新教材高中數(shù)學(xué)第1章集合與常用邏輯用語1.4.1充分條件與必要條件課件

1.4.1

充分條件與必要條件課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解必要條件的意義.2.理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.3.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解充分條件的意義.4.理解判定定理與充分條件的關(guān)系.5.體會充分條件與必要條件在表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和論證數(shù)學(xué)結(jié)論中的作用,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、命題的概念【問題思考】1.下列語句的表述形式有什么特點(diǎn)?①若直線a∥b,則直線a和直線b無公共點(diǎn);②同位角相等;③兩個面積相等的三角形全等;④同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行.提示:上述語句有兩個特點(diǎn):①都是陳述句;②都能夠判斷真假.2.你能判斷上述4個語句的真假嗎?提示:①④為真命題;②③為假命題.3.命題有哪些表達(dá)形式?疑問句、祈使句、感嘆句能否作為命題?提示:命題的表達(dá)形式有語言、符號或式子;疑問句、祈使句、感嘆句不能作為命題,它們不符合命題必須是陳述句的特點(diǎn).4.你能把“同位角相等”寫成“若p,則q”的形式嗎?提示:若兩個角為同位角,則這兩個角相等.5.填空:(1)一般地,我們把用語言、符號或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.(2)判斷為真的語句是真命題;判斷為假的語句是假命題.(3)“若p,則q”形式的命題中,p稱為命題的條件,q稱為命題的結(jié)論.6.做一做:下列命題中是假命題的是(

)是15的約數(shù) B.對任意實數(shù)x,有x2<0C.對頂角相等不是奇數(shù)解析:對任意實數(shù)x,有x2≥0,所以B為假命題.A,C,D均為真命題.答案:B二、充分條件與必要條件【問題思考】給出下列命題:(1)若整數(shù)a是6的倍數(shù),則整數(shù)a是2和3的倍數(shù).(2)若ab=0,則a=0.1.你能判斷這兩個命題的真假嗎?提示:(1)真命題;(2)假命題.2.命題(1)中的條件和結(jié)論有什么關(guān)系?命題(2)中的呢?提示:命題(1)中只要滿足條件“整數(shù)a是6的倍數(shù)”,必有結(jié)論“整數(shù)a是2和3的倍數(shù)”;命題(2)中滿足條件“ab=0”,不一定有結(jié)論“a=0”,還可能“b=0”.3.填表:解析:(1)當(dāng)a>0,b>0時,顯然ab>0成立,故“a>0,b>0”是“ab>0”的充分條件.答案:(1)充分

(2)必要

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)將命題改寫成“若p,則q”的形式,改法唯一.(×)(2)舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法.(√)(3)在“若p,則q”的命題中,p是q的充分條件.(×)(4)若p是q的充分條件,則p是唯一的.(×)(5)x=2是x2-4x+4=0的必要條件.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

命題及其真假的判斷【例1】

(1)下列語句是命題的是

.(填序號)

①若x∈R,則x2+4x+7>0.②你是高一學(xué)生嗎?③一個正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù).④作△ABC∽△A'B'C'.解析:①是命題,因為對于x∈R,x2+4x+7=(x+2)2+3>0,不等式恒成立.②不是命題,是疑問句,不涉及真假.③是命題,正整數(shù)1既不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù).④不是命題,祈使句不是命題.答案:①③(2)把下列命題改寫成“若p,則q”的形式,指出條件和結(jié)論,并判斷命題的真假.①兩個周長相等的三角形面積相等;②已知x,y為正整數(shù),當(dāng)y=x+1時,y=3,x=2;③當(dāng)m>1時,x2-2x+m=0無實根.解:①若兩個三角形的周長相等,則這兩個三角形的面積相等,條件是“兩個三角形的周長相等”,結(jié)論是“這兩個三角形的面積相等”,是假命題;②已知x,y為正整數(shù),若y=x+1,則y=3,x=2,條件是“已知x,y為正整數(shù),且y=x+1”,結(jié)論是“y=3,x=2”,是假命題;③若m>1,則x2-2x+m=0無實根,條件是“m>1”,結(jié)論是“x2-2x+m=0無實根”,是真命題.反思感悟1.判斷一個語句是命題的條件:(1)語句是陳述句;(2)該語句能判斷真假.2.將命題改寫為“若p,則q”形式的方法及原則3.判斷命題真假的策略(1)要判斷一個命題是真命題,一般要有嚴(yán)格的證明或有事實依據(jù),比如根據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結(jié)論推證.(2)要判斷一個命題是假命題,只要舉一個反例即可.【變式訓(xùn)練1】

