專升本《高數(shù)二》重點(diǎn)資料

成人高考入學(xué)考試

高等數(shù)學(xué)（二）通關(guān)資料

一\極限

考點(diǎn)1:極限的四則運(yùn)算法則

1.利用極限的四則運(yùn)算法則求極限

如果lim/(x)=A,lim曰

尤—xoX-尤0

1.lim[f(x)±g(x)]=limf(%)±limg(x)=A±J

x-九oXfX0X—>xo

2.lim[/(%).g(x)]=lim/(x：limg(x)=AB

XQX-1()X.x0

limf(x)

3.當(dāng)limg(x)w0,lim/(工)二X-1o_________=a

x—>%0X—>XQg(x)limg(x)B

X^X0

lim[c./(x)]=c.lim/(x)

X—>X0XX0

n

lim[/(%)]"=Jim。/(%)」

0

一\極限

考點(diǎn)2:無窮小■和無窮大?定義及關(guān)系

1.無窮小量概念：

如果當(dāng)自變量%-%(或%—8)時(shí)，函數(shù)f(%)的極限值為零，

則稱在該變化過程中，f(%)為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小，記作

limf(x)=(0或limf(%)=0)

X—>X0xf00

在微積分中，常用希臘字母a，氏丫來表示無窮小量.

2.無窮大量概念

如果當(dāng)自變量%-%(或%一8)時(shí)，函數(shù)/(%)的絕對(duì)值可以

變得充分大(即無限得增大)，則稱在該變化過程中，f(x)

為無窮人量.記作lim/(制=8

X一卻

兩者關(guān)系：

在同一變化過程中，如果/⑴為無窮大量，則/%T為無窮小量

反之，如果/⑴為無窮小量，且則7%為無窮大量

一\極限

一\極限

考點(diǎn)4:等價(jià)無窮小

1.如果0C1、。2、P1、32都是同一變4匕過程中的無窮小

里，且0C]?Pu0C2?

ap

貝Ulim_1=lim1

。2P2

這個(gè)定理說明，兩個(gè)無窮小量之比I勺極限，可以用與

它們等價(jià)的無窮小量之比的極限來弋替.以后我們可以

用這個(gè)方法來求兩個(gè)無窮小量之比為極限，此方法可

叫做等價(jià)無窮小代替法。I

常用等價(jià)無窮?。?/p>

-4X

當(dāng)x-0時(shí)，x?sinx-In(1+x)crcsmx?arctanx?e-11

J_2u

~tanx,1-cosx-2x,(1+x)」常數(shù)，

一\極限

考點(diǎn)5:兩個(gè)重要極限

殊極限丘=1

x-oX

特殊極限二:

1x

lim(1+-----)=e

X-00X

1n

lim(1+-----)=e

nfoon

1

lim(1X

x->0

二、連續(xù)

考點(diǎn)1:函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)

定義1：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)出的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果

有自變量Ax(初值為3)趨近于。時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)改變量Ay

也趨

近于0,即lim"(x()+Ax)-/(xo)］二0

Axf0

則稱函數(shù)y=/(X)在點(diǎn)出處連續(xù).

定義2：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X。的某彳?鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)

xf和時(shí)，函數(shù)/(、)的極限值存在，且等于和處的函數(shù)值/(和)

即lim/(%)=/(xo),則稱函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x()處連續(xù).

xf殉

定義3：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X。的某彳?鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)

xf3時(shí)，函數(shù)/(x)的左右極限存在」工等于函數(shù)值/(3)，即

f

二、連續(xù)

考點(diǎn)2:函數(shù)間斷點(diǎn)

定義：如果函數(shù)/(X)在點(diǎn)均處不連續(xù)，則稱點(diǎn)為/(%)

的一個(gè)間斷點(diǎn).由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，如果函數(shù)/(X)

在點(diǎn)均處有下列三種情況之一，則點(diǎn)出是/(X)的一個(gè)間斷

點(diǎn)：(1)在點(diǎn)出處，f(X)沒有定義。

I(2,在點(diǎn)與處，/(%)的極限不存在u，，

(3)雖然點(diǎn)xo處/(%)有定義，且lim/(x)存在，但

xfx。

lim/(x)w/(xo)

