高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (21)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（21）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，共60.（）分）

1.如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)H在棱44］上，

且=在側(cè)面BCC1&內(nèi)作邊長(zhǎng)為1的正方形EFGCi，尸是側(cè)

面BCGa內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸到平面CDDiG距離等于線段PF的長(zhǎng),

則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，|HP|2的最小值是（）

A.21B.22C.23D.

25

2.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，P41平面ABC,PA=ABBC=2,PB與

平面PAC所成的角為30。，則球。的表面積為

A.6nB.127rC.167rD.48兀

3.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)的是一個(gè)幾何體的三視

圖.則該幾何體的體積為（）

A.3

C.7

D.y

4.已知直三棱柱ABC-AiBiG的6個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，若4B=3,AC=4,4B1AC,44i=12,則

球。的半徑為（）

A.yB.2V10C.3710D.蜉

5.在三棱錐P—ABC中，PAJL平面ABC,4BAC=120。，AP=&,AB=2,M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，

線段PM長(zhǎng)度最小值為遮，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積是（）

QtTT_

A.yB.9V27TC.187rD.40兀

6.如圖，點(diǎn)P在正方體也的面對(duì)角線BCi上運(yùn)動(dòng)（P點(diǎn)異于8、C1點(diǎn)），則下列四個(gè)

結(jié)論：

DC

C]

①三棱錐4-01PC的體積不變：

②力iP〃平面AC。1；

③DP1BCi；

④平面PDBi_L平面

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.在正方體48。。-481的。1中，三棱錐&-BG。內(nèi)切球的表面積為4兀，則正方體外接球的體

積為（）

A.8乃兀B.367rC.326兀D.64n兀

8.在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=1,AC=V3.且二面角B-AC-D為120。，

則三棱錐4-BCD外接球的表面積為（）

A.47rB.5兀C.67rD.77r

9.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體^^。。一為當(dāng)口劣中，產(chǎn)為8c的中?F

點(diǎn)，E為正方形BMiAB的中心，動(dòng)點(diǎn)P在線段EF上，則（PL>i+A;\yy

p：c-1：）2的：最：:小值為T(mén)P―Wpc

c.174B

D.24

10.在三棱錐P-ABC中，△ABC是直角三角形且4B1BC,/.CAB=30°,BC=2,點(diǎn)P在平面ABC

的射影。點(diǎn)在△ABC的外接圓上，四邊形ABC。的對(duì)角線BD=2W，AD>CD,若四棱錐P-

4BC0的外接球半徑為遙，則四棱錐P-4BC。的體積為（）

A.延B.逑C.4V3D,"

333

11.在長(zhǎng)方體4BCD-A1B1GD1中，AB=CC]=?BC=1,點(diǎn)M在正方形內(nèi)，GM1平

面&CM,則三棱錐M-AiCG的外接球表面積為（）

A.—B.77rC.117TD.1471

12.正△ABC的邊長(zhǎng)為2,將它沿BC邊上的高AD翻折，使點(diǎn)8與點(diǎn)C間的距離為舊，此時(shí)四面體

A-BC。的外接球表面積為（）

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共16.0分）

13.正方體力BCD的棱長(zhǎng)為1,E,F,G分別為BC,CG，B8i的中

點(diǎn).貝U（）

A.直線劣。與直線AF垂直

B.直線4G與平面AEF平行

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為J

D.點(diǎn)。與點(diǎn)G到平面4E尸的距離相等

14.（多項(xiàng)選擇題）正方體4BC。一4B1GD1的棱長(zhǎng)為1,E,F,G分別為BC,CC「BBi的中點(diǎn).則（）.

A.直線DiD與直線A尸垂直

B.直線&G與平面AEF平行

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為J

O

D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

15.已知四棱臺(tái)ABC。-AiBiRDi的上、下底面均是正方形，其中4B=

2V2，=V2,=BB1=CCX=DDr=2,則下列敘述正

確的是（）

A.該四棱臺(tái)高為百

B.AAi1CCi

C.該四棱臺(tái)表面積為26

D.該四棱臺(tái)外接球表面積為16兀

16.如圖，正方體ABCD-4B1GD1的棱長(zhǎng)為1,E是DDi的中點(diǎn)，則

A.直線為C〃平面&BD

B.BiC1BD1

C.三棱錐G-&CE的體積為］

D.異面直線BiC與8。所成的角為60°

三、填空題（本大題共n小題，共55.0分）

17.如圖，正四棱柱4BCD-4當(dāng)口劣中，AD=1,=2,點(diǎn)P為棱CC］的

中點(diǎn)，M為線段上的一點(diǎn)，則警的取值范圍為一.

