高中數(shù)學(xué)結(jié)論

高中數(shù)學(xué)知識(shí)、定理、公式、性質(zhì)結(jié)論

羅世珍編輯整理

函數(shù)部分

1函數(shù)奇偶性

1)奇+奇=奇，奇X奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶=偶，奇X偶=奇

2)/(x)是奇函數(shù)o/*)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；/*)在[-a,刈是奇函數(shù)

n/(0)=0;奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);奇函數(shù)圖像在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相

同.

/(x)是偶函數(shù)o/(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);偶函數(shù)的圖像在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單

調(diào)性相反.

如果/(x)即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則/(%)=0

3)對(duì)稱(chēng)性、周期性

①f(a+x)=-f(a-x)<=>f(x)的對(duì)稱(chēng)中心(a,0)

②f(a+x)=f(a-x)或/(2a-x)=f(x)=/(x)關(guān)于x=a成軸對(duì)稱(chēng)

③f(x+a)+/(a-x)=2①則y=f(x)的圖像關(guān)于(a,b)成中心對(duì)稱(chēng);

@f(x+T)=f(x),則的一個(gè)周期是T;

⑤f(a+x)=/(a-x)且)(b+x)=f(b-x),則y=/(x)的周期T=2la-M；

⑥/(a+x)=-/(a-x)且f(b+x)=-f(b-x),貝!]y=/(x)的周期T=2\a-b\；

⑦f(a+x)=-f(a-x)J@Lf(b+x)=f(b-x),則"=f(x)的周期7=4la-bl；

@f(x+a)=-f(x),貝！Jy=/(x)的周期T=2a；

⑨f(x+2)=f(x+1)-f(x),貝！Jy=/(x)的周期T=6；

⑩/(x+a)=二一,則y=/(x)的周期T=2a。

f(x)

總結(jié)，已知函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心和一條對(duì)稱(chēng)軸，則周期為4倍橫坐標(biāo)之差的絕

對(duì)值；已知兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心或兩條對(duì)稱(chēng)軸，則周期為2倍橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值。

2、二次函數(shù)部分

1)解析式的三種形式

①一般式：/(x)=ax2+bx+c(a0)②頂點(diǎn)式：/(x)=a(x-女尸+〃(aw0)

③兩根式：/(x)=a(x-xt)(x-x2)(a0)

求二次函數(shù)的解析式一般都用待定系數(shù)法。

2)二次方程根的分布

A>0

①方程有兩不等正根QXI+x,=-2〉o

a

c八

xx=—>0

x2a

A>0

h

②②方程有兩不等負(fù)根%+12=——<0③方程有一正一負(fù)根oac<0

a

x{x2=—>0

、~a

4)二次函數(shù)”x)=a(x-k)2+h(a>0)在［m,n］上的最值.

①時(shí)=/(k)=%,/(x)max=max{/(m),/(?)}

②化右［加,〃］時(shí),f(x)min=：：{/(⑼,/(〃)}

3、函數(shù)圖像變換

1）平移變換

向左或向右

①左右平移（左+右一）：y=/(x±a)

平移同個(gè)單位

②上下平移（上+下-）：〉，=/（X）段辟嬴y=〃x）土K

2)對(duì)稱(chēng)變換

①)'=/(x)盤(pán)?軸)'=/(-X)②y=/a)器:軸y=-/a)

XT初'XT初、

③）'=/⑶篇》=一/㈠）④八=/⑴

⑤y="X)關(guān);:廠為=fQa-x)

⑥/(x)=，(2a-x)或f(a+x)=f(a-x),則y=/(x)的圖像關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)。

3）翻折變換

先畫(huà)xNO的圖像，

①〉=fMy=/(H)

x<0的圖像是將x20的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

e、在x軸上方的圖像不變，_|八、]

°）'一在X軸下方的圖像關(guān)于X軸翻折）'一L

數(shù)列部分

1、已知s“，或s”與明的關(guān)系式求知

1）〃=1時(shí)，2）〃22時(shí)，an=Sn-Sn.,

2、等差數(shù)列

1）定義法：an-an_y=d,（〃N2）常用于證明題

2）通項(xiàng)法：%="+（"D",整理。"=4〃+8,關(guān)于〃的一次式,

=am+（〃-m）d

用于做選填題。

3）中項(xiàng)法：2%=a“_]+a“+],用于做證明題。

S一"（一+%）

4）和公式法：“2，整理S“=A〃2+8〃，關(guān)于“的一元二次式且無(wú)

n（n-1）

=na,4----------d

12

常數(shù)項(xiàng)，用于做選填題。

5）性質(zhì)1：a,B,c成等差=2B=a+b。

6）性質(zhì)2：若m+n=p+q=2k,則%+%,=冊(cè)+4=2%。

7）性質(zhì)3：S”,S2,-S“,S3,-$2“仍是等差。

8）三個(gè)數(shù)成等差且已知和的設(shè)法：a-d,a,a+d;四個(gè)數(shù)成等差設(shè)

