高考數(shù)學二輪復習 考前回扣7 立體幾何講學案 理-人教版高三全冊數(shù)學學案

回扣7立體幾何

IT基礎(chǔ)回歸--------------------

1.概念理解

（1）四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關(guān)

系.

底面是平行四邊形

1四棱柱卜-?I平行六面體1

側(cè)直側(cè)直

棱底棱底

垂面垂面

底面是平行四邊形

「且十仃八回1公1

底正

面蘇面露

為形為形

棱長」if方二極長

相等［正方體|相等_|￥士侏I

（2）三視圖

①三視圖的正（主）視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖分別是從幾何的正前方、正左方、正上方觀察

幾何體畫出的輪廓線.畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高.

②三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正（主）視圖的下面，長度與正（主）視圖一樣；側(cè)（左）視圖放

在正（主）視圖的右面，高度和正（主）視圖一樣，寬度與俯視圖一樣.

2.柱、錐、臺、球體的表面積和體積

側(cè)面展開圖表面積體積

直棱柱長方形S=2S底+S側(cè)-s底?力

圓柱長方形S=2Jir+2兀rlV=r91

1

棱錐由若干三角形構(gòu)成5=5底+5側(cè)—底?h

o

12

圓錐扇形S=兀r+兀rl—§兀r?h

金+

棱臺由若干個梯形構(gòu)成S=S上底+S下底+S側(cè)J

S')-h

f

S=兀/?+兀(r+r)7+f

圓臺扇環(huán)—［兀｛r~\~rr'+r

2

JIr

2)?h

5=1nr

球5=4Jir

3.平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖

(1)

面面平行的判定

面面平行的性質(zhì)

面面垂直的判定

線線線面垂直的判定.線面1面面垂直的判定.面面

垂直線面垂直的性質(zhì)垂直面面垂直的性質(zhì)垂直

面面垂直的性質(zhì)

⑵兩個結(jié)論

a_La//b1

①a//b,②r=>bX.a.

bA_a\a±a\

4.用空間向量證明平行垂直

設(shè)直線，的方向向量為a=(4,b\,ci),平面a,￡的法向量分別為〃=3，也,c2),v

=(a3,b,,GJ).則有：

⑴線面平行

J〃a=aJ_〃=a?。=0=@1&+6立+QC2=0.

(2)線面垂直

7±aoa〃B=a=kN=a、=kai,b\—kbi,Ci=kd.

(3)面面平行

a〃￡=〃〃「<=>〃=1roa2=Aas,bi—bi,c2—Cs.

(4)面面垂直

aJ_?片0=a2a3+Z%慶+c2c3=0.

5.用向量求空間角

⑴直線Z,心的夾角《有cos?=|cos〈4,珀|(其中Z,乙分別是直線為，心的方向向

量）.

（2）直線/與平面。的夾角夕有sin夕=|cos〈/,n）|（其中/是直線/的方向向量，n

是平面a的法向量）.

（3）平面a,￡的夾角夕有cos?=|cos〈4，加,貝?。?。一/一￡二面角的平面角為9

或it—0（其中恐分別是平面a,B的法向量）.

ET易錯提醒----------------------

1.混淆“點/在直線a上”與“直線a在平面a內(nèi)”的數(shù)學符號關(guān)系，應表示為/da,

aca.

2.在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪

廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線.在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正（主）

視圖和俯視圖為主.

3.易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底面

面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時，易漏掉體積公式中的系數(shù)）

4.不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中

的條件，導致判斷出錯.如由aC8=1,mil,易誤得出九L￡的結(jié)論，就是因

為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中歸a的限制條件.

5.注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對照前后圖形，弄清楚變與不

變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位

置與數(shù)量關(guān)系.

6.幾種角的范圍

兩條異面直線所成的角0°<aW90°；

直線與平面所成的角0°WaW90°；

二面角0°WaW180。；

兩條相交直線所成的角（夾角）0°；

直線的傾斜角0°Wa〈180°；

兩個向量的夾角0°WaW180。；

銳角0°<^<90°.

7.空間向量求角時易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求解二面角時，不能根據(jù)幾

何體判斷二面角的范圍，忽視向量的方向，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導

致出錯.

m回歸訓練

1.（2017?重慶外國語學校月考）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是

（）

正?。┮晥D側(cè)（左）視圖

俯視圖

JI

C.-D.Ji

答案D

334

3

解析由三視圖可知，該幾何體為球的彳，其半徑為1,則體積r=7X-XJrxi=n.

