高中數(shù)學(xué)得分技巧

高中數(shù)學(xué)得分技巧整理

第1講選擇題的解題方法與技巧

一、題型特點(diǎn)概述

選擇題的分?jǐn)?shù)一般占全卷的40%左右，高考數(shù)學(xué)選擇題的基本特點(diǎn)是：

(1)絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)選擇題屬于低中檔題，且一般按由易到難的順序排列，

主要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法能通過(guò)它得到充分的體現(xiàn)和應(yīng)用，并且因?yàn)?/p>

它還有相對(duì)難度(如思維層次、解題方法的優(yōu)劣選擇，解題速度的快慢等),

所以選擇題已成為具有較好區(qū)分度的基本題型之一.

(2)選擇題具有概括性強(qiáng)、知識(shí)覆蓋面廣、小巧靈活及有一定的綜合性和

深度等特點(diǎn)，且每一題幾乎都有兩種或兩種以上的解法，能有效地檢測(cè)學(xué)生的思

維層次及觀察、分析、判斷和推理能力.

由選擇題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，決定了解選擇題除常規(guī)方法外還有一些特殊的方

法.解選擇題的基本原則是：“小題不能大做”，要充分利用題目中(包括題干

和選項(xiàng))提供的各種信息，排除干擾，利用矛盾，作出正確的判斷.

解答數(shù)學(xué)選擇題的主要方法包括直接對(duì)照法、概念辨析法、圖象分析法、

特例檢驗(yàn)法、排除法、逆向思維法等，這些方法既是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn)，也是

解題的有效手段.

二、解題方法例析

題型一直接對(duì)照法

直接對(duì)照型選擇題是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、

公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識(shí)，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)推理、準(zhǔn)確運(yùn)算、合理驗(yàn)證，從

而直接得出正確結(jié)論，然后對(duì)照題目所給出的選項(xiàng)“對(duì)號(hào)入座”，從而確定正確

的選擇支.這類選擇題往往是由計(jì)算題、應(yīng)用題或證明題改編而來(lái)，其基本求解

策略是由因?qū)Ч?，直接求?

例1設(shè)定義在R上的函數(shù)火x)滿足兀0犬%+2)=13,若式1)=

2,則-99)等于

()

132

A.13B.2C.^-D.行

思維啟迪先求f(x)的周期.

131313

解析,.,利*+2)=yq),.；/(X+4)=<Y+2)=]3=兀)

於)

1313

.??函數(shù)./U)為周期函數(shù)，且T=4".f(99)=f(4X24+3)=f(3)=7B=5.

探究提高直接法是解選擇題的最基本方法，運(yùn)用直接法時(shí)，要注意充分挖掘題

設(shè)條件的特點(diǎn)，利用有關(guān)性質(zhì)和已有的結(jié)論，迅速得到所需結(jié)論.如本題通過(guò)分

析條件得到f(x)是周期為4的函數(shù)，利用周期性是快速解答此題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練1函數(shù)應(yīng)r)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件?r+2)=嵩，

若負(fù)1)=-5,則歡5))的值為()

11

A.5B.-5C.5D.—m

解析由F(x+2)=看，得/U+4)=無(wú)缶y=F(x),所以F(x)是以4為周期的函數(shù),

所以/(5)=/(1)=-5,從而AA5))=/(—5)=f(—1)=/,(_；+2)=7^17=J

例2設(shè)雙曲線三一方=1的一條漸近線與拋物線產(chǎn)/+1只有

一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）

A?B.5。坐

D.小

思維啟迪

求雙曲線的一條漸近線的斜率即￡的值，盡而求離心率.

解析設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=kx,這條直線與拋物線y=x2+l相切，聯(lián)立

y=kxb

,.,整理得x2—kx+l=0,則4=k2—4=0,解得k=±2,即二=2,故

[y=x2+la

a2+b2b

雙曲線的離心率

探究提高關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，通常是聯(lián)立方程解方程組.本

題即是利用漸近線與拋物線相切，求出漸近線斜率.

變式訓(xùn)練2已知雙曲線C：,一卓=130,b>0）,以。的右

焦點(diǎn)為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是（）

A.aB.bC,y[abD.yja2+b2

解析》一去=1的其中一條漸近線方程為：y=~~x,即bx+ay=0,而焦點(diǎn)坐

\bXyjg2+b2\

標(biāo)為（c,0）,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離d=yja2~\~b2=b.故選B.

題型二概念辨析法

概念辨析是從題設(shè)條件出發(fā)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的辨析，進(jìn)行少量運(yùn)算或推理，

直接選擇出正確結(jié)論的方法.這類題目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念

或性質(zhì)，這需要考生在平時(shí)注意辨析有關(guān)概念，準(zhǔn)確區(qū)分相應(yīng)概念的內(nèi)涵與外延，

同時(shí)在審題時(shí)要多加小心，準(zhǔn)確審題以保證正確選擇.一般說(shuō)來(lái)，這類題目運(yùn)算

量小，側(cè)重判斷，下筆容易，但稍不留意則易誤入命題者設(shè)置的“陷阱”.

