易錯點02方程與不等式-2023年中考數(shù)學(xué)考試易錯題【全國】（解析版）

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)考試易錯題

易錯點02方程與不等式

1一元一次方程及應(yīng)用

2解二元一次方程組

3二元一次方程組的應(yīng)用

4一元二次方程的概念及解法

5根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

6一元二次方程的應(yīng)用

7分式方程及解法

8分式方程的應(yīng)用

9不等式（組）及解法

10不等式及應(yīng)用

易錯題01一元一次方程及應(yīng)用

解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對

方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化.

變式煉習(xí)>>

1.（2022?黔西南州）小明解方程等一1=平的步驟如下：

解：方程兩邊同乘6,得3（x+1）-1=2（x-2）①

去括號，得3x+3-l=2r-2②

移項，得3x-2x=-2-3+1③

合并同類項，得》=-4④

以上解題步驟中，開始出錯的一步是（）

A.①B.②C.③D.@

【分析】對題目的解題過程逐步分析，即可找出出錯的步驟.

【解答】解：方程兩邊同乘6應(yīng)為：3（x+l）-6=2（x-2）.

???出錯的步驟為：①，

故選：A.

【點評】本題考查解一元一次方程，解題關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確觀察出出錯的步驟.

2.（2022?青海）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）

ab

A.右一=一，則B.右ac=bc,則。=力

C.若。2=廬，貝ija=bD.若一g=6,貝ij犬=-2

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，進行計算逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、若±=2,則故A符合題意；

CC

B、若ac=6c（c#0）,則〃=方，故8不符合題意；

C、若〃2=序，則〃=±0,故C不符合題意；

。、一#=6,則x=-18,故。不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?營口）我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題:

“良馬日行二百四十里，弩馬日行一百五十里，鴛馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快

馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以

追上慢馬，則下列方程正確的是（）

A.240x+150x=150X12B.240x-150x=240X12

C.240x+150x=240X12D.240x-150x=150X12

【分析】利用路程=速度X時間，結(jié)合x天快馬比慢馬多走的路程為慢馬12天走的路程，即可得出關(guān)于

x的一元一次方程，此題得解.

【解答】解：依題意得：240.r-150x=150X12.

故選：D.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的

關(guān)鍵.

4.（2022?銅仁市）為了增強學(xué)生的安全防范意識，某校初三（1）班班委舉行了一次安全知識搶答賽，搶

答題一共20個，記分規(guī)則如下：每答對一個得5分，每答錯或不答一個扣1分.小紅一共得70分，則

小紅答對的個數(shù)為（）

A.14B.15C.16D.17

【分析】設(shè)小紅答對的個數(shù)為x個，根據(jù)搶答題一共20個，記分規(guī)則如下：每答對一個得（5分），每

答錯或不答一個扣（1分），列出方程求解即可.

【解答】解：設(shè)小紅答對的個數(shù)為x個，

由題意得5x-(20-x)=70,

解得x=15,

故選：B.

【點評】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意是列出方程求解是解題的關(guān)鍵.

5.(2022?臺灣)某鞋店正舉辦開學(xué)特惠活動，如圖為活動說明.

任選兩雙鞋，筮二雙打六折,

活動說明：

兩雙鞋定價不同時以低價者折扣

此活動不得與折價券合并使用

小徹打算在該店同時購買一雙球鞋及一雙皮鞋，且他有一張所有購買的商品定價皆打8折的折價券.若

小徹計算后發(fā)現(xiàn)使用折價券與參加特惠活動兩者的花費相差50元，則下列敘述何者正確？()

A.使用折價券的花費較少，且兩雙鞋的定價相差100元

B.使用折價券的花費較少，且兩雙鞋的定價相差250元

C.參加特惠活動的花費較少，且兩雙鞋的定價相差100元

D.參加特惠活動的花費較少，且兩雙鞋的定價相差250元

【分析】設(shè)兩雙鞋子的價格分別為x,y(x<y),則特惠活動花費0.6x+.y,使用折價券花費0.8(x+y),

由0.6x+y-0.8(x+y)=-02r+0.2y=0.2Cy-x)>0可得使用折價券的花費較少，由0.2(y-%)=50

可得y-x=250,即兩雙鞋定價相差250元，即可求解.