指出下列命題的條件與結(jié)論,寫成“若p,則q”的形式,并判斷真假.(1)平行四邊形的兩條對角線互相垂直.(2)直角三角形的兩個銳角互余.(3)當(dāng)abc=0時,a=0,且b=0,且c=0.解:(1)條件是“四邊形是平行四邊形”,結(jié)論是“四邊形的兩條對角線互相垂直”.寫成“若p,則q”的形式為:若四邊形是平行四邊形,則它的兩條對角線互相垂直,是假命題.(2)條件是“一個三角形是直角三角形”,結(jié)論是“兩個銳角互余”.寫成“若p,則q”的形式為:若一個三角形是直角三角形,則它的兩個銳角互余,是真命題.(3)條件是“abc=0”,結(jié)論是“a=0,且b=0,且c=0”,寫成“若p,則q”的形式為:若abc=0,則a=0,且b=0,且c=0,是假命題.探究二

充分條件與必要條件的判斷【例2】

判斷下列各題中p是q的什么條件.(1)p:a2+b2=0,q:a+b=0;(2)p:四邊形的對角線相等,q:四邊形是矩形;(3)p:x=1,q:x2-4x+3=0.解:(1)由a2+b2=0,得a=b=0,從而可以推出a+b=0;而由a+b=0,推不出a2+b2=0(如a=1,b=-1),所以p是q的充分條件,但不是必要條件.(2)由“四邊形的對角線相等”推不出“四邊形是矩形”;而由“四邊形是矩形”可以推出“四邊形的對角線相等”,所以p是q的必要條件,但不是充分條件.(3)由x=1可以推出x2-4x+3=0;而由x2-4x+3=0推不出x=1(因為x=3也滿足x2-4x+3=0),所以p是q的充分條件,但不是必要條件.反思感悟充分條件、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法:①確定誰是條件,誰是結(jié)論.②嘗試從條件推結(jié)論,若條件能推出結(jié)論,則條件為充分條件,否則就不是充分條件.③嘗試從結(jié)論推條件,若結(jié)論能推出條件,則條件為必要條件,否則就不是必要條件.(2)命題判斷法:①如果命題“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時q是p的必要條件.②如果命題“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時q也不是p的必要條件.【變式訓(xùn)練2】

下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?(1)若a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù);(2)若x∈A∩B,則x∈A∪B;(3)若x2>y2,則x>y.解:(1)由偶數(shù)的性質(zhì),知p?q,所以p是q的充分條件.(2)由集合的運(yùn)算性質(zhì),知p?q,所以p是q的充分條件.(3)因為(-1)2>02,但-1<0,p

q,所以p不是q的充分條件.探究三

充分條件與必要條件的應(yīng)用【例3】

是否存在實數(shù)p,使“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的充分條件?如果存在,求出p的取值范圍;若不存在,請說明理由.解:由4x+p<0得

,如圖,在數(shù)軸上表示出不等式x>2或x<-1,由數(shù)軸可得,故當(dāng)p≥4時,4x+p<0是x>2或x<-1的充分條件.1.將本例條件“4x+p<0”換為“4x+p>0”,其他條件不變,結(jié)果如何?解:由4x+p>0得

,如圖,在數(shù)軸上表示出不等式x>2或x<-1,由數(shù)軸可得故當(dāng)p≤-8時,4x+p>0是x>2或x<-1的充分條件.2.本例若換為:是否存在實數(shù)p,使“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的必要條件?如果存在,求出p的取值范圍;若不存在,請說明理由.如何求解?解:由4x+p<0得

,如圖,在數(shù)軸上表示出不等式x>2或x<-1,由數(shù)軸可得所以不存在實數(shù)p使4x+p<0是x>2或x<-1的必要條件.反思感悟充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧(1)應(yīng)用:可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問題的求解,特別是求參數(shù)的值或取值范圍問題.(2)求解步驟:首先根據(jù)條件的充分性和必要性找到條件構(gòu)成的集合之間的關(guān)系,然后構(gòu)建滿足條件的不等式(組),并求解.易

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析因知識欠缺,導(dǎo)致對命題真假判斷失誤【典例】

判斷下列命題的真假.(2)x=1是方程(x-1)(x-2)=0的一個根.錯解:(1)真命題.(2)假命題.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:(1)誤認(rèn)為“兩數(shù)比較大小時,大數(shù)的倒數(shù)反而小”,而忽視a,b的條件,當(dāng)a>0,b<0時,a>b,且(2)因為方程的根為x=1或x=2,解題時誤認(rèn)為x=1不全面,而沒有分析清楚邏輯關(guān)系.正解:(1)假命題.(2)真命題.防范措施1.平時學(xué)習(xí)時一定要對每一個基礎(chǔ)知識理解透徹.2.注意基礎(chǔ)知識的積累,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理素養(yǎng).隨

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習(xí)1.下列命題中,是真命題的是(

)A.{x∈R|x2+1=0}不是空集B.若x2=1,則x=1C.空集是任何集合的真子集D.x2-5x=0的根是自然數(shù)解析:A中方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解,故是假命題;B中若x2=1,則x=±1,故B是假命題;因空集是任何非空集合的真子集,故C是假命題;x2-5x=0的根是x=0或5,都是自然數(shù),故D是真命題.答案:D2.已知p:x>1;q:x>2;則p是q的(

)A.充分條件