《微積分（第4版）》 示范課課件 定積分概念

返回第六章定積分第一節(jié)定積分的概念一、引入定積分概念的實(shí)例二、定積分概念三、定積分的性質(zhì)(DefiniteIntegral)第六章定積分

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導(dǎo)言：定積分的歷史源遠(yuǎn)流長，部分內(nèi)容可以追溯到古代的面積、體積和弧長等量的計(jì)算上.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的窮竭法，中國古代數(shù)學(xué)劉徽的割圓術(shù)都滲透著積分思想方法.十七世紀(jì)牛頓、萊布尼茨等數(shù)學(xué)家對積分問題進(jìn)行了完善形成了近代的定積分概念.第一節(jié)定積分概念第六章定積分

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返回1.面積問題

平面圖形的面積問題是最古老的數(shù)學(xué)問題，人類對于平面圖形面積的確定經(jīng)歷了從直邊形到曲邊形的發(fā)展過程.

經(jīng)過分割轉(zhuǎn)化為基本圖形

由極限實(shí)現(xiàn)直與曲的轉(zhuǎn)化平面曲邊圖形面積解決的最典型的古老方法是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的窮竭法.一、引入定積分概念的實(shí)例阿基米德的窮竭法xoy1第六章定積分

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返回思想方法：問題:曲邊三角形面積（如圖）1.劃分:分割整體為局部；2.近似:局部近似，以直代曲；3.積累:局部積累，整體近似；4.逼近:極限逼近，實(shí)現(xiàn)近似與精確的轉(zhuǎn)化.辯證思想第六章定積分

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返回阿基米德公元前２８７年出生在意大利.是位偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家,并且享有“力學(xué)之父”的美稱.阿基米德在幾何學(xué)領(lǐng)域做出巨大的貢獻(xiàn),他是微積分的最早先驅(qū)者.阿基米德被后世的數(shù)學(xué)家尊稱為“數(shù)學(xué)之神”,在人類有史以來最重要的三位數(shù)學(xué)家中,阿基米德占首位.給我一個支點(diǎn),我就能挪動地球.——阿基米德科學(xué)家簡介曲邊梯形的面積

曲邊梯形

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上非負(fù)且連續(xù),由曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸圍成的圖形稱為曲邊梯形.oxy第六章定積分

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返回oxyoxyxoy一般圖形可以化為曲邊梯形第六章定積分

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問題

求由x=a,x=b,y=0與y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.曲邊梯形面積的求解方法整體分割——將曲邊梯形分割成部分小曲邊梯形；局部近似——小曲邊梯形面積由小矩形面積代替；求和積累——曲邊梯形面積由小矩形面積和近似；無限逼近——由極限實(shí)現(xiàn)近似于精確的轉(zhuǎn)化.xyo曲邊梯形面積的求解過程(1)分割（分割整體曲邊梯形為部分小的曲邊梯形）過每個分點(diǎn)xi作y軸的平行線,將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形.小區(qū)間長度記為

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間取分點(diǎn)第六章定積分

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返回yxo第六章定積分

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返回(2)近似

(以小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積)

xyo第六章定積分

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返回(3)求和

(小曲邊梯形面積求和)將小矩形面積求和，可得曲邊梯形的近似值(4)取極限

（取極限實(shí)現(xiàn)由近似轉(zhuǎn)化為精確）xyoy=f(x)baξixixi+1x１xn-1第六章定積分

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返回yxo思想方法：劃分——近似——積累——逼近總結(jié)概括結(jié)論特征：2.變速直線運(yùn)動的路程解

(1)分割（分割時間區(qū)間）第六章定積分

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返回問題：TOS始點(diǎn)終點(diǎn)...第六章定積分

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返回(2)近似（用勻速運(yùn)動近似代替變速運(yùn)動）(3)求和（將小區(qū)間移動路程求和）(4)取極限（取極限實(shí)現(xiàn)由近似轉(zhuǎn)化為精確）

第六章定積分

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返回兩類問題的比較概括整體分割，局部代替（以直代曲，以勻代變），求和近似，無限逼近（由近似轉(zhuǎn)化為精確）.結(jié)論：特定形式乘積和的極限抽象概括結(jié)論1.分割2.近似3.積累4.逼近1.分割2.近似3.積累4.逼近思想方法變速直線運(yùn)動路程曲邊梯形面積第六章定積分

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返回二、定積分的概念定義第六章定積分

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返回其中f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx

稱為被積表達(dá)式，x

稱為積分變量，a為積分下限，b為積分上限，[a,b]為積分區(qū)間.積分和被積函數(shù)積分變量積分限積分號

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.

(1)定積分是積分和式的極限，是一個數(shù)值.定積分值與區(qū)間分法和取點(diǎn)無關(guān)，只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān).(2)定積分與積分變量的記法無關(guān).即有(3)規(guī)定第六章定積分

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定積分概念的說明

定積分的幾何意義

如果,則幾何上表示由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

如果,則在幾何上表示曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形面積相反數(shù).第六章定積分

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返回xyoyxo

如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取負(fù)值，則定積分在幾何上表示介于曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸之間的各部分面積的代數(shù)和.三、定積分的存在定理定理定理xyo第六章定積分

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返回解由定積分的