高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點(diǎn)題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第10課時(shí)直線與拋物線位置關(guān)系(原卷版+解析)

第10課時(shí)直線與拋物線位置關(guān)系編寫(xiě)：廖云波【回歸教材】1.直線與橢圓的位置關(guān)系設(shè)直線，拋物線:，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程①若k≠0，當(dāng)>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)=0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)<0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn).②若k=0，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.

因此直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.2.弦長(zhǎng)的求解當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與拋物線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)..3.點(diǎn)差法設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，代入拋物線兩式相減，可得，.設(shè)線段的中點(diǎn)為，即，同理，對(duì)于拋物線，則有4.拋物線的切線過(guò)拋物線上的點(diǎn)的切線方程是.

過(guò)拋物線上的點(diǎn)的切線方程是.

【常用結(jié)論】直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，設(shè)α為AB的傾斜角（1）y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).（2）弦長(zhǎng)AB＝eq\f(2p,sin2α)．（3）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即當(dāng)x1＝x2時(shí)，弦長(zhǎng)最短為：（通徑）2p.（4），，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值eq\f(2,p).（5）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．（6）焦點(diǎn)F對(duì)A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°.

【典例講練】題型一直線與拋物線的位置關(guān)系【例1-1】設(shè)直線，拋物線，當(dāng)為何值是，與相切？相交？相離？【例1-2】直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，滿足的條件是（

）A． B．，C．， D．或歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】過(guò)點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．無(wú)數(shù)條題型二焦點(diǎn)弦問(wèn)題【例2-1】已知拋物線的焦點(diǎn)為是過(guò)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：（1）；（2）為定值；（3）以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．（4）（為弦AB的傾斜角）．【例2-2】已知拋物線及圓，過(guò)的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，則_______.【練習(xí)2-2】過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A． B．2 C． D．【練習(xí)2-3】過(guò)拋物線：焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△的面積為，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【練習(xí)2-4】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線l與拋物線C交于A，B（A在B的上方）兩點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．題型三拋物線的切線【例3-1】過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為_(kāi)__________.【例3-2】如圖，已知為二次函數(shù)的圖像上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn).(1)利用拋物線的定義證明：曲線上的每一個(gè)點(diǎn)都在一條拋物線上，并指出這條拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列；歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知是拋物線上一點(diǎn)，且位于第一象限，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為6，則___________；若過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，則這兩條切線的斜率之積為_(kāi)__________.【練習(xí)3-2】設(shè)拋物線C：，過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)求的最大值.題型四中點(diǎn)弦問(wèn)題【例4-1】已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A．4 B．2 C．1 D．歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（

）A． B．3 C． D．－3題型五直線與拋物線的綜合問(wèn)題【例5-1】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)M（4，0）的直線交C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，的面積分別為、，則的最小值為_(kāi)_____．【例5-2】已知拋物線，，是C上兩個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求證：直線與C相切；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，C在A，B處的切線交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．歸納總結(jié)：【練習(xí)5-1】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為.(1)若，求直線的方程；(2)若，求的面積.【完成課時(shí)作業(yè)（五十九）】

【課時(shí)作業(yè)（五十九）】A組礎(chǔ)題鞏固1．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．2．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為M．若．則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．8 C．12 D．4．已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合．斜率為直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且與C的交點(diǎn)為A，B．若，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線C：于不同的兩點(diǎn)，則（

）A．16 B．32 C．64 D．566．已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的傾斜角為（

）A． B． C．或 D．或7．【多選題】已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，且A，B在其準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線l⊥x軸，則|AB|=2B．C．y1·y2=-4 D．∠A1FB1=8．【多選題】已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過(guò)，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，設(shè)，，，，，．則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．以線段為直徑的圓與直線相離C．當(dāng)時(shí)， D．面積的取值范圍為9．【多選題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的為（

）A．N為的外心B．M可以為C的焦點(diǎn)C．l的斜率為 D．可以小于210．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸與于點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)______；的面積為_(kāi)______．11．設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則的面積為_(kāi)_____.12．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大2，記P的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)A、B是C上的兩點(diǎn)，直線OA、OB的斜率分別為且，求證直線過(guò)定點(diǎn)．B組能力提升1．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線C上的兩點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若與的面積分別為和，的最小值為（

）A． B． C． D．2．【多選題】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為B．C． D．3．直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)為，且與拋物線交于、兩點(diǎn)，則的最小值為．4．已知平面上動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）到F（0，1）的距離比Q（x，y）到直線的距離小1，記動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程．(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，－1），過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線，切點(diǎn)為A，若過(guò)點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，證明：．第10課時(shí)直線與拋物線位置關(guān)系編寫(xiě)：廖云波【回歸教材】1.直線與橢圓的位置關(guān)系設(shè)直線，拋物線:，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程①若k≠0，當(dāng)>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)=0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)<0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn).②若k=0，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.