【解答】解：設(shè)兩雙鞋子的價格分別為x,y(x<y),

特惠活動花費：0.6x+y,使用折價券花費：0.8(x+y),

\'0.6x+y-0,8(x+y)

=-0.2r+0.2y

=0.2(y-x)>0,

使用折價券的花費較少，

V0.2(y-x)=50,

'.y-x=250,

...兩雙鞋定價相差250元，

故選：B.

【點評】本題考查列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是正確列出代數(shù)式.

6.（2022?岳陽）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，

不盡，又三家共一鹿，適盡，問：城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進城，每家取一頭鹿，沒有取完，

剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：城中有多少戶人家？在這個問題中，城中人家的戶數(shù)為（）

A.25B.75C.81D.90

【分析】設(shè)城中有x戶人家，利用鹿的數(shù)量=城中人家戶數(shù)+gx城中人家戶數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元

一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)城中有x戶人家，

1

依題總得：*+可.》=100,

解得：x=75,

城中有75戶人家.

故選：B.

【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?張家界）中國“最美扶貧高鐵”之一的“張吉懷高鐵”開通后，張家界到懷化的運行時間由原來

的3.5小時縮短至1小時，運行里程縮短了40千米.已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時

快200千米，求高鐵的平均速度.

【分析】設(shè)高鐵的平均速度為xhw/力，由運行里程縮短了40千米得：x+40=3.5（x-200）,可解得高鐵

的平均速度為296km/h.

【解答】解：設(shè)高鐵的平均速度為Mm//?,則普通列車的平均速度為（x-200）km/h,

由題意得：x+40=3.5（x-200）,

解得：x=296,

答：高鐵的平均速度為296k”/〃.

【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程.

8.（2022?永州）受第24屆北京冬季奧林匹克運動會的影響，小勇愛上了雪上運動.一天，小勇在滑雪場

訓(xùn)練滑雪，第一次他從滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到8端，用了24秒；第二次從滑雪道A

端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒.

（1）求x的值；

（2）設(shè)小勇從滑雪道4端滑到B端的平均速度為v米/秒，所用時間為f秒，請用含t的代數(shù)式表示v（不

要求寫出f的取值范圍）.

【分析】（1）根據(jù)兩次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；

（2）求出從滑雪道4端滑到8端的路程，即可解決問題.

【解答】解：（1）由題意得：24（x+2）=20（x+3）,

解得：x=3,

答：x的值為3；

（2）從滑雪道A端滑到8端的路程為：24X（3+2）=120（米），

:小勇從滑雪道A端滑到8端的平均速度為丫米/秒，所用時間為r秒，

.120

..v=—.

【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?重慶）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線

騎行去距4地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍.

（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；

（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達8地，求甲騎行的速度.

【分析】（1）設(shè)乙騎行的速度為x千米/時，則甲騎行的速度為1.2x千米/時，利用路程=速度X時間，

結(jié)合甲追上乙時二者的行駛路程相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可求出乙騎行的速度，

再將其代入l.Zr中即可求出甲騎行的速度；

（2）設(shè)乙騎行的速度為），千米/時，則甲騎行的速度為L2y千米/時，利用時間=路程+速度，結(jié)合乙比

甲多用20分鐘，即可得出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可求出乙騎行的速度，再將其代入1.2），

中即可求出甲騎行的速度.

【解答】解：（1）設(shè)乙騎行的速度為x千米/時，則甲騎行的速度為L2x千米/時，

11

依題意得：-xl.2x=2+'X,

解得：x=20,

A1.2r=1.2X20=24.

答：甲騎行的速度為24千米/時.

（2）設(shè)乙騎行的速度為y千米/時，則甲騎行的速度為1.2〉千米/時,

3020

依題意得：—

y1.2y~60’

解得：>>=15,

經(jīng)檢驗，y=15是原方程的解，且符合題意,

.?.1.2y=1.2X15=18.

答：甲騎行的速度為18千米/時.

【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程.

10.（2022?南充）南充市被譽為中國綢都，本地某電商銷售真絲襯衣和真絲圍巾兩種產(chǎn)品，它們的進價和

售價如下表.用15000元可購進真絲襯衣50件和真絲圍巾25件.（利潤=售價-進價）

種類真絲襯衣真絲圍巾

進價（元/件）a80

售價（元/件）300100

（1）求真絲襯衣進價a的值.

