高中數(shù)學(xué)直線和方程

第三章直線與方程

§3.1直線的傾斜角與斜率

3.1.1傾斜角與斜率

【課時(shí)目標(biāo)】1.理解直線的傾斜角和斜率的概念.2.掌握求直線斜率的兩種方法.3.了

解在平面直角坐標(biāo)系中確定一條直線的幾何要素.

1.傾斜角與斜率的概念

定義

傾當(dāng)直線/與X軸________時(shí)，我們?nèi)_______作為基準(zhǔn)，X軸________與直線

斜

/________________之間所成的角叫做直線1的傾斜角.當(dāng)直線/與X軸平行或a

角

重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°

斜

k=

生直線1的傾斜角a（aW90。）的____________

tana

2.傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系

二

圖示二’7一

3X

rO

°

傾斜角

a=0°0°<a<90°a=____90°<a<180°

（范圍）

斜率斜率不

0大于0小于0

（范圍）存在

一、選擇題

1.對(duì)于以下命題

①假設(shè)a是直線/的傾斜角，則0°<?<180°;

②假設(shè)A是直線的斜率，則ZGR；

③任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；

④任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.斜率為2的直線經(jīng)過點(diǎn)4（3,5）、-3,7）、C（T,與三點(diǎn)，則八b的值為（）

A.a—4,b—0B.a——4,b——3

C.a=4,h=~3D.〃=—4,h=3

3.設(shè)直線/過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為a,如果將/繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。,

得到直線小那么人的傾斜角為（）

A.a+45°

B.?-135°

C.135。一a

D.當(dāng)（TWa<135。時(shí)，傾斜角為a+45。；當(dāng)135。Wa<180。時(shí)，傾斜角為a-135。

4.直線/過原點(diǎn)（0,0）,且不過第三象限，那么/的傾斜角a的取值范圍是（）

A.[0°,90°]B.[90°,180°）

C.[90°,180。）或a=0。D.[90°,135°J

5.假設(shè)圖中直線小12、/3的斜率分別為心、心、依，則（）

A..ki<k\<ki

C.ki<k2<k\D.k\<k，3<kz

6.直線1=0同時(shí)過第一、三、四象限的條件是（）

A.nm>0B.mn<0

C.m>0,/?<0D.m<0,n<0

二、填空題

7.假設(shè)直線AB與y軸的夾角為60。，則直線AB的傾斜角為,斜率為

8.如圖，4ABC為等腰三角形，且底邊8C與x軸平行，則△ABC三邊所在直線的斜

率之和為?

9.直線/的傾斜角為a—20。，則a的取值范圍是.

三、解答題

10.如以以下列圖，菱形ABQ9中，ZBAD=60°,求菱形A8CD各邊和兩條對(duì)角線所

在直線的傾斜角和斜率.

11.一條光線從點(diǎn)4-1,3）射向x軸，經(jīng)過x軸上的點(diǎn)P反射后通過點(diǎn)8（3,1）,求P點(diǎn)

的坐標(biāo).

【能力提升】

12.實(shí)數(shù)x,y滿足y=-2x+8,當(dāng)2WxW3時(shí)，求金的最大值和最小值.

13.函數(shù),/（x）=k）g2（x+l）,a>b>c>0,貝吟^的大小關(guān)系是.

1.利用直線上兩點(diǎn)確定直線的斜率，應(yīng)從斜率存在、不存在兩方面入手分類討論，斜

率不存在的情況在解題中容易無視，應(yīng)引起注意.

2.三點(diǎn)共線問題：（1）三點(diǎn)A,B,C,假設(shè)直線A8,AC的斜率一樣，則三點(diǎn)共線；（2）

三點(diǎn)共線問題也可利用線段相等來求，假設(shè)|AB|+|BC|=|AC|,也可斷定A,B,C三點(diǎn)共線.

3.斜率公式的幾何意義：在解題過程中，要注意開發(fā)“數(shù)形”的轉(zhuǎn)化功能，直線的傾

斜角與斜率反映了某一代數(shù)式的幾何特征，利用這種特征來處理問題更直觀形象，會(huì)起到意

想不到的效果.

第三章直線與方程

§3.1直線的傾斜角與斜率

3.1.1傾斜角與斜率

答案

知識(shí)梳理

1.相交X軸正向向上方向正切值

2.90°

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.C[①②③正確.]

