2023-2024學(xué)年重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)高一（下）段考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)高一（下）段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列命題中，正確的是(

)A.若a/?/b，b?α，則a/?/α B.若a/?/α，b?α，則a/?/b

C.若a/?/α，b/?/α，則a/?/b D.若a/?/b，b/?/α，a?α，則a/?/α2.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，則cosC=(

)A.?13 B.?14 C.3.若?12+32i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程aA.15?35i B.154.已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若△ABC的面積S=a2+b2?A.90° B.60° C.45° D.30°5.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是(????)(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺(tái)體的體積公式V=13A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸6.如圖、四邊形ABCD的斜二測(cè)畫法直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′.已知A′B′=4，C′D′=2，則下列說法正確的是(

)A.AB=2

B.AD=2

C.四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4+22+237.如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為母線AB的中點(diǎn)，從點(diǎn)M處拉一條繩子繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周到達(dá)B點(diǎn)，這條繩子的長(zhǎng)度最短值為5，則此圓錐的表面積為(

)

A.π B.54π C.328.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若5cosB?8cosC8c?5b=cosAa，又△ABC的面積S=103，且A.64 B.84 C.?69 D.?89二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.歐拉公式exi=cosx+isinx是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，下列說法中正確的是(

)A.e3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B.e2πi為實(shí)數(shù)

C.exi的模長(zhǎng)等于12 10.已知a=(t,?2),b=(?4,t)，則A.若a//b，則t=±22

B.若a⊥b，則t=0

C.|a?b|的最小值為211.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且tanA+tanB=3cacosBA.A=π6

B.若a=2，則該三角形周長(zhǎng)的最大值為6

C.若△ABC的面積為2，則a有最小值

D.設(shè)BD=c2b+c三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若復(fù)數(shù)z=m2?4+(m+2)i(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m13.設(shè)e1,e2是不共線的兩個(gè)向量，AB=e1+ke2,14.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，E是側(cè)棱A

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知|a|=2,|b|=3,(a+b)?b=8．

(1)求|a16.(本小題15分)

如圖，在正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中點(diǎn)；

(1)求證：PA//平面EDB；

(2)求三棱錐E?BDC的體積．17.(本小題15分)

如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿足PC=2BP，O是線段AP的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與邊AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)若AO=xAB+yAC，求x+y的值；

(2)若18.(本小題17分)

已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線PA，PB所成角的余弦值為14，軸截面等腰三角形PAC的頂角為90°，若△PAB的面積為215．

(1)求該圓錐的側(cè)面積；

(2)求該圓錐的內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值；

(3)19.(本小題17分)

已知△ABC，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，D、E均在線段BC上，AD為中線，AE為∠BAC的平分線．

(1)若S△ABE=2S△ACE，求證c=2b；

(2)在(1)的條件下，若AC=3DE，求cosB；

(3)若bc=20，BC=10，AD≤5

參考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.B

6.D

7.B

8.C

9.AB

10.AB

11.BCD

12.2

13.?4

14.615.解：(1)因?yàn)閨a|=2,|b|=3，(a+b)?b=8，

所以a?b+b2=8，即a?b+32=8，則a?b=?1，

16.(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，AC∩BD=O，則O為AC的中點(diǎn)，連接OE，

因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，則OE/?/PA，

又PA?平面OBE，OE?平面OBE，

所以PA//平面DBE；

(2)解：在正四棱錐P?ABCD中，O為底面ABCD的中心，連接PO，

則PO⊥底面ABCD，AC=2a，PO=22a，

因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ABCD的距離為?=12PO=17.解：(1)由題意可知，BP=13BC，

所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC?AB)=23AB+13AC，

又O是線段AP的中點(diǎn)，所以AO=12AP=12(23AB+13AC)=13AB+16AC，

又AB、AC不共線，且AO=xAB+yAC，

所以x=118.解：(1)設(shè)圓錐母線長(zhǎng)、底面半徑分別為l(l>0)、r(r>0)，

由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為90°，則l2+l2=(2r)2，解得l=2r，

又cos∠APB=14，∴sin∠APB=1?cos2∠APB=1?(14)2=154，

又∵△PAB的面積為215，

∴S△PAB=12PA?PB?sin∠APB=12l2×154=215，解得l=4(負(fù)值舍去)，

又l=2r，∴r=22，

∴圓錐的側(cè)面積S=12×2πr×l=π×22×4=82π；

(2)作出軸截面如下所示：

設(shè)圓柱底面半徑x(0<x<22)，即OF=O1G=x，

由(1)可知∠CPO=45°，則PO119.(1)證明：設(shè)△ABC邊BC上的高為?，

因?yàn)镾△ABE=2S△ACE，即12BE??=2×12CE??，所以BE=2CE，

又因?yàn)锳E為∠BAC的平分線，所以∠BAE=∠CAE，

在△ABE中，由正弦定理得ABsin∠AEB=BEsin∠BAE，

在△ACE中，由正弦定理得ACsin∠AEC=CEsin∠CAE，

又∠AEB+∠AEC=π，所以sin∠AEB=sin(π?∠AEC)=sin∠AEC，

所以ABAC=BECE=2，即cb=2，

即c=2b；

(2)解：因?yàn)锽E=2CE，D為BC的中點(diǎn)，所以DE=23BC?1