福建省福州市九縣（市、區(qū)）一中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期九縣（區(qū)、市）一中期末聯(lián)考高中一年數(shù)學(xué)科試卷命題學(xué)校：閆清一中 命題教師：高一集備組審校教師：徐杰霞、孫曉麗考試時(shí)間：7月5日完卷時(shí)間：120分鐘 滿分：150分第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足，則為（）．A．16 B．25 C．4 D．52．已知向量，，則（）．A．0 B．1 C． D．3．設(shè)m、n是不同的直線，、是不同的平面，則以下列結(jié)論中一定正確的是（）．A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．從1，3，5，7這4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)a，b，則的概率為（）．A． B． C． D．5．《九章算術(shù)》中將正四棱臺(tái)（上、下底面均為正方形）稱為“方亭”現(xiàn)有一方亭，上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱與下底面所成的角為，則此方亭的體積為（）．A． B． C． D．6．函數(shù)的大致圖象為（）．A．B．C．D．7．如圖，某觀察站B在城A的南偏西的方向，由城A出發(fā)的一條公路走向是南偏東，在B處測(cè)得公路上距B處的C處有一人正沿公路向A城走去，走了之后到達(dá)D處，此時(shí)B，D間的距離為．要達(dá)到A城，這個(gè)人還要走（）．A． B． C． D．8．在平面四邊形ABCD中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，點(diǎn)O到平面ABD的距離為（）．圖1 圖2A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已動(dòng)函數(shù)，則（）．A．是偶函數(shù) B．的對(duì)稱軸是，C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．的最小值是10．在12張卡片上分別寫上數(shù)字1～12，從中隨機(jī)抽出一張，記抽出的卡片上的數(shù)字為x，甲表示事件“x為偶數(shù)”，乙表示事件“x為質(zhì)數(shù)”，丙表示事件“x能被3整除”，丁表示事件“”，則（）．A．甲與丙為互斥事件 B．乙與丁相互獨(dú)立C．丙與丁相互獨(dú)立 D．P（甲∩乙）＝P（乙∩丙）11．已知棱長(zhǎng)為的正方體中，下列結(jié)論中正確的是（）．A．若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，異面直線AP與所成的角范圍為B．若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，的最小值為C．若將正方體視為容器（容器厚度忽略不計(jì)），則底面直徑為，高為的圓柱體能被整體放入該容器D．若點(diǎn)P在的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．一個(gè)容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為__________．13．2009年9月，經(jīng)聯(lián)合國(guó)教科文組織批準(zhǔn)，中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日端午節(jié)正式列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，同時(shí)，端午節(jié)成為中國(guó)首個(gè)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的節(jié)日．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在端午節(jié)期間組織有關(guān)端午節(jié)文化知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，某班甲、乙兩人組成“粽隊(duì)”參加競(jìng)賽活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各回答一個(gè)問(wèn)題，已知每輪活動(dòng)中甲、乙答對(duì)問(wèn)題的概率分別為和，且每輪活動(dòng)中甲、乙答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．則甲在兩輪活動(dòng)中答對(duì)1個(gè)問(wèn)題的概率為__________，“粽隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)三個(gè)問(wèn)題的概率為__________．14．在長(zhǎng)方形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC和CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且，設(shè)，，則的最小值為__________．四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求；（2）若，D為BC邊的中點(diǎn)，且，求b的值．16．（本小題滿分15分）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，平面ABCD，且，M是棱PB上的點(diǎn)．（1）求證：平面平面PAC：（2）若平面ACM，求的值．17．（本小題滿分15分）2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了“強(qiáng)基計(jì)劃”，2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中通過(guò)筆試，進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的面試成績(jī)，并分成五組：第-組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和笫五組的頻率相同．（1）求a，b的值，并估計(jì)這100名同學(xué)面試成績(jī)的平均數(shù)；（2）已知樣本路在第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為64和20，落在第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為82和50，求樣本中這兩組面試成績(jī)的方差；（3）在第四、第五兩組中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中選出2人，求選出的兩人來(lái)自不同組的概率．