（2）若該電商計劃購進真絲襯衣和真絲圍巾兩種商品共300件，據(jù)市場銷售分析，真絲圍巾進貨件數(shù)不

低于真絲襯衣件數(shù)的2倍.如何進貨才能使本次銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

（3）按（2）中最大利潤方案進貨與銷售，在實際銷售過程中，當(dāng)真絲圍巾銷量達到一半時，為促銷并

保證銷售利潤不低于原來最大利潤的90%,襯衣售價不變，余下圍巾降價銷售，每件最多降價多少元？

【分析】（1）利用總價=單價X數(shù)量，即可得出關(guān)于。的一元一次方程，解之即可得出a的值；

（2）設(shè)購進真絲襯衣x件，則購進真絲圍巾（300-%）件，根據(jù)真絲圍巾進貨件數(shù)不低于真絲襯衣件數(shù)

的2倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，設(shè)兩種商品全部售出后獲得

的總利潤為w元，利用總利潤=每件的銷售利潤X銷售數(shù)量，即可得出卬關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用

一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；

（3）設(shè)每件真絲圍巾降價y元，利用總利潤=每件的銷售利潤X銷售數(shù)量，結(jié)合要保證銷售利潤不低于

原來最大利潤的90%,即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論.

【解答】解：⑴依題意得：504+80X25=15000,

解得：“=260.

答：。的值為260.

(2)設(shè)購進真絲襯衣x件，則購進真絲圍巾(300-x)件，

依題意得：300-x^2x,

解得：xWlOO.

設(shè)兩種商品全部售出后獲得的總利潤為卬元，則卬=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000.

V20>0,

隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=100時，卬取得最大值，最大值=20X100+6000=8000,此時300-x=300-100=200.

答：當(dāng)購進真絲襯衣100件，真絲圍巾200件時，才能使本次銷售獲得的利潤最大，最大利潤是8000元.

(3)設(shè)每件真絲圍巾降價y元，

依題意得：(300-260)X100+(100-80)x1X200+(100-y-80)x}X20028000X90%,

解得：yW8.

答：每件真絲圍巾最多降價8元.

【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、-元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是:

(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(3)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

易錯題02解二元一次方程組

解二元一次方程組常用的方法有代入消元法和加減消元法.代入法：從方程組中選一個系數(shù)比

較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.加減法：

方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去

乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)

支式練習(xí)

1.(2022?株洲)對于二元一次方程組卜="一1"二，將①式代入②式，消去y可以得到()

卜+2y=7②

A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7C.x+x-l=7D.x+2r+2=7

【分析】將①式代入②式，得x+2(x-1)=7,去括號即可.

【解答】解：卜="一1可、，將①式代入②式，

(x+2y=7②

得x+2(x-1)=7,

-2=7,

故選：B.

【點評】本題考查了解二元一次方程組，掌握代入消元法解二元一次方程組是解題關(guān)鍵.

2.（2022?濰坊）方程組卜"3y=13,的解為（x=2.

（3x-2y=0=3—

【分析】由第一個方程得4x+6y=26,由第二個方程得9x-6y=0,兩個方程相加消去》解出x,再進

一步解出y即可.

【解答】解：卜+3y=1羽

-2y=0②

由①義2得4x+6y=26③，

由②X3得9x-6）=0④，

由③+④得13x=26,

解得x=2,

將x=2代入②得3X2-2y=0,

解得y=3,

所以原方程組的解為zI

故答案為:

【點評】本題考查了二元一次方程組的解法，第一種代入消元法，先從一個方程當(dāng)中用一個字母表示另

一個字母，然后代入另一個方程消去未知數(shù)解答；第二種加減消元法，把兩個方程的兩邊分別相加或相

減去一個未知數(shù)的方法叫作加減消元法.

3.（2022?沈陽）二元一次方程組產(chǎn)+$=5的解是[.

【分析】用代入消元法解二元一次方程組即可.

【解答】解：尸225①，

ly=2x②

將②代入①，得x+4x=5,

解得x=1,

將冗=1代入②，得y=2,

方程組的解為｛;二;，

故答案為：｛二;.

