高中數(shù)學(xué)立體幾何講義講練試題試卷

立體幾何

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

掌握和應(yīng)用立體幾何及性質(zhì)

【重點(diǎn)】

立體幾何及性質(zhì)

【難點(diǎn)】立體幾何

應(yīng)用立體幾何及性質(zhì)

一、高考回放

3.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是

俯視圖

A./B.卜3C.泊D,與+3

9.如圖，已知正四面體。-力回（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），PQR分別為AB,BC,以上的

點(diǎn)，AP=PB,型=必=2,分別記二面角。-依-。，D-PQ-R,的平面較為a,

QCRA

B,Y,貝”

A.K<a</3B.a<y<￡C.a</3<yD.￡<y<a

19.(本題滿(mǎn)分15分)如圖，已知四棱錐P-力成步，/外。是以力。為斜邊的等腰直角三角

形，BC//AD,CD1AD,POAD=2DO2CB,E為PD的中點(diǎn).

(I)證明：6T〃平面PAB-.

(II)求直線(xiàn)如與平面自仇?所成角的正弦值.

作業(yè)：

4.如圖，在圓柱a。？?jī)?nèi)有一個(gè)球o,該球與圓柱的上、下底面及母線(xiàn)均相切。記圓柱a。?

V

的體積為Vi,球0的體積為V2,則—的值是

匕

13.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB±AD,BC±BD,平面ABD_L_平面BCD,點(diǎn)E、F(E與A、D

不重合)分別在棱AD,BD±,且EF_LAD.

求證：(1)EF〃平面ABC;

(2)AD±AC.

第二課時(shí):

19.如圖，在平行六面體ABCD-ABCD中，AA」平面ABCD,且AB=AD=2,AAFA/3,ZBAD=120

(1)求異面直線(xiàn)AB與AC,所成角的余弦值;

(2)求二面角B-AQ-A的正弦值。

1.如圖，正方體中，E為棱的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A、E、C,的平面截去

該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正視圖(也稱(chēng)主視圖)是()

2.已知"2,“是不同的直線(xiàn)，名尸是不重合的平面，給出下列命題:

①若則m與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行②若。帆〃2<=6〃<=尸,則聞〃

③若nz_La,〃_L尸,司〃則同萬(wàn)④若a忸,mua,則同忸

上面命題中，真命題的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②④D.①③④

4.一幾何體的三視圖如圖所示，若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為1,

則該幾何體外接球的表面積為。

A.4兀B.3"C.2"D.7T

5.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D,則四面

體ABCD的外接球的體積為()

,125-125資nD.受n

A.---nB.---nC.

12963

6.一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾

何體的體積為)

0E

iE<DWIM

si

MKIU

A.120cm3B.100cm3C.80cm3D.60cm3

【課后作業(yè)】

7.一光源P在桌面A的正上方，半徑為2的球與桌面相切，且Q4與球相切，小球在光源

P的中心投影下在桌面產(chǎn)生的投影為一橢圓，如圖所示，形成一個(gè)空間幾何體，且正視圖

是RMAB,其中PA=6,則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

8.若正AA8C的邊長(zhǎng)為a,則△ABC的平面直觀圖AAB'C'的面積為=.

9.如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,M,N分別為AB,AC的中點(diǎn)，沿MN將△AMN折起，

使點(diǎn)A到A'的位置.若平面A'MN與平面MNCB垂直，則四棱錐A'MNCB的體積為

BD

10.如圖，在以A,B,C,￡>,E為頂點(diǎn)的五面體中，。為AB的中點(diǎn)，

AD_L平面ABC,AD//BE,AC±CB,AC=2-^2,AB=23E=4AZ)=4.

(1)在圖中過(guò)點(diǎn)0作平面a,使得a〃平面CDE,并說(shuō)明理由；

(2)求直線(xiàn)與平面C8E所成角的正切值.

11.如圖，平面ABEFJ■平面ABC,四邊形ABEF為矩形，AC=BC.O為43的中點(diǎn)，°FJ_EC.

(1)求證：OEIFC.

AC_J3

(2)若AB2時(shí)，求二面角F-CE-B的余弦值.

