高中數(shù)學(xué)概統(tǒng)考試

三年高考(2014-2016)數(shù)學(xué)(理)試題分項版解析

第十二章概率與統(tǒng)計

一、選擇題

1.【2016高考新課標1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間

到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是

()

1123

(A)§(B)-(C)§(D)Z

【答案】B

■【解析】■

試題分析：如圖所示,畫出時間軸：

7:307:407:508:008:108:208:30

1'ACDB

d詡到達的時間會隨機的落在圖中線段加中，而當(dāng)他的到達0寸間落在線段/C或D8時,才能保證他等車的

時間不超過10分鐘根據(jù)幾何被型，所求概率P?山坐■g.故選B.

■40■2

考點：兒何概型

【名師點睛】這是全國卷首次考查幾何概型，求解幾何概型問題的關(guān)鍵是確定"測度"，常見的

測度有：長度、面積、體積等.

2.[2014高考廣東卷.理.6]已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所

示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，

則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()

4.200,20B.100,20C.200,10

D.100,10

【答案】A

【解析】由題意知，樣本容儲為（3500+4500+2000）x2%=200,其中高中生人數(shù)為

2000x2%=40,

高中生的近視人數(shù)為40*50%=20,故選4

【考點定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計圖，屬于中等題.

【名師點晴】木題主要考查的是分層抽樣和統(tǒng)計圖，屬于中等題.解題時要抓住關(guān)鍵字眼''樣

本容量”，否則很容易出現(xiàn)錯誤.解本題需要掌握的知識點是分層抽樣，即

樣本容量

抽取比例

總體容量

3.12016高考新課標3理數(shù)】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中

月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中/點表示十月的平均最高氣溫約為15。（2,

8點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是（）

---平均?低，-----平均

（A）各月的平均最低氣溫都在（TC以上（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大

（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同（D）平均氣溫高于2（TC的月份有5個

【答案】D

【解析】

試題分析：由圖可知均在虛線框內(nèi)，所以各月的平均最低氣溫都在。七以上，A正確；由圖可在七月的

平均溫差大于7.5。。，而一月的平均溫差小于7.5?！?,所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；

由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在5久7,基本相同，C正確：由圖可知平均最高氣溫高于20七

的月份有3個或2個，所以不正確.故選D.

考點：1、平均數(shù)；2、統(tǒng)計圖.

【易錯警示】解答本題時易錯可能有兩種：（1）對圖形中的線條認識不明確，不知所措，只

覺得是兩把雨傘市:餐在一起，找不到解決問題的方法；（2）估計平均溫差時易出現(xiàn)錯誤，錯

選B.

4.【2015高考廣東，理4】袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5

個紅球。從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（）

,11105

A.1B.—C.—D.—

212121

【答案】B.

【解析】從袋中任取2個球共有=105種，其中恰好1個白球1個紅球共有C；oC=5。種,

所以從袋中任取的2個球恰好1個白球1個紅球的概率為%=3,故選5.

10521

【考點定位】排列組合，古典概率.

【名師點睛】本題主要考查排列組合，古典概率的計算和轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用、運算求解能

力，解答此題關(guān)鍵在于理解所取2球恰好1個白球1個紅球即是分步在白球和紅球各取1個球

的組合，屬于容易題.

5.[2014湖南2】時一個容量為N的總體抽取容量為〃的樣本，當(dāng)選取簡單隨機抽樣、

系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為

0，。2，。3,則（）

c

A.pi=p2<p3B,22=<P\-Pi=Pi<PiD.

P\=Pl=03

【答案】D

【解析】根據(jù)抽樣調(diào)查的原理可得簡單隨機抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個個體被

抽到的概率相等,即Pl=P2=外，故選D.

【考點定位】抽樣調(diào)查

【名師點睛】本題主要考查了簡單隨機抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)抽

樣的原理進行具體分析求得對應(yīng)概率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題目.