18．（本小題滿分17分）如圖，直三棱柱中，，，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值．19．（本小題滿分17分）已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果存在區(qū)間，使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)和諧區(qū)間．（1）直接寫出函數(shù)的所有和諧區(qū)間；（2）若區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)和諧區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的值；（3）若函數(shù)存在和諧區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期九縣（區(qū)、市）一中（高中）期末聯(lián)考高一年級(jí)（數(shù)學(xué)）評(píng)分細(xì)則一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）題號(hào)12345678答案DABBCDAA二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）題號(hào)91011答案ABCCDBCD三、填空題（每小題5分，共15分）12．1813．/0.375（第一空2分，第二空3分） 14．50四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．（本小題滿分13分）【答案】（1）； （2）．【詳解】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，?分）即，，（4分）又因?yàn)?，所以，解得，又因?yàn)椋裕?分）（2）解：因?yàn)镈為BC邊的中點(diǎn)，，所以，設(shè)，在中，由正弦定理可得，即，解得，又因?yàn)?，所以，?分）在中，，（9分）在中，，，，由余弦定理可得：，（12分）所以，即．（13分）16．（本小題滿分15分）【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，又，所以．?分）過(guò)C作，交AB于點(diǎn)H，連接AC，∵，∴四邊形ADCH為正方形，∴，且，∴，∴．∵，∴，∴．（3分）又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以．（4分）又因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，且，所以平面PAC．（6分）（備注：沒(méi)寫，扣1分）又平面PBC，所以平面平面PAC．（8分）（2）連接BD交AC于E點(diǎn)，連接ME．∵平面ACM，平面PBD，平面平面，∴．（11分）（備注：答題卡上無(wú)輔助線扣1分）∴．（12分）∵，∴，（14分）∴．（15分）17．（本小題滿分15分）【答案】（1），；平均數(shù)69.5（2） （3）【詳解】（1）由題意可知：，，解得，．（3分）由直方圖知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均數(shù)：．（5分）（2）設(shè)第二組、第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為，，，，且兩組頻率之比為，（6分）則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)，（7分）第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差為，故估計(jì)第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差是．（9分）（3）根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為，故在和中分別選取4人和1人，分別設(shè)為，，，和，（10分）則在這5人中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，，，，，，共10個(gè)，即，（12分）記事件“兩人來(lái)自不同組”，則事件A包含的樣本點(diǎn)有，，，，共4個(gè)，即，（14分）所以．答：選出的兩人來(lái)自不同組的概率為．（15分）18．（本小題滿分17分）【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）．【詳解】解：（1）證明：∵，D是BC中點(diǎn)，∴，（1分）又∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，（3分）又，平面，平面，∴平面．（5分）（備注：沒(méi)寫，扣1分）（2）證明：連接，交于點(diǎn)E，連接DE，（6分）（備注：答題卡上無(wú)輔助線扣1分）∵D、E分別是BC、的中點(diǎn)，∴DE是的中位線，∴，（8分）∵平面，平面，∴平面．（10分）（備注：沒(méi)寫平面扣1分）（3）解：連，交于點(diǎn)O，分別取OB、AB中點(diǎn)H、，連接DH、、，∵四邊形是正方形且H、分別是OB、AB的中點(diǎn)，故，在中，∵，，∴，∴，（11分）又∵，D分別是AB，BC中點(diǎn)且，∴，又∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，，平面，平面，∴平面，（12分）∵平面，平面，∴，，又∵，，平面，平面，∴平面，（13分）∵平面，∴，又∵平面平面，∴就是二面角的平面角．（14分）設(shè)，則在中，，，，（15分）故，（16分）故，即二面角的余弦值為．（17分）（備注：答題卡中沒(méi)有做出二面角的平面角的輔助線扣1分）19．（本小題滿分17分）【答案】（1），，； （2）或2； （3）．【詳解】（1）函數(shù)是增函數(shù)，定義域?yàn)镽，令，解得或，故函數(shù)的所有“和諧區(qū)間”為，，．（3分）（備注：每寫出1個(gè)區(qū)間分別給1分）（2）因?yàn)椋?，?分）因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”，所以可令，解得或4，（5分）如圖所示，繪出函數(shù)圖像：結(jié)合“和諧區(qū)間”的定義易知，當(dāng)時(shí)滿足題意，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，，滿足題意，故m的值為4或2．（7分）（3）①當(dāng)時(shí)，在上時(shí)單調(diào)遞減函數(shù)，由題意有，得，因?yàn)?，所以，，?分）且，即