If-bl--53=2

1IAC=2,

2.C[由題意，得即

kAB—2,

解得a=4,b=—3.J

3.D[因?yàn)?。忘01<180。，顯然A,B,C未分類討論，均不全面，不合題意.通過畫

圖（如以以下列圖）可知：

當(dāng)（rWa<135。時(shí)，傾斜角為a+45。；

當(dāng)135°Wa<180°時(shí)，傾斜角為45°+a—180°=a-135°.]

4.C[傾斜角的取值范圍為0。為<180。，直線過原點(diǎn)且不過第三象限，切勿忽略x軸

和y軸.]

5.D[由圖可知，k,<0,k2>0,k3>0,

且k比b的傾斜角大.，ki〈k3<k2.]

6.C[由題意知，直線與x軸不垂直，故nWO.直線方程化為y=一簧+孑，則一與>0,

且不0,即m>0,n<0.]

7.30?；?50°坐或一坐8.0

9.20°^a<200°

解析因?yàn)橹本€的傾斜角的范圍是[0。，180。)，

所以(TWa—20。<180。，解之可得2(rWa<200。.

10.解aAD=ctBC=60°,aAB=aDC=0°,aAc=30°,aBD=120°.

rj

kAD=kBc=小，kAB=kcD=0,kAc—3,kBD—

3—03

11.解設(shè)P(x,0),則kpA=^j—=—F，

—1—Xx+1

,1—0]?、日K4

kpB=3_x=3-x，依就意，

由光的反射定律得kpA=-kpB,

即幣3=亡1，解得x=2,即P(2,0).

12.解

3=弓其意義表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)連線的直線的斜率.

xxU

點(diǎn)(X,y)滿足y=-2x+8,且2WxW3,則點(diǎn)(x,y)在線段AB上，并且A、B兩點(diǎn)的

2

坐標(biāo)分別為A(2,4),B(3,2),如以以下列圖.則koA=2,koB=J

所以得乎的最大值為2,最小值為圣

XD

3典典

'cba

解析畫出函數(shù)的草圖如圖，中可視為過原點(diǎn)直線的斜率.

3.1.2兩條直線平行與垂直的判定

【課時(shí)目標(biāo)】1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定兩條直線是否平行或垂直.2.能根據(jù)兩

條直線平行或垂直的關(guān)系確定兩條直線斜率的關(guān)系.

1.兩條直線平行與斜率的關(guān)系

(1)對(duì)于兩條不重合的直線八，11，其斜率分別為包、％2,有/1〃/2=.

(2)如果直線小/2的斜率都不存在，并且與/2不重合，那么它們都與垂直，

故h-

2.兩條直線垂直與斜率的關(guān)系

(1)如果直線/k/2的斜率都存在，并且分別為21、h，那么.

(2)如果兩條直線從/2中的一條斜率不存在，另一個(gè)斜率是零，那么人與，2的位置關(guān)系

是.

一、選擇題

1.有以下幾種說法：(/卜/2不重合)

①假設(shè)直線/2都有斜率且斜率相等，則人〃/2；

②假設(shè)直線則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)：

③兩條直線的傾斜角相等，則這兩條直線平行；

④只有斜率相等的兩條直線才一定平行.

以上說法中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.0

2.以A(—1,1)、8(2,-1)、C(l,4)為頂點(diǎn)的三角形是()

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形

D.以8點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形

3.A(l,2),8(m,1),直線AB與直線y=0垂直，則根的值()

A.2B.1C.0D.-1

4.A(m,3),B(2m,m+4),C(w+1,2),。(1,0),且直線4B與直線CD平行，則，〃的值

為()

A.1B.0C.0或2D.0或1

5.假設(shè)直線h/2的傾斜角分別為外、?2,且則有()

A.(x.\一儀2=90°B.。2一8=90°

C.|慮一81=90。D.ai+a2=180°

6.順次連接A(—4,3),8(2,5),C(6,3),。(一3,0)所構(gòu)成的圖形是()

A.平行四邊形B.直角梯形

C.等腰梯形D.以上都不對(duì)

二、填空題

7.如果直線乙的斜率為4,/1±/2,則直線/2的斜率為.