因此直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.2.弦長(zhǎng)的求解當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與拋物線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)..3.點(diǎn)差法設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，代入拋物線兩式相減，可得，.設(shè)線段的中點(diǎn)為，即，同理，對(duì)于拋物線，則有4.拋物線的切線過(guò)拋物線上的點(diǎn)的切線方程是.

過(guò)拋物線上的點(diǎn)的切線方程是.

【常用結(jié)論】直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，設(shè)α為AB的傾斜角（1）y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).（2）弦長(zhǎng)AB＝eq\f(2p,sin2α)．（3）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即當(dāng)x1＝x2時(shí)，弦長(zhǎng)最短為：（通徑）2p.（4），，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值eq\f(2,p).（5）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．（6）焦點(diǎn)F對(duì)A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°.

【典例講練】題型一直線與拋物線的位置關(guān)系【例1-1】設(shè)直線，拋物線，當(dāng)為何值是，與相切？相交？相離？【答案】當(dāng)時(shí)，與相切；當(dāng)時(shí)，與相交；當(dāng)時(shí)，與相離.【解析】【分析】聯(lián)立直線方程和拋物線方程，分類討論即可.【詳解】解：聯(lián)立方程，得消去并整理，得.當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程.所以.當(dāng)，即時(shí)，與相切；當(dāng)，即且時(shí)，與相交；當(dāng)，即時(shí)，與相離.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，顯然與拋物線交于點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，與相切；當(dāng)時(shí)，與相交；當(dāng)時(shí)，與相離.【例1-2】直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，滿足的條件是（

）A． B．，C．， D．或【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，直線符合題意；當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線方程消去，得關(guān)于的一元二次方程，由即可得，的關(guān)系，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得：，若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，整理可得：，所以，綜上所述：或，故選：D.歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】過(guò)點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．無(wú)數(shù)條【答案】C【解析】【分析】由已知，根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)分別從與軸平行，直線斜率不存在，直線斜率存在三種情況分別求解出滿足題意的直線，然后即可做出判斷.【詳解】由已知，可得①當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)且與軸平行時(shí)，方程為，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；③當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由可得，，，解得，故直線方程.所以存在3條直線，，滿足過(guò)點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).故選：C.題型二焦點(diǎn)弦問(wèn)題【例2-1】已知拋物線的焦點(diǎn)為是過(guò)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：（1）；（2）為定值；（3）以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．（4）（為弦AB的傾斜角）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到，再結(jié)合拋物線的方程，即可證得.（2）根據(jù)拋物線的定義，得到，將代入上式，即可得到結(jié)論；（3）設(shè)的中點(diǎn)為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，證得，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由拋物線，可得其焦點(diǎn)為，由題意可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，可得，因?yàn)樵趻佄锞€內(nèi)部，所以直線與拋物線必有兩交點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，因?yàn)?，所以，所?（2）由拋物線的定義，可得，因?yàn)榇肷鲜?，可?（3）設(shè)的中點(diǎn)為，分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，即圓心到準(zhǔn)線的距離等于球的半徑，所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．（4）如圖，不妨設(shè)弦AB的傾斜角為銳角，作垂直于拋物線準(zhǔn)線,垂足為M,N,由拋物線的定義可得，所以，同理可得，,所以，當(dāng)為直角或鈍角時(shí)，同理可證明，故.【例2-2】已知拋物線及圓，過(guò)的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】13【解析】【分析】根據(jù)圓心即為拋物線C的焦點(diǎn)F，利用拋物線的定義，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】解：如圖所示：圓心即為拋物線C的焦點(diǎn)F.所以，由拋物線的定義，，所以，又易知：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

