福建省龍巖市2024屆高中畢業(yè)班五月教學(xué)質(zhì)量檢測（三模）數(shù)學(xué)試題

【新結(jié)構(gòu)】(龍巖三模)福建省龍巖市2024屆高中畢業(yè)班五月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若全集，集合，，則(

)A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知，則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量，，若在上的投影向量為，則(

)A.2 B.3 C.4 D.55.已知球的體積為，且該球的表面積與底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積相等，則該圓錐的體積為(

)A. B. C. D.6.聲音的等級(jí)單位：與聲音強(qiáng)度單位：滿足噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為若噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的倍，則一般說話時(shí)聲音的等級(jí)約為(

)A.120dB B.100dB C.80dB D.60dB7.已知曲線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為(

)A. B.

C. D.8.已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，且在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為(

)A.11 B.9 C.7 D.5二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知函數(shù)，則(

)A.在單調(diào)遞增 B.是的零點(diǎn)

C.的極小值為0 D.是奇函數(shù)10.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則(

)A.

B.若，，則

C.若，則面積的最大值為

D.若，則11.已知拋物線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則(

)A.若，則直線l的斜率為

B.的最小值為18

C.為鈍角

D.點(diǎn)P與點(diǎn)F的橫坐標(biāo)相同時(shí)，最小三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在的展開式中，的系數(shù)為__________.13.互不相等的4個(gè)正整數(shù)從小到大排序?yàn)?，，，，若它們的平均?shù)為4，且這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的2倍，則這4個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為__________.14.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則ab的取值范圍為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為求數(shù)列，的通項(xiàng)公式;設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：16.本小題15分

如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形ABCD為菱形，，，平面

證明：若M是棱BC上的點(diǎn)，且滿足，求二面角的余弦值.17.本小題15分某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其它產(chǎn)品稱為B等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為A等品的概率保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表;②參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，ⅰ從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在和的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;ⅱ該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件A等品芯片的利潤是元，一件B等品芯片的利潤是元，根據(jù)的計(jì)算結(jié)果，試求m的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.18.本小題17分動(dòng)圓M與圓和圓都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心M的軌跡為求的方程;已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)不在x軸上，過點(diǎn)P作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，ⅰ證明：ⅱ點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交x軸于點(diǎn)N，直線交曲線于G，H兩點(diǎn).記，的面積分別為，，求的取值范圍.19.本小題17分若函數(shù)的定義域?yàn)镮，有，使且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)k，b，曲線與直線總相切，稱函數(shù)為恒切函數(shù).判斷函數(shù)是否為恒切函數(shù)，并說明理由;若函數(shù)為恒切函數(shù)ⅰ求實(shí)數(shù)p的取值范圍;ⅱ當(dāng)p取最大值時(shí)，若函數(shù)為恒切函數(shù)，記，證明：注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).參考數(shù)據(jù)：

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

化簡A，B，由交集和補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【解答】

解：，

，

則，

則2.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)運(yùn)算法則、幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】

解：，

在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．

故選：3.【答案】A

【解析】【分析】本題考查充分、必要條件的判斷，以及指數(shù)函數(shù)的增減性，屬于基礎(chǔ)題.

利用充分、必要條件的定義即可判斷.【解答】

解：由題意知，若，則成立，

反之，若，不一定成立，如，

故“”是“”的充分不必要條件.4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查投影向量，屬于基礎(chǔ)題.

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和投影向量的定義即可求解.【解答】

解：因?yàn)?，?/p>

所以向量在向量上的投影向量為，，

所以，解得5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查球的體積、表面積、圓錐的側(cè)面積和體積，屬于中檔題.

求出圓錐的高，利用圓錐的體積公式即可求解.【解答】

解：設(shè)球半徑為R，圓錐的底面半徑為r，母線長為l，

則，

故球的表面積為，

則，

故圓錐的高為，

則該圓錐的體積為6.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)模型，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.

由函數(shù)的解析式，分別求出噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度，即可求出結(jié)果．【解答】

解：設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度為，一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度為，

噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為140dB，

，解得，

又噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的倍，

，，

一般說話時(shí)聲音的等級(jí)約為，

故選7.【答案】D

【解析】【分析】本題考查兩圓相交弦問題，考查計(jì)算能力，是中檔題．

根據(jù)題意，兩圓相減即可得公共弦所在的直線方程，從而得到AB的方程，令，即可得到P橫坐標(biāo)，利用a的范圍，可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．【解答】

解：曲線可化為：，圓心為，半徑為3，

曲線可化為：，圓心為，半徑為3，因?yàn)閮蓤A相交，所以，即，解得，圓和圓交于A、B兩點(diǎn)，

兩圓相減可得：直線AB的方程是：

令，則，即，

由，可得，

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題轉(zhuǎn)化困難，難度較大.

根據(jù)已知可得，結(jié)合為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，求出滿足條件的解析式，并結(jié)合在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，可得的最大值.【解答】

解：，

為的零點(diǎn)，

為圖象的對(duì)稱軸，

，，，

，，

又，，

當(dāng)時(shí)，，

，，，

，，

，

當(dāng)時(shí)，，故有2個(gè)零點(diǎn)，不符合，舍去.

當(dāng)時(shí)，，

，，，

，

，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，符合，

故選9.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，零點(diǎn)以及極值，屬于基礎(chǔ)題.

利用導(dǎo)數(shù)可知的單調(diào)性，從而判斷A；進(jìn)一步可判斷C；根據(jù)，可判斷B，根據(jù)定義域以及奇偶性的特征即可判斷【解答】

解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，并且?/p>

當(dāng)時(shí)，，且由得解析式易得在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；

因?yàn)?，所以是的零點(diǎn)，B正確；

又因?yàn)?，所以C正確；

因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不具有奇偶性，D錯(cuò)誤.10.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，屬于中檔題.

