2025高考備考數(shù)學知識點突破3　數(shù)列中的創(chuàng)新型問題

突破3數(shù)列中的創(chuàng)新型問題學生用書P107命題點1數(shù)學文化情境下的數(shù)列應用例1[2021新高考卷Ⅰ]某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5；如果對折n次，那么∑nk=1Sk＝240（3－n+32解析依題意得，S1＝120×2＝240（dm2）；S2＝60×3＝180（dm2）；當n＝3時，共可以得到5dm×6dm，52dm×12dm，10dm×3dm，20dm×32dm四種規(guī)格的圖形，且面積均為30dm2，所以S3＝30×4＝120（dm當n＝4時，共可以得到5dm×3dm，52dm×6dm，54dm×12dm，10dm×320dm×34dm五種規(guī)格的圖形，所以對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5，且面積均為15dm2，所以S4＝15×5＝75（dm2……所以可歸納Sk＝2402k×（k＋1）＝所以∑k=1nSk＝240（1＋322＋423＋…＋所以12×∑k=1nSk＝240（222＋323＋424由①－②得，12×∑k=1nSk＝240（1＋122＋123＋124＋…＋12n－n+12n+1）＝240{1＋122[1－（12）方法技巧通過數(shù)學建模解決數(shù)學文化問題的步驟讀懂題意會“脫去”題目中的背景，提取關(guān)鍵信息.構(gòu)造模型由題意構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型.“解?！卑褑栴}轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的問題，如求指定項、公差（或公比）、項數(shù)、通項公式或前n項和等.訓練1[2023安徽名校聯(lián)考]“物不知數(shù)”原載于《孫子算經(jīng)》，它的系統(tǒng)解法是南宋數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章·大衍求一術(shù)》中給出的.“大衍求一術(shù)”是中國古算中最具獨創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.現(xiàn)有一道同余式組問題：將正整數(shù)中，被4除余1且被6除余3的數(shù)，按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，記{an}的前n項和為Sn，則S10＝（C）A.495 B.522 C.630 D.730解析由題知，被4除余1且被6除余3的數(shù)中，最小的正整數(shù)是9，則滿足條件的數(shù)列{an}是以9為首項，12為公差的等差數(shù)列，則an＝12n－3（n∈N*），所以S10＝10×（9+117）2＝630.命題點2現(xiàn)代生活情境下的數(shù)列應用例2某市抗洪指揮部接到最新雨情預報，未來24h城區(qū)攔洪壩外洪水將超過警戒水位，因此需要緊急抽調(diào)工程機械加高加固攔洪壩.經(jīng)測算，加高加固攔洪壩工程需要調(diào)用20輛某型號翻斗車，平均每輛翻斗車需要工作24h.而抗洪指揮部目前只有一輛翻斗車可立即投入施工，其余翻斗車需要從其他施工現(xiàn)場抽調(diào).若抽調(diào)的翻斗車每隔20min才有一輛到達施工現(xiàn)場投入工作，要在24h內(nèi)完成攔洪壩加高加固工程，指揮部至少還需要抽調(diào)這種型號翻斗車（C）A.25輛 B.24輛 C.23輛 D.22輛解析由題意可知，一輛翻斗車需要20×24＝480（h）才能完成攔洪壩的加高加固工程，設(shè)至少需要n輛這種型號的翻斗車才能在24h內(nèi)完成該工程，這n輛翻斗車的工作時間（單位：h）按從大到小排列依次記為a1，a2，…，an，則數(shù)列{an}是公差為－13的等差數(shù)列，所以a1＝24，記{an}的前n項和為Sn，則Sn＝na1＋n（n－1）2×（－13）＝24n－16n（n－1），當n＝23時，Sn≈467.7＜480，當n＝24時，Sn＝484＞480，故訓練2[多選]如圖所示，這是小朋友們喜歡玩的彩虹塔疊疊樂玩具.某數(shù)學興趣小組利用該玩具制訂如下玩法：在2號桿中自下而上串有由大到小的n（n∈N*）個彩虹圈，將2號桿中的彩虹圈全部移動到1號桿中，3號桿可以作為過渡使用；每次只能移動一個彩虹圈，且無論在哪個桿中，小的彩虹圈必須放置在大的上方；將一個彩虹圈從一個桿移動到另一個桿中記為移動1次，記an為2號桿中n個彩虹圈全部移動到1號桿所需要的最少移動次數(shù)，設(shè)bn＝an＋1－n，則下面結(jié)論正確的是（ABD）A.a3＝7B.an＋1＝2an＋1C.bn＝2n＋n－1D.∑i=1nb解析由題意易得，a1＝1，a2＝3.易知將n＋1個彩虹圈全部移動到1號桿中所需要的最少次數(shù)為an＋1，若要將2號桿中的n＋1個彩虹圈全部移動到1號桿中，則第一步，將除了最大的彩虹圈的n個彩虹圈全部移動到3號桿中，所需要移動的最少次數(shù)為an；第二步，將最大的彩虹圈移動到1號桿中，最少需要移動1次；第三步，將3號桿中的n個彩虹圈全部移動到1號桿中，需要移動的最少次數(shù)為an，所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1）.