高二數(shù)學(xué)考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)重難點專題02：直線與雙曲線的位置關(guān)系(原卷版+解析)

重難點專題02：直線與雙曲線的位置關(guān)系備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；2.考點分析及解題方法歸納：考點包含：直線與雙曲線的位置關(guān)系；雙曲線的弦長；雙曲線的焦點弦；雙曲線的中點弦；雙曲線中的參數(shù)范圍及最值；雙曲線中的定點定值問題；雙曲線中的定直線問題；雙曲線中的向量問題

3.課堂知識小結(jié)4.考點鞏固提升知識歸納1.直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷設(shè)直線y=kx+b，雙曲線聯(lián)立消去y得Ax2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B2－4AC.若A=0即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若Δ>0,直線與雙曲線相交，有兩個交點；若Δ=0，直線與雙曲線相切，有一個交點；若Δ<0，直線與雙曲線相離，無交點；直線與雙曲線有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.弦長問題設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2－4ac。相交弦AB的弦長或考點1：直線與雙曲線的位置關(guān)系例1．若過點的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧】由題意設(shè)直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立消得關(guān)于的方程，根據(jù)條件得方程有兩個不同的正根，結(jié)合韋達定理列不等式組，從而可求出的取值范圍【變式訓(xùn)練】【變式1】．直線與雙曲線的交點坐標為______．【變式2】．直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍為_____.【變式3】．若直線與雙曲線始終只有一個公共點，則取值范圍是_____________.考點2：雙曲線的弦長例2．已知雙曲線的焦點在軸上，對稱中心為坐標原點，焦距為，且過點．（1）求的方程；（2）若斜率為2的直線與交于，兩點．且，求．【方法技巧】（1）由焦距可以設(shè)出焦點坐標，利用雙曲線的定義求出實軸的長度，進而可得雙曲線的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去，寫出韋達定理，由得出直線的縱截距，再利用弦長公式求解即可．【變式訓(xùn)練】【變式1】．設(shè)，是雙曲線：的兩個焦點，為坐標原點，點P在雙曲線C上且，則的面積為（

）A．3 B．9 C．12 D．16【變式2】．過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為______．考點3：雙曲線的焦點弦例3（多選）．設(shè)為雙曲線C：的左、右焦點，過的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點，直線l：為雙曲線C的一條漸近線，則（

）A． B．弦PQ長的最小值為6C．存在點P，使得 D．點P到直線m：距離的最小值為1【方法技巧】根據(jù)雙曲線的漸近線即可求出b，根據(jù)焦點弦中通徑最短即可判斷B，根據(jù)焦點弦的范圍可判斷C，根據(jù)漸近線的性質(zhì)可判斷D.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知雙曲線C：的左右焦點分別是，，過的直線l與C的左右兩支分別交于A，B兩點，且，則A． B．3 C．4 D．【變式2】．分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交該雙曲線的左、右兩支于A、B兩點，若，則（

）A．2 B． C．4 D．考點4：雙曲線的中點弦例4．直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【方法技巧】根據(jù)給定條件，利用“點差法”求出l的斜率，再驗證作答.【變式訓(xùn)練】【變式1】．過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【變式2】．已知雙曲線的漸近線方程為，焦點坐標為.(1)求C的方程；(2)經(jīng)過點的直線l交C于A，B兩點，且M為線段AB的中點，求l的方程.考點5：雙曲線中的參數(shù)范圍及最值例5．過橢圓右焦點F的圓與圓外切，該圓直徑的端點Q的軌跡記為曲線C，若P為曲線C上的一動點，則長度最小值為（