7.【2015高考山東，理8】已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（0,32）,

從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）

（附：若隨機變量《服從正態(tài)分布,則P（〃一<J<〃+cr）=68.26%,

P(〃-2b<J<〃+2b)=95.44%。)

(A)4.56%(B)13.59%(C)27.18%(D)31.74%

【答案】B

【解析】用及示&零件的長度，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得：

p(3<J<6)=g[p(—6<g<6)—尸(―3<4<3)]=09544”6826=01359,故選

B.

【考點定位】正態(tài)分布的概念與正態(tài)密度曲線的性質(zhì).

【名師點睛】本題考查了正態(tài)分布的有關(guān)概念與運算，幣;點考查了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)以及

如何利用正態(tài)密度曲線求概率，意在考查學(xué)生對正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解及基本的運算

能力.

9.12016高考新課標2理數(shù)】從區(qū)間[0,1]隨機抽取2〃個數(shù)/，X2,…，X,,凹，y2,…，

y?,構(gòu)成〃個數(shù)對(王,乂)，(4，%)，…，(X.,”)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共

有用個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率萬的近似值為

,、4〃，、2〃，八、4加,、2m

(A)—(B)—(C)—(D)—

mmnn

【答案】C

【解析】

試題分析：利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為二虬=嗎=生，所以

品方形4Rn

4/72

7t----.選C.

n

考點：幾何概型.

【名師點睛】求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)

題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

11.[2016年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙

是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中?個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就

將另?個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則

()

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中藥:球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

【答案】c

試題分析：若乙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個均是紅球；若乙盒中放入的是黑球，則須保證抽

到的兩個球是一紅一黑，目紅球放入甲盒；若丙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個球是一紅一黑：

口黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個球都是黑球；A：由于抽到的兩個球是紅球

和黑球的次數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)無法確定，故形捌定乙盒和丙盒中異色球的大4關(guān)系，而摘到兩個紅球的

次數(shù)與由到兩個黑球的次數(shù)應(yīng)是相等的，故選C：

■"■I

考點：概率統(tǒng)計分析.

【名師點睛】本題將小球與概率知識結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件

對應(yīng)的基本事件有多種可能，那么?般我們通過逐?列舉計數(shù)，再求概率，此題即是如此.

列舉的關(guān)鍵是要有序（有規(guī)律），從而確保不重不漏.另外注意對立事件概率公式的應(yīng)用.

12.12014高考陜西版理第6題】從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，

則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】C

【解析】

試題分析：從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，共有=10條線段，A,

B.C,。四點中任意2點的連線段都不小于該正方形邊長，共有C：=6,所以這2個點

的距離不小于該正方形邊長的概率p=—=一，故選c

105

考點：古典概型及其概率計算公式.

【名師點晴】本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式.，屬于中檔題.解題時要準確

理解題意由“5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長”.利用排列

組合有關(guān)知識，正確得到基本事件數(shù)和所研究事件所包含事件數(shù).從而得到所求事件的概率

17.12014課標I,理514位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則

周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()

A.-B.-C.-D.-

8888

【答案】D

■【解析】由已知，4位同學(xué)各目在周六、周日兩天中薦選一天參加公益活動共有2,=16種不同的結(jié)果，而‘

周六、周日都有同學(xué)參加公益活動有兩類不同的情況：(D一天一人，另一天三人，有。：老=8種不同的

備果；(2)周六、日各2人，有點=6種不同的結(jié)果，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動有8+6=lM/

不同的結(jié)果，所以周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的樞率為=選D..

!■:168:

【考點定位】1、排列和組合；2、古典概型的概率計算公式.

【名師點睛】本題考查古典概型，是一個古典概型與排列組合結(jié)合的問題，解題時先要判斷

該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事

件的總數(shù).

18.12015高考新課標1,理4】投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。

己知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試

的概率為()

(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D)0.312

【答案】A

【解析】根據(jù)獨立.市復(fù)試險公式得，該同學(xué)通過測試的概率為《06X0.4+0.63=0.648,

故選A.