結(jié)合選項(xiàng)利用正弦定理，余弦定理，三角形面積公式逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【解答】

解：由余弦定理，

因?yàn)?，所以，A正確；

若，，則，

，由正弦定理，

解得，B不正確；

若，，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

面積，C正確；

若，

又由正弦定理得，所以，D正確.11.【答案】BCD

【解析】【分析】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，以及直線與拋物線的關(guān)系，屬于難題.

由題意，求得拋物線方程為，從而結(jié)合拋物線的定義以及直線與拋物線的位置關(guān)系，逐項(xiàng)分析，即可得出答案.【解答】

解：因?yàn)閽佄锞€與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，

則第一象限內(nèi)的交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，代入圓方程得橫坐標(biāo)為2，即，

所以，，即拋物線方程為，焦點(diǎn)為

設(shè)，，對(duì)選項(xiàng)A，由得，

則，又因?yàn)?，解得?/p>

所以直線I的斜率為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)B，由拋物線定義得，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

因此的最小值為18，B正確;

對(duì)選項(xiàng)C，如圖，不妨設(shè)M在第一象限，

設(shè)，，

設(shè)直線，聯(lián)立拋物線的方程消x，

得，

又，

所以，，

，

，，為鈍角，故C選項(xiàng)正確;

對(duì)選項(xiàng)D，

，，設(shè)，則，，

由拋物線的定義可得，

，

又，

則，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D選項(xiàng)正確.

故選：12.【答案】5

【解析】【分析】本題考查了二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)與特定項(xiàng)的系數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)…，即可得出結(jié)果．【解答】

解：由題意知，…，

展開式中的系數(shù)為

故答案為：13.【答案】

【解析】【分析】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、極差，屬于中檔題.

據(jù)題意得，結(jié)合它們的和為16得，，由因?yàn)?，，為正整?shù)且互不相等，得出各數(shù)，由中位數(shù)的定義求解即可.【解答】

解：這組數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，

據(jù)題意得，即，

又它們的和為16，所以，解得，因?yàn)?，，為正整?shù)且互不相等，所以，，，

所以這4個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

.14.【答案】

【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，是較難題.

依題意得與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即兩曲線相切，則只有一個(gè)解，化簡得，則，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得ab的取值范圍.【解答】

解：依題意得與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即兩曲線相切，

則只有一個(gè)解，

，化簡得，

將其代入，得，

，即，

，

，，，

則，設(shè)，

則，

在上單調(diào)遞減，，，

的取值范圍是15.【答案】解：由，得，

，

點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，

；

顯然數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3，則，

，

，

【解析】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及裂項(xiàng)相消法求和，是中檔題.

由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義可得數(shù)列，的通項(xiàng)公式;

由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得出，再得出，由裂項(xiàng)相消法求和即可得證.16.【答案】解：在四棱臺(tái)中，，延長后必交于一點(diǎn)，

故A，C，，四點(diǎn)共面，

因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，故，

連接AC，，因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛BCD為菱形，故，

，，平面，

故平面，

因?yàn)槠矫?，所?/p>

過點(diǎn)A作BC的垂線，交BC與點(diǎn)N，以AN，AD，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

設(shè)，則，

由于，故，

則，，，，

則，，，

記平面的法向量為，

則即，令，

則，，即，

平面的法向量可取為，

則，

所以二面角的余弦值為

【解析】本題考查線面垂直的證明，二面角的計(jì)算，屬于中檔題.由線面垂直得到線線垂直，結(jié)合菱形對(duì)角線互相垂直，得到線面垂直，證明出結(jié)論；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角的大小.17.【答案】解：由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：

即

，所以X∽，

因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布，

所以

，

所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為A等品的概率約為

，所以所取樣本的個(gè)數(shù)為20件，

質(zhì)量指標(biāo)值在的芯片件數(shù)為10件，

故可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為：

，，

，，

隨機(jī)變量的分布列為：0123P所以的數(shù)學(xué)期望

設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有Y件，則每箱產(chǎn)品中B等品有件，

設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為Z元，

由題意知：，

由知：每箱零件中A等品的概率為，

所以Y∽，所以，

所以

令

得，，

又，，遞增，，遞減，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.

所以當(dāng)時(shí)，每箱產(chǎn)品利潤最大.

【解析】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、利潤最大值的求法，考查頻率分布直方圖、正態(tài)分布、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

結(jié)合頻率分布直方圖求得平均值，可得X∽，利用3原則即可求解；

可能取的值為0，1，2，3，求出對(duì)應(yīng)概率即可得解；

由題意得出Z與Y的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)與最值得關(guān)系求解.18.【答案】解：設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，由題意得圓和圓的半徑分別為7，1，

因?yàn)镸與，都內(nèi)切，所以，，

所以，

又，，故，

所以圓心M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)的方程為：，

則，，

即，，

所以，

故的方程為：；

證明：設(shè)，，，

由題意中的性質(zhì)可得，切線方程為，

切線方程為，

因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn)，所以，，

故直線的方程為：，

所以，

又，，

所以直線

由知直線的方程為：，過定點(diǎn)，

設(shè)直線的方程為：，

與方程聯(lián)立，整理得，

由韋達(dá)定理得

又，所以直線的方程為，

令得，

，

所以，，

設(shè)直線GH的方程為，

設(shè)，，同理得

不妨設(shè)

所以

，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).

所以，

【解