例3已知非零向量a=(xi,yi),b=(x2,y2),給出下列條

件，①a=kb(kGR)；②xiX2+yiy2=0；③(。+3與〃(2。一

/?)；@a-b=\a\\h\；⑤

其中能夠使得的個(gè)數(shù)是(

)

A.1B.2C.3D.4

解析顯然①是正確的，這是共線向量的基本定理；②是錯(cuò)誤的，這是兩個(gè)向量

垂直的條件；③是正確的，因?yàn)橛?a+38)〃(2a—b),可得(a+3a)=l(2a—b),當(dāng)

14+31

義工不時(shí)，整理得。~~b,故?！╞,當(dāng)入=5時(shí)也可得到。〃b；④是正確的，

若設(shè)兩個(gè)向量的夾角為0,則由crb=|a〃b|cos0,可知cos0=l,從而9=0,

所以。⑤是正確的，由xW2+x3M〈2xiX2Viy2,可得的丫2—Xzyi/WO,從而xi，2

—x2yi=o,于是?！╞.

探究提高平行向量(共線向量)是一個(gè)非常重要和有用的概念，應(yīng)熟練掌握共線

向量的定義以及判斷方法，同時(shí)要將共線向量與向量中的其他知識(shí)(例如向量的

數(shù)量積、向量的模以及夾角等)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，能夠從不同的角度來(lái)理解共線

向量.

變式訓(xùn)練3關(guān)于平面向量a,b,c,有下列三個(gè)命題：

①若a-b=a-c,貝Ub=c.

②若a=(l,k),b=(—2,6),a//b,則-=—3.

③非零向量。和方滿足間=|例=|a—例，則a與a+b的夾角為

60°.

則假命題為

()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

B

解析?a-b=ac^a-(b—c)=O,a與/?—c可以垂直，而不一定有b=c,故①為

假命題.

②..1X6=-2k.?.攵=一3.故②為真命題.

③由平行四邊形法則知圍成一菱形且一角為60。，。+匕為其對(duì)角線上的向量，a

與a+b夾角為30。，故③為假命題.

題型三數(shù)形結(jié)合法

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)這座高樓大廈的兩塊最重要的基

石，二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系、在方法上互相滲透、在一定

條件下可以互相轉(zhuǎn)化，而數(shù)形結(jié)合法正是在這一學(xué)科特點(diǎn)

的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的.在解答選擇題的過(guò)程中，可以先根

據(jù)題意，做出草圖，然后參照?qǐng)D形的做法、形狀、位置、

性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論.

例4(2009?海南)用min{a,h,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最

小值.設(shè)/U)=min{2x,x+2,10—x}(尤20),則於)的最大

值為

()

A.4B.5C.6D.7

C

思維啟迪

畫(huà)出函數(shù)/(x)的圖象，觀察最高點(diǎn)，求出縱坐標(biāo)即可.本題運(yùn)用圖象來(lái)求值，直

觀、易懂.

解析由題意知函數(shù)/(x)是三個(gè)函數(shù)yi=2。V2=x+2,V3=10-x中的較小者，

作出三個(gè)函數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系之下的圖象(如圖中實(shí)線部分為f(x)的圖象)可知

44,6)為函數(shù)/(x)圖象的最高點(diǎn).

變式訓(xùn)練4（2010.湖北）設(shè)集合A=,，y）與+旨1｛,

8=｛（x，＞）ly=3、｝,則ACB的子集的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

A

x2y2

解析集合A中的元素是橢圓疝+金=1上的點(diǎn)，集合8中的元素是函數(shù)y=3'

的圖象上的點(diǎn).由數(shù)形結(jié)合，可知4a8中有2個(gè)元素，因此AO8的子集的個(gè)

數(shù)為4.

例5函數(shù)/0)=1—|2X一1|,則方程凡辦2'=1的實(shí)根的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

C

思維啟迪

若直接求解方程顯然不可能，考慮到方程可轉(zhuǎn)化為/(刈=停),而函數(shù)y=f(x)和

)/=仔)的圖象又都可以畫(huà)出，故可以利用數(shù)形結(jié)合的方法，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖象

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定相應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)

解析方程儆2*=1可化為f(x)=&,在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出函數(shù)y=/(x)和

y=(1)的圖象，如圖所示.可以發(fā)現(xiàn)其圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此方程/(x)=住)有

兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

探究提高一般地，研究一些非常規(guī)方程的根的個(gè)數(shù)以及根的范圍問(wèn)題，要多考

慮利用數(shù)形結(jié)合法.方程f(x)=O的根就是函數(shù)y=f(x)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)y=/(x)和y=g(x)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).利用數(shù)形結(jié)合

法解決方程根的問(wèn)題的前提是涉及的函數(shù)的圖象是我們熟知的或容易畫(huà)出的，如

果一開(kāi)始給出的方程中涉及的函數(shù)的圖象不容易畫(huà)出，可以先對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)?/p>

變形，使得等號(hào)兩邊的函數(shù)的圖象容易畫(huà)出時(shí)再進(jìn)行求解.