）A．0 B． C．1 D．2【方法技巧】首先根據(jù)題意得到的軌跡為：以為焦點，的雙曲線的右支，從而得到曲線.再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求長度最小值即可.【變式訓(xùn)練】【變式1】．（2020·全國·高考真題（理））設(shè)為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【變式2】．（2022·上海·高考真題）已知雙曲線，雙曲線上右支上有任意兩點、，滿足恒成立，則的取值范圍是________考點6：雙曲線中的定點定值問題例6．已知是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P在雙曲線上．當(dāng)PA和PB斜率存在時，求證：為定值．【方法技巧】設(shè)，，得到，兩式作差，結(jié)合斜率公式，即可求解.【變式訓(xùn)練】【變式1】．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1.設(shè)橢圓C2：4x2＋y2＝1.若M，N分別是C1，C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值.【變式2】．已知F1（，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的兩個焦點，點在雙曲線C上．(1)求雙曲線C的方程；(2)已知點A，B是雙曲線C上異于P的兩點，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點，若，證明：直線AB過定點．考點7：雙曲線中的定直線問題1．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））過雙曲線的右焦點且斜率為的直線分別交雙曲線的漸近線于，兩點，在第一象限，在第二象限，若，則（

）A．1 B． C． D．2【方法技巧】方法點晴：直線與圓錐曲線綜合問題，通常采用設(shè)而不求，結(jié)合韋達定理求解.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知，分別是雙曲線的左，右頂點，直線（不與坐標軸垂直）過點，且與雙曲線交于，兩點.（1）若，求直線的方程；（2）若直線與相交于點，求證：點在定直線上.考點8：雙曲線中的向量問題例8．已知雙曲線的右焦點為，若雙曲線上存在關(guān)于原點對稱的兩點使，則的取值范圍為_________．【變式訓(xùn)練】【變式1】．過雙曲線的右焦點且斜率為的直線分別交雙曲線的漸近線于，兩點，在第一象限，在第二象限，若，則（

）A．1 B． C． D．2【變式2】．已知雙曲線的右頂點?右焦點分別為A，F(xiàn)，過點A的直線l與C的一條漸近線交于點Q，直線與C的一個交點為B，若，且，則的值為（

）A．2 B． C． D．【變式3】．設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點，過作的一條漸近線的垂線交雙曲線的右支于點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D． 重難點專題02：直線與雙曲線的位置關(guān)系備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；2.考點分析及解題方法歸納：考點包含：直線與雙曲線的位置關(guān)系；雙曲線的弦長；雙曲線的焦點弦；雙曲線的中點弦；雙曲線中的參數(shù)范圍及最值；雙曲線中的定點定值問題；雙曲線中的定直線問題；雙曲線中的向量問題

3.課堂知識小結(jié)4.考點鞏固提升知識歸納1.直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷設(shè)直線y=kx+b，雙曲線聯(lián)立消去y得Ax2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B2－4AC。若A=0即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若Δ>0,直線與雙曲線相交，有兩個交點；若Δ=0，直線與雙曲線相切，有一個交點；若Δ<0，直線與雙曲線相離，無交點；直線與雙曲線有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.弦長問題設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2－4ac。相交弦AB的弦長或考點1：直線與雙曲線的位置關(guān)系例1．若過點的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)交點，聯(lián)立可得，由題意可得解得：，故選：D．【方法技巧】由題意設(shè)直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立消得關(guān)于的方程，根據(jù)條件得方程有兩個不同的正根，結(jié)合韋達定理列不等式組，從而可求出的取值范圍【變式訓(xùn)練】【變式1】．直線與雙曲線的交點坐標為______．【答案】，【分析】利用題目中的兩個曲線方程進行聯(lián)立，求出交點坐標【詳解】由，消得即，解得或代入直線得或，所以直線與雙曲線的交點坐標為，，故答案為：，【變式2】．直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍為_____.【答案】【分析】確定雙曲線的漸近線的斜率，由于過原點，要使得與雙曲線沒有交點，需滿足k大于或等于的斜率，可得答案.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，因為直線過原點且與雙曲線沒有交點，故需滿足，故答案為：【變式3】．若直線與雙曲線始終只有一個公共點，則取值范圍是_____________.【答案】【分析】聯(lián)立方程，根據(jù)方程根的個數(shù)即可求解.【詳解】由，消可得，當(dāng)或，解得或，故答案為：考點2：雙曲線的弦長例2．已知雙曲線的焦點在軸上，對稱中心為坐標原點，焦距為，且過點．（1）求的方程；（2）若斜率為2的直線與交于，兩點．且，求．【答案】（1）