12.如圖，在四棱錐夕一力成?〃中，PCL底面ABCD,底面力成》是直角梯形，ABrAD,AB//CD,

AA2Ag2CD=2,￡是08的中點(diǎn).

⑵若二面角夕一4;一￡的余弦值為3,求直線(xiàn)21與平面E4C所成角的正弦值.

參考答案

1.A

【解析】取。口中點(diǎn)F,連接A￡G尸.平面A/G￡為截面。如下圖:

2.D

【解析】選項(xiàng)①，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得，若則過(guò)m任作平面與平面a相交所產(chǎn)生的

交線(xiàn)都和加平行，故有無(wú)數(shù)條，正確；選項(xiàng)②，若amua,九u/?,則m,n可能平行，可能

異面，錯(cuò)誤；選項(xiàng)③,平行線(xiàn)中的兩條分別垂直于平面，則這兩個(gè)平面平行，正確；選項(xiàng)④,平行

平面內(nèi)的直線(xiàn)必平行于另一個(gè)平面，故。帆相（=。,則同尸，正確；綜上可知選D.

3.B

ENANAM

【解析】如下圖，連接BN交AD于點(diǎn)E,連——=——=^—=MN/IA\E,所以

1EBAC\B"

MN與平面BBC。平行，選B.

4.B

【解析】

由已知三視圖，作出直觀圖如上圖所示，四棱錐A-BCDE,AEJ?底面BCDE,底面BCDE為邊長(zhǎng)

為1的正方形，AE=1,可將此四棱錐補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，則此正方體的外接球?yàn)樵?/p>

四棱錐的外接球，直徑為AC,且不不，半徑，=走，所以該幾何體的

2

外接球的表面積為S=4%/=4%x=3萬(wàn)，選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查由已知三視圖求該幾何體的表面積，屬于中檔題，解答本題的關(guān)鍵是根

據(jù)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量求得相應(yīng)幾何量的數(shù)據(jù)。

5.C

【解析】由題意知，四面體的外接球的球心到4個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對(duì)角線(xiàn)AC

上，且為AC的中點(diǎn)，而AC=JAB2+BC2=5,所以外接球的半徑〃=_LAC=9,故

22

4R4、選C.

外接球的體積V=—?/=-ax

336

6.B

［解析］0________

由上圖可得所求體彳只r為5X6X4-!X'X5X6X4=100,故選B.

32

7.8

【解析】正視圖為RtAPAB內(nèi)切一個(gè)圓，且r=2,PA=6,AB=2+x,PB=4+x,根據(jù)勾股定理解得

x=6,即PA=6,AB=8,PB=10,所以長(zhǎng)軸為8.填8.

【點(diǎn)睛】

對(duì)于直角三角形的內(nèi)切圓有如下性質(zhì)，如圖AD=AE,BD=BF,CE=CF.即同一點(diǎn)引出的切線(xiàn)長(zhǎng)相

等。

D

8m

16

【解析】正AABC的邊長(zhǎng)為a,它的面積為"a；

4

且原圖和直觀圖之間的面積關(guān)系為。料里=也，

S原圖4

所以直觀圖AA'B'C'的面積為@a?xY^=逅片

4416

9.3

【解析】?；平面A'MN與平面MNCB垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知A'E就是四棱

2+4

錐A'MNCB的高，A'E=&又四棱錐的底面面積是2x4=34,

1

V=3X3X4=3.

點(diǎn)睛：處理翻折問(wèn)題關(guān)注那些量變了，那些量沒(méi)有變，特別是那些沒(méi)有變，在本題中，力￡與

網(wǎng)始終保持垂直，利用面面垂直性質(zhì)，可知A'E就是四棱錐A'MNCB的高，從而易得四棱

錐的體積.處理多面體體積問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為三棱錐體積，而三棱錐哪個(gè)面都可以作為底面，

處理體積非常靈活.