18.一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)棱長(zhǎng)為4傷的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永

遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是

19.從空間一點(diǎn)P出發(fā)的四條射線兩兩所成角都為。，則cos8=；

20.如圖，直線1_L平面a,垂足為O,正四面體（所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐MBCD的棱長(zhǎng)為2,8是

直線/上的動(dòng)點(diǎn)，C是平面a上的動(dòng)點(diǎn)，求。到點(diǎn)。的距離的最大值.

21.在等腰直角△4BC中，AB=2,/.BAC=90°,AO為斜邊BC的高，將△4BC沿A。折疊，折疊

后使△ABC成等邊三角形，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為.

22.棱長(zhǎng)為12的正四面體A8CO與正三棱錐E-BCD的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體ABC0E

的頂點(diǎn)均在一球的球面上，則正三棱錐E-BCD內(nèi)切球的半徑為.

23.已知在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為。送的中心，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，過(guò)下作

FM1CE交0傳于點(diǎn)M,則三棱錐M-DEF體積為.

24.如圖，在三棱錐P-ABC中，側(cè)面PA8垂直于底面A8C,AABC與APAB

都是邊長(zhǎng)為26的正三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為.14（一\…二^>c

B

25.如圖1,一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，

容器內(nèi)盛有“升水時(shí).，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P（圖2）

①正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；

②將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P;

③任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P;

④若往容器內(nèi)再注入〃升水，則容器恰好能裝滿.

其中真命題的代號(hào)是：（寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）.

26.已知正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2百，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑

為.

27.已知正四面體S-ABC的棱長(zhǎng)為1,如果一個(gè)高為更的長(zhǎng)方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該

6

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬形成的長(zhǎng)方形的面積的最大值為.

四、多空題(本大題共2小題，共8.0分)

28.已知四棱錐P-4BCD的底面48C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，且ZP4B=90。.若四棱錐P-4BCD的

五個(gè)頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上，當(dāng)PA最長(zhǎng)時(shí)，則4PzM=_(1)_；四棱錐P-ABC。的體

積為_(kāi)(2)_.

29.體積為18遮的正三棱錐A-BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，球心。在此三棱錐

內(nèi)部，且R：BC=2：3,點(diǎn)E為線段8。上一點(diǎn)，且DE=2EB,過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，則所

得截面圓面積的最小值是最大值是_(2)_.

五、解答題(本大題共1小題，共12.0分)

30.如圖，四棱錐P-4BC0的底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，^BAD=60°,已知PB=P。=2,

PA=V6,E為PA的中點(diǎn).

(1)求證：PC1BD；

(2)求三棱錐P-BCE的體積；

(3)求二面角B-PC-E的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：B

解析:

本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空

間中的距離的最值問(wèn)題，是較難的題目.

建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)”作1BB',垂足為

連接MP,得出HP?=+Mp2,當(dāng)"P最小時(shí)，”p2

最小，利用空間直角坐標(biāo)系求出MP2的最小值即可.

解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

過(guò)點(diǎn)”作垂足為M,連接MP,

則HM平面BCC1&,PMu側(cè)面BCCiBi

則1PM,

HP2=HM2+MP2^

當(dāng)MP最小時(shí)，HP2最小，

過(guò)P作PNJ.CC',垂足為N,

F(1,4,3),M(4,4,3),

設(shè)P(x,4,z),4>x>0,4>z>0,則N(0,4,z),

"PN=PF,7(x-I)2+(z-3)2=x，化簡(jiǎn)得2x-1=(z-3/；

???Mp2=(x-4)2+(z-3)2=(x-4)2+2x-1=x2—6x+15>6,

當(dāng)x=3時(shí)，MPZ取得最小值，此時(shí)，02="用2+”「2=42+6=22為最小值.

故選：B.

2.答案：B

解析：

本題考查了棱錐外接球表面積的求解，屬于中檔題.

由題意可知，底面AABC為等腰三角形，根據(jù)題意可證明其為等腰直角三角形，易求棱錐外接球直

徑為PC,即可求解.

解：???4B=BC=2,則△ABC為等腰三角形，

取AC中點(diǎn)。，連接B。，則BD1AC,

vPA，平面ABC,BDu平面ABC,

???BD1PA,

又因?yàn)镻AnAC=4,PA,ACPAC,

BDJ■平面PAC,

貝此BP。即為P8與平面PAC所成的角，則NBPD=30°,

又P4=2,PB=yJPA2+AB2=2M

則BO=^PB=V2,

則力C=27AB2-BD?=2V2.

則力B2+8C2=ac2,AB1BC,

則AABC為等腰直角三角形，

故三棱錐P-4BC外接球直徑為PC=V4T8=2V3.

???球O的半徑為百，表面積為JrrR?=⑵，

故選B.

3.答案：B

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.由已知中的三視圖可得:

該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體切去一個(gè)三棱錐所得的組合體，進(jìn)而得到答案.