【考點定位】本題主要考查獨立重復(fù)試驗的概率公式與互斥事件和概率公式

【名師點睛】解答本題時，先想到所求事件是恰好中3次與恰好中2次兩個互斥事件的和，

而這兩個事件又是實驗3次恰好分別發(fā)生3次和2次的獨立重復(fù)試驗,本題很好考查了學(xué)生

對獨立重復(fù)試驗和互斥事件的理解和公式的記憶與靈活運用，是基礎(chǔ)題,正確分析概率類型、

靈活運用概率公式是解本題的關(guān)鍵.

22.【2015高考安徽，理6】若樣本數(shù)據(jù)再，X2,…，再。的標準差為8,則數(shù)據(jù)2玉一1,

2X2-1,…，2%0-1的標準差為()

(A)8(B)15(C)16(D)32

【答案】C

【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)芯，/,%的標準差為J萬"則J欣=8,即方基￡>X=64,

而數(shù)據(jù)2%一1,2X2-1,…，2xK)-l的方差。(2X-l)=22。X=22x64,所以其標準

差為應(yīng)=16.故選C.

【考點定位】1.樣本的方差與標準差的應(yīng)用.

【名師點睛】已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)y=oX+6的均值、方差和

標準差，可直接用X的均值、方差的性質(zhì)求解.若隨機變量X的均值EX、方差0X、標準

差ja,則數(shù)y=a￥+b的均值aEX+b、方差a°DX、標準差aj市.

25.12015高考湖北，理4】設(shè)x口N(“，其)，y口N(〃”云)，這兩個正態(tài)分布密度曲

線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是()

A.P(Y>p2)>P(Y>^)B.P(X<a2)<P(X<

C.對任意正數(shù)t,P(X<t)>P(Y<t)D.對任意正數(shù)f,P(X>t)>P(Y>t)

【答案】C

'【解析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，x-Ng￡、YS存)的密度曲線分別關(guān)于x=4、x=a

時稱，因此結(jié)合所給圖象可得自〈為且b)的密度曲線兢y-N&,")的密度曲線女高“，麗

以0</<%,所以對任意正數(shù)f,p(z</)>p(y</).

■■■

【考點定位】正態(tài)分布密度曲線.

【名師點睛】正態(tài)曲線的性質(zhì)

①曲線在X軸的上方，與X軸不相交.

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對稱.

③曲線在x=〃處達到峰值一4=.

c/2%

④曲線與x軸之間的面積為1.

定肘,曲線隨八〃內(nèi)變化而沿X利呼移，如區(qū)甲所小

⑥〃--定時，曲線的形狀由。確定.。越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；。越

小.曲線越“瘦高”.總體分布越集中.如圖乙所示.

29.[2015湖南理2]在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲

線C為正態(tài)分布N（0,l）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（）

A.2386B.2718C.3413D.4772

附：若X口NO，/),則尸(〃一cr<XK〃+cr)=0.6826,

P(〃一2cr<X<4+2。)=0.9544

【解析】

試題分析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，P（0<x<l）=lp（-l<x<l）?0.34,故選C.

2

【考點定位】1.正態(tài)分布；2.幾何概型.

【名師點睛】本題主要考查正態(tài)分布與幾何概型等知識點，屬于容易題，結(jié)合參考材料中給

出的數(shù)據(jù)，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，再利用幾何概型即可求解，在復(fù)習(xí)過程中，亦應(yīng)關(guān)

注正態(tài)分布等相對冷門的知識點的基本概念.

1.12016高考新課標2理數(shù)】如圖，小明從街道的E處HI發(fā)，先到F處與小紅會合，再

一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)

為（）

(A)24(B)18(C)12(D)9

【答案】B

【解析】

試題分析：由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短有條路，再從F處到G處最短共

有C；條路，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為?《=18條，故選B.

考點：計數(shù)原理、組合.

【名師點睛】分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，

類與類之間是獨立的.

分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這

件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的.