10.(1)見(jiàn)解析；(2)士包

3

(解析】試題分析：(1)在BE上取點(diǎn)F,使得BF=LBE,在BC上取點(diǎn)H,使8〃=』6C,

44

平面0FH即為所求的平面a取BE的中點(diǎn)G,連接AG,再證明a〃平面CDE即可；(2)先

證明NAGC是AG與平面CBE所成的角，根據(jù)AG與平面CBE所成的角等于OE與平面

CBE所成的角，利用直角三角形性質(zhì)可得結(jié)果.

試題解析：(1)如圖，在BE上取點(diǎn)F,使得BF=LBE,在BC上取點(diǎn)H,使

44

連接OF,FH,0H,則平面0FH即為所求的平面a.

理由如下：

取BE的中點(diǎn)G,連接AG,

\BE=2AD,G為BE中點(diǎn),:.AD=EG

vAD//BEAAD//EG,AGED是平行四邊形，

.DE//AG

△ABG中，尸是BG中點(diǎn)，。是AB中點(diǎn)，

所以O(shè)尸是中位線(xiàn)，二OF〃/G；,OF//DE,

OFU平面CDE,DEu平面CDE,

；.OF〃平面CDE.

又A5CE中，BF^-BE,BH=-BC,

44

:.FH//CE,FHa平面CDE,CEu平面CDE,

:.FH//平面CDE,

叉OFcFH=F,OFu平面OFH,FHu平面OFH,

:.平面OFH//平面CDE,即a〃平面CDE.

(2)連接CG,因?yàn)锳D,平面ABC,

大?：AD〃BR,所以BE,平面ABC,:.BE±AC

又ACLCB..AC，平面E8C

ZAGC是AG與平面CBE所成的角，

?:DE//AG,

AG與平面CBE所成的角等于OE與平面CBE所成的角

在用AABC中，AB=4,AC=2V2,;.BC=2丘

在Rt^BCG中，CG=>JBC2+BG2=3

.?.在RrAACG中，tanZAGC=—=-^-

CG3

即直線(xiàn)DE與平面CBE所成角的正切值為二一

3

1

11.(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；(2)3.

【解析】試題分析：(1)連結(jié)。C,則0C1AB,從而得到0C10F,進(jìn)而得到OF1OE,由此

能證明由⑴得不妨設(shè)取的中點(diǎn)為。，建立坐

OE'FC；(2)AB=2AF.AF=1,AB=2,EF

標(biāo)系，求出平面FCE的法向量、平面CEB的法向量，利用向量的夾角公式，利用向量法即可.

試題解析：(1)證明：連結(jié)℃,因AC=BC,0是AB的中點(diǎn)，故OC1AB.

又因平面ABC1平面ABEF,故。C1平面ABEF,

于是OC1OF.又OFLEC,所以0F1平面OEC,

所以O(shè)F1OE,又因OC1OE,故0E1平面OFC,

所以0E1FC

(2)由(1),得AB=2AF,不妨設(shè)AF=1,則AB=2,取EF的中點(diǎn)D,以。為原點(diǎn)，。CQBQD所

在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

x，y，zF(0,-1,1)，E(0,l,l),，B(0,l,0)，C(v'2,0,0)

從而握=(-業(yè),1,1),1=(0,-2,0)

設(shè)平面FCE的法向量n=(x,y,z),由EF?n=O,得n=(1,0,而)，

-?-?

n?m1

T(--cos0=———=-

同理可求得平面CEB的法向量m=(l42,0),設(shè)n,m的夾角為亂則|n||m|3,

1

由于二面角F-CE-B為鈍二面角，則余弦值為3.

點(diǎn)睛：本題考查異面直線(xiàn)垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查向量方法的運(yùn)用，

解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)；由于“線(xiàn)線(xiàn)垂直”“線(xiàn)面垂直”“面面垂直”

之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過(guò)程圍繞著線(xiàn)面垂直這個(gè)核心而展開(kāi)，這是化解空間垂直

關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用之求異面直線(xiàn)所成的角，即平面的方向

向量所成的角與異面直線(xiàn)所成的角相等或互補(bǔ)，主要通過(guò)觀察來(lái)確定.

12.(1)見(jiàn)解析(2)3

【解析】

(1)VPCI.平面ABCD,4ct平面ABCD,：.AC1.PC."：AA2,AgCD=1,：.AC