8.直線/”/2的斜率是關(guān)于k的方程2必一3Z—6=0的兩根，假設(shè)則6

=；假設(shè)/1〃，2，則h=.

9.直線/i的傾斜角為60。，直線6經(jīng)過點(diǎn)A(l,6)，B(-2,一2回則直線八，b的

位置關(guān)系是.

三、解答題

10.ZX/IBC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三邊的高

所在直線的斜率.

11.△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(5,-1),8(1,1),C(2,m)，假設(shè)△ABC為直角三角形，試

求m的值.

【能力提升】

12./XABC的頂點(diǎn)B(2,l),C(—6,3),其垂心為H(—3,2),則其頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

13.四邊形ABCO的頂點(diǎn)A(〃z,ri),3(5,-1),C(4,2),0(2,2),求加和〃的值，使四

邊形A8C。為直角梯形.

判定兩條直線是平行還是垂直要"三看"：一看斜率是否存在，假設(shè)兩直線的斜率都不

存在，則兩直線平行，假設(shè)一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在，則兩直線垂直；

斜率都存在時(shí)，二看斜率是否相等或斜率乘積是否為一1；兩直線斜率相等時(shí)，三看兩直線

是否重合，假設(shè)不重合，則兩直線平行.

3.1.2兩條直線平行與垂直的判定答案

知識(shí)梳理

1.(l)kl=k2(2)x軸〃

2.(l)k|k2=-l(2)垂直

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.B[①③正確，②④不正確，h或L可能斜率不存在.]

23

k

2.C[kAB=_3(AC=2>kAC，kAB=11,AAB±AC.J

3.B[直線AB應(yīng)與x軸垂直，A,B橫坐標(biāo)一樣.]

4.D[當(dāng)AB與CD斜率均不存在時(shí)，m=0,此時(shí)AB〃CD,當(dāng)kAB=kcD時(shí)，m=l,

此時(shí)AB〃CD.]

5.C

6.B[kAB=koc,kAi#kBc,1<AD,1<AB=-1>故構(gòu)成的圖形為直角梯形.]

7.-—或不存在

8.2

o

解析假設(shè)h_L12,則kik2=—￥=—1,."二？.

9

假設(shè)h〃b,則ki=k2,A=9+8b=0,，b=一五.

o

9.平行或重合

解析由題意可知直線h的斜率％=勿"60。=小,

直線12的斜率k2=-2沖—產(chǎn)=木,

-2—1Y

因?yàn)閗i=k2,所以li〃L或h,b重合.

10.解

由斜率公式可得

,6—(—4)5

kAB=6一(一2)=3

6-6

kBC=15=°，

6-(—4)

kAC=0-(-2)=5.

由kfjc=0知直線BC〃x軸，

...BC邊上的高線與x軸垂直，其斜率不存在.

設(shè)AB、AC邊上高線的斜率分別為ki、k2,

由kpkAB——1,k2-kAC——1.

即kr|=-1,k2-5=-1,

解得ki=-,,k2=—

ABC邊上的高所在直線斜率不存在;

AB邊上的高所在直線斜率為一點(diǎn)

AC邊上的高所在直線斜率為一點(diǎn)

&力-1-11

11.KAB_5_j—2，kAC

ksc=2_[=m-1.

假設(shè)AB_LAC,則有一；(一氣’)=-1,

所以m=-7.

假設(shè)AB_LBC,則有一去(m-l)=-l,

所以m=3.

假設(shè)ACLBC,則有一氣」.(m-l)=-l，

所以m=±2.

綜上可知，所求m的值為一7,±2,3.

12.(-19,-62)

解析設(shè)A(x,y),VAC±BH,AB1CH,

且kBH=_.,

kcH=—

、一3

=5,

x+6x=-19,

解得，

y—1y=-62.

----=3

lx—2

13.解

??,四邊形ABCD是直角梯形，，有2種情形:

⑴AB〃CD,AB1AD,

由圖可知：A(2,-1).

