2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題含答案

精品文檔2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題”《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯"

—得分班級(jí)——學(xué)號(hào)——姓名BA,一、選擇題（共5

小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給出了代號(hào)為，火的四個(gè)選項(xiàng)，

其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)，0分）

里.不填、多填或錯(cuò)填都得442,”yy到y(tǒng)）的值為.已知實(shí)數(shù)（，滿足：一=3,

++=3,則1_______,加優(yōu)￥137+1+135

）（（A）7（BC）D）（22次，若6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲23,4,

5,2.把一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1,2,2人力孫儂“〃軸有兩個(gè)不同交+兩個(gè)正面朝

上的編號(hào)分別為的圖象與，+，則二次函數(shù)=）點(diǎn)的概率是（

15417）D）（（（B）CA（）__________236129個(gè)點(diǎn)可確6個(gè)不同的點(diǎn)，小圓

周上有3.有兩個(gè)同心圓，大圓周上有42個(gè)不同的點(diǎn)，則這定的不同直線最少

有）（

條（B）8（（C）10條（D）12

Q6條ABCOABOABaAB,1的圓內(nèi)作正△的一條弦，且為一邊在圓=.以＜4.己

知1是半徑為2￡必而〃。切如如的長(zhǎng)=,則的一點(diǎn)，且，點(diǎn)=為圓于點(diǎn)上不同于

點(diǎn)的延長(zhǎng)線交圓）（為35aaD）C）（A）（（B）1

（22這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)，53,

4,5.將1,2）（數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么滿足要

求的排法有種D）5（（C）4種）（A2種（B）3種

分）6分，滿分30二、填空題（共5小題，每小題有，定義

一種運(yùn)算“*”為：的方程***（+.對(duì)于實(shí)數(shù)6）=一,.若關(guān)于_4a.的取值

范圍是兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)分鐘從迎面駛318路公交

車，每隔7.小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛路公交車總站

每隔固18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車.假設(shè)每輛18來一輛

分鐘.定時(shí)間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時(shí)間是/〃跖。3。胡。是N是的中點(diǎn)，

=7,11=，點(diǎn)8.如圖，在中，AFCADBACMF_____的平分線，的長(zhǎng)為〃.，則

FDEIABCABCABBCCA作$9.△,過△中，=7,的內(nèi)切圓圓心=8,=DEEBCABACD,

分別與的長(zhǎng)為，_____相交于點(diǎn)，.，則〃“。珈少孫孫）的所有正整數(shù)解為10.關(guān)

于，的方程+208（=.-60分）15三、解答題（共4題，每題分，滿

分軸的正半軸分別交）的圖象與0（.在直角坐標(biāo)系11中，一次

函數(shù)+W軸、精品文檔.

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ABOABOAOBbk-,（2）求△.（1,）用兩點(diǎn)，且使得△的面積值等于I表示I+II

+3于的8面積的最小值.

qxpxppqx=0,有有理數(shù)根？，使得關(guān)于的一元二次方程+-12.是否存在質(zhì)

數(shù)

13.是否存在一個(gè)三邊長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角

2倍的△/比？證明你的結(jié)論.

〃個(gè)數(shù)，其中一定可以找到若干個(gè)數(shù)(至少一個(gè)，也可以是全部)中任取，…,

9,2114.從，〃的最小值.10它們的和能被整除，求精品文檔.

精品文檔簡(jiǎn)答：ACBBD選擇題；16xaax=,；4；8.10.9=；9.

二.填空題6.48>0或<一1；7.3160,

yy=32.=32；

M-2kbbk=-i△2+10；(2)當(dāng)，三.解答題：11.(1)==,>

26+2(3)物助奶<?=5時(shí)，=；12.存在滿足題設(shè)條件的質(zhì)數(shù)2,,.當(dāng)面積

的最小值為7+210Lxxxx=2.它們都是有理數(shù)；13.=0的兩根為方程2

存在滿足條件的三=—5,+2u2ABCa=bcABn的最小值是.14.5=2N6,,

證明=4,,證明略=5角形.△,且/的邊略.

中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)

“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯"2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案

一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.以下每道小題均給出了代號(hào)為

A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代

號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得。分)

2ba?4?b2a?2?(a?3)?2a?4ba?b等于()，則.1.已知非零實(shí)數(shù)，滿足

(A)-1(B)0(C)1(D)2

【答】C.

2ab3出2?,于是，從3,所以，題設(shè)的等式為解：由題設(shè)知》2?,b?a?3a?b=l

而.

的/如比加上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)2.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為是對(duì)角線如)，

則=,===1等于(.精品文檔.

精品文檔、/AI-

15?5?J2D))1(AOBO(C2題)(第22A.【答】

BCBOABCBOC,所以因?yàn)?,即s△解：？.