2.直三棱柱/反-48K的直觀圖及三視圖如圖所示，，為/。的中點，則下列命題是假命題

的是（）

正?。┮晥D側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.陽〃平面劭G

B.4C_L平面劭G

C.直三棱柱的體積「=4

D.直三棱柱的外接球的表面積為4/n

答案D

解析由三視圖可知，直三棱柱A6G4反G的側(cè)面60是邊長為2

的正方形，底面/8C是等腰直角三角形，ABVBC,AB=BC=2.

連接BK交BQ于點0,連接0D.

B

在中，0,，分別是6C,/C的中點，

：.0D//AB,,C,

又Ofc平面〃居，46H平面初G,

平面劭G.故A正確；

在直三棱柱ABC-461G中，44_L平面ABC,

:.AA'LBD.又AB=BC=2,〃為/C的中點，

J.BDLAC,

又/4C/C=4M,47u平面冊KG

.?.皮?_L平面/4GC：

：.BDVAxC.

又48_L6iG,AiBdBB

.,.4合_1_平面BiCiCB,

??A\B\A_BC\.

,:B&LaC,且AiB1cBic=R,

aU平面AiBtC.

：.BG±AiC,

又BDCB￡=B,BD,6Gu平面初G,

...4C_L平面劭G.故B正確；

片=8胸XGC=；X2X2X2=4,故C正確；

此直三棱柱的外接球的半徑為十，其表面積為12m,D錯.故選D.

3.已知直線/,力和平面a,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若1//m,歸a,則/〃。

B.若7_LQ,歸a,貝ljl.\_m

C.若l_Lm,7_LQ,則m//Q

D.若/〃a,。，貝1Jl//m

答案B

解析若1//m,歸a,貝!]/〃?；騄ua,故A錯誤；若/_L。，歸a,則B正確；

若ILm,/_!_a,則y?ca或m//a,故C錯誤；若/〃a,maa,則/〃加或/,勿異面，

故選B.

4.己知互相垂直的平面a,￡交于直線/.若直線如〃滿足0〃a,貝)

A.m//1B.m//n

C.nilD.mln

答案C

解析由題意知，aC8=1,：.luB,

故選C.

5.已知r,〃為異面直線，0_L平面a,平面￡.直線/滿足/_!_〃，l^_n,IQa,及B,

則()

A.a〃￡且/〃a

B.。_1￡且八￡

C.a與￡相交，且交線垂直于1

D.。與￡相交，且交線平行于1

答案D

解析假設(shè)?！ā?由旌L平面a,〃_L平面￡,得小〃A,這與已知如〃為異面直線矛盾,

那么。與￡相交，設(shè)交線為4,則，，如hl.n,在直線加上任取一點作小平行于〃，那

么，和,都垂直于直線口與4所確定的平面，所以△〃).

6.如圖，正方體/G的棱長為1,過點力作平面4曲的垂線，垂足為點〃

以下四個命題：①點〃是加的垂心；②/〃垂直于平面組”；③直線

和掰所成角為45°；④四的延長線經(jīng)過點G,其中假命題的個數(shù)為

()

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析'：AB=AAl=AD,BA\=BD=A\D,

三棱錐力一物防為正三棱錐，

.,.點〃是劭的垂心，故①正確;

:平面4初與平面反勿平行，平面4劭,

平面CBM,故②正確；

'：AAJ/BB?

：.24■就是直線/〃和陽所成的角，

在直角三角形4處中，

???力4=1,4〃='|義半x/=平，

sinXAiA/f=^~7^~^j故③錯誤；

04

根據(jù)正方體的對稱性得到的延長線經(jīng)過Q,

故④正確，故選B.

7.將正方體的紙盒展開如圖，直線切在原正方體的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直

C.相交成60°角D.異面且成60°角

答案D

解析如圖，直線48切異面.因為磔'〃/8所以/氏/即為直線/氏切所成的角，因為

應為等邊三角形，故/反3=60°.

8.長方體的頂點都在同一球面上，其同一頂點處的三條棱長分別為3,4,5,則該球面的表

面積為（）

A.25兀B.50Ji

125蛆

C.75兀D.—不一兀

答案B

解析設(shè)球的半徑為尼由題意可得（2而2=32+于+52=50,，4川=50,球的表面積為S=

4兀4=50兀.