(2)AD〃BC,AD_LAB,

n—2__3

kAD=kBCm—2—1

kAD?kAB=-1n—2n+1

m—2m—5

§3.2直線的方程

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

【課時(shí)目標(biāo)】1.掌握坐標(biāo)平面內(nèi)確定一條直線的幾何要素.2.會(huì)求直線的點(diǎn)斜式方

程與斜截式方程.3.了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

1.直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程

名稱條件示意圖方程使用范圍

點(diǎn)y

/cwo)斜率

斜點(diǎn)P(M),比)

在

_乙存

式和斜率k/0X

斜存在

斜率左和在)，V

截斜率

軸上的截距bO—

式

2.對(duì)于直線八：y—k\x+b\,Z2：y—k2x+b2>

(1)/1〃/2?；

(2)/1±/2?.

一、選擇題

1.方程y=%(x-2)表示()

A.通過點(diǎn)(-2,0)的所有直線

B.通過點(diǎn)(2,0)的所有直線

C.通過點(diǎn)(2,0)且不垂直于x軸的所有直線

D.通過點(diǎn)(2,0)且除去x軸的所有直線

2.直線的傾斜角為60。，在y軸上的截距為一2,則此直線方程為()

A.B.y=—*73x+2

C.y———2D.y—y[3x—2

3.直線通過第一、三、四象限，則有()

A.k>0,b>0B.%>0,b<0

C.k<0,b>0D.KO,b<0

4.直線y=or+方和在同一坐標(biāo)系中的圖形可能是()

5.集合4=｛直線的斜截式方程｝,8=｛一次函數(shù)的解析式｝,則集合A、B間的關(guān)系是

)

A.A=BB.BA

C.4BD.以上都不對(duì)

6.直線自一y+1-3%=。當(dāng)k變化時(shí)，所有的直線恒過定點(diǎn)()

A.(1,3)B.(—1,—3)

C.(3,1)D.(-3,-1)

二、填空題

7.將直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的直線為

8.一條直線經(jīng)過點(diǎn)P(l,2)且與直線y=2x+3平行，則該直線的點(diǎn)斜式方程是.

9.以下四個(gè)結(jié)論：

①方程上=淆與方程y—2=Mx+l)可表示同一直線；

②直線/過點(diǎn)P3,?),傾斜角為90。，則其方程是x=xi：

③直線/過點(diǎn)P(xi,X),斜率為0,則其方程是y=yi；

④所有的直線都有點(diǎn)斜式和斜截式方程.

正確的為(填序號(hào)).

三、解答題

10.寫出以下直線的點(diǎn)斜式方程.

⑴經(jīng)過點(diǎn)4(2,5),且與直線y=2x+7平行；

(2)經(jīng)過點(diǎn)C(—1,—1),且與x軸平行.

11.aABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(—5,0),8(3,-3),C(0,2),求BC邊上的高所在

的直線方程.

【能力提升】

12.直線/的斜率制，且和兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為3,求/的方程.

13.等腰AABC的頂點(diǎn)A(—1,2),AC的斜率為S，點(diǎn)8(—3,2),求直線AC、BC及4

A的平分線所在直線方程.

1.直線/經(jīng)過的一個(gè)點(diǎn)和直線斜率就可用點(diǎn)斜式寫出直線的方程.用點(diǎn)斜式求直線方

程時(shí)，必須保證該直線斜率存在.而過點(diǎn)P(M,yo),斜率不存在的直線方程為x=xo.直線

的斜截式方程是點(diǎn)斜式的特例.

2.求直線方程時(shí)常常使用待定系數(shù)法，即根據(jù)直線滿足的一個(gè)條件，設(shè)出其點(diǎn)斜式方

程或斜截式方程，再根據(jù)另一條件確定待定常數(shù)的值，從而到達(dá)求出直線方程的目的.但在

求解時(shí)仍然需要討論斜率不存在的情形.

§3.2直線的方程

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

答案

知識(shí)梳理

1.y-yo=k(x—xo)y=kx+b

2.(I)ki=k2且biNbz(2)kik2=-1

作業(yè)設(shè)計(jì)

i.q易驗(yàn)證直線通過點(diǎn)(2,o),又直線斜率存在，故直線不垂直于x軸.]

2.D[直線的傾斜角為60。，則其斜率為小，

利用斜截式直接寫方程.]

3.B4.D

5.B[一次函數(shù)y=kx+b(kWO)；

直線的斜截式方程y=kx+b中k可以是0,所以BA.J

6.C[直線kx—y+l—3k=0變形為y-l=k(x-3),

由直線的點(diǎn)斜式可得直線恒過定點(diǎn)(3』).]

r1,1

7.y=-3%+3

解析直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。所得到的直線方程為y—|x,再將該直線向

右平移1個(gè)單位得到的直線方程為y=-|(x-l),即y=-|x+|.