2.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)/為虛數(shù)單位，則(x+i)6的展開式中含X’的項為

(A)—15x4(B)15x4(C)-20/x4(D)20/X4

【答案】A

'【解析】',

試題分析：二項式(x+i)6展開的通項工1=，；/■'」,令6-一4,得r=2,則展開式中含x，的項為.

Cixi2=-\Sx,故選A.

■?■

考點；二項展開式，復(fù)數(shù)的運算.

【名師點睛】本題考查二項式定理及復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的概念及運算也是高考的熱點，幾乎

是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運算即可.二項式

(x+z)6的展開式可以改為。+x)6,則其通項為C：產(chǎn)Y,即含丁的項為c：產(chǎn)與4=一15/.

10.12014四川，理6】六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排

甲，則不同的排法共有()

A.192種B.216種C.240種D.288種

【答案】B

【解析】

試題分析：最左端排甲，有5!=120種排法；最左端排乙，有4x4!=96種排法，共仃

120+96=216種排法.選B.

【考點定位】排列組合.

【名師點睛】涉及排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題

與順序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān)含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，

再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.通常用直接

法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.

15.[2014高考重慶理第9題】某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1

個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

【答案】B

■【解析】'

試題分析：將所有的安排方法分成兩類，第一類：歌舞類節(jié)目中間不穿插相聲節(jié)目，有

謁/，=6x2x2=24（種）：第二類：歌舞類節(jié)目中間穿插相聲節(jié)目，有

@44/=6x2x2x4=96（種）；根據(jù)分類頒去計數(shù)原理，共有96+24=120種不同的排法.故選B.

■■_________________________________________

考點；1、分類加法計數(shù)原理；2、排列.

【名師點睛】本題考查了綜合應(yīng)用排列與組合知識解決實際的計數(shù)問題，屬于中檔題目，根

據(jù)條件將分類，然后用分類計數(shù)原獲得結(jié)果.

18.12014遼寧理6】把椅子擺成一排,3人隨機就座，任何兩人不相鄰的做法種數(shù)為（）

A.144B.120C.72D.24

【答案】C

■1

試題分析：將6把椅子依次編號為1,2,3,4,5,6,故任何兩人不相鄰的做法，可安排:“135”「136”嚴1,4,6”3.

“24,6”號位遇坐人，故總數(shù)由4/；=24,故選“

考點：排列組合.

【名師點睛】本題考查簡單排列組合應(yīng)用問題.從近幾年高考對這部分內(nèi)容的考查看，基本

是排列與組合相結(jié)合，多可以結(jié)合圖表分析解題途徑.本題首先將座位編號，分析任何兩人

都不相鄰的情況，再安排人員就坐，現(xiàn)實背景熟悉，分析形象直觀，易于理解.

本題是一道基礎(chǔ)題，考查排列組合基礎(chǔ)知識，同時考查考生的計算能力及分析問題解決問題

的能力.

7.12014高考北京理第13題】把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品/與產(chǎn)品8相鄰，且

產(chǎn)品A與產(chǎn)品。不相鄰，則不同的擺法有種.

【答案】36

"ira■

試題分析:先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A、B作為一個元素有《種方法，而A、B可交換位置,所以有2￡=48

■

種擺法，又當(dāng)A、B相鄰又滿足A、C相鄰，有2勾=12種擺法，故滿足條件的擺法有48-12=36種..

考點：排列組合，容易題.

【名師點睛】本題考查排列、組合及計數(shù)原理有關(guān)問題，本題屬于中等難度問題，高考每年

都會考查這個問題，題目或簡或難，由于命題可以很靈活，可以考查簡單的計數(shù)，也可以考

查具體的排列組合基本方法如：相鄰問題捆綁法、不鄰插空法、分排問題直排法、有序問題

用除法、隔板法等，需要學(xué)生不但要有扎實的基本功，還要有分析問題和解決問題的能力.

9.12014高考廣東卷.理.11】從0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七個不同的數(shù)，則這七個

數(shù)的中位數(shù)是6的概率為.