【點評】本題考查二元一次方程組，理解二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解法是正確解答

的關(guān)鍵.

4.(2022?隨州)已知二元一次方程組毀守父,則一的值為，

【分析】將第一個方程化為x=4-2y,并代入第二個方程中，可得2(4-2y)+y=5,解得y=l,將y

=1代入第一個方程中，可得x=2,即可求解.

【解答】解：解法一：由x+2y=4可得:

x=4-2y,

代入第二個方程中，可得:

2(4-2y)+y=5,

解得：y=l，

將y=l代入第一個方程中，可得

x+2X1=4,

解得：x=2,

?*.x-y=2-1=1,

故答案為：1；

解法二：..?卜+2'=4￡,

(2x+y=5(2)

由②-①可得:

x-y=1.

故答案為：L

【點評】本題考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握加減消元法與代入消元法.

5.(2022?安順)若。+2匕=8,34+4〃=18,則a+b的值為5.

【分析】直接利用已知解方程組進而得出答案.

【解答】解：方法一、?.?“+2〃=8,3。+4/>=18,

則a=8-2b,

代入3a+46=18,

解得：h—3,

則a—2,

故a+b=5.

方法二、：a+2b=8,3a+4b=18,

??2a+2b=10,

...a+b=5,

故答案為：5.

【點評】此題主要考查了解二元一次方程組，正確掌握解題方法是解題關(guān)鍵.

（x-2y=3

6.（2022?淄博）解方程組：1313-

=T

【分析】利用加減消元法或代入消元法解二元一次方程組即可.

【解答】解：整理方程組得卜一2y=3⑦

I2x+3y=13（2）

①X2-②得-7y=-7,

y=l,

把y=1代入①得x-2=3,

解得x=5,

.?.方程組的解為仔=?.

（y=1

【點評】本題考查了解二元一次方程組，做題關(guān)鍵是掌握加減消元法和代入消元法解二元一次方程組.

7.（2022?荊州）已知方程組卜+'=3（的解滿足2日-3y<5,求％的取值范圍.

U-y=l@

【分析】用加減消元法求出方程組的解，代入2依-3yV5即可得到k的取值范圍.

【解答】解：①+②得：2%=4,

，x=2,

①-②得：2y=2,

；.y=1>

代入2q'-ByVS得：4A-3<5,

：.k<2.

答：k的取值范圍為：k<2.

【點評】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式，解二元一次方程組的基本思路是消元，把

二元方程轉(zhuǎn)化為一元是解題的關(guān)鍵.

易錯題03二元一次方程組的應(yīng)用

列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

支式練習(xí)

1.（2022?宜昌）五一小長假，小華和家人到公園游玩.湖邊有大小兩種游船.小華發(fā)現(xiàn)1艘大船與2艘小

船一次共可以滿載游客32人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人.則1艘大船與1艘小船

一次共可以滿載游客的人數(shù)為（）

A.30B.26C.24D.22

【分析】設(shè)1艘大船可載x人，1艘小船可載），人，依題意：1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32

人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人.列出二元一次方程組，求出x+y的值即可.

【解答】解：設(shè)1艘大船可載x人，1艘小船可載y人，

什**,口（x+2y=32①

依題意得：,:，

{2x+y=46@

①+②得：3x+3y=78,

.,.x+y—26,

即1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客的人數(shù)為26,

故選：B.

【點評】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?武漢）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一一九宮格.將9個數(shù)

填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一

個幻方.圖（2）是一個未完成的幻方，則x與y的和是（）

S

S□

□J□

（2）

B.10C.11D.12

【分析】由題意：每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，表示出最中間的數(shù)和最右

下角的數(shù)，列出二元一次方程組，解方程組即可.

【解答】解：???每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，

，最左下角的數(shù)為：6+20-22=4,

最中間的數(shù)為：x+6-4=x+2,或x+6+20-22-y=x-y+4,

最右下角的數(shù)為：6+20-(1+2)=24-%,或x+6-y=x-y+6,

?pr+2=x—y+4

**(24-x=x-y+6,

解得:1;二°,

1?x+y=12,

故選：D.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共2小題）

3.（2022?棗莊）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，其書中卷八方程［七］中記載：“今有

牛五、羊二，直金十兩.牛二、羊五，直金八兩.牛、羊各直金幾何？”題目大意是：“5頭牛、2只羊

共值金10兩.2頭牛、5只羊共值金8兩，每頭牛、每只羊各值金多少兩？”根據(jù)題意，可求得1頭牛

18

和1只羊共值金7兩.