O；:a-3d,a-d,a+d,a+3d

3、等比數(shù)列

1）定義法：烏-=q,（〃22應(yīng)*0）,常用于證明題

an-l

2）通項(xiàng)法：a,=a0i=您廣,整理得知=Aq"是指數(shù)型函數(shù)，用于選填題。

3）中項(xiàng)法:4=%%,用于做證明題。

4）和公式法：生止,（q*l）,整理S“=A-Aq"是指數(shù)型函

\-q\-q

數(shù)用于做選填題。

5）性質(zhì)1：a,8,c成等比=>5?=ac

6）性質(zhì)2：若〃?+〃=p+q=2k,則=aq=a；

7）性質(zhì)3：5”,52,-5,,53,-52”仍是等比岱產(chǎn)0）

8）三個(gè)數(shù)成等比且已知積設(shè)為:Sa,"；四個(gè)數(shù)成等比設(shè)法：^,-,aq,aq3

qqq

4、求數(shù)列｛a“｝通項(xiàng)公式的方法

1）公式法：等差-a,—=d（n>2）；等比芻-=q（〃22,q工0）；

%

a,,=Sn-S”（?>2）2）疊加法：%—%T=/（"）；疊乘法："=fg

(疊加法)例1：已知〃I=24+]="〃+ln(l+,)，求數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式。

n

解：van+y-an=ln(n+l)-lnn

/.an-=lnn-ln(n-1)(n>2)

%-an_2=ln(?-l)-ln(n-2)

a3-a2-In3-In2

a2-a]=In2-In1

a｝=2

+_______________________________________

an=2+Inn

檢驗(yàn)幾=1時(shí)成立，所以*=2+In〃(nwN")

(疊乘法)例2:已知q==(〃+1)%,求數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式。

解：???〃%+]=(〃+1)?！?/p>

.a“+l_"+1

*〃

%-2〃-2

〃3_3

a22

a2_2

ax1

q=1

x__________________________________________

an

n=

檢驗(yàn)〃=1時(shí)成立，所以a“=〃(〃eN')。

3)構(gòu)造法：a?+1=Aa?+B,構(gòu)造a,+|+Z=A(a“+幻轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。

5、數(shù)列｛對(duì)｝的同項(xiàng)公式求和的方法。

1)公式法：等差等比數(shù)列求和公式

2)分組求和法：通項(xiàng)公式有幾個(gè)部分組成用分組求和，如%=(gj+2n-l

3)倒序求和法：距首末等距離的兩項(xiàng)和相等

例：設(shè)函數(shù))，=/(x)的定義域?yàn)镽,其圖像關(guān)于點(diǎn)(；,；)成中心對(duì)稱(chēng)，令

4=/(")(〃是常數(shù)且〃22,"eN*)，—求數(shù)列｛%｝的前〃-1項(xiàng)

n

的和。

解：由題設(shè)/(%)上任一1點(diǎn)(―)關(guān)于(U的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(1-±1-4)仍在

n22n

y=/(x)的圖像上。

%=/(-)

n

n

+________________________

1=/(-)+/(1--)

nn

,?*S“_]=a]+a2+...+an_｝

nnn

s,-=/g)+/(=)+…+”3

nnn

2Srt_1]=1s,_+__1_+__…_,+l=n-1

個(gè)

4)裂項(xiàng)相消法:

n(n+&)knn+k

1

②對(duì)

+J-+kk

tan(n+1)-tann

tanntan(n+1)

gsin3sin13(〃+l)-3〃]、

④an------------------=----------------=tan(3n+3)—tan(3?)；

cos(3〃)cos3(〃+1)COS(3H)COS3(H+1)

⑤〃〃=〃x〃！=(〃+1)\-n\；

(H+1)!n\(n+1)!

\l)ci=--------------=--------------

"(2"-1)(2,,+1-1)2"-12,,+1-1

5)錯(cuò)位相減法：數(shù)列｛a也｝的和。其中｛%｝是等差，仇｝是等比

例：已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式a“=(2〃+1)3"T,求｛a?｝的前n項(xiàng)和S?。

解：S“=3x3°+5x3'+7x3?+…+(2〃+l)x3'i

3x3'+5x32+...+(2n-l)x3H-1+(2〃+l)x3"

2

-2Sn=3+2x3'+2x3+...+2X3”T一(2〃+1)X3"

=3+2x3(1Ti)-g+1)x3"

1-3

=—2〃x3”

Sn=nx3"

立體幾何部分

一、旋轉(zhuǎn)體的表面積、側(cè)面積、體積

1、圓柱：S惻面積=297；S全面積=2獷(/+「)；V=Sh

2、圓錐：S側(cè)而積=%〃；S全=%r(/+r)；V=

7,

3、圓臺(tái)：SW|=^/(r,+r2)；S1,、=加&+弓)+乃(/+&2)；y=1/Z(5+VSS+S)

