安徽省滁州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在平面直角坐標系中，直線在軸上的截距為（）A. B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】對直線方程，令，即可求得結(jié)果.【詳解】對方程，令，解得；故直線在軸上的截距為.故選：A.2.已知雙曲線的焦距為12，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的焦距，求得，再求漸近線方程即可.【詳解】因為雙曲線的焦距為，所以，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.3.已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前7項的和為（）A.256 B.255 C.128 D.127【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式，建立基本量的方程組求解，再應(yīng)用前項和公式即可得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，可得解得，，所以數(shù)列前項的和.故選：D.4.圓與圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩圓的一般方程求出兩圓圓心、半徑，求出圓心距.根據(jù)圓心距與兩半徑之間的關(guān)系可得兩圓外離，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意：圓，，其圓心為，半徑；圓，，其圓心為，半徑；兩圓的圓心距，所以兩圓外離，所以公切線條數(shù)有4條.故選：D.5.已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)后計算出切線斜率，然后寫出切線方程．【詳解】由題意知，所以，又，所以的圖象在處的切線方程為，即.故選：A.6.已知，點是拋物線上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義確定，分析出圓的圓心和半徑，點是圓上的一點，則有,即，由此將求的最小值問題轉(zhuǎn)化為求最小值問題，得出當且僅當、、三點共線時，取得最小值即可.【詳解】由題意知是拋物線的焦點，拋物線準線方程為：，過點作垂直于準線，垂足為,即點到拋物線線的準線的距離為：；圓是圓心為，半徑的圓，根據(jù)拋物線定義有：，因為點是圓上的一點,所以,即,由此有：，當且僅當、、三點共線時，取得最小值，所以，所以的最小值為6.故選：B.7.如圖，在棱長為3的正方體中，點是棱上的一點，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，利用向量法求點到面的距離即可.【詳解】以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.所以，，，，所以，.設(shè)平面的法向量，所以令，解得，，所以平面的一個法向量，又，所以點到平面的距離.故選：B.8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過在上單調(diào)遞減，列出不等式然后通過函數(shù)的最值求解實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知在上恒成立，所以在上恒成立.令，所以，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞琙，所以，所以，解得，即的取值范圍是.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若P，A，B，C四點共面，則存在實數(shù)x，y，使得B.若直線的方向向量為，直線的方向向量為，則C.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則D.對于空間中的一點，若，則A，B，C，P四點共面【答案】BD【解析】【分析】A、C由空間向量共面定理判斷；B，由線線垂直向量法判斷；D由線面垂直向量法判斷.【詳解】若C，A，B三點共線，點與C，A，B三點不共線時，則不存在實數(shù)x，y，使得，故A錯誤；因為，所以，故B正確；因為，所以或，故C錯誤；因為，所以，所以，所以A，B，C，P四點共面，故D正確.故選：BD.10.已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，則下列說法正確的是（）A. B.C.當取得最小值時，的值為22 D.當時，的最小值為44【答案】ABD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)逐個分析選項即可.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，故A正確；，故B正確；因為，所以該等差數(shù)列是遞增數(shù)列，又，所以當，或時，取得最小值，故C錯誤；，又，所以，因此的最小值為44，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的，都有，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】令，可得在上單調(diào)遞增，取自變量的值可得結(jié)果.【詳解】令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故A錯誤，B正確；又，所以，即，故C正確，D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形．(2)構(gòu)造新的函數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值．(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．12.已知拋物線的焦點為，且，B，C三點都在拋物線上，則下列說法正確的是（）A.點的坐標為B.若直線過點F，O為坐標原點，則C.若，則線段的中點到軸距離的最小值為D.若直線，是圓的兩條切線，則直線的方程為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，將點代入拋物線，得到方程后再求解即可.對于B，聯(lián)立方程組后，運用平面向量的坐標運算求解即可，對于C，運用焦半徑公式結(jié)合基本不等式求解即可，對于D，運用幾何法，設(shè)切線，求解方程即可.【詳解】因為在拋物線上，所以，解得，所以，故A正確；顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，由得，所以，所以，所以，故B正確；因為（大于通徑長），當且僅當B，C，F(xiàn)三點共線時，等號成立，所以，所以，即線段的中點到軸距離的最小值為，故錯誤；直線的斜率為，所以直線的方程為，即，又直線與圓相切，所以，整理得，即.