8.y—2=2(x—1)

9.②③

10.解(1)由題意知，直線的斜率為2,

所以其點(diǎn)斜式方程為y—5=2(x—2).

(2)由題意知，直線的斜率1<=柩〃0。=0,

所以直線的點(diǎn)斜式方程為y—(—1)=0,即y=-l.

11.解設(shè)BC邊上的高為AD,貝i」BC_LAD,

.2+3,3

***kADekBC=-1???0_3，kAD=-1,解得kAD=§.

3

ABC邊上的高所在的直線方程為y-0=5(x+5),

3

即y=,x+3.

12.解設(shè)直線1的方程為y=1x+b,

則x=0時(shí)，y=b；y=0時(shí)，x=-6b.

由可得去IbH6bl=3,

即61bl2=6,/.b=±l.

故所求直線方程為y=/x+l或y=1x—1.

13.解直線AC的方程：y=，5x+2+/.

：AB〃x軸，AC的傾斜角為60。,

ABC的傾斜角為30。或120°.

當(dāng)a=30。時(shí)，BC方程為y=^x+2+，§,NA平分線傾斜角為120。，

???所在直線方程為y=—，5x+2一木.

當(dāng)a=120。時(shí)，BC方程為y=—5x+2—35，NA平分線傾斜角為30。，

??所在直線萬程為y=2^+2+-^-.

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程

【課時(shí)目標(biāo)】1.掌握直線方程的兩點(diǎn)式.2.掌握直線方程的截距式.3.進(jìn)一步穩(wěn)

固截距的概念.

1.直線方程的兩點(diǎn)式和截距式

名稱條件示意圖方程使用范圍

兩PGi，yD，y-yi__

點(diǎn)尸2(必丫2)，”一）'i斜率存在

式其中％1#也，-―一汨且不為0

X2~X]

截一

距在x,y軸上的斜率存在且不為0,

式截距分別為a,bKab^Ok不過原點(diǎn)

2.線I費(fèi)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式

X—

假設(shè)點(diǎn)尸|、己的坐標(biāo)分別為⑶，9)、(X2,")，設(shè)P(X,y)是線段P1P2的中點(diǎn)，則，

戶

一、選擇題

1.以下說法正確的選項(xiàng)是()

A.方程m=%表示過點(diǎn)M(?,%)且斜率為％的直線方程

B.在x軸、)，軸上的截距分別為a,6的直線方程為§+1=1

C.直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為b

D.不與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線的方程一定可以寫成兩點(diǎn)式或斜截式

2.一條直線不與坐標(biāo)軸平行或重合，則它的方程()

A.可以寫成兩點(diǎn)式或截距式

B.可以寫成兩點(diǎn)式或斜截式或點(diǎn)斜式

C.可以寫成點(diǎn)斜式或截距式

D.可以寫成兩點(diǎn)式或截距式或斜截式或點(diǎn)斜式

3.直線今一方=1在y軸上的截距是()

A.\b\B.一b2c.〃D.±b

4.在小y軸上的截距分別是一3、4的直線方程是()

A.±+；=1B.1+士=1

。言-；=1D.m=i

5?直線與:f=1在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()

6.過點(diǎn)(5,2),且在x軸上的截距(直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))是在y軸上的截距的2倍的

直線方程是()

A.2x+>'_12=0

B.2r+y—12=0或2x—5y=0

C.x~2y~\=0

D.x+2y-9=0或2x-5y=0

二、填空題

7.點(diǎn)A(l,2),8(3,1),則線段AB的垂直平分線的點(diǎn)斜式方式為.

8.過點(diǎn)P(6,-2),且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程是

9.過點(diǎn)P(l,3)的直線/分別與兩坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)P為4B的中點(diǎn)，則直線

I的截距式是.

三、解答題_

10.直線/的斜率為6,且被兩坐標(biāo)軸所截得的線段長(zhǎng)為順，求直線/的方程.

II.三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為4(0,4),5(-2,6),C(一8,0).