又a1＋1＝2，所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝2n，an＝2n－1，a3＝7，所以選項A，B均正確；因為bn＝an＋1－n，所以bn＝2n＋1－1－n，所以選項C錯誤；因為bn＋nbnbn+1＝1bn－1bn+1，所以∑i=1nbi＋ibibi+1＝1b1－1b2＋命題點3數(shù)列中的新定義問題例3我們把形如Fn＝22n＋1（n∈N）的數(shù)叫做“費馬數(shù)”，設(shè)an＝log2（Fn－1），n∈N*，Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則使不等式22S1S2＋23S2S3＋A.5 B.6 C.7 D.8解析因為Fn＝22n＋1（n∈N），所以當n∈N*時，an＝log2（Fn－1）＝log2（22n＋1－1）＝2n，所以Sn＝2×（1－2n）1－2＝2n＋1－2.而2n+1SnSn+1＝2n+1（2n+1－2)(2n+2－2）＝12n+1－2－12n+2－2，所以22S1訓練3函數(shù)y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.已知數(shù)列{an}滿足a3＝3，且an＝n（an＋1－an），若bn＝[lgan]，則數(shù)列{bn}的前2025項和為4968.解析由an＝n（an＋1－an），得（n＋1）an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，利用累乘法（或an+1n+1＝ann＝a33＝1），可得an＝n.記{bn}的前n項和為Tn，當1≤n≤9時，0≤lgan＜1，bn＝[lgan]＝0；當10≤n≤99時，1≤lgan＜2，bn＝1；當100≤n≤999當1000≤n≤2025時，3≤lgan＜4，bn＝3.所以T2025＝（b1＋…＋b9）＋（b10＋…＋b99）＋（b100＋…＋b999）＋（b1000＋…＋b2025）＝9×0＋90×1＋900×2＋1026×3＝4968.1.[命題點1/2023河南鄭州一模]我國古代有這樣一個數(shù)學問題：今有男子善走，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？其大意是：現(xiàn)有一個善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他一共行走了一千二百六十里，求d的值.關(guān)于該問題，下列結(jié)論錯誤的是（A）A.d＝15B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天一共行走了九百一十里D.此人前八天一共行走了一千零八十里解析設(shè)此人第n（n∈N*）天走an里，則數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，由題意可得a1=100，S9=9a1+36d=1260，解得d＝10，A錯.a3＝a1＋2d＝120，B對.S7＝7a1＋6×72d＝910，C對.S2.[命題點2/2023江西清江中學期末]現(xiàn)某藥廠打算投入一條新的藥品生產(chǎn)線，已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計年產(chǎn)量（單位：萬件）為T（n）＝14n（n＋1）（n＋3），如果年產(chǎn)量超過60萬件，可能出現(xiàn)產(chǎn)量過剩，產(chǎn)生藥物浪費.從避免藥物浪費和環(huán)境保護的角度出發(fā)，這條生產(chǎn)線的最大生產(chǎn)期限應擬定為（BA.7年 B.8年 C.9年 D.10年解析設(shè)第n年年產(chǎn)量為an，則第一年年產(chǎn)量為a1＝T1＝2，以后各年年產(chǎn)量為an＝T（n）－T（n－1）＝14n（3n＋5）（n≥2，n∈N*a1＝2也符合上式，所以an＝14n（3n＋5）（n∈N*）令14n（3n＋5）≤60，得3n2＋5n－240≤設(shè)f（x）＝3x2＋5x－240，其圖象的對稱軸為直線x＝－56，則當x＞0時，f（x）單調(diào)遞增又f（8）＝3×82＋5×8－240＝－8＜0，f（9）＝3×92＋5×9－240＝48＞0，所以3n2＋5n－240≤0的最大正整數(shù)解為8，則這條生產(chǎn)線的最大生產(chǎn)期限應擬定為8年.故選B.3.[命題點3/多選/2023北京師范大學第二附屬中學期中]若一個數(shù)列的第m項等于這個數(shù)列的前m項的乘積，則稱這個數(shù)列為“m積特征列”，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}為“6積特征列”，且a1＞1，則當{an}的前n項之積最大時，n的值為（CD）A.5 B.4 C.3 D.2解析由{an}是等比數(shù)列，得an＝a1qn－1，其中q為數(shù)列{an}的公比.因為數(shù)列{an}是“6積特征列”，所以a6＝a1a2a3a4a5a6，所以a15q10＝1，所以a1q2＝1，所以a1＝q－因為數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，a1＞1，所以0＜q＜1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項之積為Pn，則有Pn＝a1a2…an＝a1nq1＋2＋3＋…＋（n－1）＝因為0＜q＜1，所以當n2－5n2結(jié)合二次函數(shù)的圖象及n∈N*知當n＝2或n＝3時，n2－5n2最小，P學生用書·練習幫P3151.[2023武漢市5月模擬]將1，2，…，n按照某種順序排成一列得到數(shù)列{an}，對任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么稱數(shù)對（ai，aj）構(gòu)成數(shù)列{an}的一個逆序?qū)?