變式訓(xùn)練5函數(shù)y=|log；x|的定義域?yàn)椋踑,b］,值域?yàn)椋?,2］,

則區(qū)間［。，句的長(zhǎng)度與一a的最小值是()

33

A.2B，2C.3D?

D

解析作出函數(shù)y=|log工x|的圖象，如圖所示，由y=0解得x=l；由y=2,解

2

113

得x=4或x=［所以區(qū)間［a,例的長(zhǎng)度b—a的最小值為1一

題型四特例檢驗(yàn)法

特例檢驗(yàn)（也稱特例法或特殊值法）是用特殊值（或特殊圖形、特殊位置）代替題設(shè)普遍條

件，得出特殊結(jié)論，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而做出正確的選擇.常用的特例有特殊數(shù)值、

特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.特例檢驗(yàn)是解答選擇題的最佳方法

之一，適用于解答“對(duì)某一集合的所有元素、某種關(guān)系恒成立”，這樣以全稱判斷

形式出現(xiàn)的題目，其原理是“結(jié)論若在某種特殊情況下不真，則它在一般情況下

也不真”，利用“小題小做”或“小題巧做”的解題策略.

例6已知A、B、C、。是拋物線V=8x上的點(diǎn)，尸是拋物線

—?—?—?-?—>—>—?

的焦點(diǎn)，且陰+~B+EC+/7）=0,RiJ|M|+|FB|+|FC|+

->

尸。的值為

A.2B.4C.8D.16

D

解析取特殊位置，AB,CO為拋物線的通徑，

—?-?―>—?

顯然陰+~B+R7+ED=0,

3363

則|以|+|F8|+|FC|+|FO|=4p=16,故選D.

探究提高本題直接求解較難，利用特殊位置法，則簡(jiǎn)便易行.利用特殊檢驗(yàn)法

的關(guān)鍵是所選特例要符合條件.

變式訓(xùn)練6已知產(chǎn)、。是橢圓3f+5y2=l上滿足/尸。。=90。的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

而1十方述等于（）

834

A.34B.8C云D?萬(wàn)^

B

解析取兩特殊點(diǎn)Pp§,0）、Q（0,當(dāng)即兩個(gè)端點(diǎn)，則表+盍=3+5=8,故選

B.

例7數(shù)列｛〃〃｝成等比數(shù)列的充要條件是（）

A.。〃+1為常數(shù)）B.陷+i=a〃?q〃+2W0

C.為常數(shù)）D.加?尸五T,a-2

B

解析考查特殊數(shù)列0,0,…，0,…，

不是等比數(shù)列，但此數(shù)列顯然適合A,C,D項(xiàng).

故選B.

探究提高判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的基本方法是定義法，也就是看等是

否為常數(shù)，但應(yīng)注意檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是否成立.

變式訓(xùn)練7已知等差數(shù)列｛0,｝的前〃項(xiàng)和為S“若寧

Un

Y—P則您的值為（）

2〃-1On

A.2B.3C.4D.8

解析方法一（特殊值檢驗(yàn)法）

取〃=1,得精,.4|+。24

..---------=7=4

a\1

S2"S]41+42

于是,當(dāng)”=1時(shí),VF=ai=4

方法二（特殊式檢驗(yàn)法）

儂_4"-12?2〃一1

注意到取an—2n—1,

an2n—12?〃一1

l+(4n-l)

2n

S2n_2__d

Sn1+(21-1)

2-n

方法三(直接求解法)

j4〃一］$斯2n

由曰%=2〃一1

口—d2〃.d(2n—\)

即Z=市斤'-2-'

”|+“2"1

千BS__2,"⑶+處"

eSna\+a?a\+a?

~2~n

dd

=2''d~d=4.

/5伽-1)

題型五篩選法

數(shù)學(xué)選擇題的解題本質(zhì)就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的選項(xiàng)，找到符

合題意的正確結(jié)論.篩選法（又叫排除法）就是通過(guò)觀察分析或推理運(yùn)算各項(xiàng)提

供的信息或通過(guò)特例，對(duì)于錯(cuò)誤的選項(xiàng)，逐一剔除，從而獲得正確的結(jié)論.