【答案】

6

【解析】上述十個數(shù)中比6小的數(shù)有6個，比6人的數(shù)有3個，要使得所選的七個數(shù)的中位

數(shù)為6,則應(yīng)該在比6大的數(shù)中選擇3個，在比6人的數(shù)中也選擇3個，因此所求事件的概

【考點定位】本題考查排列組合與古典概型的概率計算，屬于能力題.

【名師點晴】本題主要考查的是排列組合和占典概型，屬于中等題.解題時要抓住重要字眼

“中位數(shù)是6"，否則很容易出現(xiàn)錯誤.用排列組合列舉基本事件一定要做到不重不漏，防

止出現(xiàn)錯誤.解本題需要掌握的知識點是古典概型概率公式，即

A包含的基本事件的個數(shù)

(^基本事件的總數(shù)'

16.【2016高考上海理數(shù)】在(五-的二項式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256,

則常數(shù)項等于

【答案】112

【解析】

試題分析:

因為二項式所有項的二項系數(shù)之和為2",所以2"=256,所以n=8,

L2---t84

二項式展開式的通項為丁川——）r=（—2）,C；x33,令——r=0,得r=2,

x33

所以13=112.

考點：1.二項式定理；2.二項展開式的系數(shù).

【名師點睛】根據(jù)：項式展開式的通項，確定二項式系數(shù)或確定二項展開式中的指定項，是

二項式定理問題中的基本問題，往往要綜合運用二項展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項式展開式的

通項求解.本題能較好地考查考生的思維能力、基本計算能力等.

2.[2016年高考四川理數(shù)】同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上

時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是.

3

【答案】-

2

【解析】

治題分析：同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能的結(jié)集有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次'

試蛉中成功次數(shù)<的取值為0J2,其中R4=0）=：,P&=1）=1.=2）=:,

424

113

在1次試勘中成功的率為P（^>I）=4+-=4，

■4-4-■

□I□4g

所以在2次試蛉中成功次數(shù)X的粒率為P（X=l）=Cjx￡xl=i,I\X=2）=弓尸=弓,

448416

EY=lx-34-2x9—=3i

8162

■■

考點：離散型隨機變量的均值

【名師點睛】本題考查隨機變量的均值（期望），根據(jù)期望公式，首先求出隨機變量的所有

可能取值玉,々,…，怎,再求得對應(yīng)的概率耳。=1,2,…，則均值為4.

8.12015高考廣東，理13］已知隨機變量X服從二項分布8（〃,p）,若E（X）=30,

D（X）=20,則0=.

【答案】

3

【解析】依題可得E（X）=〃p=30且。（X）=〃p（l—p）=20,解得p=；,故應(yīng)填入;.

【考點定位】二項分布的均值和方差應(yīng)用.

【名師點睛】本題主要考查二項分布的均值和方差應(yīng)用及運算求解能力，屬于容易題，解答

此題關(guān)鍵在于理解熟記二項分布的均值和方差公式E（X）=印，O（X）=np（\-p）并運用

其解答實際問題.

11.【2014年.浙江卷.理12】隨機變量J的取值為0,1,2,若P（J=0）=（,￡代）=1,

則。（/=.

2

答案：-

5

解析：設(shè)J=1時的概率為p，則E（J）=0x［+lxp+2x（l—p—1）=1,解得p=1,

故0僮）=（0_鵬+（］_］八|+（2_］區(qū)=|

考點：方差.

【名師點睛】本題主要考查相互獨立事件的概率公式的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條

件求解對應(yīng)事件的概率，然后求方差即可；求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法：（1）利

用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；（2）正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事

件入手計算

2.12016高考新課標1卷】（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用

三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個

200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購

買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下

面柱狀圖：

ill!