【分析】設(shè)每頭牛x兩，每只羊y兩，根據(jù)5頭牛、2只羊共值金10兩.2頭牛、5只羊共值金8兩，列

二元一次方程組，兩方程相加可得7x+7y=18,進一步求解即可.

【解答】解：設(shè)每頭牛x兩，每只羊y兩，

根據(jù)題意，可得朦髯二3

.?.7x+7y=18,

,上18

??x+y=不、

18

:.\頭牛和I只羊共值金一兩，

7

18

故答案為：

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意建立二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?重慶）為進一步改善生態(tài)環(huán)境，村委會決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓.初步預(yù)算，

這三座山各需兩種樹木數(shù)量和之比為5：6：7,需香樟數(shù)量之比為4：3：9,并且甲、乙兩山需紅楓數(shù)量

之比為2：3.在實際購買時，香樟的價格比預(yù)算低20%,紅楓的價格比預(yù)算高25%,香樟購買數(shù)量減少

了6.25%,結(jié)果發(fā)現(xiàn)所花費用恰好與預(yù)算費用相等，則實際購買香樟的總費用與實際購買紅楓的總費用

之比為|.

【分析】分別設(shè)出甲乙丙三山的香樟數(shù)量、紅楓數(shù)量及總量，根據(jù)甲乙兩山紅楓數(shù)量關(guān)系，得出甲乙丙

三山香樟和紅楓的數(shù)量(只含一個字母)，進而根據(jù)“所花費用和預(yù)算費用相等”列出等式，從而求得香

樟和紅楓的單價之間關(guān)系，進一步求得結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意，如表格所設(shè)：

香樟數(shù)量紅楓數(shù)量總量

甲4%5y-4x5y

乙3x6y-3x6y

丙9x7y-9xly

?.?甲、乙兩山需紅楓數(shù)量之比為2：3,

.5y-4x2

"6y-3x-3’

??y~2x,

故數(shù)量可如下表：

香樟數(shù)量紅楓數(shù)量總量

甲4x6xlOx

乙3x9x⑵

丙9x5x\4x

所以香樟的總量是16尤，紅楓的總量是20x,

設(shè)香樟的預(yù)算單價為“，紅楓的預(yù)算單價為近

由題意得，

[16A-(I-6.25%)]?[??(1-20%)J+20A-IZ><1+25%)]=\6x'a+20x'h,

：.\2a+25h=\6a+20b,

.,.4a—5b,

設(shè)a=5鼠b—4k,

.16x(l-6.25%)x0.8x53

,,20x1.25x4-5’

3

故答案為：--

【點評】本題考查了用字母表示數(shù)，根據(jù)相等關(guān)系列方程進行化簡等知識，解決問題的關(guān)鍵是設(shè)需要的

量，列出關(guān)系式，進行數(shù)據(jù)處理.

5.(2022?徐州)《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二

足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳

的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳.問獸、鳥各有多少？

根據(jù)譯文，解決下列問題：

⑴設(shè)獸有x個，鳥有y只，可列方程組為一圖:

(2)求獸、鳥各有多少.

【分析】(1)根據(jù)“獸與鳥共有76個頭與46只腳”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組；

(2)解方程組，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)?獸與鳥共有76個頭，

二6x+4y=76；

???獸與鳥共有46只腳，

，4x+2y=46.

可列方程組為霜猊2

故答案為：露案袈

(2)原方程組可化簡為+2y=3g

\2x+y=23(2)

由②可得y=23-2x(3),

將③代入①得3x+2(23-2x)=38,

解得x=8,

：.y=23-2x=23-2X8=7.

答：獸有8只，鳥有7只.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是

解題的關(guān)鍵.

