高中數(shù)學學案1：高中數(shù)學人教A版2019 選擇性必修 第一冊 空間向量的數(shù)量積運算

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算

【學習目標】

課程標準學科素養(yǎng)

1.了解空間向量夾角的概念及表示方法.1、邏輯推理

2.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)與運算律.(重點)2、數(shù)學運算

3.可以用數(shù)量積證明垂直，求解角度和長度.(重點、難點)3、數(shù)學抽象

【自主學習】

1.空間向量的夾角

⑴已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點0,作泊=a,OB=b,則/力如叫做

向量a,6的,記作.

(2)a,右為非零向量，〈a,b)={b,a),a與b的夾角的范圍是,其中

當〈a,6〉=0時，a與b；當〈a,b)=n時，a與b；當〈a,

JI

b)=5時，a與b.反之，若allb,則〈a,b)=；若a_L6,

則〈a,b)=o

2.空間向量數(shù)量積

(1)概念：已知兩個非零向量a,b,則叫做a,6的數(shù)量積，記作

a?b,即a?b=\a\\b\cos{a,6〉,

(2)投影向量：向量a向向量6投影，得到c=|a||引cos[a,b)=,

向量c稱為向量a在向量b上的投影向量。

(3)性質(zhì)

,a|2=,a\=,cos{a,b)=

(4)運算律

4(a?而=a,b=(交換律).a,(6+c)=

(分配律).

特別提醒：不滿足結(jié)合律(a?歷?c=a?(力?c).

【小試牛刀】

1.判斷正錯

(1)若非零向量a,力為共線且同向的向量，則a?b=|a||引.()

(2)對于向量a,b,c,有(a?6)?c=a?(力?c).()

1

(3)對任意向量a,b,滿足|a?引W|a||引.()

(4)對于非零向量6,由可得a=c.()

2.對于向量a、b、。和實數(shù)4,下列命題中的真命題是().

A.若a?b=Q,則a=0或b=0

B.若4a=0,則4=0或a=0

C.若J=則a=力或a=——6

D.若a?b=a,c,則b=c

【經(jīng)典例題】

題型一數(shù)量積的計算

注意:(1)已知a,8的模及a與6的夾角，直接代入數(shù)量積公式計算.

⑵如果要求的是關(guān)于a與6的多項式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運算

律將多項式展開，再利用a?a=1a「及數(shù)量積公式進行計算.

例1如圖所示，在棱長為1的正四面體/皿中，E,戶分別是N6,4?的中點,

求：

⑴礪?威；⑵礪?詼；⑶礪?市(4)AB?CD.

［跟蹤訓練］1已知正四面體-N8C的棱長為1.

求：(1)成?龍；(2)(灑+麗?(德+函；

(3)\OA+OB+dc\.

2

題型二用數(shù)量積證明垂直問題

注意：（1）證明線線垂直的方法

證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，根據(jù)方向向量的數(shù)量積是否為0來

判斷兩直線是否垂直.

⑵證明與空間向量a,b,c有關(guān)的向量出A垂直的方法

先用向量a,b,c表示向量力，n,再判斷向量出A的數(shù)量積是否為0.

例2如圖所示，已知應和都是以。為直角頂點的直角三角形，且助=

BD=CD,N用。=60°.求證：物，平面

［跟蹤訓練］2已知空間四邊形/皿中，ABVCD,ACLBD,那么與血的位置

關(guān)系

為.（填“平行”或“垂直”）

3

題型三用數(shù)量積求角度

注意：求兩個空間向量a,6夾角的方法類同平面內(nèi)兩向量夾角的求法，利用公

3,?h

式cos〈a,b>=?I引，在具體的幾何體中求兩向量的夾角時，可把其中一個

向量的起點平移至與另一個向量的起點重合，轉(zhuǎn)化為求平面中的角度大小問題

例3如圖，已知正三棱柱ABC-AM的各條棱長都相等，〃是側(cè)棱紿的中點，

則異面直線45；和陽所成的角的大小是.

［跟蹤訓練］3已知點。是正△力比'平面外的一點，若OA=OB=OC=AB=1,E、

廠分別是力反%的中點，試求施與防所成角的余弦值.

題型四用數(shù)量積求長度

注意:求解長度問題時，先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個向量

和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式?

=y］a?a求解即可.

例4如圖，已知0/皿中，”=4,CD=3,=60°,為，平面/灰〃并且

4

⑸=6,則。。的長為

［跟蹤訓練］4在平行六面體/比刀一48K〃中，AB=\,AD=2,AA,=3,ZBAD=

90°,N掰4=N%4=60°,求IC的長.

【當堂達標】

1.在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為45。的是（）.

A.通與不

B.通與不》

C.通與4ZT

D.通與3'A'

2.已知|a|=2,|引=3,〈a,b）=60°,貝”2a—3引等于（）

A.y［97B.97

C.D.61

3.已知a,6是空間兩個向量，若|a|=2,|引=2,|a—引=小，則cos〈a,b）

5

4.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=O,|a|=3,|引=1,|c|=4,則a?力

+b?c+c?a的值為.

5.已知|a|=3^,b\=4,m=a+b,n=a+b,〈a,b)=135°,mln,則

4=.

