高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點(diǎn)題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第06課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系(原卷版+解析)

第6課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系編寫：廖云波【回歸教材】1.直線與橢圓的位置關(guān)系設(shè)直線，橢圓，把二者方程聯(lián)立得到方程組，消去得到一個(gè)關(guān)于的方程.方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)；方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線無(wú)交點(diǎn).弦長(zhǎng)的求解當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng).3.中點(diǎn)弦問(wèn)題AB為橢圓的弦，，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.【典例講練】題型一直線與橢圓的位置關(guān)系【例1-1】已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是?，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)m取何值時(shí)，直線與橢圓C：①有兩個(gè)公共點(diǎn)；②只有一個(gè)公共點(diǎn)；③沒(méi)有公共點(diǎn)？

【例1-2】已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【例1-3】設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.【例1-4】橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為______.歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】不論為何值，直線與橢圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是__.【練習(xí)1-2】已知圓錐曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足．(1)說(shuō)明是什么圖形，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線與交于軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)，，求直線在軸上的截距的取值范圍．題型二弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2-1】橢圓C：左右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求．【例2-2】已知橢圓及直線．(1)當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求直線被橢圓截得的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度．歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】已知直線：與橢圓：交于，兩點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．題型三中點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)問(wèn)題【例3-1】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【例3-2】橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為_________________．【例3-3】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為32.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知橢圓的弦所在直線過(guò)點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.【練習(xí)3-2】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)，求直線的方程.題型四直線與橢圓的綜合【例4-1】已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，若不過(guò)點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【例4-2】已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線與交于點(diǎn)，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求證：為定值，并求出該定值．歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】設(shè)橢圓：的離心率為，焦距為2，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線與直線的斜率分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)隨著直線的變化，是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（五十五）】

【課時(shí)作業(yè)（五十五）】A組基礎(chǔ)題1．直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．若橢圓的中心為原點(diǎn)，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知的中點(diǎn)為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．B．4C． D．3．若直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0B．1C．2 D．需根據(jù)a，b的取值來(lái)確定4．直線y＝x+m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．±1 C． D．±25．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的面積是（

）A． B． C． D．6．【多選題】已知直線x＝my－1經(jīng)過(guò)橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)F，且與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，橢圓C的離心率為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．橢圓C的短軸長(zhǎng)為B．弦的最小值為3C．存在實(shí)數(shù)m，使得以AB為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)D．若，則7．【多選題】泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無(wú)法相依，而是相互了望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓.已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半.若某直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡方程是B．直線：是“最遠(yuǎn)距離直線”C．平面上有一點(diǎn)，則的最小值為5.D．點(diǎn)P的軌跡與圓：是沒(méi)有交匯的軌跡（也就是沒(méi)有交點(diǎn)）8．在直角坐標(biāo)系中，橢圓C方程為，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線的方程為：，則點(diǎn)P到直線的距離d的最小值為__________.9．橢圓方程為橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，以這一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______．10．已知橢圓的上頂點(diǎn)為M，下頂點(diǎn)為N，左、右焦點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為，且為正三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)當(dāng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，滿足，求直線的方程．