；（2）．【詳解】（1）由已知，設(shè)焦點坐標為，則，又，解得，故雙曲線的方程為：；（2）設(shè)直線，與雙曲線的方程聯(lián)立可得：設(shè)，則，，，，，解得，因此．【方法技巧】（1）由焦距可以設(shè)出焦點坐標，利用雙曲線的定義求出實軸的長度，進而可得雙曲線的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去，寫出韋達定理，由得出直線的縱截距，再利用弦長公式求解即可．【變式訓(xùn)練】【變式1】．設(shè)，是雙曲線：的兩個焦點，為坐標原點，點P在雙曲線C上且，則的面積為（

）A．3 B．9 C．12 D．16【答案】B【分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計算即可.【詳解】由已知，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【變式2】．過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為______．【答案】【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交，由韋達定理以及弦長公式即可求解.【詳解】雙曲線的右焦點為，所以直線l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，所以．故答案為：【點睛】若直線與雙曲線（，）交于，兩點，則或（）．考點3：雙曲線的焦點弦例3（多選）．設(shè)為雙曲線C：的左、右焦點，過的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點，直線l：為雙曲線C的一條漸近線，則（

）A． B．弦PQ長的最小值為6C．存在點P，使得 D．點P到直線m：距離的最小值為1【答案】AB【詳解】由題知，a＝1，漸近線，c＝2，故A正確；|PQ|為雙曲線右支上的焦點弦，則其為通徑，即與x軸垂直時最短，，故B正確；根據(jù)雙曲線定義知，∴當(dāng)P為雙曲線右頂點時，取最小值3，但此時與雙曲線的右支沒有兩個交點，故C錯誤；∵直線m和雙曲線的漸近線平行，故雙曲線上點P到直線m的距離沒有最小值，故D錯誤.故選：AB.【方法技巧】根據(jù)雙曲線的漸近線即可求出b，根據(jù)焦點弦中通徑最短即可判斷B，根據(jù)焦點弦的范圍可判斷C，根據(jù)漸近線的性質(zhì)可判斷D.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知雙曲線C：的左右焦點分別是，，過的直線l與C的左右兩支分別交于A，B兩點，且，則A． B．3 C．4 D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的實半軸長為a，依題意可得a＝1，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2.又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4.選C【變式2】．分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交該雙曲線的左、右兩支于A、B兩點，若，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】由雙曲線的定義可得，，結(jié)合已知條件可得，然后在直角三角形中利用勾股定理可求得答案【詳解】解：由雙曲線的定義可得，，因為，所以，所以，即，因為，所以，所以，由，得，所以，得，故選：C考點4：雙曲線的中點弦例4．直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【詳解】設(shè)點，，因為AB的中點，則有，又點A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點，所以l的斜率為2.故選：C【方法技巧】根據(jù)給定條件，利用“點差法”求出l的斜率，再驗證作答.【變式訓(xùn)練】【變式1】．過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出直線AB的方程，并與雙曲線的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法及條件得到關(guān)于的關(guān)系，進而求得雙曲線的離心率【詳解】不妨設(shè)過雙曲線的焦點且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D【變式2】．已知雙曲線的漸近線方程為，焦點坐標為.(1)求C的方程；(2)經(jīng)過點的直線l交C于A，B兩點，且M為線段AB的中點，求l的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由漸近線方程及焦點坐標、雙曲線參數(shù)關(guān)系求出雙曲線參數(shù)，即可得C的方程；（2）設(shè)，，直線l的斜率為k，由點在雙曲線上及中點坐標，結(jié)合點差法求斜率，注意驗證是否滿足題設(shè)，應(yīng)用點斜式寫出直線方程.(1)雙曲線C的漸近線方程為，則，且，解得，.所以C的方程為.(2)設(shè)，，直線l的斜率為k，則，兩式相減，得，即，所以，即.