：由已知中的三視圖可得：

該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體切去一個(gè)三棱錐所得的組合體，

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為：2,1,2,體積為：4,

切去的三棱錐的長(zhǎng)，寬，高分別為：2,1,1,體積為：

故組合體的體積展4-i=

故選&

4.答案：A

解析:

本題主要考查了球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，球的半徑的求解，考查計(jì)算能力.通過(guò)球的內(nèi)接體，說(shuō)明

幾何體的側(cè)面對(duì)角線是球的直徑，求出球的半徑.

解：因?yàn)槿庵鵄BC-A/iCi的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若48=3,AC=4,ABLAC,AAr=12,

所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，側(cè)面々BCG，經(jīng)過(guò)球的球心，球的直徑是其對(duì)

角線的長(zhǎng)，

22

因?yàn)?8=3,AC=4,BC=5,BCr=V5+12=13.

所以球的半徑為：y.

故選A.

5.答案:C

解析：

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三棱錐的外接球的球心的確定及球的表面積公式的應(yīng)用.

首先確定三角形48c為等腰三角形，進(jìn)一步確定球的球心，再求出球的半徑，最后確定球的表面積.

解：如圖所示：

三棱錐P-A8C中，。4_1平面48(7,AP=y/2,AB=2,

M是線段8c上一動(dòng)點(diǎn)，線段尸歷長(zhǎng)度最小值為6，

則當(dāng)4M1BC時(shí)，線段PM達(dá)到最小值，

由于PAJL平面ABC,AMu平面ABC,

所以PA_LAM,

所以在RtAPAM中，PA2+AM2=PM2,

解得4M=1,

因?yàn)?4_L平面ABC,BMu平面ABC,則241BM

由PAdPM=P,PA,PMu平面PAM,

故有8M_L平面PAM,AMu平面PAM,BM1AM,

所以在RtAABM中，BM=y/AB2-AM2=V3>

則tan/BAM=—=V3,則NB4M=60°,

AM

由于NB4c=120°,

所以Z_MAC=/.BAC-Z.BAM=60°

則△ABC為等腰三角形.

所以BC=2炳,

在△ABC中，設(shè)外接圓的直徑為2「=且一=4,

5171120°

則r=2,

設(shè)球心距離平面ABC的的高度為h,則層+22=22+（魚(yú)一九

解得/1=立，

2

所以外接球的半徑R回收+（,）2=卡,

則S=4-7T?|=18兀，

故選：C.

6.答案：C

解析:

本題考查線面平行的判定，面面垂直的判定，是中檔題.

根據(jù)題意，逐項(xiàng)判斷即可.

解：

對(duì)于①，由題意知ZDJ/BG，從而B(niǎo)G〃平面力DiC,

故BCI上任意一點(diǎn)到平面4AC的距離均相等，

所以以P為頂點(diǎn)，平面力為底面，

則三棱錐力-DiPC的體積不變，故①正確；

對(duì)于②,可知:A\C、〃AC,

由①知：4DJ/BG，

所以易得面B&C1〃面

從而由線面平行的定義可得占P〃平面4。歷，故②正確；

對(duì)于③，由于DCJ■平面BCGBi，所以DCJ.BG，

若DP1BG，貝IBC】J■平面。CP,

BCr1PC,

則P為DC1的中點(diǎn)，與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由_LAC且QB】J.4D1，

可得0/，面AC%,

從而由面面垂直的判定知平面PDBi，平面AC￡)i，故④正確.

故選：C.

7.答案：B

解析：

本題考查了球的體積，了解空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，是較難題.

設(shè)占到面的距離為/?,易得三棱錐4-BCi。為正四面體，則利用等體積法可得力與內(nèi)切球半

徑的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特征求得棱長(zhǎng)，進(jìn)而得外接球半徑、體積.

解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為小兒到面BG。的距離為力，

則BC=A^B=ArD=CW=C]B=4心=缶,

二三棱錐&-BCiD為正四面體，

???三棱錐4-BG。內(nèi)切球表面積為4兀，

???三棱錐4-BGD內(nèi)切球的半徑為1.

匕i-BJP=^O-BC-iD>(。為內(nèi)切球球心)

即三SABQDx/I=4x-xS^BC'Dx1>

h=4,而九==|x>/3a,a=2V3,

正方體外接球的半徑為J?？?(2可+(2可_

-3

2

其體積為:兀X33=367r.

故選8.

8.答案:D

解析：

本題考查棱錐、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、球的表面積、正弦定理的應(yīng)用，考查空間想象能力和思維能力，

屬于中檔題.

由題意畫(huà)出圖形，將三棱錐4一8。。置于一個(gè)直三棱柱4￡^-。尸8中，直三棱柱4DE-CFB的外接

球即為三棱錐4-BCO的外接球，則外接球心0在上下底面三角形外心連線線段的中點(diǎn)，利用正弦

定理可求aADE的外接圓半徑'，故可求得三棱錐A-BCD的外接球的半徑，代入球的表面積公式得

答案.