(1)求邊AC和AB所在直線的方程；

(2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程；

(3)求AC邊上的中垂線所在直線的方程.

【能力提升】

12.點(diǎn)A(2,5)與點(diǎn)8(4,—7),點(diǎn)尸在y軸上，假設(shè)附|+|尸8|的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)

是?

13.直線/經(jīng)過點(diǎn)(7,1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，求直線/的方程.

1.直線方程的幾種形式，都可以用來求直線的方程，但各有自己的限制條件，應(yīng)用時(shí)

要全面考慮.(1)點(diǎn)斜式應(yīng)注意過P(M,州)且斜率不存在的情況.(2)斜截式，要注意斜率不

存在的情況.(3)兩點(diǎn)式要考慮直線平行于x軸和垂直于x軸的情況.(4)截距式要注意截距

都存在的條件.

2.直線方程的幾種特殊形式都有明顯的幾何意義，在求直線方程時(shí)，應(yīng)抓住這些幾何

特征，求直線方程.

3.強(qiáng)調(diào)兩個(gè)問題：

(1)截距并非距離，另外截距相等包括截距均為零的情況，但此時(shí)不能用截距式方程表

示，而應(yīng)用丫=履表示.不是每條直線都有橫截距和縱截距，如直線y=l沒有橫截距，x=

2沒有縱截距.

y2—yiy~-?X~~~^X\

(2)方程*一?)(丁不垃)與;，,=#_「(X|WX2,yiw>2)以及。，一%)(X2-X|)

X2Al>2y\A2A]

=(x—xi)02—yi)代表的直線范圍不同(想一想，為什么).

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程答案

知識(shí)梳理

L\卜1

xi+xzyi+yz

2?22

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.A2.B

3.B[令x=0得，y=-b2.]

4.A

5.B[兩直線的方程分別化為斜截式：丫=與<一n,

y=^x-m,易知兩直線的斜率的符號(hào)一樣，四個(gè)選項(xiàng)中僅有B選項(xiàng)的兩直線的斜率符

號(hào)一樣.]

6.D[當(dāng)y軸上截距b=0時(shí)，方程設(shè)為丫=10<,

2

將(5,2)代入得，y=gX,即2x—5y=0；

當(dāng)bWO時(shí)，方程設(shè)為東+土=1,求得b=3,?,?選Q.]

3

7,y-2=2(x-2)

解析kAB=—由kkAB=-1得

k=2,AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2，

3

點(diǎn)斜式方程為y—]=2(x—2).

解析設(shè)直線方程的截距式為右+『，則后+?=1，解得a=2或a=l,則直

線的方程是舁/尹1或日產(chǎn)+=1，即方+尹1或烹+y=l.

9-2+6=1

解析設(shè)A(m,0),B(0,n),由P(l,3)是AB的中點(diǎn)可得m=2,n=6,

即A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,6).

則1的方程為'看=1.

10.解方法一設(shè)所求直線1的方程為丫=1?+1?.

：k=6,方程為y=6x+b.

令x=0,...y=b,與y軸的交點(diǎn)為(0,b)；

令y=0,；.x=—/與x軸的交點(diǎn)為(一看，0).

根據(jù)勾股定理得(一§2+b2=37,

，b=±6.因此直線1的方程為y=6x±6.

方法二設(shè)所求直線為:+a=1,則與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為（a,0）、（0,b）.

由勾股定理知a2+b2=37.

fa2+b2=37,

a=1,a=—1,

解此方程組可得b=-6或'

b=6.

因此所求直線1的方程為x+±=l或-x+5=l.

11.解⑴由截距式得春+點(diǎn)=1,

AAC所在直線方程為x—2y+8=0,

由兩點(diǎn)式得公=土，

AB所在直線方程為x+y—4=0.

（2）D點(diǎn)坐標(biāo)為（一4,2）,由兩點(diǎn)式得專生.

ABD所在直線方程為2x-y+10=0.

（3）由kAc=4，，AC邊上的中垂線的斜率為一2,

又口（一4,2）,由點(diǎn)斜式得y-2=-2（x+4）,

.二AC邊上的中垂線所在直線方程為2x+y+6=0.

12.（0,1）

解析要使|PA|+|PB|的值最小，先求點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'（—2,5）,連接A'B,

直線A'B與y軸的交點(diǎn)P即為所求點(diǎn).