同理可得，所以直線的方程為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線互相垂直，則__________.【答案】【解析】【分析】利用直線垂直的定義計算即可.【詳解】由題意知直線的斜率為，若，則一條直線的斜率為，另一條直線垂直于軸，此時兩直線不垂直.故，所以直線的斜率為，且兩直線相互垂直，故有，解得.故答案為：14.在四棱柱中，，，，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算法則有，平方后利用數(shù)量積的運算求解．【詳解】由題意知，所以，即，解得，即.故答案：3.15.已知雙曲線左、右焦點分別為，，點在的左支上，且，，則的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的定義，結(jié)合題意和余弦定理建立齊次式，從而得解.【詳解】由雙曲線定義知，，又，所以，，又，，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍），即的離心率為.故答案為：.16.已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】利用同構(gòu)將目標式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可.【詳解】因為，所以.令，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，所以，令，所以，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項和為，，且.（1）求通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用，得到，從而說明是公差為2的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的基本量計算即可;（2）表示出，利用裂項相消法，計算證明即可.【小問1詳解】因為，所以，所以，所以是公差為2的等差數(shù)列，又，所以，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，.又，所以.18.已知圓.（1）若點是圓上的一點，求的取值范圍；（2）過點的直線與圓交于兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)，由直線與圓有公共點，借助直線與圓的位置關(guān)系求解即可；（2）利用圓的弦長公式求出，分類討論利用點到直線的距離，求出直線的方程即可.【小問1詳解】由圓，可得圓心，半徑為.設(shè)，則直線與圓有公共點，所以，解得，所以的取值范圍是.【小問2詳解】由圓，可得圓心，半徑為.設(shè)點到直線的距離為，因為，所以，解得，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，所以點到直線的距離為，解得，所以直線的方程為.綜上，直線的方程為或.19.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，，點，分別為棱，的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證，然后證明平面，得，從而可證得平面，證得線線垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角．【小問1詳解】證明：因為平面，平面，所以.因為四邊形是正方形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，在中，，又點是棱的中點，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】因為平面，，平面，所以，，又四邊形是正方形，所以.以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示.不妨設(shè)，所以，，，，.設(shè)平面的法向量，又，，所以令，解得，，所以平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量，又，，所以令，解得，，所以平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.20.在數(shù)列中，，且.（1）求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，然后根據(jù)累加法結(jié)合條件即可求解；（2）利用錯位相減法求出，然后根據(jù)恒成立分類討論即可求解.【小問1詳解】因為，所以，即，當時，，所以，又符合，所以；【小問2詳解】由題意知，，兩式相減得，所以，若不等式對任意的恒成立，當，時，則，所以，當，時，則，所以，即，所以，即的取值范圍為.21.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若函數(shù)恰有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）的極小值為1，無極大值.（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；（2）求導(dǎo)，分類討論判斷單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷的零點.【小問1詳解】若，則，可知的定義域為，且，令，解得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以的極小值為1，無極大值.【小問2詳解】因為，則的定義域為，且.當時，，則在上單調(diào)遞增，所以至多有一個零點，不符合題意；當時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.令，，則，所以在上單調(diào)遞減，且，若，則，則至多有一個零點，不符合題意；若，則，且，又在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一一個零點；，因為，所以，令，令，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，又在上單調(diào)遞增，所以在上存在唯一一個零點，所以當時，函數(shù)恰有兩個零點.綜上，的取值范圍是.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解．22.已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，，且四邊形的面積為12.（1）求的方程；（2）過點直線交于M，N兩點（不同于，兩點），直線與直線交于點，試判斷的面