．【考點剖析】考點一：冪函數(shù)的定義例1．(2022學年河北省滄州市高一上學期期末)下列函數(shù)是冪函數(shù)的是(

)A． B．C． D．答案:C解析：形如的函數(shù)為冪函數(shù)，則為冪函數(shù).故選C.考點二：冪函數(shù)的圖象及應用例2．(2022學年河北省博野中學高一上學期開學考試)函數(shù)和的圖象如圖所示，有下列四個說法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果時，那么.其中正確的是(

).A．①④ B．① C．①② D．①③④答案:A解析：當三個函數(shù)的圖象依和次序呈上下關系時，可得，所以，若，可得，所以①正確；當三個函數(shù)的圖象依，和次序呈上下關系時，或，所以，若，可得，所以②錯誤；由于當三個函數(shù)的圖象沒有出現(xiàn)和次序的上下關系，所以③錯誤；當三個函數(shù)的圖象依和次序呈上下關系時，，所以，若時，可得，所以④正確.故選A．考點三：利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小例3．比較下列各題中兩個值的大?。?1)和

(2)和.解析：(1)考察冪函數(shù)，因為其在區(qū)間上是增函數(shù)，而且，所以.(2)考察冪函數(shù)，因為其在區(qū)間上是減函數(shù)，而且，所以.考點四：冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用例4．(多選)(2022學年廣東省普寧市高一上學期期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(9,3)，則下列結論正確的有(

)A．為偶函數(shù) B．為增函數(shù)C．若，則 D．若，則答案:BCD解析：將點代入函數(shù)得：，則，所以，∴的定義域為，所以不具有奇偶性，所以A不正確；函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，所以B正確；當時，，即，所以C正確；若時，==.即成立，所以D正確.故選BCD.【真題演練】1.(2022學年廣西憑祥市高級中學高一下學期素質(zhì)檢測)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的值為(

)A． B．3 C．或3 D．答案:A解析：因為是冪函數(shù)，故，解得或，又因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以需要，則故選A2.(2022學年四川省南充高級中學高一上學期期中)已知冪函數(shù)(a是常數(shù))，則(

)A．的定義域是R B．在單調(diào)遞增C．過定點 D．可能過定點答案:C解析：已知冪函數(shù)(a是常數(shù))，當，，此時定義域為，A錯誤，當，，此時在單調(diào)遞減，B錯誤，當時，，過定點，C正確，D錯誤.故選C.3.(2020-2021學年上海市晉元高級中學高一上學期期中)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的大致圖象是(

)A． B．C． D．答案:A解析：設冪函數(shù)為，因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，即，解得，所以，則函數(shù)的定義域為，所以排除CD，因為，所以在上為減函數(shù)，所以排除B，故選A4.(多選)(2022學年廣東省深圳市光明區(qū)高一上學期期末)已知冪函數(shù)，則(

)A． B．定義域為C． D．答案:AC解析：為冪函數(shù)，，得，A對；函數(shù)的定義域為，B錯誤；由于在上為增函數(shù)，，C對；，，D錯誤，故選AC.5.(多選)(2022學年湖北省十堰市區(qū)縣普通高中聯(lián)合體高一上學期期中)黃同學在研究冪函數(shù)時，發(fā)現(xiàn)有的具有以下三個性質(zhì)：①是奇函數(shù)；②值域是且；③在上是減函數(shù)則以下冪函數(shù)符合這三個性質(zhì)的有(

)A． B．C． D．答案:CD解析：由已知可得，此函數(shù)為奇函數(shù)，而A選項為偶函數(shù)，不滿足題意，排除選項；選項B，的值域為，且該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿足題意條件，排除選項；選項C、D同時滿足三個條件.故選CD.6.(2022學年甘肅省慶陽市寧縣高一上學期期末)已知冪函數(shù)的圖象過點，則此函數(shù)的解析式為______．答案:解析：由題意，設，代入點得，解得，則.7.(2022學年湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高一下學期期中)已知冪函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則___________．答案:4解析：由于是冪函數(shù)，所以，解得或.當時，，圖象關于軸對稱，符合題意.當時，，圖象關于原點對稱，不符合題意.所以的值為，∴.，.8.(2022學年廣西十八校高一10月聯(lián)考)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．解析：(1)設，則，則，∴函數(shù)的解析式為．(2)因為，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間，值域為．【過關檢測】1.(2022學年安徽省宣城市六校高一上學期期中)已知點(a，2)在冪函數(shù)的圖象上，則函數(shù)f(x)的解析式是(

)A． B．C． D．答案:A解析：∵函數(shù)是冪函數(shù)，∴，即，∴點(4，2)在冪函數(shù)的圖象上，∴，故．故選A.2.下列命題中正確的是(

)A．冪函數(shù)的圖象一定過點(0，0)和點(1，1)B．若函數(shù)f(x)＝xn是奇函數(shù)，則它在定義域上單調(diào)遞增C．冪函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限D(zhuǎn)．冪函數(shù)的圖象不可能是直線答案:C解析：冪函數(shù)y＝x－1的圖象不過點(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，于是A，B都不正確．冪函數(shù)y＝x的圖象是直線，D不正確．當x>0時，f(x)＝xα>0必成立，所以，冪函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限，C正確故選C．3.(2022學年】河北省石家莊市藁城區(qū)第一中學高一上學期月考)已知冪函數(shù)的圖象過點，則下列關于說法正確的是(

)A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．在單調(diào)遞減 D．定義域為答案:C解析：設冪函數(shù)，由題意得：，故，定義域為，故D錯誤；定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)，A，B錯誤；由于，故在在單調(diào)遞減，C正確，故選C4.(2022學年河南省鄭州市中牟縣高一上學期期中)若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列結論正確的是(

)A．為奇函數(shù)B．若，則C．為偶函數(shù)D．若，則答案:D解析：設，將代入得：，解得：，所以，定義域為，故不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，AC錯誤；因為，所以，，B錯誤；，，由于，則，故，D正確.故選D5.(多選)下列關于冪函數(shù)的性質(zhì)說法正確的有(

)A．當時，函數(shù)在其定義域上遞減B．當時，函數(shù)圖象是一條直線C．當時，函數(shù)是偶函數(shù)D．當時，函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標為答案:CD解析：當時，，函數(shù)在(-∞，0)和(0，+∞)上遞減，不能說在定義域上遞減，故A選項錯誤；當時，，，其圖象是去掉點的直線，故B選項錯誤；當時，，函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，所以C選項正確；當時，，其圖象與軸只有個交點，且交點的橫坐標為，所以D選項正確.故選CD.6.(2022學年福建省漳州市高一上學期期末教學質(zhì)量檢測)已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則(

)A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是增函數(shù)C．函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點D．函數(shù)的最小值為0答案:BD解析：依題意，所以，由于的定義域是，不關于原點對稱，所以是非奇非偶函數(shù)，A選項錯誤.在上遞增，所以B選項正確.，所以C選項錯誤.，所以D選項正確.故選BD7.(2022學年四川省德陽市什邡市什邡中學高一下學期月考)已知點在冪函數(shù)的圖象上，則=_______．答案:16解析：因為點在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，則8.(2022學年遼寧省名校聯(lián)盟高一上學期12月月考)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②；③任取，，且．答案:(答案不唯一)解析：取，函數(shù)為冪函數(shù)，滿足①；，則函數(shù)為偶函數(shù)，滿足