高考數(shù)學大題精做專題11解析幾何與平面向量相結合問題(第五篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題11解析幾何與平面向量相結合問題類型對應典例解析幾何與向量線性運算相結合問題典例1解析幾何與數(shù)量積運算相結合問題典例2解析幾何與共線相結合問題典例3解析幾何與模長相結合問題典例4【典例1】【寧夏銀川一中2020屆高三月考】已知，兩點分別在x軸和y軸上運動，且，若動點滿足．求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程；一條縱截距為2的直線與曲線C交于P，Q兩點，若以PQ直徑的圓恰過原點，求出直線方程．【典例2】【云南省楚雄州2020屆高三模擬】已知橢圓()的左、右焦點分別是，，點為的上頂點，點在上，，且.（1）求的方程；（2）已知過原點的直線與橢圓交于，兩點，垂直于的直線過且與橢圓交于，兩點，若，求.【典例3】【2020屆泉州市高三畢業(yè)班線上質量檢測】設橢圓的右焦點為，過的直線與相交于兩點.（1）若，求的方程；（2）設過點作軸的垂線交于另一點，若是的外心，證明:為定值.【典例4】【2019屆安徽省安慶一中高三下學期6月第四次模擬考試】已知點是橢圓上任意一點，點，拋物線上點的縱坐標為，.（1）求拋物線的標準方程：（2）若拋物線的準線上一點滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值：若不是，請說明理由.【針對訓練】1.【重慶市2019屆高三高考全真模擬】已知點，直線，為直角坐標平面上的動點，過動點作的垂線，垂足為點，且滿足．（1）求動點的軌跡的方程；（2）若直線與（1）中的軌跡相切于點，，且與圓心為的圓，相交于，兩點，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標.2.【河北省衡水中學2019屆高三第一次摸底考試】已知點是拋物線的焦點，若點在拋物線上，且求拋物線的方程；動直線與拋物線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點其中，使得向量與向量共線其中為坐標原點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．3.【廣西柳州市2019屆高三畢業(yè)班1月模擬考試】已知點，直線為平面內的動點，過點作直線的垂線，垂足為點，且.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線與分別交軌跡于四點.求的取值范圍.4.【天津市第一中學2019屆高三下學期第四次月考】如圖已知橢圓，是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心，且，.（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）設為橢圓上異于且不重合的兩點，且的平分線總是垂直于軸，是否存在實數(shù)，使得，若存在，請求出的最大值，若不存在，請說明理由.5.【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第一次模擬考試】已知O為坐標原點，橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，過焦點且垂直于x軸的直線與橢圓C相交所得的弦長為3，直線與橢圓C相切．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）是否存在直線l：與橢圓C相交于E，D兩點，使得？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由！備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題11解析幾何與平面向量相結合問題類型對應典例解析幾何與向量線性運算相結合問題典例1解析幾何與數(shù)量積運算相結合問題典例2解析幾何與共線相結合問題典例3解析幾何與模長相結合問題典例4【典例1】【寧夏銀川一中2020屆高三月考】已知，兩點分別在x軸和y軸上運動，且，若動點滿足．求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程；一條縱截距為2的直線與曲線C交于P，Q兩點，若以PQ直徑的圓恰過原點，求出直線方程．【思路引導】（1）根據(jù)向量的坐標運算，以及|AB|=1，得到橢圓的標準方程．（2）直線l1斜率必存在，且縱截距為2，根據(jù)直線與橢圓的位置關系，即可求出k的值，問題得以解決．【詳解】(1)因為即所以所以又因為,所以即:,即所以橢圓的標準方程為(2)直線斜率必存在，且縱截距為,設直線為聯(lián)立直線和橢圓方程得:由,得設以直徑的圓恰過原點所以,即也即即將(1)式代入,得即解得,滿足（*）式，所以所以直線【典例2】【云南省楚雄州2020屆高三模擬】已知橢圓()的左、右焦點分別是，，點為的上頂點，點在上，，且.（1）求的方程；（2）已知過原點的直線與橢圓交于，兩點，垂直于的直線過且與橢圓交于，兩點，若，求.【思路引導】（1）設，由已知，求得的坐標為，代入橢圓方程，得；再由，求得，結合，求出值，即可求得結論；（2）先討論直線斜率不存在和斜率為0的情況，驗證不滿足條件，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消元，由韋達定理和相交弦長公式，求出；再將直線方程與橢圓聯(lián)立，求出，由求出的值，進而求出，再求出點到直線的距離，即可求解.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，∵，∴的坐標為.∵在上，將代人，得.又∵，∴，∴.又∵，∴，，的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，，，不符合題意；當直線的斜率為0時，，，也不符合題意.∴可設直線的方程為,聯(lián)立得，則，..由得或∴.又∵，∴，∴，∴.∵到直線的距離，∴.【典例3】【2020屆泉州市高三畢業(yè)班線上質量檢測】設橢圓的右焦點為，過的直線與相交于兩點.（1）若，求的方程；（2）設過點作軸的垂線交于另一點，若是的外心，證明:為定值.