ACABaX，?.l'?aG所

I

以，.01a??a?l5?10tz?由.，解得加2的質(zhì)地均勻的正

方體骰子先5,6,3,4,3.將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1,2yxM的方程組后投

擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為，則使關(guān)于，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為，.

3?勿?"？.)只有正數(shù)解的概率為(？2?2yx??21351)(D()C)

(B)(A.,,9361812.【答】D

0??82a時(shí)，方程組無解.解：當(dāng)b26??,x??,?b?2H)b2q??時(shí)，方程組的解

為當(dāng)?3a?2?.y?,?ba?2?,?04?ba?6?0,22??b?26?,?0???33???6?2a或由

已知，得即,a?。?,??？,,3?2。22???,?0?,3b?b?3,??b2a????ab6,可得4,5,,

2的實(shí)際意義為1,,3由，，？12,a,4,56,a?3,??種情況.種情況；或共32

共有5X=10??,4b?b6,?1,2,5,??13.種情況，故所求的概率為X6=36

又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6、，36PABDCAB5B?9s.動(dòng)點(diǎn)，14.如圖所

示，在直角梯形從點(diǎn)中，〃"。力為84%看運(yùn)動(dòng)的路程為.，△的面積為把設(shè)

點(diǎn)沿梯形的邊由出發(fā)，運(yùn)動(dòng).

ABCx.2作的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖所示，則△的面積為()精品文檔.

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(A)10(B)16(C)18(D)32

圖2

圖1二(第4題)【答】B.比切如/=8,故=根據(jù)圖像可得5=4,,

進(jìn)而求得=5,解：1S16.

X8X4==i.222MKX.,)的組數(shù)為(的方程的整數(shù)解()，5.關(guān)于

29?2盧?孫？)無窮多組(D)3組(C4組(A)2組(B).【答】

Cx解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為

22.029?x?(2y?x??02,且是完全平方數(shù).由于該方

程有整數(shù)根，則判別式?現(xiàn)0116?29)??7??抄?4(2y?由1162.于是

解得Wyl6.57?.7l2yo14916

4

116

109

53

88

?2?16y時(shí)，顯然，只有是完全平方數(shù)，符合要求.4??2X??U??3；時(shí)，原方程為

當(dāng)，此時(shí)O3?X??4X4?AI2"?1K?3.4時(shí)，原方程為當(dāng)，此時(shí)=—O?x4?x?3a3所以，

原方程的整數(shù)解為

%?1/??1/??3/?3,????如？???y?4y?4;y??4j??4.????324i二、填空題

(共5小題，每小題7分，共35分)

6.一個(gè)自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000km后報(bào)廢；若把

它安裝在后輪，則自行車行駛3000km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、

后輪胎.如果交換前、精品文檔.

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后輪胎，要使一輛自行車的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛

km,_

【答】3750.

A,則安裝在前輪的輪胎每行駛1km解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為凝，

安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為磨損量為.又設(shè)一對(duì)新輪胎交換位置前

50003000^km.分別以一個(gè)輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有

走了km,交換位置后走了?丘???左？,750003000?kykx??k?,、

,?50003000?%(x?y)A(x?y),兩式相加，得力??2,

,300050002則.3750v??x?..11?

.30005000/8(X4548的延長(zhǎng)線上的中點(diǎn)為為圓心，，以點(diǎn)7.已知線段

的長(zhǎng)為半徑作圓，在線段胸切物破'G兩點(diǎn)，取點(diǎn)為圓心，，使得分別相交于=

的長(zhǎng)為半徑作圓，與。；再以點(diǎn)，AHFGABH,則的值為于點(diǎn).連接交，

ABADDEAFEF.,連接解：如圖，延長(zhǎng)與。，交于點(diǎn)11硼跖4中，和

△,，在△由題設(shè)知/E4抑C??/。33?EE4??FH4?9。？,EAF???E4H

成4砌Rt△△所以Rt,^AFAH''!.

AEAFAHl.而，所以?/8Z尸？（第7題）AB3b9??aa2,a,aaalala,aa,

是關(guān).8已知是滿足條件的五個(gè)不同的整數(shù)，若

534U24532??????????xb2009?x?ax?x?ax?a?xaa的值為于的整數(shù)根,

則的方程.53【答】10.??????????2009aaab??b??bab?ab?,,,,

aaaaa且是五個(gè)不同的,解:因?yàn)?451353ab,?,ab,?ba?ba?整數(shù)，所有也是

五個(gè)不同的整數(shù).54123精品文檔.