解：由題意可得乙1CB=ACAD=90°,將三棱錐4-BCD置于一個(gè)直三棱柱4DE-CFB中，如圖所

示：

由二面角B-AC-。為120?？芍?，NE40=120°,直三棱柱ADE-CFB的外接球即為三棱錐A-BCD

的外接球，

外接球心O在上下底面三角形外心連線線段的中點(diǎn)，

在△4DE中，AD=AE=1,/.EAD=120°,得DE=6,

設(shè)外接球半徑為R,△40E的外接圓半徑為r,

由正弦定理得2「=丁器帚=2,解得r=1,

又球心到底面AOE的距離d=-AC=烏

22

所以外接球的半徑R=尸不源=包

2

三棱錐4-BCD的外接球的表面積為47r-(y)2=7兀.

故選:D.

9.答案：B

解析：

本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間的距離，是中檔題.

通過(guò)化曲為直，把平面GFE繞EF旋轉(zhuǎn)直到與平面DiEF重合，使得點(diǎn)名與G位于E尸的兩側(cè)，再求

最值問(wèn)題即可得解.

如圖(1)，

圖(1)圖(2)

連接DiE,EG.,D]F,C/,&E,EB,

把平面GFE繞EF旋轉(zhuǎn)直到與平面DiE/重合，如圖(2),使得點(diǎn)％與G位于E尸的兩側(cè).

在正方體4BCD-A/iCiA中，因?yàn)锳DiAiE為直角三角形且&D1=2,A、E=丘,故=遍.

同理EF=百，DiF=3,JE=巫,C、F=居

22

故DrE+EF=0/2,故小QEF為直角三角形且/Z\EF=90°.

又PDi+PG的最小值就是圖(2)中DiG的長(zhǎng)，

在圖(2)中，由余弦定理可得cos/FEG=23：屏=爭(zhēng)故sin/FEG.=~r

所以COSNDiEG=cos(^+NFEQ)=-y.

D?=6+6+2x76x76x^=12+W7，

所以(PDi+PCJ2的最小值為12+4位.

10.答案：B

解析：

本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，四棱錐的體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬較難題.

由題意可得取BC中點(diǎn)E,則E為三角形ABC外接圓的圓心，由余弦定理可得NBED=120。，從而

可以得出BD1AC,/.BAD=60°,設(shè)三棱錐的外接球的圓心為O,由EB=2,OB=V5可以推出0E=

1,從而PD=2OE=2,再利用四棱錐的體積公式求解即可.

解

p

A

在三棱錐P-ABC中，

△ABC是直角三角形且4B1BC,乙CAB=30°,BC=2,

???AC=2BC=4,AB=V16-4=2百，

取BC中點(diǎn)E,

則4E=BE=CE=2,

即E為三角形ABC外接圓的圓心，

?:點(diǎn)P在平面ABC的射影D點(diǎn)在△4BC的外接圓上，

四邊形ABCD的對(duì)角線BD=2次，AD>CD,

4BED=120°,

又乙BEC=2ACAB=60°,

則AC平分NBEO,

則BC_L4C,ABAD=60°,

???AD=AB=BD=2A/3，

BC=CD=2,

設(shè)球心為。，

則OE1平面BADC,

???ED=EB=2,四棱錐P-ABCD的外接球半徑為6,

OE=V5-4=1.

二四棱錐P-ABC。的高PO=2OE=2,

???四棱錐P-4BCD的體積為：

1

v=§Xs四邊形BADCXPD

11

=~x(-x71CxBD)xPD

11「

=-x-x4x2V3x2

_873

—3?

故選：B.

11.答案：c

解析：

本題主要考查線面垂直的判斷及性質(zhì)，以及三棱錐外接球表面積的求法，一般題型.

結(jié)合題意，先得到點(diǎn)M為正方形CDD1C1對(duì)角線的交點(diǎn)，再根據(jù)三棱錐外接球的性質(zhì)，求得外接球半

徑，即可得到答案.

解：在長(zhǎng)方體2BCD一4/停1。1中，AB=CCX=V2.BC=1,

則G,D1CD1,A1D11C1D,A1D1nCD±=Dx,

即GD_L平面小。iC,又平面AMiC，

則C1D14C,在正方形CDDiG內(nèi)，CD］與相交于M,

則GM1CM,GM14C,CMCl41c=C,

即GM1平面41CM,

故點(diǎn)M即為正方形CDOiG對(duì)角線的交點(diǎn)，

由題意可得，在三棱錐M-AiCCi中，

GM=1,BM=IMIC=V5M1M=&，

在AaMC中，cosMMC=費(fèi)瑟=一爭(zhēng)

則sinN&MC=—，

12

所以，△&MC的外接圓半徑為r=盤(pán)=?，

2

所以三棱錐M—&CG的外接球半徑為R=J段?+盧==手，

即三棱錐M-41CC1的外接球表面積為S=4兀R2=117T.