例8方程加+2光+1=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是（）

A.0<cWlB.a<\

C.D.0<oWl或a<0

解析當(dāng)a=0時(shí)，JC=-I，故排除A、D.

當(dāng)a=l時(shí)，x=—1,排除B.

故選C.

探究提高選擇具有代表性的值對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除是解決本題的關(guān)鍵.對(duì)“至少有

一個(gè)負(fù)根”的充要條件取值進(jìn)行驗(yàn)證要比直接運(yùn)算方便、易行.不但縮短時(shí)間,

同時(shí)提高解題效率.

變式訓(xùn)練8已知函數(shù)段)=棧2+(〃?-3)x+l的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在

原點(diǎn)右側(cè)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,1]

C.(—8,1)D.(—8,1]

解析令陽(yáng)=0,由於)=0得x=g適合,排除A、B.

令m=l,由f(x)=0得：x=l適合，排除C.

題型六估算法

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無(wú)需過(guò)

程.因此，有些題目，不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，只需對(duì)其數(shù)值

特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，便能作出正確的判斷，

這就是估算法.估算法往往可以減少運(yùn)算量，但是加強(qiáng)了

思維的層次.

產(chǎn)0

例9若A為不等式組《y20表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從一2連續(xù)變化到1

時(shí)，動(dòng)直線x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為

()

37

A.^B.1C.4D.2

解析如圖知區(qū)域的面積是△OAB去掉一個(gè)小直角三角形.陰影部分面積比1

1

大，比5八0A8=5義2X2=2小，故選C項(xiàng).

y-x=2

B

探究提高“估算法”的關(guān)鍵是應(yīng)該確定結(jié)果所在的大致范圍，否則“估算”就

沒(méi)有意義.本題的關(guān)鍵在所求值應(yīng)該比△408的面積小且大于其面積的一半.

變式訓(xùn)練9已知過(guò)球面上A、8、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半,

且AB=BC=C4=2,則球面面積是（）

16864

A.5nB.鏟C.4nD百f

解析???球的半徑R不小于△八8c的外接圓半徑「=￥，則S球=4nR22411r2

16

yn>5n,故選D.

規(guī)律方法總結(jié)

1.解選擇題的基本方法有直接法、排除法、特例法、驗(yàn)證法和數(shù)形結(jié)合法.但

大部分選擇題的解法是直接法，在解選擇題時(shí)要根據(jù)題干和選擇支兩方面的特點(diǎn)

靈活運(yùn)用上述一種或幾種方法“巧解”，在“小題小做”、“小題巧做”上做文

章，切忌盲目地采用直接法.

2.由于選擇題供選答案多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強(qiáng)，稍不留心就會(huì)誤

入“陷阱”，應(yīng)該從正反兩個(gè)方向肯定、否定、篩選、驗(yàn)證，既謹(jǐn)慎選擇，又大

膽跳躍.

3.作為平時(shí)訓(xùn)練,解完一道題后，還應(yīng)考慮一下能不能用其他方法進(jìn)行“巧算”，

并注意及時(shí)總結(jié)，這樣才能有效地提高解選擇題的能力.

三、知能提升演練

1.已知集合人={1,3,5,7,9},8={0,3,6,9,12},則AA([NB)等于

A.{1,5,7}B.{3,5,7}

C.{1,3,9}D.{1,2,3)

解析由于3G[NB,所以3GAe(]NB).?.排除B、C、D,故選A.

2.已知向量a,〃不共線，c=ka+b(kGR),d=a—0.如果c〃d,那么

()

A.Z=1且c與4同向B.左=1且c與△反向

C.k=-1且c與d同向D.k=—1且c與d反向

解析當(dāng)k=l時(shí)，c=a+b,不存在實(shí)數(shù)人使得。=Ab.所以c與d不共線，與

c〃d矛盾.排除A、B；當(dāng)k=-1時(shí)，c=—a+b=—(a—b)=—d,所以c〃d,

且c與d反向.故應(yīng)選D.

3.已知函數(shù))=1211cox在(一］,寸內(nèi)是減函數(shù)，則()

A.0<coWlB.-Kco<0

C.D.CJW—1

B

解析可用排除法，???當(dāng)3>0時(shí)正切函數(shù)在其定義域內(nèi)各長(zhǎng)度為一個(gè)周期的連

續(xù)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，.?.排除A、C,又當(dāng)|3|>1時(shí)正切函數(shù)的最小正周期長(zhǎng)度小

于71,.,.y=tan3X在(一與￡內(nèi)不連續(xù)，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)不是減函數(shù)，這樣排除D,

故選B.