B組能力提升1．已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為___________．2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓E中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．第6課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系編寫：廖云波【回歸教材】1.直線與橢圓的位置關(guān)系設(shè)直線，橢圓，把二者方程聯(lián)立得到方程組，消去得到一個(gè)關(guān)于的方程.方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)；方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線無(wú)交點(diǎn).弦長(zhǎng)的求解當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng).3.中點(diǎn)弦問(wèn)題AB為橢圓的弦，，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.【典例講練】題型一直線與橢圓的位置關(guān)系【例1-1】已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是?，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)m取何值時(shí)，直線與橢圓C：①有兩個(gè)公共點(diǎn)；②只有一個(gè)公共點(diǎn)；③沒(méi)有公共點(diǎn)？【答案】(1)(2)①；②；③或【解析】【分析】（1）由題意c=1，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式求解即可.(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得：解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)聯(lián)立消去y得：，則，①當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以直線與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)；③當(dāng)，即或時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以直線與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或，沒(méi)有公共點(diǎn).【例1-2】已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】求出直線所過(guò)的定點(diǎn)，證明該定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部即可得出結(jié)論.【詳解】解：由直線l：，得直線l過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以該點(diǎn)在曲線C：內(nèi)部.所以直線l與曲線C相交.故選：C.【例1-3】設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.【答案】【解析】【分析】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡(jiǎn)，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，將代入中得，，化簡(jiǎn)整理得，令，化簡(jiǎn)整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：【例1-4】橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)與直線平行的直線與橢圓相切，然后將直線方程代入橢圓方程中，由可求出的值，再利用兩平行線間的距離公式可求得結(jié)果【詳解】設(shè)與直線平行的直線與橢圓相切，由得，由得，，解得設(shè)直線與直線的距離為，當(dāng)時(shí)，直線為，則，當(dāng)時(shí)，直線為，則，因?yàn)?，所以橢圓1上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故答案為：歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】不論為何值，直線與橢圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是__.【答案】【解析】【分析】方法一：將直線方程與橢圓的方程聯(lián)立消元得，運(yùn)用根的判斷式建立不等式求解即可；方法二：若過(guò)定點(diǎn)的直線均與橢圓有公共點(diǎn)，則該點(diǎn)位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上，求得直線所過(guò)的定點(diǎn)，代入橢圓的方程建立不等式求解即可.【詳解】解：方法一：把直線代入橢圓1，化為．其中．(注意這個(gè)坑)，直線與橢圓1有公共點(diǎn)，恒成立，化簡(jiǎn)為．上式對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立，，解得．實(shí)數(shù)的范圍是．方法二：因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)所以代入得即因?yàn)槭菣E圓，所以故的取值范圍是．故答案為：．【練習(xí)1-2】已知圓錐曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足．(1)說(shuō)明是什么圖形，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線與交于軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)，，求直線在軸上的截距的取值范圍．【答案】(1)圓錐曲線是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，(2)【解析】【分析】（1）由平面上兩點(diǎn)間距離公式及橢圓的定義即得；（2）由題可設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓的方程，利用韋達(dá)定理可得，即求.(1)由題可知點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和為，∴圓錐曲線是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)直線：，，，由，消去，得，由題意，有，解得，所以直線在軸上的截距的取值范圍為.題型二弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2-1】橢圓C：左右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用橢圓的離心率，過(guò)點(diǎn)，及，列方程解出即可得橢圓方程；（2）由已知可得直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求解.(1)解：由題意得，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，帶入得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解：易得直線l的解析式為，設(shè)，聯(lián)立橢圓的方程得，所以．【例2-2】已知橢圓及直線．(1)當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求直線被橢圓截得的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)聯(lián)立直線與圓的方程，由判別式可得答案.(2)由（1）得出韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式可得答案.(1)由方程組消去并整理，得．因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以．解得．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．(2)由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，則弦長(zhǎng)故當(dāng)時(shí)，取得最大值為．歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】已知直線：與橢圓：交于，兩點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓方程得到含參數(shù)m的一元二次方程，由它們有兩個(gè)交點(diǎn)知，即可求參數(shù)范圍.（2）已知弦長(zhǎng)，結(jié)合弦長(zhǎng)公式列方程求參數(shù)值即可.(1)由題設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程有，整理可得：，因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，可得.(2)由（1）可得：，，又，整理得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè)，故.題型三中點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)問(wèn)題【例3-1】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用“點(diǎn)差法”求解作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，，相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，又為線段的中點(diǎn)，則，，因此有，即，所以橢圓的離心率.【例3-2】橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為_________________．【答案】【解析】【分析】設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法可得答案.【詳解】設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，兩式相減可得，，即，由于在橢圓內(nèi)部，由得，所以時(shí)，即直線與橢圓相切，此時(shí)由解得或，所以，所求得軌跡方程為．故答案為：．【例3-3】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為32.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）直接由離心率和四邊形的面積建立關(guān)于的方程，解方程即可；（2）直接通過(guò)點(diǎn)差法求出直線斜率，再通過(guò)點(diǎn)斜式寫出方程即可.(1)因?yàn)殡x心率，所以，因?yàn)椋?因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為32，所以，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)，，則兩式相減得，所以.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為在橢圓內(nèi)部，所以，所以直線的斜率為1，故直線的方程為，即.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知橢圓的弦所在直線過(guò)點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】【解析】【分析】設(shè)，弦的中點(diǎn)，將代入橢圓方程，點(diǎn)差法可得，時(shí)利用，可得答案；時(shí)，則直線方程為，代入橢圓方程解得坐標(biāo)，滿足上述方程，可得答案.【詳解】設(shè)，弦的中點(diǎn)，則，將代入橢圓方程得，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，整理得；當(dāng)時(shí)，則直線方程為，代入橢圓方程解得所以滿足上述方程，故點(diǎn)的軌跡方程.【練習(xí)3-2】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）假設(shè)橢圓方程，根據(jù)短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，由此可得橢圓方程；（2）利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，由此可得直線方程.(1)由題意可設(shè)橢圓方程為：，則，解得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.(2)設(shè)，，則，兩式作差得：，直線斜率，又中點(diǎn)為，，，，直線方程為：，即.題型四直線與橢圓的綜合【例4-1】已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，若不過(guò)點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).(1)解：的周長(zhǎng)為，由已知可得，解得，因此，橢圓的方程為.(2)解：由可得.若直線的斜率不存在，設(shè)點(diǎn)、，則，其中，則，，所以，，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，即，，因?yàn)?，，由，得，即，則，整理得，解得.所以，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)．【例4-2】已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線與交于點(diǎn)，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求證：為定值，并求出該定值．【答案】(1)(2)證明見解析，定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在的垂直平分線上，得，從而可得，則有的軌跡是以A，為焦點(diǎn)的橢圓，即可得解；（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得，，再證明為定值即可.(1)解：圓的圓心為，半徑，由點(diǎn)在的垂直平分線上，得，所以，所以的軌跡是以A，為焦點(diǎn)的橢圓，，，所以，，，所以的方程為；(2)證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，則把代入得，顯然，有，，，所以，綜上所述，為定值．歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】設(shè)橢圓：的離心率為，焦距為2，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線與直線的斜率分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)隨著直線的變化，是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距，求得c值，根據(jù)離心率，求得a值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可得，即可得答案.（2）當(dāng)直線l斜率為0，即為x軸時(shí)，分析可得；當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，，將直線與橢圓聯(lián)立，可得關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得、表達(dá)式，根據(jù)斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得證.(1)因?yàn)榻咕?，所以，因?yàn)殡x心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.(2)當(dāng)直線l斜率為0，即為x軸時(shí)，則，所以；當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，，將直線l與橢圓聯(lián)立，消x整理得，所以，，所以，，所以.綜上所述：為定值0.【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（五十五）】