【思路引導】（1）根據(jù)題意，設直線的方程為，代入橢圓方程消，根據(jù)韋達定理求出兩根之和、兩根之積，由，可得，兩根之和、兩根之積即可求解.（2）由（1）得的中點坐標為，利用弦長公式求出，根據(jù)題意可得的垂直平分線方程，求出點的坐標，進而求出，進而可求解.【詳解】（1）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設直線的方程為，代入得，設，則，若，則，解得，所以，的方程為（2）由（1）得的中點坐標為所以因為是的外心，所以是線段的垂直平分線與的垂直平分線的交點，的垂直平分線為令，得，即，所以，，所以為定值.【典例4】【2019屆安徽省安慶一中高三下學期6月第四次模擬考試】已知點是橢圓上任意一點，點，拋物線上點的縱坐標為，.（1）求拋物線的標準方程：（2）若拋物線的準線上一點滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值：若不是，請說明理由.【思路引導】（1）首先設，根據(jù)得到點的坐標，再代入拋物線方程即可.（2）首先設，，根據(jù)，得到，再利用兩點之間距離公式代入化簡計算即可.【詳解】（1）由題知：設，，.因為，所以.即.又因為點在拋物線上，所以，.所以拋物線的標準方程為.（2）設，，因為，所以，即，，.所以又因為，.所以，所以為定值，且定值為.【針對訓練】1.【重慶市2019屆高三高考全真模擬】已知點，直線，為直角坐標平面上的動點，過動點作的垂線，垂足為點，且滿足．（1）求動點的軌跡的方程；（2）若直線與（1）中的軌跡相切于點，，且與圓心為的圓，相交于，兩點，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標.【思路引導】（1）設，得到，根據(jù)題意得到點的軌跡方程；（2）根據(jù)題意表示出切線，并且當時，面積最大，得到圓心到的距離，構造出關于，的關系式，求出點坐標.【詳解】（1）設，點，直線，過動點作的垂線，垂足為點，．，整理，得動點的軌跡的方程為．（2），所以求導得切點，所以切線斜率所以切線為整理得，，，，，則時，面積最大，此時圓心到直線的距離為．則有，解得，點的坐標為．2.【河北省衡水中學2019屆高三第一次摸底考試】已知點是拋物線的焦點，若點在拋物線上，且求拋物線的方程；動直線與拋物線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點其中，使得向量與向量共線其中為坐標原點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【思路引導】求得拋物線的焦點和準線方程，運用拋物線的定義可得的坐標，代入拋物線方程，解得，進而得到拋物線的方程；在軸上假設存在定點其中，使得與向量共線，可得軸平分，設，，聯(lián)立和，根據(jù)恒成立，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理可得的方程，求得，可得結論．【詳解】拋物線C：的焦點為，準線方程為，即有，即，則，解得，則拋物線的方程為；在x軸上假設存在定點其中，使得與向量共線，由，均為單位向量，且它們的和向量與共線，可得x軸平分，設，，聯(lián)立和，得，恒成立．，設直線DA、DB的斜率分別為，，則由得，，，聯(lián)立，得，故存在滿足題意，綜上，在x軸上存在一點，使得x軸平分，即與向量共線．3.【廣西柳州市2019屆高三畢業(yè)班1月模擬考試】已知點，直線為平面內的動點，過點作直線的垂線，垂足為點，且.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線與分別交軌跡于四點.求的取值范圍.【思路引導】（1）設動點，則，由展開計算得到的關系式即可；(2)當直線的斜率不存在（或者為0）時，可求出四點坐標，即可得到；當直線的斜率存在且不為0時，設為，直線的方程為，與軌跡的方程聯(lián)立，結合根與系數(shù)的關系可得到+的表達式，然后利用函數(shù)與導數(shù)知識可求出的取值范圍．【詳解】（1）設動點，則，由，則，所以，化簡得.故點的軌跡的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，軸，可設，，當直線的斜率為0時，軸，同理得，當直線的斜率存在且不為0時，設為，則直線的方程為：，設，由得:，則所以，則，直線的方程為：，同理可得：，所以令，則，，由，得；，得；在上單調遞減，在上單調遞增，又，故.綜上所述，的取值范圍是.4.【天津市第一中學2019屆高三下學期第四次月考】如圖已知橢圓，是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心，且，.（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）設為橢圓上異于且不重合的兩點，且的平分線總是垂直于軸，是否存在實數(shù)，使得，若存在，請求出的最大值，若不存在，請說明理由.【思路引導】（Ⅰ）易知根據(jù)條件確定形狀，即得C坐標，代入橢圓方程可得，（Ⅱ）即先判斷是否成立，設的直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組解得坐標，根據(jù)、關系可得坐標，利用斜率坐標公式即得斜率，進而判斷成立，然后根據(jù)兩點間距離公式計算長度最大值，即可得的最大值.【詳解】（Ⅰ）∵，∴又，即，2∴是等腰直角三角形∵，∴因為點在橢圓上，∴∴∴所求橢圓方程為（Ⅱ）對于橢圓上兩點、，∵的平分線總是垂直于軸∴與所在直線關于對稱，設且，則，則的直線方程①的直線方②將①代入得③∵在橢圓上，∴是方程③的一個根，∴以替換，得到.因為,所以∴∴，∴存在實數(shù)，使得當時即時取等號，又，5.【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第一次模擬考試】已知O為坐標原點，橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，過焦點且垂直于x軸的直線與橢圓C相交所得的弦長為3，直線與橢圓C相切．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）是否存在直線l：與橢圓C相交于E，D兩點，使得？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由！【思路引導】（1