所以的最小值為13，故答案為：13歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，則_______.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式為，代入即可.【詳解】根據(jù)拋物線的定義可得，所以.故答案為：10.【練習(xí)2-2】過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】作輔助線，根據(jù)拋物線的定義判斷相關(guān)線段長(zhǎng)度間的關(guān)系，結(jié)合角度關(guān)系及拋物線的定義求解，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】如圖，過(guò)，分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，再過(guò)，分別作軸的垂線，垂足為，.根據(jù)拋物線的定義可知，.結(jié)合焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2，在中，，在中，，即，解得.所以.故.故選：D.【練習(xí)2-3】過(guò)拋物線：焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△的面積為，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意設(shè)為，聯(lián)立拋物線結(jié)合韋達(dá)定理求得，，再由線段的數(shù)量關(guān)系求，最后由列方程求p，寫(xiě)出拋物線方程即可.【詳解】由題設(shè)，令為，聯(lián)立拋物線方程并整理得，∴若，則，，又易得，∴，則，即，∴，又，而，∴，即，又，則，故.故選：D【練習(xí)2-4】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線l與拋物線C交于A，B（A在B的上方）兩點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線l的傾斜角為，求得．過(guò)A作準(zhǔn)線于，過(guò)B作準(zhǔn)線于，過(guò)B作于.由拋物線定義求出和.在直角三角形ABC中，利用余弦的定義表示出,即可解得．【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，根據(jù)條件可得，則可得．過(guò)A作準(zhǔn)線于，過(guò)B作準(zhǔn)線于，過(guò)B作于.由拋物線定義可得：.因?yàn)?，所?而.在直角三角形ABC中，,解得：．故選：C題型三拋物線的切線【例3-1】過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再利用直線方程的相關(guān)知識(shí)即可求出.【詳解】拋物線可寫(xiě)成：且設(shè)，則兩條切線的斜率分別為兩條切線的方程為：又兩條切線過(guò)點(diǎn)，所以所以直線AB的方程為：又，所以直線AB的方程為：.故答案為：.【例3-2】如圖，已知為二次函數(shù)的圖像上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn).(1)利用拋物線的定義證明：曲線上的每一個(gè)點(diǎn)都在一條拋物線上，并指出這條拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義證明即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到切線方程，從而求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得證；(1)證明：令，直線：，曲線上任意一點(diǎn)，又，則點(diǎn)到直線的距離，則，即曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線：的距離相等，且點(diǎn)不在直線：上，所以曲線上的每一個(gè)點(diǎn)都在一條拋物線上，拋物線的方程即為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；(2)解：對(duì)于，則，所以，，即過(guò)點(diǎn)、的切線方程分別為、，又，，所以、，由，解得，即，即，，又，所以、、成等差數(shù)列，、、成等比數(shù)列；歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知是拋物線上一點(diǎn)，且位于第一象限，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為6，則___________；若過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，則這兩條切線的斜率之積為_(kāi)__________.【答案】

##0.5【解析】【分析】由拋物線焦半徑列出方程，求出，進(jìn)而求出，設(shè)出切線方程，聯(lián)立拋物線方程后用根的判別式求解.【詳解】由拋物線定義，到拋物線的焦點(diǎn)距離為，得，代入方程得，設(shè)過(guò)點(diǎn)得切線為，聯(lián)立拋物線得：，由，得，由韋達(dá)定理得：故答案為：，.【練習(xí)3-2】設(shè)拋物線C：，過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)-4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知，直線l斜率存在，設(shè)，，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立可求出，，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過(guò)點(diǎn)A，B的切線方程，然后聯(lián)立可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)P的軌跡方程；（2）由（1）可得，，化簡(jiǎn)運(yùn)算可得，，即可求出的最大值.(1)如圖，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得.設(shè)，，則有，，由，可得，所以，，從而結(jié)合點(diǎn)A在拋物線C上有，即①，同理得②，聯(lián)立①②可得交點(diǎn)，即，故點(diǎn)P的軌跡方程為y=-1.(2)結(jié)合（1）可得，，所以.因?yàn)?，所以，故的最大值?4.題型四中點(diǎn)弦問(wèn)題【例4-1】已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，代入拋物線方程相減可得．【詳解】設(shè)，，∵是AB的中點(diǎn)，∴，由，相減得，所以直線的斜率，故選：B．歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（

）A． B．3 C． D．－3【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)差法計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)，，則，所以，整理得．因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，即直線的斜率為．故選：C題型五直線與拋物線的綜合問(wèn)題【例5-1】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)M（4，0）的直線交C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，的面積分別為、，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，，與拋物線的方程聯(lián)立整理得，由三角形的面積公式求得，再根據(jù)基本不等式可得答案.【詳解】解：由拋物線C：得焦點(diǎn)，又直線交C于A、B兩點(diǎn)，所以直線的斜率不為0，則設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，又，，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.【例5-2】已知拋物線，，是C上兩個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求證：直線與C相切；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，C在A，B處的切線交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線的方程消元，利用證明即可；（2）設(shè)，由（1）可得出兩條切線的方程，然后聯(lián)立可得，然后由可得，即可證明.(1)聯(lián)立得，因?yàn)樵贑上，則，所以，因此直線與C相切．(2)由（1）知，設(shè)，切線的方程為，切線的方程為，聯(lián)立得，因?yàn)?，，所以．又因?yàn)?，所以，解得，所以．故點(diǎn)P在定直線上．歸納總結(jié)：【練習(xí)5-1】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為.(1)若，求直線的方程；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程消元之后利用韋達(dá)定理和焦半徑公式列式即可求解；（2）分割求面積，，，與可求(1)顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，則，所以由拋物線的定義可得：解得則直線的方程為，即(2)不妨設(shè)在軸上方，在軸下方若，則【完成課時(shí)作業(yè)（五十九）】