6.(2022?大連)2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和冬殘奧會吉祥物雪容融深受大家喜愛.已知購買1個冰

墩墩毛絨玩具和2個雪容融毛絨玩具用了400元，購買3個冰墩墩毛絨玩具和4個雪容融毛絨玩具用了

1000元.這兩種毛絨玩具的單價各是多少元？

【分析】設(shè)冰墩墩毛絨玩具的單價為x元，雪容融毛絨玩具的單價為y元，由總價=單價X數(shù)量，結(jié)合

“購買1個冰墩墩和2個雪容觸毛絨玩具需400元;購買3個冰墩墩和4個雪容融毛絨玩具需1000元”，

即可列出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解二元一次方程組即可得出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)冰墩墩毛絨玩具的單價為x元，雪容融毛絨玩具的單價為y元，

依題意得：｛搗T或00,

解得：1;二想

答：冰墩墩毛絨玩具的單價為200元，雪容融毛絨玩具的單價為100元.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?赤峰)某學(xué)校建立了勞動基地，計劃在基地上種植48兩種苗木共6000株，其中4種苗木的數(shù)

量比B種苗木的數(shù)量的一半多600株.

(1)請問A、B兩種苗木各多少株？

(2)如果學(xué)校安排350人同時開始種植這兩種苗木，每人每天平均能種植A種苗木50株或B種苗木30

株，應(yīng)分別安排多少人種植A種苗木和B種苗木，才能確保同時完成任務(wù)？

【分析】(1)設(shè)A種苗木有x株，8種苗木有)，株，根據(jù)“A、3兩種苗木共6000株，其中A種苗木的

數(shù)量比8種苗木的數(shù)量的一半多600株”列二元一次方程組，求解即可；

(2)設(shè)安排〃?人種植A種苗木，根據(jù)“確保同時完成任務(wù)”列分式方程，求解即可.

【解答】解：(1)設(shè)A種苗木有x株，8種苗木有y株，

x+y=6000

根據(jù)題意，得

x=+600'

X=2400

解得

y=3600'

答：4種苗木有2400株，5種苗木有3600株;

(2)設(shè)安排〃，人種植A種苗木,

24003600

根據(jù)題意,得赤

30(350-m)

解得加=100,

經(jīng)檢驗，m=100是原方程的根，且符合題意,

350-,”=350-100=250(人),

答：應(yīng)安排100人種植A種苗木，250人種植8種苗木，才能確保同時完成任務(wù).

【點評】本題考查了二元一次方程組和分式方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

8.(2022?黑龍江)學(xué)校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩.已知購進10根A種跳繩和5根B

種跳繩共需175元；購進15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元.

(1)求購進一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？

(2)設(shè)購買4種跳繩〃?根，若班級計劃購買A、8兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于

560元，則有哪幾種購買方案？

(3)在(2)的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？

【分析】(1)設(shè)購進一根4種跳繩需x元，購進一根B種跳繩需y元，根據(jù)“購進10根A種跳繩和5

根B種跳繩共需175%：購進15根4種跳繩和10根8種跳繩共需300元”，即可得出關(guān)于x,)，的二元

一次方程組，解之即可得出結(jié)論：

(2)設(shè)購買A種跳繩山根，則購買B種跳繩(45-,〃)根，利用總價=單價義數(shù)量，結(jié)合總價不少于

548元且不多于560元，即可得出關(guān)于川的一元一次不等式組，解之即可得出，”的取值范圍，再結(jié)合

為整數(shù)，即可得出各購買方案；

(3)設(shè)購買跳繩所需總費用為川元，利用總價=單價X數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利

用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題.

【解答】解：(1)設(shè)購進一根A種跳繩需x元，購進一根B種跳繩需y元，

依題意得:{^+10；=300'

解得:

答：購進一根A種跳繩需10元，購進一根B種跳繩需15元.

(2)?該班級計劃購買A、8兩種跳繩共45根，且購買A種跳繩"，根，

二購買B種跳繩(45-m)根.

依題意得:mt黑一飛士歌

(10m+15(45—m)>548

解得：23WmW25.4,

又???《?為整數(shù)，

可以取23,24,25,

共有3種購買方案，

方案1：購買23根A種跳繩,22根B種跳繩;

方案2：購買24根A種跳繩，21根8種跳繩；

方案3：購買25根A種跳繩,20根8種跳繩.

(3)設(shè)購買跳繩所需總費用為卬元，則w=10"?+15(45-m)=-5"?+675.

：-5<0,

隨m的增大而減小,

二當(dāng)力=25時,w取得最小值，最小值=-5X25+675=550.