%—%0

三、導(dǎo)數(shù)

(一)導(dǎo)數(shù)定義

設(shè)函數(shù)＞=/(%)在點(diǎn)刖的某一鄰域內(nèi)有定義，若自變量X

在點(diǎn)刖處的改變量為Ax(X。+Ax仍在該領(lǐng)域內(nèi)).函數(shù)y=

(x)相應(yīng)地有改變量Ay=/(沏+Ax)(項(xiàng)).如果極限

]imAy=lim/(—0+)-/(工0)

Ax—>oAxA%-oAx

存在，則此極限值為函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)出處的導(dǎo)數(shù).

，①，

記作y，或/(沏).

,f(x0+Ax)-f(x0)

即/(1o)=lim

Axf0A%

,f(x)-f(x0)

/"Um

X^>XQ

,f(x0+h)-f(x)

f(x0)=lim'

三、導(dǎo)數(shù)

（二）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

1(.c)=0

2(.xa)=axa1

3(.logx)=(a〉0,且awl)

aixIna

4(.Inx)1-x

5(.a")=a"Ina

6(.e")’二e"

7(.sinx)=cosx(/cosx)=-sinx

8(,tanx)=sec2x/(cot%)=-esc2x

三、導(dǎo)數(shù)

（二）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

9(,secx)=secx.tajix/(cscx)=-cscx.cotx

10(.arcsinx)三_____(-1<%<1)

Vl-x

1

(-1<x<1)

11(.arccosx)=-\1-x

12(.arctaiu)=1+x

TC/\T2

三、導(dǎo)數(shù)

（三）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式

1(.U±V)=U±V

!!!

2(.u.v)=u.v+u.v

3(.cu)=cu(c為常數(shù))

)=U.V-2U.V(vwO)

三、導(dǎo)數(shù)

(四)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

如果函數(shù)u=a(%)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)y=/(u)在對(duì)應(yīng)

點(diǎn)u處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=/[a(x)]在點(diǎn)1處可導(dǎo),

一d-ydydu

且有dx=du?dx

!!!

yx—yu.ux

{f[ct(x)]}=fQu)u(x)

解題思路：

(1)找出復(fù)合框架，y=f(u),u=f(x)

y=/3),》=/⑺,v=/(x)

(2)分別求導(dǎo)相乘

三、導(dǎo)數(shù)

(五)參數(shù)方程表示的函數(shù)求導(dǎo)法則

一般的，如果參數(shù)方程

「X=u(t)

<(t為參數(shù))

[y=v(t)

確定了y為x的函數(shù)，在計(jì)算此類由參數(shù)方程

年確定的導(dǎo)數(shù)時(shí)，不需要先消去參數(shù)t后再進(jìn)行求導(dǎo).

dy—dt—dydt—u(t)—yt

----?---------1-1

dxdxdtdxv(t)xt

dt

三、導(dǎo)數(shù)

六)隱函數(shù)的求導(dǎo)

解析法表示函數(shù)通常有兩種：

(1).y=f(x)來表示的，稱之為顯函數(shù)。

如y=sinwx,y=exIn(x+Jl+x2)

(2).x與y之間的函數(shù)關(guān)系是由一個(gè)方程尸(x,y)=0

來確定這種稱之為隱函數(shù)，

如2x+y3-1=0,xy-ex+ey=0

對(duì)于隱函數(shù)的求導(dǎo)通常做法：

可直接在方程尸(x,y)=0的兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，而把y

視為中間變量，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法即可。

(特殊情況：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法時(shí)，先兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，再求解)

三、導(dǎo)數(shù)

(七)高階求導(dǎo)

如果函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)y=/(x)仍是X的可導(dǎo)函數(shù),

那么就稱/(%)的導(dǎo)數(shù)為/(%)的二階導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)地/(%)’

稱為函數(shù)y=/(x)的一階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)數(shù)記為

""d2y.2/

y，/⑴，/2或,2

axax2

"-""dyddy

y=(y)9f(x)=[/(x)]或----------="()