13.解當(dāng)直線1經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線1在兩坐標(biāo)軸上截距均等于0,故直線1的斜率為今

???所求直線方程為y=1x,

即X—7y=0.

當(dāng)直線1不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程dD

由題意可得a+b=0,①

71

又1經(jīng)過點(diǎn)（7,1）,有a:+二D=1，②

由①②得a=6,b=-6,貝心的方程為a+t=1,即x-y-6=0.

o_o

故所求直線1的方程為X—7y=0或X—y—6=0.

3.2.3直線的一般式方程

【課時(shí)目標(biāo)】1.了解二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.掌握直線方程的一般式.3.根

據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式之間的關(guān)系.

1.關(guān)于x,y的二元一次方程（其中4,B）叫做直線

的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式.

2.比較直線方程的五種形式（填空）

各常數(shù)的

形式方程局限

幾何意義

點(diǎn)斜式不能表示k不存在的直線國(guó)），州）是直線上一定點(diǎn)，”是斜率

斜截式不能表示A不存在的直線人是斜率，b是y軸上的截距

兩點(diǎn)式xiWx2，yiW”（XI，＞］）、（孫＞2）是直線上兩個(gè)定點(diǎn)

不能表示與坐標(biāo)軸平行及過原a是x軸上的非零截距，〃是y軸上的非零

截距式

點(diǎn)的直線截距

當(dāng)BWO時(shí)，一視斜率，一多是y軸上的

?般式無

截距

一、選擇題

1.假設(shè)方程Ax+By+C=O表示直線，則A、B應(yīng)滿足的條件為()

A.4KoB.BW。

C.ABWOD.A2+B2^O

2.直線(2,〃2—5"?+2)1—(*-4?+5?1=0的傾斜角為45。，則，”的值為()

A.-2B.2C.-3D.3

3.直線x+2qy—1=0與(a—l)x+ay+1=0平行，則a的值為()

A.：B..或0

C.0D.-2或0

4.直線/過點(diǎn)(一1,2)且與直線2x—3y+4=0垂直，則/的方程是()

A.3x+2y—1=0B.3x+2y+7=0

C.2r-3y+5=0D.2x-3y+8=0

5.直線A：ax—y+〃=0,k：y+a=0(aW0,bWO,aWb)在同一坐標(biāo)系中的圖形

大致是()

6.直線辦+by+c=0(而W0)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則a,b,c滿足()

A.a=bB.同=|可且cWO

C.a=6且cWOD.a=b或c=0

二、填空題

7.直線x+2y+6=0化為斜截式為,化為截式為.

8.方程(2m1+%-3)x+(m2—m)y—4機(jī)+1=0表示直線，則m的取值范圍是

9.4(0』)，點(diǎn)8在直線小x+)=0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，直線AB的一般式方

程為.

三、解答題

10.根據(jù)以下條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：

(1)斜率為小，且經(jīng)過點(diǎn)45,3)；

(2)過點(diǎn)B(—3,0),且垂直于x軸；

(3)斜率為4,在)，軸上的截距為一2；

(4)在y軸上的截距為3,且平行于x軸；

(5)經(jīng)過C(—1,5),D(2,一1)兩點(diǎn)；

(6)在x軸，y軸上截距分別是一3,—1.

11.直線/i：(%+3)x+y—3wi+4=0,h-.7x+(5一"8=0,問當(dāng)％為何值時(shí)，直線

/1與，2平行.

【能力提升】

12.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，且點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(加，〃)重合，則根

+"的值為()

34

A.8B.yC.4D.11

13.直線/：5at—5y—a+3=O.

(1)求證：不管“為何值，直線/總經(jīng)過第一象限；

(2)為使直線不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍.

1.在求解直線的方程時(shí)，要由問題的條件、結(jié)論，靈活地選用公式，使問題的解答變

得簡(jiǎn)捷.

2.直線方程的各種形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線在不同條件下的不同的表現(xiàn)

形式，要掌握好各種形式的適用范圍和它們之間的互化，如把一般式^化為截

距式有兩種方法：一是令x=0,y=0,求得直線在y軸上的截距B和在x軸上的截距A；二

是移常項(xiàng)，得AX+B)，=—c,兩邊除以一c(cro),再整理即可.