答：在（2）的條件下，購買方案3需要的總費用最少，最少費用是550元.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及?次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)

鍵培：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次

不等式組；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于，〃的函數(shù)關(guān)系式.

易錯題04一元二次方程的概念及解法

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.解一元二次方程常用的

方法有：直接開配方法、配方法、公式法、因式分解法.

支式練習(xí)〉）

1.（2022秋?小店區(qū)校級期末）己知x=l是一元二次方程/+以-2=0的一個根，則。的值為（）

A.-3B.3C.-1D.1

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把”=1代入方程得到關(guān)于。的一次方程，然后解一次方程即可.

【解答】解：是一元二次方程/+?i-2=0的一個根，

l+a-2=0,

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次

方程的解是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?黃州區(qū)校級期末）關(guān)于x的方程5-1）冽+1+2蛆+2=0是一元二次方程，則m的值為（）

A.-1B.2C.±1D.1

【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義列出關(guān)于m的方程組，求出m的值即可.

【解答】解：???關(guān)于x的方程（，〃-1）P"l+i+2〃a+2=0是一元二次方程，

.廿一1H0

??Z72---1.

故選：A.

【點評】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整

式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?新化縣校級期末）定義運算：a^b=a（1-&）,若mb是方程/一%+=0（巾V0）的兩根，

則b*b-a*a的值為（）

A?-1B.0C.1D.±1

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可找出根據(jù)新運算找出廿（1-h）-4（1”），將其中

的1替換成即可得出結(jié)論.

【解答】解：???”，h是方程y-x+3〃=0（?t<0）的兩根，

**?ci'^b=11

:.b*b-c^a—b（1-。）-a（1-?）—b（〃+Z?-b）-a（a+b-a）=ah-ah=O.

故選：B.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出4+6=1.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該

題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之積與兩根之和是關(guān)鍵.

4.（2022秋?二七區(qū)校級期末）己知x=2是關(guān)于x的方程7-（機+4）x+4m=0的一個實數(shù)根，且該方程

的兩實數(shù)根恰是等腰△ABC的兩條邊長，則△ABC的周長為（）

A.9B.10C.6或10D.8或10

【分析】先利用一元二次方程解的定義把x=2代入方程?-（〃?+4）x+4m=0得,〃=2,則方程化為』

-6x+8=0,然后解方程后利用三角形三邊的關(guān)系確定三角形的三邊，最后就是三角形的周長.

【解答】解：把x=2代入方程/-（”?+4）x+4m=0W4-2（zn+4）+4〃?=0,解得加=2,

方程化為/-6x+8=0,解得xi=4,X2—1,

；2+2=4,

三角形三邊為4、4、2,

.?.△ABC的周長為10,

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程

的解，也考查了三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三

邊.

5.（2022秋?孝南區(qū)期末）己知”是方程"+敘7二。的一個根，則/+2〃-1的值是（）

13

A.1B.2C.-D.-

22

【分析】根據(jù)方程的根的定義，把x=a代入方程求出2次+4〃-3=0,易得答案.

【解答】解：是方程2?+4x-3=0的一個根,

.,.2a2+4a-3=0,

整理得，J+2a=|,

a^+la-1=2-1=

故選：C.

【點評】本題考查r一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程

的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元

二次方程的根.

6.（2022秋?北硝區(qū)校級期末）有若干個依次排列的整式：第1個ai=-/+x是，用m減去（x-1）得至U

bl,將6乘以X,得到42,再42將減去（X-1）得到歷，將歷乘以X,得到。3,以此類推，下列結(jié)論中

正確的個數(shù)為（）

①方程43=0的實數(shù)解為X=l;

②歷022=-/°23+1；

③49=X（1-X）（X8+X7+X6+........+X+1）；

h410。_1

④當(dāng)x=4時?，則二"（xWl）的值為------.

1-x3

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)題意可以得出規(guī)律，〃〃=-/日+式，加根據(jù)規(guī)律逐項求解判斷即可.