若n＝4，則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列{an}的個數(shù)為（B）A.4 B.5 C.6 D.7解析由題知數(shù)列{an}中的項都是正整數(shù)，當n＝4時，1≤i＜j≤4，將1，2，3，4按照某種順序排成一列，則用列舉法列出所有恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列的組合為{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，1，2，4}，共5個，故選B.2.[2024湖南名校聯(lián)考]南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列{an}本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列{an}中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列{bn}（稱數(shù)列{an}為一階等差數(shù)列），或者{bn}仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列{bn}中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列{cn}（稱數(shù)列{an}為二階等差數(shù)列）……以此類推，得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}：1，1，3，27，729，…是一階等比數(shù)列，則∑n=110log3an的值為（參考公式：12＋22＋…＋n2＝n6（n＋1）（2n＋1））（A.60 B.120 C.240 D.480解析由題意知，數(shù)列{an}為一階等比數(shù)列.設(shè)bn＝an+1an，則{bn}為等比數(shù)列，其中b1＝1，b2＝3，公比為q＝b2b1＝3，所以bn＝3n－1.故an＝bn－1bn－2…b1·a1＝31＋2＋3＋…＋（n－2）＝3（n－1)(n－2）2，n≥212（n2－3n＋2）.所以∑n=110log3an＝log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝12×[（12＋22＋…＋102）－3×（1＋2＋…＋10）＋2×10]＝12×[（16×10×11×21）－3×（1+10）×102＋3.[2023昆明市模擬]Farey序列是指把在0到1之間的所有分母不超過n（n∈N*）的最簡分數(shù)及0（視為01）和1（視為11）按從小到大的順序排列起來所形成的數(shù)列，記作F－n，例如F－4就是01，14，13，12，23，34，11.解析F－7中分子為1的有17，16，15，14，13，12；分子為2的有27，25，23；分子為3的有37，35，34；分子為4的有47，45；分子為5的有54.對于數(shù)列{an}，使數(shù)列{an}的前k項和為正整數(shù)的k的值叫做“幸福數(shù)”.已知an＝log4n+1n，則數(shù)列{an}在區(qū)間[1，2025]內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的個數(shù)為5解析an＝log4n+1n＝log4（n＋1）－log4n，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn＝log42－log41＋log43－log42＋…＋log4（n＋1）－log4n＝log4（n＋1根據(jù)題意得Sk為正整數(shù)，設(shè)Sk＝m（m∈N*），則log4（k＋1）＝m，所以k＋1＝4m，令1≤k≤2025，則1≤4m－1≤2025，故m可取1，2，3，4，5，共5個數(shù)，所以所求“幸福數(shù)”有5個，故答案為5.5.我國古人將一年分為二十四個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，冬至的晷長最長，夏至的晷長最短，周而復始.已知冬至的晷長為13.5尺，芒種的晷長為2.5尺，則一年中夏至到大雪的晷長的和為84尺.解析依題意，冬至的晷長為13.5尺，記為a1＝13.5，芒種的晷長為2.5尺，記為a12＝2.5，因為相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，所以從冬至到芒種的晷長可構(gòu)成等差數(shù)列{an}，n∈N*，n≤12，則數(shù)列{an}的公差d＝a12－a112－1＝2.5－13.512－1＝－1.因為夏至與芒種相鄰，且夏至的晷長最短，所以夏至的晷長為a12＋d＝1.5（尺），又大雪與冬至相鄰，且冬至的晷長最長，所以大雪的晷長為a1＋d＝12.56.某項測試有10道必答題，甲和乙參加該測試，分別用數(shù)列{an}和{bn}記錄他們的成績.若第k題甲答對，則ak＝k，若第k題甲答錯，則ak＝－k；若第k題乙答對，則bk＝2k－1，若第k題乙答錯，則bk＝－2k－1.已知b1＋b2＋…＋b10＝767，a1b1＋a2b2＋…＋a10b10＝9217，則a1＋a2＋…＋a10＝39.解析由題意可知｜ak｜＝k，｜bk｜＝2k－1，記T＝∑i=110｜ai｜｜bi｜＝1×20＋2×21＋…＋10×29，則2T＝1×21＋2×22＋…＋10×210，兩式相減得T＝－（20＋21＋…＋29）＋10×210＝－1－2101－2＋10×210＝1＋9×210＝9217，所以∑i=110｜ai｜｜bi｜＝∑i=110aibi，該式表明對于10道題中的每一道題，甲和乙同時答對或者同