直線l的方程為，即.經(jīng)檢驗，直線與雙曲線C有兩個交點，滿足條件，所以，直線l的方程為.考點5：雙曲線中的參數(shù)范圍及最值例5．過橢圓右焦點F的圓與圓外切，該圓直徑的端點Q的軌跡記為曲線C，若P為曲線C上的一動點，則長度最小值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【點睛】橢圓，，所以.設(shè)以為直徑的圓圓心為，如圖所示：因為圓與圓外切，所以，因為，，所以，所以的軌跡為：以為焦點，的雙曲線的右支.即，曲線.所以為曲線上的一動點，則長度最小值為.故選：C【方法技巧】首先根據(jù)題意得到的軌跡為：以為焦點，的雙曲線的右支，從而得到曲線.再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求長度最小值即可.【變式訓(xùn)練】【變式1】．（2020·全國·高考真題（理））設(shè)為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：故選：B.【變式2】．（2022·上?！じ呖颊骖}）已知雙曲線，雙曲線上右支上有任意兩點、，滿足恒成立，則的取值范圍是________【答案】【詳解】設(shè)點，則，則或為銳角，如下圖所示：設(shè)點為雙曲線的漸近線在第一象限內(nèi)的一點，設(shè)點為雙曲線的漸近線在第四象限內(nèi)的一點，由題意可知，，則，解得.故答案為：.考點6：雙曲線中的定點定值問題例6．已知是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P在雙曲線上．當(dāng)PA和PB斜率存在時，求證：為定值．【答案】證明見解析【詳解】設(shè)，，則，可得，，點和點P在雙曲線上，則有，兩式作差得，可得，即．【方法技巧】設(shè)，，得到，兩式作差，結(jié)合斜率公式，即可求解.【變式訓(xùn)練】【變式1】．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1.設(shè)橢圓C2：4x2＋y2＝1.若M，N分別是C1，C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值.【答案】證明見解析.【分析】當(dāng)直線ON垂直于x軸時，直接可求出，從而可求出O到直線MN的距離，當(dāng)直線ON不垂直于x軸時，設(shè)直線ON的方程為y＝kx（），則直線OM的方程為y＝－x，然后分別與C2，C1方程聯(lián)立方程組可表示出|ON|2，|OM|2，從而可求出O到直線MN的距離【詳解】當(dāng)直線ON垂直于x軸時，|ON|＝1，|OM|＝，則O到直線MN的距離為，當(dāng)直線ON不垂直于x軸時，設(shè)直線ON的方程為y＝kx（），則直線OM的方程為y＝－x，由得所以|ON|2＝，由，得，所以|OM|2＝，設(shè)O到直線MN的距離為d，因為(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以＝＋＝＝3，即d＝.綜上，O到直線MN的距離是定值.【變式2】．已知F1（，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的兩個焦點，點在雙曲線C上．(1)求雙曲線C的方程；(2)已知點A，B是雙曲線C上異于P的兩點，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點，若，證明：直線AB過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得，再結(jié)合，可求出，從而可求出雙曲線的方程，（2）設(shè)直線AB的方程為，，將直線方程代入雙曲線方程消去化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示直線PA，PB的方程，從而可求出點M，N的坐標，再由化簡計算可求出的關(guān)系，從而可證得結(jié)論（1）設(shè)雙曲線C的方程為（），由題意知，因為，所以解得∴雙曲線C的方程為（2）設(shè)直線AB的方程為，，由，整理得，則，，得，直線PA方程為令，則M（0，），同理N（0，）.由，可得，∴0，0，∴，∴，∴，∴∴，∴當(dāng)時，此時直線AB方程為恒過定點，顯然不可能∴，直線AB方程為恒過定點考點7：雙曲線中的定直線問題1．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））過雙曲線的右焦點且斜率為的直線分別交雙曲線的漸近線于，兩點，在第一象限，在第二象限，若，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A解：由題意得：由雙曲線的方程，可知，過雙曲線的右焦點且斜率為的直線方程為聯(lián)立，得：聯(lián)立，得：則，，整理得：，解得：故選：A【方法技巧】方法點晴：直線與圓錐曲線綜合問題，通常采用設(shè)而不求，結(jié)合韋達定理求解.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知，分別是雙曲線的左，右頂點，直線（不與坐標軸垂直）過點，且與雙曲線交于，兩點.（1）若，求直線的方程；（2）若直線與相交于點，求證：點在定直線上.【答案】（1）或；（2）證明見解析.【解析】