9.如圖，三棱錐力一夕切的棱長全相等，點￡為/〃的中點，則直線四與初所成角的余弦

值為（）

A

V63RV23

答案A

解析方法一取四中點G,連接CG.

為49中點，：.EG//BD.

曲「為CF與劭所成的角.設(shè)48=1,

11

則nlEG=-^BD=-,

VI

CE=CG=看,

,E4+EE—GG

..cos/GK_2XEGXEC

V63

方法二設(shè)45=1,則無'?筋=（益一亦?（花一葩）=（同一司?

（AD-A5）

=；而一;茄。誦一於?花+花，茄

11

---

2260—cos60°+cos60°=-

4

1

礪4-

V63

/.cos〈CE,BD)-故選A.

2

10.已知正三棱柱相。一464的側(cè)棱長與底面邊長相等，則眼與側(cè)面ZGG4所成角的正弦

值等于（)

A近

A-4B-迎4

花

答案A

解析如圖所示建立空間直角坐標系，設(shè)正三棱柱的棱長為2,則

。(0,0,0),8((,0,0),4(0,-1,0),BAyfi,0,2),則誦】=(十,

1,2）,則瓦上（一:，0,0）為側(cè)面4M4的法向量,

宓.的乖

故sin0—

4,

Ml\B0\

11.如圖，在空間四邊形力6切中，點、MGAB,點NGAD,若言=訴則直線腑與平面6%

MbINU

的位置關(guān)系是

答案平行

解析由暗=嗡，得如■〃薇

MDND

而〃七平面初C,■平面初C,

所以冊■〃平面及心

12.己知長方體/以力一/B'CD',E,F,G,〃分別是棱BB',B'0,DD'的中

點，從中任取兩點確定的直線中，與平面48,D'平行的有條.

答案6

解析如圖，連接為EH,FG,,：EH^FG,

瓦詡四點共面，由EG//AB',EH//AD',

EGCEH=E,AB'C\AD'=4,

可得平面防陽與平面"夕D'平行,

.?.符合條件的共有6條.

13.點尸在正方形相切所在平面外，見，平面PA=AB,則以與〃所成角的大小是

、兀

答案T

解析以/為原點，所在直線為x軸，/〃所在直線為y軸，/尸所在直線為z軸建立空間

直角坐標系，設(shè)正方形/閱9的邊長為1,則2(0,0,0),戶(0,0,1),6(1,0,0),C(l,1,0),面

=(1,0,—1),AC=(1,1,0),因此

1+0X1+0X(―1)_______1

cos{PB,AC)\jf+O2+(-1)2?^/l2+f+025'

JI

因此陽和AC所成的角為60°,即亍

14.設(shè)勿，〃是不同的直線，a,0,尸是不同的平面，有以下四個命題:

=￡〃/；②彳01n工￡；

①]a//y[m//a

m.La,\m//n,

=a_L￡；=s〃a.

m//B[77ca

其中，正確的命題是.(填序號)

答案①③

解析①中平行于同一平面的兩平面平行是正確的；②中如￡可能平行，相交或直線在平

面內(nèi)；③中由面面垂直的判定定理可知結(jié)論正確；④中如?？赡芷叫谢蚓€在面內(nèi).

15.如圖(1),在邊長為4的菱形畫/中，/物6=60°,點￡,尸分別是邊切，"的中點,

ACCEF=O,沿必將△呼翻折到△陽；連接PB,PD,得到如圖⑵所示的五棱錐產(chǎn)一

ABFED,且PB=4.

(1)

⑴求證：BD1PA；

(2)求四棱錐，一〃物的體積.

(1)證明：點反尸分別是邊切，⑵的中點,

C.BD//EF.

???菱形48切的對角線互相垂直，

C.BDLAC.

：.EFLAC.

C.EFLAO,EF1PO.

,：AOC2POA,尸平面P小，AOCPgO,

.?.既L平面POA,

...皮LL平面POA,

又PAc.平面POA,

C.BDLPA.

⑵解設(shè)AOCBAH.

連接被

?：/DAB=6Q°,

.?.△/初為等邊三角形，

.,.做=4,BH=2,

//A=2y[3,HO=PO=y^>,

在Rt△掰9中，方。=七胡+