【課時(shí)作業(yè)（五十九）】A組礎(chǔ)題鞏固1．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.故選：B2．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為M．若．則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M、A、B的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】由題意知焦點(diǎn)，設(shè)，有則，所以，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，故選：B3．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．8 C．12 D．【答案】B【解析】【分析】由題意得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式可得出答案.【詳解】依題意可知拋物線焦點(diǎn)為，直線AB的方程為，代入拋物線方程得，可得，根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長(zhǎng)為．故選：B．4．已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合．斜率為直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且與C的交點(diǎn)為A，B．若，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求得，寫(xiě)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得直線的方程.【詳解】橢圓，，所以，，所以拋物線:.設(shè)，直線的方程為.聯(lián)立消去，化簡(jiǎn)整理得，則.因此直線的方程是.故選：A.5．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線C：于不同的兩點(diǎn)，則（

）A．16 B．32 C．64 D．56【答案】B【解析】【分析】將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】易知直線斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立方程整理得所以所以故選：B.6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的傾斜角為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，分析可得，當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，此時(shí)與拋物線相切，設(shè)出直線的方程，將拋物線的方程，由可求得直線的斜率，即可求得直線的傾斜角.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，易知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，易知軸，則，所以，，當(dāng)取得最大值時(shí)，取最小值，此時(shí)最大，則直線與拋物線相切，由圖可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，解得，因此，直線的傾斜角為或.故選：D.7．【多選題】已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，且A，B在其準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線l⊥x軸，則|AB|=2 B． C．y1·y2=-4 D．∠A1FB1=【答案】CD【解析】【分析】選項(xiàng)A，求解A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出AB的長(zhǎng)；選項(xiàng)BC，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程組，消元得一元二次方程，得到兩根之積；D選項(xiàng)，由拋物線定義得到∠AFA1=∠A1FO=∠AFO，∠BFB1=∠B1FO=∠BFO，從而得到答案.【詳解】拋物線C的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程x=-1，顯然l不垂直于y軸，設(shè)l的方程為x=my+1，由得：y2-4my-4=0，y1，y2是此方程的二根，選項(xiàng)A，直線l⊥x軸，m=0，y1=2，y2=-2，則|AB|=4，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，y1·y2=-4，則，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，y1·y2=-4，即選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，如圖中，由拋物線的定義知，|AF|=|A1A|，∴∠AA1F=∠AFA1，又AA1//x軸，∴∠AA1F=∠A1FO，∴∠AFA1=∠A1FO=∠AFO，同理可得，∠BFB1=∠B1FO=∠BFO，∴∠A1FB1=∠A1FO+∠B1FO=（∠AFO+∠BFO）=，即選項(xiàng)D正確.故選：CD8．【多選題】已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過(guò)，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，設(shè)，，，，，．則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．以線段為直徑的圓與直線相離C．當(dāng)時(shí)， D．面積的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】求出拋物線C的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，設(shè)出直線l的方程，與拋物線C的方程聯(lián)立，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，計(jì)算判斷作答．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，可得，，，故A錯(cuò)誤；由，的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，可得，即有以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，則它與直線相離，故B正確；由，可得，即，又，，解得，，，，所以，故C錯(cuò)誤；由即的導(dǎo)數(shù)為，可得處的切線的方程為，處的切線的方程為，聯(lián)立兩條切線的方程，解得，，即，到的距離為，，則的面積為，當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，則面積的取值范圍為，，故D正確．故選：BD．9．【多選題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的為（

）A．N為的外心 B．M可以為C的焦點(diǎn)C．l的斜率為 D．可以小于2【答案】AC【解析】【分析】由可得，即可判斷A選項(xiàng)；設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線，由求出，即可判斷B選項(xiàng)；由點(diǎn)差法即可求出l的斜率判斷C選項(xiàng)；求出即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由可得，則N為的外心，A正確；易得直線斜率不為0，設(shè)，，聯(lián)立可得，，則，則，由可得，即，則，則焦點(diǎn)為，B錯(cuò)誤；由作差得，即，C正確；，則，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸與于點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)______；的面積為_(kāi)______．【答案】

5

【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式可求的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)后可求.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的方程為，故且.因?yàn)?，，解得，故，所以，故答案為?；.11．設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則的面積為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，求出直線方程，代入拋物線方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，再求出到直線的距離，從而可求出的面積【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，所以，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為：，即0，設(shè)聯(lián)立得，所以，所以點(diǎn)到直線0的距離所以．故答案為：12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大2，記P的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)A、B是C上的兩點(diǎn)，直線OA、OB的斜率分別為且，求證直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)或；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題可得，進(jìn)而即得；（2）設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理法結(jié)合條件可得，即得.(1)設(shè)C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則有：，當(dāng)時(shí)，有；