故選C.

12.答案：D

解析：

本題考查空間想象能力，對(duì)球模型的轉(zhuǎn)換能力，考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于較難題.

三棱錐A—BCD中，BD1AD,DC1DA,底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外

接球，求出三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可.

解：翻折過(guò)程如圖所示：

則BOID、DC1DA,底面△BCD是等腰三角形，

而B(niǎo)DCZ)C=。，且80,DCu平面BCO,

故AZXL平面BCD,

則可將三棱錐4-BC0補(bǔ)形為三棱柱，

三棱柱中，底面ABDC,BD=CD=1,BC=痘，

在三角形BC。中，由余弦定理可得=BD2+CD2-2BD-CDcosZ.BDC,

即3=1+1-2cos乙BDC,解得C0S4B0C=

???乙BDC=120°,

在4BDC中，利用正弦定理求得△BDC的外接圓的半徑為三x-^-=1,

2sinl20°

由題意可得：球心到底面的距離為也=式，

22

???球的半徑為r==它.

742

外接球的表面積為：4717*2=7兀，

故選O.

13.答案：BC

解析:

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直，記熟線面平行、垂直的判定和性質(zhì)是迅

速解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查截面的畫(huà)法及計(jì)算，以及空間異面直線所成的角的求法，屬于較難題.

利用向量法判斷異面直線所成角；利用面面平行證明線面平行；作出正方體的截面為等腰梯形，求

其面積即可；利用等體積法處理點(diǎn)到平面的距離.

解：對(duì)選項(xiàng)人以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、DDi所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

-111

則。(0,0,0)、4(100)、41(1,0,1)、Eq,1,0)、F(0,l,-),。式0,0,1).

從而=(0,0,1)>AF=(-

從而?4F=g40,

所以直線。。1與直線AF不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

取81cl的中點(diǎn)為M,連接為M、GM,

則易知41M〃/1E,

又4也C平面AEF,AEu平面AEF,

故41M〃平面AE凡

又GM"EF,同理可得GM〃平面AEF,

又=&M、GMu平面&GM,

取平面A[MG“平面AEF,

又4Gu平面&MG,

從而A[G“平面AEF,選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,連接4%,DrF,如圖所示，

???正方體中4D//BCJ/EF,

???力、E、F、劣四點(diǎn)共面，

四邊形AEFDi為平面AEF截正方體所得的截面四邊形，且截面四邊形4EFZ\為梯形,

又由勾股定理可得DiF=AE=苧，AD、=瓜EF=專(zhuān)，

???梯形AEF5為等腰梯形，高為J隹y_（限建）2=運(yùn),

所以5郴%IEF01=3X+W）X當(dāng)^=1,從而選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D:由于S^GE"=S梯形BEFG~S^EBG

11111

X-------X-X-=

41+》222249

1111

而S&ECF=-X-X

2228’

而匕-GEF=1S&EFG'AB，VA-ECF=i^ECF'AB,

所以匕-GEF=2以_ECF，即%TEF=^C-AEF9

點(diǎn)G到平面AEF的距離為點(diǎn)C到平面AE尸的距離的二倍，從而。錯(cuò)誤.

故選BC.

14.答案：BC

解析：

本題考查了簡(jiǎn)單多面體(棱柱、棱錐、棱臺(tái))及其結(jié)構(gòu)特征、空間中直線與直線的位置關(guān)系、空間中

直線與平面的位置關(guān)系和空間中的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量判定A；由面面平行得

出線面平行，可判斷&易知四邊形AEFDi為平面AEF截正方體所得的截面四邊形，計(jì)算可判斷C；

(法一)以_GEF=2%_ECF，即%TEF=2VC.AEF,所以點(diǎn)G到平面AE尸的距離為點(diǎn)C到平面AE尸的

距離的2倍，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.(法二)假設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等，找出矛盾即可.

解：對(duì)于選項(xiàng)A,以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),5(0,0,1),4(1,0,0),F(0,l,y,從而砥=(0,0,1),(-1.1.1

所以西?而=1#0,所以劣。與直線A尸不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)B,取名口的中點(diǎn)為M,連接GM,則41M//AE,ArM仁平面AEF,AEu平面AEF,

.?.&M〃平面AEF；又GM〃EF,GM<t平面4￡下，EFu平面AEF,MG〃平面AEF,

又41MCMG=M,所以平面4MG〃平面4EF,&Gu平面&MG,從而&G〃平面AE凡選項(xiàng)B

正確.

對(duì)于選項(xiàng)C,連接4歷，DrF,易知四邊形AEFOi為平面AEF截正方體所得的截面四邊形(如圖)，且

DiH=AH=居ArD=&，

所以SAXW=；xgX'(，^廣-(\2)=：，而S四邊形AEFD1=雙皿H=所以選項(xiàng)C正確.