8910

'■的秣0

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X

表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，〃表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

(I)求X的分布列；

(II)若要求。(入〈〃)20.5,確定〃的最小值；

(III)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與w=20之中選其一,應(yīng)選用

哪個？

【答案】⑴見解析(ID19(ill)〃=19

【解析】

試題分析：(I)先確定X的取值分別為16,17,18,18,20,21,22〃再用相互獨立事件概率模型求

概率，然后寫出分布列；(H)通過頻率大小進行比較；(川)分別求出n=9,n=20的期望，根據(jù)

〃=19時所需費用的期望值小于〃=20時所需費用的期望值，應(yīng)選〃=19.

試題解析：(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易戰(zhàn)零件數(shù)為

8,9,10,11的概率分另I」為0.2,0.4,0.2,0.2,從而

p(x=16)=0.2x02=0.04；

=17)=2x0.2x0.4=0.16；

P(X=18)=2x0.2x0.24-0.4x0.4=0.24；

P(X=19)=2x0.2義0.2+2x0.4x0.2=0.24；

P(X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0.2；

P(X=21)=2x0.2x0.2=0.08；

P(X=22)=0.2x02=0.04.

所以X的分布列為

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(H)由(I)知P(X418)=0.44,尸(XW19)=0.68,故〃的最小值為19.

(III)記F表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)一

當(dāng)〃=19時目=19x200x0.68+(19x200+50ax0.2+(19x200+2x50ax0.08

+Q9x如0+3x500x0.04=4040.

當(dāng)”=20時，

ZZ=20x200x0.88+(20x200+50%0.08+(20x200+2x50?x0.04=4080.

可知當(dāng)w=19時所需費用的期望值小于并=20時所需費用的期望值，故應(yīng)選彥=19.

考點：概率與統(tǒng)計、隨機變量的分布列

【名師點睛】本題把隨機變量的分布列與統(tǒng)計及函數(shù)結(jié)合在一起進行考查，有一定綜合性但

難度不是太大大,求解關(guān)鍵是讀懂題意，所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問題.

3.12015高考天津，理16](本小題滿分13分)為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比

賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙

協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.

(I)設(shè)A為事件"選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”

求事件A發(fā)生的概率；

(II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(I)—；

35

(II)隨機變量X的分布列為

X1234

1331

P

TZ7714

E(X)=

【解析】(I)由已知,有

C；C；+C；C；_6

P(N)

c：35

所以事件〃發(fā)生的概率為9.

35

(II)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4

尸(丫=左)=(*=1,2,3,4)

~cT

所以隨機變量X的分布列為

【考點定位】古典概型、互斥事件、離散型隨機變量的分布列可數(shù)學(xué)期望.

【名師點睛】本題主要考查古典概型、互斥事件、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.把

實際生活中的乒乓球比賽與數(shù)學(xué)中的古典概型相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值與研究價

值，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中概率、期望對實際生活中的一些指導(dǎo)作用.

4.12016高考新課標2理數(shù)】某險種的基本保費為。(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投

保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

上年度出險次數(shù)01234>5

保費0.85aa1.25Q1.5a1.75a2a

設(shè)該險種一續(xù)保人-年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如F：

一年內(nèi)出險次數(shù)01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

(I)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；

(II)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率;

(III)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

【答案】(1)0.55；(II)；(III)1.23.

【解析】

試題分析：(I)根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率;

(II)一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,由條件概率

公式求解；(W)記續(xù)保人本年度的保費為X,求X的分布列，再根據(jù)期望公式求解.

試題解析：(I)設(shè)/表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件/發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出

險次數(shù)大于1，故N⑷=0.2+02+0.1+0.05=055.

(II)設(shè)6表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件方發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險

次數(shù)大于3,故氏3)=01+005=0.15.

又P(如尸⑶，故明/)=需=筋嚙年

因此所求概率為2.

(III)記續(xù)保人本年度的保費為X,則X的分布列為

X0.85。a1.25a1.5。1.75。2。

P0.300.150.200.200.100.05

EX=().85ax().3()+ax().15+1.25。x().2()+1.5。x0.2()+1.75ax().10+2ax0.05

=1.23。

因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23

考點：條件概率，隨機變量的分布列、期望.