4.已知函數(shù)/OOuZzm2—2(4—〃z)x+1,g{x)=mx,若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x,人》)與g(x)

的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.0)

解析當(dāng)〃?=1時(shí)，?r)=2/—6x+l,g(x)=x,由/(x)與g(x)的圖象知，〃?=1滿

足題設(shè)條件，故排除C、D.當(dāng)〃尸2時(shí)，段)=4/心+1,

g(x)=2x,由其圖象知，止2滿足題設(shè)條件，故排除A.因此，選項(xiàng)B正確.

玲玲玲

5.已知向量08=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=

玲玲

N2coscnWsina),則向量0A與向量。8的夾角的

取值范圍是

)

八兀5兀兀

A.[0,7B.［五，引

n5nn5n

c.￥逅]D.電，記］

解析.'.4的軌跡是。C,半徑為

由圖可知4。8號(hào)設(shè)向量。人與向量。8的夾角為⑦則卜已。制+去故選

D.

y

6.設(shè)函數(shù)y=y（x）在（一8,十8）內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)

優(yōu)X）,"）WK,

K,定義函數(shù)於（x）=r”“取函數(shù)?r）=2M,

IK,?r）＞K.

當(dāng)K=￡時(shí)，函數(shù)加x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.(一8,0)B.(0,+°°)

C.(-8,-1)D.(1,+°°)

解析函數(shù)f(x)=2-岡=由岡，作圖f(x)WK=2=xd(—8,—i]u[1,+8),故在(一

8,—1）上是單調(diào)遞增的，選C項(xiàng).

7.設(shè)x,yGR,用2y是1+x和l—x的等比中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)(x,y)的軌跡為除去

龍軸上點(diǎn)的()

A.一條直線B.一個(gè)圓

C.雙曲線的一支D.一個(gè)橢圓

解析(2y)2=(l—x)(l+xXyWO)得x2+4y2=l(y^0).

8.設(shè)A、8是非空數(shù)集，定義A*3={x|xeAUB且xGAnB},已知集合4={升丫

=2x-x2},B={y\y=2x,x〉0},則等于

()

A.[0,1]U(2,+°°)B.[0,1)U(2,+o°)

C.(—8,1]D.[0,2]

解析A=R,B=(l,+°°),故4*8=(—8,1],故選C.

Y~9

9.(2010?福建)若點(diǎn)O和點(diǎn)廠(一2,0)分別為雙曲線宗一產(chǎn)=1(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，

-->--)

點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則OPFP的取值范圍為()

A.[3—2^3,+°°)B.[3+,+°0)

C.[一(,+°°)D.+°°)

9

...雙曲線方程為，-y2=[.設(shè)夕我，門(mén)(*2仍)，

—>—>

OPFP=(x,y)G+2,y)

4/—

=x2+2x+y2：=x24-2x+y-1=2x1+2x—l(x^\3).

令g(X)=*^+2*一1,則g(x)在h/5,+8)上單調(diào)遞增.g(x)min=g(，5)=3+

o

—>—?

2小.??.02布取值范圍為[3+2/，+8).

10.已知等差數(shù)列｛?！ǎ凉M足。1+02+…+aioi=O,則有()

A.ai+moi>OB.s+mo2Vo

C.(73+099=0D.第1=51

解析取滿足題意的特殊數(shù)列4=0,則6+。99=0,故選C.

11.在等差數(shù)列｛?！ǎ?，若。2+。4+。6+。8+。10=80,則。7—58的值為

A.4B.6C.8D.10

解析令等差數(shù)列｛a｝為常數(shù)列a,,=16.顯然田—3戊=16—8=8.故選C.

12.若H。，則下列不等式：①。十力＜";②間＞|例；

③。。盛十齊2中，正確的不等式是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

解析取a=—1,b=—2,則②、③不正確，所以A、B、D錯(cuò)誤，故選C.

13.（2010?全國(guó)）如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為外（啦,

一啦），角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為

解析觀察并聯(lián)想P運(yùn)動(dòng)軌跡與d的關(guān)系，

當(dāng)r=0時(shí)，d=y[2,排除A、D；當(dāng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)d遞減，排除B.

C

2

14.若函數(shù)兀0=泮f—。+4”的最小值等于3,則實(shí)數(shù)。的值等于

33、

A.aB.1C.彳或1D.不存在這樣的a

解析方法一直接對(duì)照法

X2

令工?[=/，則/目0』)?

若a21,則於)=|f—a|+4a=5a—f不存在最小值;

3

若OWa<l,則兀r)=|f-a|+4a,當(dāng)f=a時(shí)取得最小值4a,于是4a=3,得4=^

符合題意；

若a<0,yU)=|r—a|+4a=-3。，當(dāng)t=0時(shí)取得最小值3a,于是3a=3,得a=

1不符合題意.