【解答】解：由題意可知，第1個m=-f+x,用41減去（X-1）得到力，將力乘以無得到42,

...。1=-/+冗-（X-1）=-7+1,

?\〃2=（一/+1）X=-J+JG

;將第2項42減去（X-1）得到。2,將歷乘以X得到笫3項〃3,

/./?2=-A?+X-（X-1）=-/+1，

.*.6Z3=（-N+1）X=~X4+X,

…，以此類推，

**?dn=一式"?+x,/?〃=一式"?+1,

.4

??〃3=-X+X,

解方程-/+犬=0,得1=0,1,

...方程43=0的實數(shù)解為0,1,故結(jié)論①錯誤；

?；b“=-/,+|+1,

?32()22=-^023+1,故結(jié)論②正確；

???〃”=-E+x,

，。9=-XI0+X=X(1-x9)=X(1-X)(x8+x7+x6+.....+x+l),故結(jié)論③正確；

?：bn=-y/+I+i,

/.bk=-x^+,+l=(1-x)(/+/-〃?+x+l),

=/+/7+?+x+l,

1-x

b…t4101.1011

當(dāng)x—4時，----4I(MI499.4-I-I—.~_=——-——,故結(jié)論④錯誤.

1-X=+++=1-43

所以正確的結(jié)論為：②③，一共2個.

故選：B.

【點評】本題主要考查數(shù)據(jù)的規(guī)律類問題，準(zhǔn)確找H1題目中的兩組數(shù)據(jù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵，難度

較大.

7.(2022秋?中寧縣期末)解方程：

(1)?+4x-5=0.

(2)(x-3)2=2X(3-X).

【分析】(1)根據(jù)所給方程的系數(shù)特點，易于配方，應(yīng)該用配方法進行解答.

(2)先移項，然后將(3-x)變?yōu)?(x-3),即可用提取公因式法對左邊進行因式分解，進而用因式

分解法解答.

【解答】解：(1)?.?/+以-5=0,

.,.x^+4x—5,

；./+4x+4=5+4,

r.(x+2)2=9,

；.x+2=±3

?'?XI—1>X2=-5.

(2);(x-3)2=2X(3-x),

(x-3)2+2X(%-3)=0,

J(x-3+2x)(x-3)=0,

(3x-3)(x-3)=0,

解得xi=l,X2=3.

【點評】本題考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)把方程通過移項把等式的右邊化為0后，方程的左邊能

因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為。的式子的特點解出方程的根.因式分

解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用.當(dāng)化簡后不能用分解因式的方法時，即可考慮

用配方法或公式法，這兩種方法適用于任何一元二次方程.

8.(2022秋?阜寧縣期末)解方程：

(1)x2-4x+l=0；

(2)2x(x-2)=x-2.

【分析】(1)根據(jù)配方法即可求出答案；

(2)根據(jù)因式分解法即可求出答案.

【解答】解：⑴V？-4x+l=0,

-4x+4=3,

(x-2)2=3,

；.x=2±同

(2)'：2x(x-2)=x-2,

：.2x(x-2)-(x-2)=0,

二(2x-1)(x-2)=0,

?'?x—x=2.

【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型.

9.(2022秋?未央?yún)^(qū)校級期末)解方程

(1)?-3x-9=0；

(2)x(x+4)=2x+8.

【分析】(1)根據(jù)公式法解一元二次方程即可；

(2)根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可.

【解答】解：(1)/-3x-9=0,

"."a—1,b--3,c--9,

A=b2-4ac=45,

.-b±Jb2-4ac3±\/453±3V5

,?%=-==-2-)

.3+3753-3V5

?.%]=2，x?=2；

(2)xG+4)=2x+8,

x(x+4)-2(x+4)=0,

(x+4)(x-2)=0,

??xi=:-4,X2=2.

【點評】本題考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的幾種解法是關(guān)鍵.

10.(2022秋?小店區(qū)校級期末)(1)計算：2cos30°+(；!-2022)°+IVI-2卜

(2)下面是某同學(xué)解方程(x+3)2-4=0的過程.

解：移項，得(x+3)2=4,.....第一步

兩邊開平方，得x+3=2,……第二步

……第三步

該同學(xué)的解答從第二步開始出錯,請寫出正確的解答過程.

【分析】(1)先化簡各式，然后再進行計算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-直接開平方法，進行計算即可解答.

【解答】解：⑴2cos30°+(TT-2022)°+|V3-2|

/o

=2x-2—F1+2—V3

=V3+1+2-V3

=3；