4、球：S全=4%心；V=^7rR3

5、正四面體：對(duì)棱垂直，％=*a；R外=停(1；V=看"3

二、線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行和垂直

（一）、證線(xiàn)面平行

Id

1、線(xiàn)面平行的判定定理：mu。\nl〃d；

I1!m

QH/3all。

2、面面平行性質(zhì)定理：/ud>=>/〃2;yea=m=>m//I

yc/3=1

all。

3、線(xiàn)線(xiàn)平行的性質(zhì)定理：5曰>=〃?///?；

mua

m!H

〃是面。的一個(gè)法向量

4、向量法：若m?幾=。>=>加//a.

m（Zoc

（二）、證面面平行

lom-P

I’cm'=P'

/u3

Icza

mud

mua

1判定定理：lcm=P3〃/；2、面面平行的推論：1u0>=>a//J3；

IH/3

/u0

mlIP

ini'

m/Im1

3、平行平面的傳遞性：>=>a〃/;

6〃八

線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：））;

4、,nS〃/；

向量法：可是a的法向量

5、>naI］。.

且wz也是￡的法向量

（三）證線(xiàn)線(xiàn)平行

dllp

-八YEI〃m

1平行公理：2面面平行的性質(zhì)定理：dcr=l〃加;

mlIn

。cr=m

dn/3=l

3線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：mud>=>〃〃〃；

ml10

zia'

4線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理:>=>/〃"2

m_Ld

（四）證線(xiàn)面垂直

Ila

I-Lb

\/muex,

1定義法：>n/J_a；2判定定理：aud>=>/±5

1A.m

bud

acb=P

51/?

3、面面垂直的性質(zhì)定理：尸;

mud

mVI

mua

nua

a11p

4、面面平行的性質(zhì)定理:>=>/_!_/?；5向量法：mcn=P>=/J_a.

I_La

1?m=0

/?n=0

（五）證面面垂直

/u3

1、定義法：二面角=90nd_L尸；2、判定定理:>=aJL/?；

11/3

而是。的法向量、

3、面面平行性質(zhì)：°°=丫10；4、向量法：〃是夕的法向量>=>a_L￡.

"aj——

fn?n=0

三、求異面直線(xiàn)所成的角方法

1兒何法步驟：一作、二證、三算（即作出平面角，證明這個(gè)角是異面直線(xiàn)所成

的角，解這個(gè)角所在的三角形）；

2向量法：m、n是兩條異面直線(xiàn)，則帶公式cos<m,）?〉=省斗.

網(wǎng)忖

四、求線(xiàn)面角方法

1兒何法步驟：一作、二證、三算（即作出斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，證線(xiàn)面角即為

斜線(xiàn)與在該面內(nèi)射影所成的角，解該角所在的直角三角形）；

2、向量法：求面的法向量G和這條斜線(xiàn)向量麗,帶公式cos<而）>=絲冷，

網(wǎng)卜|

設(shè)線(xiàn)面角為。，則sin，=kos<A8,〃〉|；

3、立平斜公式法：cos%=cos%.cos。平.

五、求面面角的方法

1、兒何法步驟：一作、二證、三算（即從其中一個(gè)面二內(nèi)一點(diǎn)A引另一個(gè)平面

力的垂線(xiàn)，垂足為P,過(guò)P作公共棱的垂線(xiàn)交于E連接AF,則證ZAF尸即為二

面角的平面角，解44五P所在的直角三角形，這個(gè)作圖過(guò)程就是三垂線(xiàn)定理法）;

2、射影三角形：cos6=包9；3、向量法：求平面a的法向量]和平面夕的法

S諭

向量而，帶公式cos〈加3>=筆，二面角是銳角還是鈍角由具體圖像觀察得到.

\m\\n\

圓錐曲線(xiàn)部分

弦長(zhǎng)公式：（方法：聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式）

=Ja+J）［（y+%）2_4）通］

中點(diǎn)弦問(wèn)題：（方法帶點(diǎn)相減法）橢圓中有"8=-5；雙曲線(xiàn)中有：以8=卒。

"o

雙曲線(xiàn)結(jié)論有：等軸雙曲線(xiàn)有漸近線(xiàn)），=土x,e=近;焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離=短

半軸長(zhǎng)b。

拋物線(xiàn)中過(guò)焦點(diǎn)弦有：必必二-"；弦長(zhǎng)|AB|=X[+々+〃。

曲線(xiàn)橢圓雙曲線(xiàn)拋物線(xiàn)

第一

附|+|P"|=2a>國(guó)段=2C仍用-|P周|=2a＜忻用=2C

定義

第二IPFI

定義J_L=c(e>0)

dprl

0<e<le〉le=l

準(zhǔn)

呈22

-—yy=