3

綜上可知，a=1

方法二試驗(yàn)法

X2

若a=l,則f(x)=R]—1+4>4,顯然函數(shù)的最小值不是3,故排除選項(xiàng)B、

3x23x23

C;若。=不f(x)=兩石一%+3,這時(shí)只要令兩行一這=0,即X=±A/3,函數(shù)

可取得最小值3,因此A項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.

A

e

_,m-34—2mn

15.已知sin8=]+5,cos(]<6<兀),2

()

m-3，〃—31

A.------B.|------1C.大

9~m9~in5

D.5

D

解析由于受條件sin20+cos2e=l的制約，故m為一確定的值，于是sin0,cos

-d的值應(yīng)與m的值無(wú)關(guān)，進(jìn)而tan?的值與m無(wú)關(guān)，又/〈慶兀,去呆

故選D項(xiàng).

16.已知函數(shù)y=/(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)圖象

可能是()

解析從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在xo處斜率相同，可以排除B項(xiàng)，再者導(dǎo)

函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)增加的快慢，可明顯看出y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù),

所以原函數(shù)應(yīng)該增加的越來(lái)越慢，排除A、C兩項(xiàng)，最后只有D項(xiàng)，可以驗(yàn)證y

=g(x)導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)，增加越來(lái)越快.

第2講填空題的解題方法與技巧

一、題型特點(diǎn)概述

填空題是高考試卷中的三大題型之一，和選擇題一樣，屬于客觀性試題.它只要

求寫(xiě)出結(jié)果而不需要寫(xiě)出解答過(guò)程.在整個(gè)高考試卷中，填空題的難度一般為中

等.不同省份的試卷所占分值的比重有所不同.

1.填空題的類型

填空題主要考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，具

有小巧靈活、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、概念性強(qiáng)、運(yùn)算量不大、不需要寫(xiě)出求解過(guò)程而只需要

寫(xiě)出結(jié)論等特點(diǎn).從填寫(xiě)內(nèi)容看，主要有兩類：一類是定量填寫(xiě)，一類是定性填

寫(xiě).

2.填空題的特征

填空題不要求寫(xiě)出計(jì)算或推理過(guò)程，只需要將結(jié)論直接寫(xiě)出的“求解題”.填空

題與選擇題也有質(zhì)的區(qū)別：第一，表現(xiàn)為填空題沒(méi)有備選項(xiàng)，因此，解答時(shí)有不

受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個(gè)

正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容（既可以是條件，也可以是結(jié)論），

留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方法比較靈活.

從歷年高考成績(jī)看，填空題得分率一直不很高，因?yàn)樘羁疹}的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)

確、形式規(guī)范、表達(dá)式最簡(jiǎn)，稍有毛病，便是零分.因此，解填空題要求在“快

速、準(zhǔn)確”上下功夫，由于填空題不需要寫(xiě)出具體的推理、計(jì)算過(guò)程，因此要想

“快速”解答填空題，則千萬(wàn)不可“小題大做”，而要達(dá)到“準(zhǔn)確”，則必須合

理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，在“巧”字上下功?

3.解填空題的基本原則

解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是“巧做”.解填空題的

常用方法有：直接法、數(shù)形結(jié)合法、特殊化法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、合情推理

法等.

二、解題方法例析

題型一直接法

直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，

通過(guò)變形、推理、計(jì)算等，得出正確結(jié)論，使用此法時(shí)，要善于透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，

自覺(jué)地、有意識(shí)地采用靈活、簡(jiǎn)捷的解法.

例1在等差數(shù)列｛&,｝中，m=-3,11.5=508—13,則數(shù)列｛z｝的前〃項(xiàng)和S”的最

小值為.

思維啟迪

計(jì)算出基本量d,找到轉(zhuǎn)折項(xiàng)即可.

解析設(shè)公差為乩則11（—3+4①=5（一3+7①一13,

數(shù)列｛如｝為遞增數(shù)列.

令a,W0,—3+（〃—

v?eN*.

29

，前6項(xiàng)均為負(fù)值，，S"的最小值為S6=一4.

29

答案—T

探究提高本題運(yùn)用直接法，直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷出數(shù)列的項(xiàng)的符

號(hào)，進(jìn)而確定前幾項(xiàng)的和最小，最后利用等差數(shù)列的求和公式求得最小值.

變式訓(xùn)練1設(shè)S”是等差數(shù)列｛m｝的前n項(xiàng)和，已知“2=3,伽=11,則S7=

49

75|+47)

解析方法一Si=

2

7(02+?6)7X(3+11)

=-—2-=49.

故填49.

。2=。1+d=3,=1,

方法二由可得，

a6=a\+5d=11cl=2.

?=1+6X2=13.

…7(ai+m)7X(1+13).

?.37=2=2=49.

故填49.