3.根據(jù)兩直線的一般式方程判定兩直線垂直的方法：

①假設(shè)一個(gè)斜率為零，另一個(gè)不存在則垂直.假設(shè)兩個(gè)都存在斜率，化成斜截式后則

k\kz=-1.

②一般地，設(shè)入4x+5iy+G=0,

I?：+C2=0,

A,4=44+8區(qū)=0,第二種方法可防止討論，減小失誤.

3.2.3直線的一般式方程答案

知識(shí)梳理

1.Ax+By+C=0不同時(shí)為0

,一y-yix-xi

2.y—y0=k(x—xo)y=kx+b---------=---------

y2yix2-xi

；+卡=1Ax+By+C=O

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.D

,_o2m2—5m+2

2.D[由得m2—4W0,M且---s—;-=1,

m一一4

解得：m=3或m=2(舍去).]

3.A

33

4.A[由題意知，直線1的斜率為一家因此直線1的方程為y—2=—京x+1),

即3x+2y-l=O.]

5.C[將h與12的方程化為斜截式得：

y=ax+b,y=bx+a,

根據(jù)斜率和截距的符號(hào)可得C.]

6.D[直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等可分為兩種情形：

(1)截距等于0,此時(shí)只要c=0即可；

(2)截距不等于0,此時(shí)cr0,直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為一※一巳假設(shè)相等,

dD

則有一7=弋，即a=b?

dD

綜合(1)(2)可知，假設(shè)ax+by+c=O(ab/O)表示的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則a

=b或c=0.]

7.y=-1x-3大+士=1

8.m￡R且加#1

解析由題意知，2m2+m-3與62一相不能同時(shí)為0,

3

由2m2+加一3W0得mWl且2；

由加2一mwo,得且mW1,故m#1.

9.工一y+l=0

解析ABJJi時(shí)，A8最短，所以A8斜率為k=l,

方程為yl=x,即x—y+l=0.

10.解(1)由點(diǎn)斜式方程得y—3=小(苫-5),

即小工一)，+3—5小=0.

(2次=-3,即x+3=0.

(3)y=4x—2,即4x—y—2=0.

(4)y=3,即y—3=0.

(5)由兩點(diǎn)式方程得三亍二3；,

即2x+y-3=o.

(6)由截距式方程得金+嗨=1,即x+3y+3=0.

11.解當(dāng)m=5時(shí)，h：8x+y-ll=0,/2：7x~8=0.

顯然/1與/2不平行，同理，當(dāng)機(jī)=-3時(shí)，/1與，2也不平行.

卜佃+3)=；士

當(dāng)初#5且機(jī)#—3時(shí)，°，

m=-2.

???加為一2時(shí)，直線/]與/2平行.

12.B[點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)關(guān)于直線)，-1=2(工一2)對(duì)稱，則點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(〃?，〃)也關(guān)于直線

y—1=2(x—2)對(duì)稱，

故機(jī)+〃=寫,]

13.

31

(1)證明將直線/的方程整理為y—m=a(x—5)，???/的斜率為m

且過定點(diǎn)A4，1).

而點(diǎn)也，!)在第一象限，故/過第一象限.

不管。為何值，直線/總經(jīng)過第一象限.

1-0

(2)解直線OA的斜率為％—=3.

5-0

不經(jīng)過第二象限，二?！?？.

§3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

3.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

【課時(shí)目標(biāo)】1.掌握求兩條直線交點(diǎn)的方法.2.掌握通過求方程組解的個(gè)數(shù)，判定

兩直線位置關(guān)系的方法.3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)初步體會(huì)用代數(shù)方法研究幾何問題的解析思想.

1.兩條直線的交點(diǎn)

兩直線/i：A\x-\~B\y~\-C\=0；fe：A2x+&y+C2=0.

[A[x+B\y+Ci=0\X=XQ

假設(shè)兩直線方程組成的方程組?\「有唯一解，則兩直線______,

[A2%十82丫+。2=0ly=yo

交點(diǎn)坐標(biāo)為________.

’2.方程組的解的組數(shù)與兩直線的位置關(guān)系

方程組兩直線

交點(diǎn)方程系數(shù)特征

的解位置關(guān)系

A\B2=AZB\

無解兩直線一交點(diǎn)平行

31c2W