對(duì)于選項(xiàng)O，（法一）因?yàn)镾^GEF=3X1X弓=￡,S￡CF=7X?X?=R,^A-GEF=7^AEFG,—77,

z/qAzzzo3iz

匕-ECF=&S.ECF?48=彳

所以吸-GEF=2%_ECF，即%-4EF=2%YEF，所以點(diǎn)G到平面AE尸的距離為點(diǎn)C到平面AEF的距

離的2倍，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

（法二）假設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等，即平面AEF將線段CG平分，則平面4EF必過(guò)CG

的中點(diǎn)，連接CG交E尸于點(diǎn)O,易知。不是CG的中點(diǎn)，故假設(shè)不成立，從而選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選BC.

15.答案：AD

解析：

本題考查立體幾何中位置關(guān)系，表面積，外接球的問(wèn)題，屬于難題.

根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)，補(bǔ)全為四棱錐，根據(jù)題中所給的性質(zhì)，進(jìn)行判斷.

解：由棱臺(tái)性質(zhì)，畫(huà)出切割前的四棱錐，

由于力6=2及，=血，可知△"蜴與相似比為1:2；

則S4=244=4，40=2,則SO=2JJ，則。。=百，該四棱臺(tái)的高為JJ，4對(duì)；

因?yàn)?=SC=/C=4,則與CG夾角為60°，不垂直，8錯(cuò)；

該四棱臺(tái)的表面積為S=S卜底+S.麻+S翻=2+8+4x述箸x當(dāng)=10+6夕，C錯(cuò);

由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在OQ上,

在平面48OQ上中，由于=百，8，=1,則04=2=08,

即點(diǎn)O到點(diǎn)B與點(diǎn)片的距離相等，則r=OB=2,

該四棱臺(tái)外接球的表面積為16萬(wàn)，C對(duì)，

故選：AD.

16.答案:ABD

解析：解析：

本題主要考察的是向量法在幾何中的運(yùn)用，難度一般，屬于中檔題.

建立空間直角坐標(biāo)系。利用空間向量法一一驗(yàn)證即可.

解：以48為x軸，4。為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得：瓦工=(0,1,-1),西=

(-1,1,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1)>

故瓦下?前1=一1x0+1x1+1x(-1)=0，故兩向量垂直，故8正確；

B^C-BD=-lxO+lxl+(-1)x0=1,|B7C|=V2,|BD|=V2,

設(shè)異面直線&C和8。所成的角為。，則cos。=禹偌i=i

又因?yàn)?。€(().1,所以小；,故。正確；

設(shè)平面4BD的法向量為元=(x,y,z),

則儼?町=0,的尸=2

(n-=0J+z=0

取為=(1,1,1),則元?布=0x1+1x1+1x(-1)=0即記1瓶,

又因?yàn)橹本€BiC不在平面&BD,所以直線BiC〃平面&BD,故4正確；

=%1-GCE=,SgCE=9xlx[xlxl=，，

故c不正確.

故選ABD.

17.答案：憐胡

解析:

本題以正四棱柱為載體，考查空間幾何體中線段長(zhǎng)度相關(guān)問(wèn)題，屬于較難題.解題時(shí)可先建立空間直

角坐標(biāo)系，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，再分類(lèi)討論即可.

解：由圖得4(1,0,0),4(1,0,2),P(0,l,1),8(1/，0),

設(shè)M(x,y,z),

在上，二麗=4西，BP(x-l,y-l,z)=A(0,-l,2)(0<A<1),

M(l,l-2,22),AM=(0,A-1,-2A)?~MP=(-1,2,1-2A).

.AM_/~(——1)2+4-2__/sA2-2A+1_IT~~2A-1

??MP--J1+A2+(1-2A)2-\5A2-41+2-1+5A2-4A+2，

令=則醞曝4t

5t2+2t+5,

當(dāng)時(shí)，即4tK=^4e[-[”1o)\，

當(dāng)te(0,1]時(shí),=啟?0母，

當(dāng)"。時(shí)，4=0,二思裊十制，則翳噌，甯

18.答案:72V3

解析：

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，本題解題的關(guān)鍵是看出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么，看出是一個(gè)正三角形，

這樣題目做起來(lái)就方向明確.

小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正

四面體的棱長(zhǎng)為4茄，故小三角形的邊長(zhǎng)為2遍，做出面積相減，得到結(jié)果.

解：如圖甲，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，記小球半徑為r,作平面4&G〃平面ABC,

與小球相切于點(diǎn)。，則小球球心。為正四面體P—AiBiCi的中心，PO1面4B1G，垂足。為&B1G

的中心.

因匕-八心仆=7、"PD=1I”.1出c=」?（）D,

MO

故PD=40D=4r,從而P。=PD-OD=4r—r=3r.

記此時(shí)小球與面PAB的切點(diǎn)為B，連接。Pi，

則PPi=PO2-OPl=V（3r）2-r2=2V2r.