【名師點睛】條件概率的求法：

(D定義法：先求尸(4)和尸(48),再由P(8M)=粵瞿，求P(8⑷：

(2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先

求事件A包含的基本事件數(shù)?U),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)

n(AB),得尸(8|/)="(斐).

求離散型隨機變量均值的步驟：(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)

求X的每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)山均值定義求出E(X).

14..12016高考山東理數(shù)】(本小題滿分12分)

甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜?個成語，在一輪活動中，

如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人

都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是'，乙每輪猜對的概率是士：每輪

43

活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：

(I)“星隊”至少猜對3個成語的概率；

(II)“星隊”兩輪得分之和為才的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

223

【答案】(I)*(II)分布列見解析，EX=—

36

【解析】

試題分析：(1)找出“星隊”至少猜對3個成語所包含的基本事件，山獨立事件的概率公

式和互斥事件的概率加法公式求解：(II)由題意，隨機變量I的可能取值為0,1,2,3,4,6.

由事件的獨立性與互斥性，得到X的分布列，根據(jù)期望公式求解.

試題解析：

(1)記事件人:“甲第一輪猜對”,記事件B：“乙第?輪猜對”,

記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，

記事件E：“，星隊'至少猜對3個成語”.

由題意，E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.

由事件的獨立性與互斥性，

P(E)=P(ABCD)+P(1BCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+尸(ABCD)

=/⑷P(8)P(C)P(O)+P(7)P(B)P(C)尸(0+尸⑷P⑻P(C)P(0+

P(/)P⑻尸(弓尸(O)+P(/)P⑻P(C)P(方)

3232.(12323132、

――-x—x—x—I-2x-—x—x—x—I--x—x—x—?

4343(43434343J

_2

2

所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為

3

(II)由題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.

山事件的獨立性與互斥性，得

11111

p(x=o)=—X—X-X——

4343L44

3111121105

P(X=l)=2x—X-X—X—+—X—X—X—=-------=

43434343J14472

313131121231121225

P\X-2)=-x-x-x—I—x-x-x—I—x-x-x—I—x-x-x-=---

\,4343434343434343144

「43%衿+%衿

7V八c(32313212、_60_5

P(X=4)=2x—x—x—x—+—x—x—x—

\>(43434343)一不一'

小人32321

P(X=6)=—x—x—x—=一.

,743434

可得隨機變量X的分布列為

X012346

p152515J_

1447214412124

152515123

所以數(shù)學(xué)期望EX=0x——+lx—+2x—+3x—+4x—+6x1=—.

14472144121246

考點：1.獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【名師點睛]本題主要考查獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機變量的分

布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，

利用獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生數(shù)

學(xué)應(yīng)用意識、基本運算求解能力等.

17.[2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分）

某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,.

現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.

（I）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4"，求事件4發(fā)生的概率：

（II）設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

【答案】（I）-（II）詳見解析

3

【解析】

試題分析：（1）先確定從這10人中隨機選出2人的基本事件種數(shù)：G3再確定選出的2

人參加義工活動次數(shù)之和為4所包含基本事件數(shù)：C；C：+C：,最后根據(jù)概率公式求概率

（H）先確定隨機變量可能取值為0,1,2.再分別求出對應(yīng)概率，列出概率分布，最后根據(jù)公

式計算數(shù)學(xué)期里

試題解析：解：（I）由已知，有

C103

所以，事件4發(fā)生的概率為

3

（口）隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.

Hx=o）/+.盤4

do15

7

P（X=1）=c；C+c；c：

15

GC_4

P（X=2）

Go-15

所以，隨機變量X分布列為

X012

474

P

151515

474

隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0x]+lxj+2x^=l.

考點：概率，概率分布與數(shù)學(xué)期望

【名師點睛】求均值、方差的方法

1.已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義（公式）求解；

2.已知隨機變量，的均值、方差，求：的線性函數(shù)n