四、微分

(一)微分公式和微分法則

微分公式：

(l)d(c)=(0c為常數(shù))(.2)d(xa)=axa1dx

(3)d(a')="*Inadx(a>0,且awl)

“v1

(4)d(eX)=e"dx.(5)dlogax=~~T~~公(〃>0,且awl)

(6)d(Inx)=~dx.(7)d(sin%)=cosxdx

x

(8)d(cos%)=-sinxdx

函數(shù)的和、差、積、商微分運(yùn)算公式

設(shè)〃=〃(x),v=v(x)可微分，則

d{cu)=cdu(c為常數(shù))；d{u±v)=dudv

d{uv)=vdu+udv;d(J￡)="d"-"dv_(#0)

2

五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

(-)洛必達(dá)求導(dǎo)

如果當(dāng)XT〃(或XT00)時(shí)，函數(shù)X

X

都趨于零或都趨于無窮大，則稱lim

x-^aF(X)

(Xf8)

0oo

為未定型極限，并分別簡(jiǎn)記為“一0”或“一00”

洛必達(dá)法則是求未定型極限的一種有效方法。

其它類型未定式：0.00；00-00也可以變形

000

為“一()”或“一8”來求解

五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

(二)曲線的切線方程與法線方程

若函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知/(xo)

表示過曲線上點(diǎn)MQo,/國)))的切線斜率，所以，過曲線上點(diǎn)

))的切線方程為：

M(XQ,f(xQ

y-f^Q)=f(xo)(x-X。)

1,法線方程為

法線的斜率為-f(X)

y-fM=-f(%)(x—xo)

五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

(三)函數(shù)單調(diào)性判斷

設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,Z?)內(nèi)可導(dǎo).

1.如果在區(qū)間(〃")內(nèi)/(x)>0,則函數(shù)〃x)在區(qū)間(〃")內(nèi)是遞增

的；2.如果在區(qū)間(〃")內(nèi)，(%)<0,則函數(shù)/(x)在區(qū)間(〃")內(nèi)是

遞減的。注：八元)在個(gè)別點(diǎn)處/(%)=()不影響〃；0的單調(diào)性.

五、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（四）函數(shù)的極值

1.極值的第一充分條件

設(shè)/（X）在3的某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo).

（1）若X<Xo時(shí)，/（x）〉。，x>XQ,f（X）<0時(shí)則稱Xo為極大值點(diǎn)，/（X0）為

極大值⑵若x<xo時(shí)，/（%）<0,x>/（%）〉0時(shí)則稱為0為極小值點(diǎn)，j

（3）為極小值（3）如果/（x）在和兩側(cè)的符號(hào)相同，那么xo不是極值點(diǎn)。

2.極值的第二充分條件

設(shè)函數(shù)y=/（x）在出處存在二階導(dǎo)數(shù)，且/（的=0,則

（1）若/（xo）<0,/（xo）為極大值，xo為極大值點(diǎn)；

（2）若/（%o）>0,/（沏）為極小值，沏為極小值點(diǎn)；

（3）若/（%0）=0,此方法不能判定出是否為極值點(diǎn)，而

改用極值第一充分條件來判定。

五、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（四）函數(shù)的極值

極值存在的必要條件：

設(shè)函數(shù)/⑴在3可導(dǎo)，且在點(diǎn)3處取得極值，則

必有/的）=。，稱滿足/的）=。的點(diǎn)為函數(shù)/④

的駐點(diǎn)，由此可知，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)。

五、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(五)曲線的凹凸性及拐點(diǎn)

曲線凹凸性的判別法：

設(shè)函數(shù)y=/(x)在&/上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)

數(shù)，那么

!!

(1)若在(〃")內(nèi)，/⑴>0,則/則“X)在口，封上的圖形

!!

是凹的(2)若在(")內(nèi)，/(x)<0,則/則/⑶在口，口上

的圖形是凸的曲線的拐點(diǎn)：

在連續(xù)的曲線上的凹弧與凸弧之間的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。

五、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

定義：

若lim于(x)=A或limf(x)=A或lim/(x)=A,則

%—+oo%-

稱直線y=A是曲線y=/(x)的水平漸近線.