考慮小球與正四面體的一個(gè)面（不妨取為PAB）相切時(shí)的情況，易知小球在面PAB上最靠近邊的切點(diǎn)

的軌跡仍為正三角形，記為PiEF,如圖乙.

記正四面體的棱長(zhǎng)為“，過(guò)自作AM1P4于M.

因4Mpp1=也有PM=PP]?cosMPPi=2V2r-y=V6r.

故小三角形的邊長(zhǎng)PiE=PA-2PM=a-2V6r.

小球與面PAB不能接觸到的部分的面積參考圖乙、

S^PAB-S^EF=-j-(?*-(?-2>/^r}2)=3y/2ar—6\/3r2，

又r=1,a=4>/6,所以SAPAB—SMEF=244—6x/5=

由對(duì)稱(chēng)性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為72g.

故答案為72次.

1

19.答案:

解析：

本題考查異面直線所成角的求解，涉及勾股定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.

構(gòu)造正四面體4BCO中，中心P到各頂點(diǎn)連線所夾的角相等，則乙4PD就為所求的角，由此能求出

這個(gè)角的余弦值.

解：如圖，正四面體ABCQ中，中心P到各頂點(diǎn)連線所夾的角相等，則NAPD就為所求的角，

設(shè)正四面體A8C。的棱長(zhǎng)為小作4E_1_面88,垂足為E,作BF_LCD,交CZ）于F,則PW4E,EeBF,

連結(jié)AF,

則BF=小2一（乎=,a,BE=1BF=ga，AE=Ja2-=y

設(shè).=PB=r,則PE=9-r,

則N=wa）?+（當(dāng)a—r）2,解得r=華a,

PA2+PD2-AD2

所以cos乙4Po=

2PAPD

所以這個(gè)角的余弦值為-a

故答案為-

20.答案:1+V3

解析：

本題考查空間點(diǎn)與直線的距離的求法，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

直線BC與動(dòng)點(diǎn)。的空間關(guān)系：點(diǎn)。是以BC為直徑的球面上的點(diǎn)，最大距離為力到球心的距離+半

徑.

解：由題意，直線與動(dòng)點(diǎn)。的空間關(guān)系：點(diǎn)。是以BC為直徑的球面上的點(diǎn)，

所以。到。的距離為四面體上以8C為直徑的球面上的點(diǎn)到D的距離，

由正四面體(所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐MBCD的棱長(zhǎng)為2,

則。到BC中點(diǎn)的距離為百，

最大距離為。到球心的距離+半徑=遍+1.

O到點(diǎn)D的距離的最大值為1+V3>

故答案為1+VT

21.答案:67r

解析：

本題考查平面圖形折疊中的線面關(guān)系以及球體，考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能

力，屬于中檔題.

由題意，可得8c=2,AD=BD=CD=6,通過(guò)計(jì)算判斷8。_LC。，再由4。1BO,AD1CD,

可知以A,D,B,C為頂點(diǎn)構(gòu)造正方體，該正方體的外接球就是三棱錐4-BCD的外接球，求出正

方體對(duì)角線長(zhǎng)可得球的半徑，再由球的表面積公式可得.

解：沿折登后使△ABC成等邊三角形，即折疊后BC=2,

易得AD=BD=CD=遮,

222

而+CD2=(72)+(V2)=4=BC,所以BO1CD,

又4D1CD,.??以A,D,B,C為頂點(diǎn)構(gòu)造正方體，

則該正方體的外接球就是三棱錐力-BCD的外接球，

設(shè)三棱錐4-BC。的外接球的半徑為R,

則(2R)2=DA2+DB2+DC2=(V2)2+(V2)2+(V2)2=6，

解得R2=|,

所以三棱錐A-BCD的外接球的表面積S=4nR2=4兀x|=6兀.

故答案為67r.

22.答案：3V2—V6

解析：

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及棱錐的體積，屬于較難題；

由題意得正四面體488的高為4聲，外接球的半徑為3布，由題意得正棱錐E-BCD的表面積5=

36(3+73),

體積/_BCD=72vL設(shè)正三棱錐E-BCD的內(nèi)切球的半徑為r,由［sr=72或，得r=3近一歷；

即可求解.

解：???棱長(zhǎng)為12的正四面體ABCD與正三棱錐E-BCD的底面重合，

由它們構(gòu)成的多面體ABCDE的頂點(diǎn)均在一球的球面上，

???多面體ABCDE的外接球即正四面體ABCD的外接球，且其外接球的直徑為AE,

由題意得正四面體ABCD的高為4痣，

設(shè)正四面體ABC。的外接球半徑為R,

則/?2=(4①—R)2+(4^6)2,解得R=3V6，

設(shè)正三棱錐E-BCD的高為h,

,:AE=6y/6=4V6+h,

h=2V6，

???底面△BC。的邊長(zhǎng)為12,

???EB=EC=ED=J(2峋2+(4⑹2=g五,

則正三棱錐E-BCD的三條側(cè)棱兩兩垂直，

由題意得正棱錐E-BCD的表面積S=36(3+V3).