題型二特殊值法

特殊值法在考試中應(yīng)用起來(lái)比較方便，它的實(shí)施過(guò)程是從特殊到一般，優(yōu)點(diǎn)

是簡(jiǎn)便易行.當(dāng)暗示答案是一個(gè)“定值”時(shí)，就可以取一個(gè)特殊數(shù)值、特殊位置、

特殊圖形、特殊關(guān)系、特殊數(shù)列或特殊函數(shù)值來(lái)將字母具體化，把一般形式變?yōu)?/p>

特殊形式.當(dāng)題目的條件是從一般性的角度給出時(shí)，特例法尤其有效.

例2已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿足

(sinA-sinC)(a+c).,.?

--------g--------=sinA—sinB,則C=.

思維啟迪題目中給出了△48C的邊和角滿足的一個(gè)關(guān)系式，由此關(guān)系式來(lái)確定

角C的大小，因此可考慮一些特殊的三角形是否滿足關(guān)系式，如：等邊三角形、

直角三角形等，若滿足，則可求出此時(shí)角C的大小.

e一?-一A--(sinA-sinC)(a+c)

解析容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)AABC是一個(gè)等邊二角形時(shí)，滿足--------馬---------=sinA

一sinB,而此時(shí)C=60。，故角。的大小為60。.

答案60°

探究提高特殊值法的理論依據(jù)是：若對(duì)所有值都成立，那么對(duì)特殊值也成立，

我們就可以利用填空題不需要過(guò)程只需要結(jié)果這一“弱點(diǎn)”，“以偏概全”來(lái)求

值.在解決一些與三角形、四邊形等平面圖形有關(guān)的填空題時(shí)，可根據(jù)題意，選

擇其中的特殊圖形(如正三角形、正方形)等解決問(wèn)題.此題還可用直接法求解如

下：

(sinA-sinC)(a+c)..

由--------石--------=sin/1—sinB可得

222

=a—bf整理得，a—c=ab—b,即M+b2—。2=岫.由余弦定理,

a2+b2-c21

付c°sc=一獲一=5,所以C=60°.

變式訓(xùn)練2在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,如果a、b、c

cosA+cosC

成等差數(shù)列，則

1+cosAcosC

4

5

,4cosA+cosC

斛析萬(wàn)法一取特殊值a=3,b=4,c=5,則cosA=5，cos

=4

=5'

n1cosA+cosC4

方法二取特殊角人=8=C=§,cosA=cosC=5,1+cos^cosC=5.

A

C

--?

例3如圖所示，在△ABC中力。是邊上的中線，K為A。上一點(diǎn)，且。4=

—>—>-->—>

2AK,過(guò)點(diǎn)K的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N,若AC

―>

=nAN,則m+n=.

思維啟迪

題目中過(guò)點(diǎn)｛的直線是任意的，因此力和〃的值是變化的，但從題意看加+〃的

值是一個(gè)定值，故可取一條特殊的直線進(jìn)行求解.

-->--?

解析當(dāng)過(guò)點(diǎn)K的直線與平行時(shí),MN就是△ABC的一條中位線（?.?0A=2AK,

—>—>—>—>

，K是A0的中點(diǎn)）.這時(shí)由于有A3=〃zAM,AC=nAN,因此機(jī)=〃=2,故加+〃

=4.

答案4

探究提高本題在解答中，充分考慮了“直線雖然任意，但加+〃的值卻是定值”

這一信息，通過(guò)取直線的一個(gè)特殊位置得到了問(wèn)題的解，顯得非常簡(jiǎn)單，在求解這

類填空題時(shí)，就栗善于捕捉這樣的有效信息，幫助我們解決問(wèn)題.

-->--?-->

變式訓(xùn)練3設(shè)。是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且。A+OC=-2O8,則AAOB與△AOC

的面積之比為.

—A—?—?

解析采用特殊位置，可令△ABC為正三角形，則根據(jù)。4+0。=-2。8可知，

。是aABC的中心，則04=08=。。，所以△AOB烏△AOC,

即△AOB與△40C的面積之比為1.

題型三圖象分析法(數(shù)形結(jié)合法)

依據(jù)特殊數(shù)量關(guān)系所對(duì)應(yīng)的圖形位置、特征，利用圖形直觀性求解的填空題，

稱為圖象分析型填空題，這類問(wèn)題的幾何意義一般較為明顯.由于填空題不要求

寫(xiě)出解答過(guò)程，因而有些問(wèn)題可以借助于圖形，然后參照?qǐng)D形的形狀、位置、性

質(zhì)，綜合圖象的特征，進(jìn)行直觀地分析，加上簡(jiǎn)單的運(yùn)算，一般就可以得出正確

的答案.事實(shí)上許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)與形的結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合法解題既

淺顯易懂，又能節(jié)省時(shí)間.利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題能很好地考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌

握程度及靈活處理問(wèn)題的能力，此類問(wèn)題為近年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容

例4已知方程C?—2x+m)(/-2%+〃)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為；的等差數(shù)列,

則依一〃|的值等于.