若limf⑴=00或lim/(x)=00或lim/(x)=oo,貝！)

xfax—a*%-a

稱直線x=a是曲線y=/⑴的鉛直漸近線.

六、不定積分

(一)原函數(shù)

區(qū)間上了(%)的原函數(shù)的全體，稱為/(%)在/上的不定積

分

如果尸(X)為/(%)的一個(gè)原函數(shù)，則有

Ir/\1c-bk?Itc、),/-r^

六、不定積分

(二)不定積分

區(qū)間上了(%)的原函數(shù)的全體，稱為/(%)在/上的不定積

分

如果尸(X)為/(%)的一個(gè)原函數(shù)，則有

Ir/\1c-bk?Itc、),/-r^

六、不足積分

（三）不定積分的性質(zhì)

1(1)[Jf(x)dx]=f(%),d\f(x)dx=f

(x)dx(2)\dF{x}=F(x)+C,fF(x)dx=F

(x)+C(3)J4(x)公=%J/((左為常數(shù)

(4)

六、不足積分

（四）基本積分公式

1

X&dx=a+]Xa+1+C(〃w-1)

(2)f~x^x=求)+c

⑶Jx_0_

a公=I”+C(〃>0,1)

(4)1

exdx=ex+C

(5)1

sinxdx=-cosx

(6)f

cosxdx=si

六、不定積分

（四）基本積分公式

（7）Jl+X2dx-arctanx+C

1

（8）dx=arcsinx+C

六、不定積分

（五）求不定積分的兩種常用方法:

一、換元積分法（湊微分法）

設(shè)/（U）有原函數(shù)尸（U）,且U=v（x）,則尸w（x）］是

（X）

的原函數(shù)，即有：

Jf［v（x）］v（x）dx=F［v（x）］+C

二、分部積分法

設(shè)〃、V都是X的可微函數(shù)，則有

七、定積分

(-)定積分的定義

\a/(

稱/(X)在區(qū)間口,切上可積.

其中/(x)稱為被積函數(shù)，/(x)dx稱為被積表達(dá)式，

X稱為積分變量，〃口稱為積分區(qū)間，。稱為積分下

限，》稱為積分上限.

七、足積分

(二)定積分的注意點(diǎn)

注意：

(1)定積分若存在，它只是一個(gè)確定的常數(shù)，它只

與被積函數(shù)/⑴及積分區(qū)間口有關(guān)，而與積分變

量的符號(hào)無關(guān)，即應(yīng)有L/7(x)dx=L/7⑺流.

(2)定積分￡/7(x)dx中，上下限的大小沒有限制，但若

顛倒積分上下限，必須改變定積分的符號(hào)，即

ba

\af(x)dx=-\bf(x)dx

af(x)dx=0

七、定積分

(三)定積分的性質(zhì)

1.常數(shù)可以提到積分號(hào)之外，即若左為常數(shù)，則有

\akf(x)dx=k\af(x)dx

2.兩函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們的定積分的代數(shù)

和即有

\at/W±g(x)"x=\af^dx±\ag(x)dx

可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情況.

3.定積分的可加性：如果積分區(qū)間口勿被點(diǎn)。分成

兩個(gè)小區(qū)間與匕b\,則有

\af3dx=\af(Qdx+\cf(x)dx

4.如果在區(qū)間［d勿上，總有/(x)Kg),則有

bb

\a于。)去<\ag(X)dx

七、足積分

(四)牛頓一一萊布尼茨公式

如果尸⑴是連續(xù)函數(shù)/⑴在區(qū)間力

上任意一個(gè)原函數(shù)則有

yf(x)dx=F(x)b=F(b)-F(a)

(五)定積分的幾何意義

(1)當(dāng)/(x)20時(shí)，定積分/(x)dx表示由連續(xù)曲

線

y=/(%),直線x-a,x-b(a<Z?)和x軸所圍

成的曲邊梯形9的面積s,即S=￡/7

(x)dx

⑵當(dāng)爾的運(yùn)。時(shí)=的邊梯形源加的面積s如

:I-Av<>

圖2.即*靜廿］自笊減枕Eg2也*開—4

y=f(x)>O

yy

abx

七、足積分

(五)定積分的幾何意義——求平面圖形面積

(1)由,=/(%),%=〃,x=6(〃<6)及％軸所圍成的封閉平面圖形的面積S:

(2)由)=力(％),j=f2(x),%=〃,X=6(Q<6)所圍成的封閉平面圖形的面積S:

SJo葉力(%)-力(%)L

(3)由X=S(y),y=c,y=d(c<d)及y軸所圍成的封閉平面圖形的面積S:

(4)由j=Si(y),x=S2(y),y=c,y=4(°<〃)所圍成的封閉平面圖形的面積S:

S="S2(y)-也(力辦

(5)由丁=力(％)，,=力(％)所圍成的封閉平面圖形的面積S:

先求兩條曲線的交點(diǎn)，只需求解方程組：1，得出交點(diǎn)中％的最小值，

b=%(%)

記為尹，及交點(diǎn)中％的最大值，記為。，則

s=Lzk(x)-fl(x)\dx

七、定積分

(五)定積分的幾何意義一一求旋轉(zhuǎn)體體積

(1)曲線段y=/(1),〃繞Ox軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積匕:

匕=71\af2(X)dx

⑵曲邊梯形y=/(x),x=a,x=b(a<b)及Qx軸所圍成的圖

形繞3軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積匕：

匕=K\af2(X)dx

(3)曲線段x=S(y),cVxVd(c<d)繞0y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積峰：

Vy=兀J/S2(y)dy

(4)曲邊梯形x=S(y),y=c,y=d(c<d)及Oy軸所圍成的圖

形繞何軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積峰：

Vy=兀S2(y)dy

七、定積分

(五)定積分的幾何意義一一求旋轉(zhuǎn)體體積

(5)由丁=力(％),y=fz(x),%=",v=/?(“</?)所圍成的封閉圖

形繞Qx軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積匕：

匕=兀L"力2(X)—力2(x)dx

⑹由x=9i(y),x=S2(>),>=c,y=d(c<d)所圍成的

圖形繞Oy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積峰：

匕；=兀比2(y)—sj(y)dy

八、多元函數(shù)

(-)多元函數(shù)定義

定義：設(shè)。為xOy平面上的一個(gè)區(qū)域，如果對(duì)于。上的每

一占八、、

P(x,y),變量z依照某一規(guī)律/有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)

應(yīng),則稱Z為1，/的函數(shù),記作Z=/(%,〉)

類似的可以定義三元函數(shù)，記作〃=/(%,y,z)

八、多元函數(shù)

(二)偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)的求法：

求二元函數(shù)z=/(x,y)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要新的

方法，當(dāng)求/(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要將二元函數(shù)中

的y看成是常數(shù)，而對(duì)％求導(dǎo)數(shù)就行了.

同理，求/(x,y)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要將二元函數(shù)中

的x看成是常數(shù)，而對(duì)y求導(dǎo)數(shù)就行了.

如果要求/(九y)在點(diǎn)(xo,yo)處的偏導(dǎo)數(shù)，只需在偏

導(dǎo)函數(shù)中將X=XO,>=比帶入即可。

八、多元函數(shù)

（三）二階偏導(dǎo)數(shù)

!!

xx(%,y)

If

孫（羽y）

7"

=dZ=Zyx"(x,y)

dydx

ddz鏟2?!!

-)=9—?(x,y)

八、多元函數(shù)

（四）二元函數(shù)極值

解題思路：設(shè)函數(shù)z=/（羽y）在點(diǎn)（3,比）的某鄰域

內(nèi)連續(xù)，有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

/%（3,>0）=0Jy（工0,>0）=。

又設(shè)

!!!!!!

f*（xo,yo）=AJ孫（x（）,yo）=BJ?（x（）,yo）二C

則（1）^B2-AC<0^,函數(shù)/（x,y）在點(diǎn)（和，光）處

取得極值，且當(dāng)A<。時(shí)時(shí)有極大值，當(dāng)A>。時(shí)有極小

值.

（2）B2-AC>0時(shí)，函數(shù)/（x,y）在