體積/_8CD=|X|X6V2X6V2X6V2=72V2,

設(shè)正三棱錐E-BCD的內(nèi)切球的半徑為r,

由5s-r=72V2,得r=3V2—V6.

故答案為3位-連.

23.答案：白

48

解析：

本題主要考查了三棱錐的體積，屬于中檔題.

利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合棱錐的體積公式求解.

解：如下圖，

在正方體4BCC中，可以證得0通JL平面為CCB1，

又CEu平面&DCB1，

所以1CE,

在平面0EC中，DrE1CE,FM1CE,

所以FM〃O】E,

又尸為CE的中點(diǎn)，所以M為DiC的中點(diǎn)，

所以%-DEF=2^M-DCE=4KDJ-DCE

VcDDA=XX1X1X1=

=；K；-DED1=--^T63^-

故答案為L(zhǎng)

48

24.答案：207r

解析：

本題考查求三棱錐的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定球的半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題.

由題意，等邊三角形的高為3,設(shè)球心到底面的距離為x,則"=22+/=12+（3一乃2,求出招

可得r,即可求出該三棱錐的外接球的表面積.

解：由題意，如圖，

可得等邊三角形的高為3,

設(shè)球心為O,半徑為r,設(shè)球心到底面ABC的距離為x,

則N=22+x2=12+（3-x）2,

所以x=l,所以「=而，

所以該三棱錐的外接球的表面積為4仃2=207r.

故答案為207T.

25.答案：②④

解析：

本題主要考查棱柱、棱錐的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是知道設(shè)出圖①的水高，和幾何體的高，計(jì)算水

的體積，容易判斷①、④的正誤；對(duì)于②，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，根據(jù)

體積判斷它是正確的.根據(jù)當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，計(jì)算水的體積和實(shí)際不符，是錯(cuò)

誤的.

解：設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為江圖①水的高度電兒何體的高為心，

22

圖②中水的體積為川八］—bh2=b（/ii-殳），

所以182/^=82（刈―%），所以九IMGB，故①錯(cuò)誤，④正確；

對(duì)于②，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也

恰好經(jīng)過(guò)尸點(diǎn)，故②正確。

對(duì)于③，假設(shè)③正確，當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，經(jīng)計(jì)算得水的體積為fl匕2九2>|/電，

矛盾，故③不正確。

故選②④.

26.答案：V2-1

解析：

本題考查了多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征，以及幾何體的內(nèi)切切球的半徑的求法.

解：過(guò)點(diǎn)P作P01平面ABC于點(diǎn)￡>,連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連接PE,

?.,△4BC是正三角形，

???4E是8c邊上的高和中線，。為△力BC的中心，

vAB=2V3.

S△ABC=3V3,DE=1,PE=V2.

5表=3x1x2V3xV2+3V3=3V6+3A/3,

???PO=1,.?.三棱錐的體積V=|x3V3x1=V3,

設(shè)球的半徑為r,以球心。為頂點(diǎn)，三棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，貝b=

3V6+3V3

故答案為四—1.

27.答案：（

解析：

本題考查了正四面體的性質(zhì)、勾股定理、正三角形的性質(zhì)、長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與其外接球的直徑之

間的關(guān)系，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

要滿足一高為隹的長(zhǎng)方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)不超過(guò)正四面體的內(nèi)

6

切球的直徑.利用正四面體的性質(zhì)可得內(nèi)切球的半徑，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與內(nèi)切球的直徑的關(guān)

系、基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解：設(shè)正四面體S-力BC如圖所示，

可得它的內(nèi)切球的球心。必定在高線S”上，

延長(zhǎng)A，交BC于點(diǎn)。，則。為BC的中點(diǎn)，連接SZ),

則內(nèi)切球切于點(diǎn)E，連接A0.

是正三角形ABC的中心，

AH：HD=2：1,

?:RtAOAHsRt△DSH,

~=可得。4=3。"=SO,

OHDH

因此，SH=40H,可得內(nèi)切球的半徑R=OH=1SH.

4

???正四面體棱長(zhǎng)為1,

???Rt中，

SD=y/SH2+HD2

1V3。

=J(4R)o2+qX^)2

-_-V3，

2

解得R2=A.

24

要滿足一高為立的長(zhǎng)方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，

6

則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)不超過(guò)正四面體的內(nèi)切球的直徑，

設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬分別為X,必

該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬形成的長(zhǎng)方形面積為S.

?,?4產(chǎn)>(f)2+/+y2,

???x2+y2<卷,

x2+y2

???Sxy<S京當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)),

2

故答案為A.

24

28.答案：90°

8V14