【課時(shí)作業(yè)（五十五）】A組基礎(chǔ)題1．直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程求得其右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，結(jié)合直線的截距式方程，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，則橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，又由直線恰好過(guò)點(diǎn)，所以直線與橢圓有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).故選：C.2．若橢圓的中心為原點(diǎn)，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知的中點(diǎn)為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B．4C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意知，再根據(jù)、、、的關(guān)系可以求出、的關(guān)系，以及橢圓的性質(zhì)可以求出，繼而求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】由焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的方程為，，.∵，在橢圓上，∴作差得.(*)∵直線l過(guò)和，且的中點(diǎn)為，∴，.，代入(*)式，得，即.又∵，，解得，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：D.3．若直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1C．2 D．需根據(jù)a，b的取值來(lái)確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用直線與圓的位置關(guān)系，得到，進(jìn)而結(jié)合圓和橢圓的位置關(guān)系，即可求得答案.【詳解】因?yàn)橹本€和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，所以原點(diǎn)到直線的距離，即，所以點(diǎn)是在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，所以點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以過(guò)點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：C.4．直線y＝x+m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．±1 C． D．±2【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得的值.【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：3x2+4mx+2m2﹣2＝0，則x1+x2＝，x1x2＝，所以弦長(zhǎng)|AB|＝＝＝，由題意可得：＝，解得：.故選：B5．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由題知，直線，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)立得，，進(jìn)而根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】解：由題意可得，，則直線.聯(lián)立，整理得，設(shè)，，則，，從而.因?yàn)?，所以的面積是.故選：A6．【多選題】已知直線x＝my－1經(jīng)過(guò)橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)F，且與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，橢圓C的離心率為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．橢圓C的短軸長(zhǎng)為B．弦的最小值為3C．存在實(shí)數(shù)m，使得以AB為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)D．若，則【答案】BCD【解析】【分析】由于直線x＝my－1經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則由題意得，再由離心率為可求出，從而可求出，則可求出橢圓方程，然后結(jié)合橢圓的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】依題意可知，直線x＝my－1經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，所以．又橢圓C的離心率為，所以a＝2，則，所以橢圓C的短軸長(zhǎng)為，所以A選項(xiàng)不正確；當(dāng)m＝0時(shí)，弦AB即為橢圓的一條通徑，且，所以B選項(xiàng)正確；橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝4，所以，當(dāng)最短時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在以AB為直徑的圓外，當(dāng)趨近于4時(shí)，點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，因此，存在實(shí)數(shù)m，使得以AB為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)，所以C選項(xiàng)正確；由，得，設(shè)，，則，聯(lián)立整理得，恒成立，則，．因?yàn)?，所以解得，所以D選項(xiàng)正確．故選：BCD．7．【多選題】泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無(wú)法相依，而是相互了望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓.已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半.若某直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡方程是B．直線：是“最遠(yuǎn)距離直線”C．平面上有一點(diǎn)，則的最小值為5.D．點(diǎn)P的軌跡與圓：是沒(méi)有交匯的軌跡（也就是沒(méi)有交點(diǎn)）【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)定義建立關(guān)系可求出；對(duì)B，聯(lián)立直線與橢圓方程，判斷方程組是否有解即可；對(duì)C，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為求即可；對(duì)D，易判斷為交點(diǎn).【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半，所以，化簡(jiǎn)得，故A正確；聯(lián)立方程可得，解得，故存在，所以直線：是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B正確；過(guò)P作PB垂直直線，垂足為B，則由題可得，則，則由圖可知，的最小值即為點(diǎn)A到直線的距離5，故C正確；由可得，即圓心為，半徑為1，易得點(diǎn)P的軌跡與圓交于點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.8．在直角坐標(biāo)系中，橢圓C方程為，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線的方程為：，則點(diǎn)P到直線的距離d的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓切線，聯(lián)立橢圓方程求出切線方程，利用平行線的距離判斷橢圓上點(diǎn)到已知直線距離的最值.【詳解】令與橢圓相切，消去x整理得：，所以，可得，顯然與橢圓無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)，切線為，與距離為；當(dāng)，切線為，與距離為；所以點(diǎn)P到直線的距離d的最小值為.故答案為：9．橢圓方程為橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，以這一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用“點(diǎn)差法”得到，即可求出離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于，則.因?yàn)锳B中點(diǎn),則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.10．已知橢圓的上頂點(diǎn)為M，下頂點(diǎn)為N，左、右焦點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為，且為正三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)當(dāng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，滿足，求直線的方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于a,b,c的方程，解得其值，即可求得答案;（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，將展開，代入根與系數(shù)的關(guān)系