6.如圖，在正方體NM?—44G〃中，M,N分別是棱5，M的中點，求異

面直線4〃與ZW所成的角。

7.在空間四邊形如中，連接力C,0B,%=8,AB=Q,47=4,BC=3,AOAC=

45°,/OA8=60°,求向量灑與慶所成角的余弦值.

6

8.如圖，正三棱柱45K中，底面邊長為鏡.

⑴設側(cè)棱長為1，求證：

JI

(2)設力”與陽的夾角為T，求側(cè)棱的長.

O

7

【參考答案】

【自主學習】

1.(1)夾角〈a,b)(2)[0,n]方向相同方向相反互相垂直?；蚩?/p>

JI

'2'

2.(1)\a\\b\cos［a,b)(2)(3)a?b=Qa?a'a,目［?，(4)

|b|7\a\\b\

(a),bb?aa?b+a?c

【小試牛刀】

1.VXVX

2.B【解析】對于A,可舉反例：當a_L6時，a?6=0；

對于C,丁=氏只能推得|a|=|6|,而不能推出a=±6；

對于D,a?6=a?c可以移項整理推得a_L(b—c).

【經(jīng)典例題】

例1解(1)￡F?RA=^BD>~BA=^\BD\\~BA\?cos{RD,威〉=；cos60°=；.

(2)礪?BD=^BD-BD=^\BD\2=^.

⑶礪?龍=1■詼?皮=；|質(zhì)|Telcos(BD,DC)=；cos120°=—；.

乙乙乙d

(4)曲面=稱(AD~~AC)=AB?AD-AB?AC=\AB\\AD\COS{AB,Aff)~\AB\\AC

|cos〈AB,AC)

=cos60°—cos60°=0.

［跟蹤訓練］1⑴游?龍=|灑|0|cosNH如=1X1XCOS60°=；；

(2)(而+施?(/+函=(而+麗?(OA-OC+OB-O(^=(而+應?(0A+0B-

2擊

=12+1X1XCOS60°-2X1X1XCOS60°+1X1XCOS60°+12-2XIXIX

cos60O=1；

8

(3)|OA+OB+OC\=^1^+03+O3)=^12+12+12+21X1XCOS60°X3=V6.

例2【證明】不妨設.AD=BD=CD=1,^1]AB=AC=y[2.

BD?AC=(肪一腦?AC=AD?AC-AB?AC,

由于萬?元三萬?(肪+龍)=肪?勸=1,AB*AC^\AB\?|lC|cos60°

=^/2X^2x|=l.：.BD*AC=Q,即劭，HC,又已知劭，49,ADQAC=A,

...如，平面ADC.

[跟蹤訓練]2解析'：AD'BC=(AB+~Bb)?(AC-AS)=AB-AC+BD?AC-A&-

AB*RD

=AB*(AC-AB-W)=AB>DC=0,

與a'垂直.

例390°【解析】不妨設棱長為2,則腦=麗一夙，瓦三反麗,

QBB-BA').(反'+；麗)

0—2+2—0

〈篇，酬=

COS2^2X^52小X部~0

［跟蹤訓練］3

a=I=|c=1,龐=g

設灑=a,而=b,0C=c,貝!Ja,b=b?c=c?a=—)b\

/、-1

(a+Z?),BF=~c—b,

~0E?詼=；(a+6).(|c—6)=|(1a.?c-a?b-\b\'2)(|+1—1-1)=

1

2,

_1

QE*BF_2_2

cos〈OE,BP)~0E\|BF\'x理§

22

2

??異面直線與陽所成角的余弦值為鼻

?0EO.

9

例47【解析】'：PC=PA+AD+DC,

：.PC2=PC?PC={PA+AD+DCV=\PA\2+|AD|2+|DC|2+2

麗?AD+2PA?DC+2AD?DC=62+42+32+2|Al5\\DC|COS120°=

61-12=49.：.PC=7.

［跟蹤訓練］4解因為茶=荔+通+就，

所以定;=(9+筋+1X)2=赤+次+11；+2(荔?AD+AB-AA.+AD-M).

因為/掰〃=90°,N掰4=N%4=60°,

所以/；=l+4+9+2X(lX3Xcos60°+2X3Xcos60°)=23.

因為彩=1花廣，所以|布『=23,

則|茶|=四，即月G=四.

【當堂達標】

1.A【解析】A,B,C,D四個選項中各對向量的夾角依次是45°,135°,

90°,180°.

2.C解析|2a—36r=4/—12a?6+95=4X2'—12X2X3Xcos60°+9X32=

61,：.\2a-3b\=^61.

3.1【解析】將Ia—引=巾化為(a—6)2=7,求得a功二巳,再由a'b=\a\|d|cos

〈&b)

求得cos〈a,6〉=；

o

4.—13【解析】*.*a+b~\-c=Q,(a+Z?+c)2=0,/.a-\-tf+c-\-2(a?b~\~

b?c+c?a)=0,

….32+l2+42_

:.a?b-\~b?c-vc?a=—------------=-13.

3

5.—］【解析】由勿_L〃，得(a+/?)?(a+幾方)=0,，才+(1+X)a?5+X

=0,

3

.*.18+(4+1)X3^/2X4cos135°+164=0,即44+6=0,4=

10

6.解以點。為原點，以DA,DC,D以為x軸、y軸、z軸建立坐標系D-

xyz.設正方體的棱長為2,則羽'=(2,—1,2),方而=(0,2,1),麗-DN

=0,故異面直線4〃與初所成角為9