思維啟迪

1

2

考慮到原方程的四個(gè)根，其實(shí)是拋物線y=x2—2x+m與y=x2—2x+n和x軸四

個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以可以利用圖象進(jìn)行求解.

解析如圖所示，易知拋物線2x+加與y=f—2x+〃有相同的對(duì)稱軸x

=1,它們與x軸的四個(gè)交點(diǎn)依次為A、B、C、D.

17

因?yàn)?=不則切=丁

35

又|AB|=|BC|=|C。，所以XB=1,xc=7

探究提高本題是數(shù)列問(wèn)題，但由于和方程的根有關(guān)系，故可借助數(shù)形結(jié)合的方

法進(jìn)行求解，因此在解題時(shí)，我們要認(rèn)真分析題目特點(diǎn)，充分挖掘其中的有用信

息，尋求最簡(jiǎn)捷的解法.

變式訓(xùn)練4已知定義在R上的奇函數(shù)./U)滿足.*x—4)=—兀0且在區(qū)間。2］上是

增函數(shù)，若方程於)=加伽>0),在區(qū)間［—8,8］上有四個(gè)不同的根XI,X2,X3,X4,

則XI+%2+用+犬4=.

-8

解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足f(x—4)=—f(x),所以f(4—x)=f(x).因此，

函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱且f(0)=0,由f(x—4)=-/(x)知f(x—8)=f(x),所以

函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù).又因?yàn)閒(x)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，所以f(x)在

區(qū)間［—2,0］上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程/3="(01>0)在區(qū)間［—8,8］上有

四個(gè)不同的根Xl,X2,X3,X4,不妨設(shè)X1<X2<X3<X4.由對(duì)稱性知Xl+X2=-12,X3+

X4=4,所以Xl+xz+x3+x4=—12+4=-8.

例5函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，其定義域?yàn)椋?4,4］,那么不等式霍W0的解

了(x)、0,

解析瞿W06.nx>0,M

Si.sinx<0,在給出的坐標(biāo)系中，再作出尸加x

在

［-4,4］上的圖象，如圖所示，觀察圖象即可得到所求的解集為［-4,-n)U(-n,

R

0)U［-,R).

探究提高與函數(shù)有關(guān)的填空題，依據(jù)題目條件，靈活地應(yīng)用函數(shù)圖象解答問(wèn)題,

往往可使抽象復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題變得形象直觀，使問(wèn)題快速獲解.

71

變式訓(xùn)練5不等式(|x|-2)-sinx<0,xG[-n,2n1的解集

為.

jrJr

(-7l,-)U(O,-)U(7l,27l)

兀

解析在同一坐標(biāo)系中分別作出y=|x|-2與丫=5吊*的圖象:

根據(jù)圖象可得不等式的解集為：

TT7T

(-71,-)IJ(0,-)U(71,27C)

題型四等價(jià)轉(zhuǎn)化法

將所給的命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使之成為一種容易理解的語(yǔ)言或容易求解的模

式.通過(guò)轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化陌生為熟悉，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成便于解決的

問(wèn)題，從而得出正確的結(jié)果.

x2—4x+6x>0

例6設(shè)函數(shù)/）=.一，八，若互不相等的實(shí)數(shù)XI,X2,X3滿足於1）

、3x+4,x<0

=7（X2）=?心），則尤1+九2+用的取值范圍是.

思維啟迪

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=m與y=f（x）有三個(gè)不同的交點(diǎn)，再研究三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

的取值范圍.

解析本題可轉(zhuǎn)化為直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn),y=x2—4x+6在[0,

+8）的最小值為/（2）=2,故2<m<4,易知xi,X2,X3中必有一負(fù)二正，不妨設(shè)刈，

2

X2>0,由于y=x2—4x+6的對(duì)稱軸為x=2,則x[+x2=4,令3x+4=2,得x=—§,

則一§<X3<0,故一§+4<XI+X2+X3<0+4,即X1+X2+X3的取值范圍是（石，4）.

z-10

答案（了，4）

探究提高等價(jià)轉(zhuǎn)化法的關(guān)鍵是要明確轉(zhuǎn)化的方向或者說(shuō)轉(zhuǎn)化的目標(biāo).本題轉(zhuǎn)化

的關(guān)鍵就是將研究為+及+用的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了直線y=m與曲線y=/x）

有三個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，將數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了形的問(wèn)題，從而利用圖形的性質(zhì)解決.

變式訓(xùn)練6已知關(guān)于x的不等式的解集是（一8,—1）U（一看+8）,則

XI1乙

a的值為.

題型五構(gòu)造法

構(gòu)造型填空題的求解，需要利