精品文檔？？？？41?17?7?2009?1???又因?yàn)?，?/p>

以.41a??a?b?a?b?a?b?a?帥?”3240?b，可得由.9a??aa?a?a?加3CDBCCEACABCCDACB?,

12=是高，=為20,的平分線.若=9.如圖，在a15中，，CE.的長(zhǎng)等于則

260.【答】----1BDABADBDAD25+,=9.=16,所以=解：如圖，由勾股

定理知=/儂?90?NC6故由勾股定理逆定理知△.為直角三角形，且

\BFCFxBCFEFxEF-=.設(shè)=,于是，由作，得，20,垂足為=?45ZC8??ECF??_

2ACxEF.由于，所以〃

BFEF,?________

BCACx20?x,即？----------2015題）（第9

—26060=.所以解得.?CE?2x?x一77

每個(gè)人心里都10.10個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲.游戲的規(guī)則是：個(gè)人，然后每

并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩想好一個(gè)數(shù)，報(bào)出來的數(shù)如個(gè)人將他兩

旁的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來.若?圖所示，則報(bào)3的人心里想的數(shù)

是

【答]2?題)(第ioxr?8.的人心里想的數(shù)是5,則報(bào)的人心里想的數(shù)應(yīng)是

解：設(shè)報(bào)3于是報(bào)7的人心里想的數(shù)是，報(bào)9的人心里想的數(shù)是x?4?12?(8?x),

報(bào)1的人心里想的數(shù)是，報(bào)3的人心里想的數(shù)是x8??20?(12x)?16(4?x?12?x)?.所

以x??x)?4(84??x??4?x,

x??2.解得三、解答題(共4題，每題20分，共80分)

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2y?⑵?l)x?c(x))(x,y),與動(dòng)直線,11.已知拋物線有公共點(diǎn)X?#U2222且.？xx?2f?3?mt

的取值范圍；(1)求實(shí)數(shù)

以c的最小值為何值時(shí)，.(2)當(dāng)取到最小值，并求出2"?l)x?(2/?y得二次方

程與解：(1)聯(lián)立，消去x?/①0??l)x?xc?(2,有

實(shí)數(shù)根，，則.所以我3?21?1內(nèi)?》?2口12/222)]?x?(x?xr?[(x?.x)c_

2H22I211222.②==4)/6(3f??3)|[⑵？1)?。??2f.,

22.............5分

把②式代入方程①得

122.③()?〃?6?x4)?(2f?l)x?(3.

2..............10分

t的取值應(yīng)滿足

22220,④X?X/??2f?32l且使方程③有實(shí)數(shù)根，即

2224)?62(3"???⑵？1)?20,二⑤7??2〃?8二，22〃fWW-3或21,

W??22.—221所以，的取值范圍為J

解不等式⑤得.解不等式④得

22行??2.⑥W<22..............15分

13122.

(2)由②式知?f(?l)f?6f?4)?c?(3222222132/?2?2時(shí)是遞增的,

所以，當(dāng)WW由于在?2f??l)?行以22222精品文檔.

—V

精品文檔一L

2H?632h,.............20時(shí)分?c?l)???(2,_mi?22243-

a?2009的191192。?的和.滿足，且12.已知正整數(shù)，求滿足條件的所有可能的

正整數(shù)3361la?192191?192a,且可得解：

由.2?192?3????3?(a?l)a(a?1?1)?(a?1?aa?1?1)a(a?1).

............5分

??3=63；.?alll?a3a?l)a?l)a(a?3(所以因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?，是奇?shù)，，等價(jià)于

lal?22a?a?192依lla?1192a?3于是可得.因此有等價(jià)

于...........15分

aiQ,01,,a?200%?0?的和為.因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù)又，所以

11+192(1+24---1-10)=10571.............20分

ABCADBEABOCCABC7的13.如圖，給定銳角三角形，，是它的兩條高，過點(diǎn)，

作-叢DEFGDFEdl的大N,,過點(diǎn)，，和分別作.試比較線段的垂線，垂足分別為外

接圓的切線并證明你的結(jié)論.

DF2EG.下面給出證明............5解法1：結(jié)論是分

EABFCDEAB222FCDRtA,所以因?yàn)镽tZi.于是可得s。.?'?BEDF

ABCE.同理可得?ADEG?AB10分.........

（第13A題）BEADCE?AD??BECD又因?yàn)?，所以有，于是可??/CBtan?CECD

EGWF.............20分

DF2EG.下面給出證明.：結(jié)論是2解法...........5分

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I

然傷無??90?/。8??4￡8四點(diǎn)共圓，故，連接，，因?yàn)椋裕?

ABCTHCED...........分10.13A(第題)lOClACG^ABC.的切

線，所以...........15又分是。的過點(diǎn)、DEFGDFEGACG22CED?.,故，于是所

以，〃=...........20分

〃個(gè)正整數(shù)滿足如下條件：.；142009?a??a?o,a,q，a?l”2⑵5〃的最大值.1個(gè)不

同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù).求且中任意一m,a,a

7

一—nunbaa,a,a,,數(shù)正

整平均數(shù)為下的數(shù)解：設(shè)一1個(gè)的算中去掉術(shù)后剩

—""2i(a?a??a)?q〃，，Z?1,

.即?6J

,源？1

n,都有W于是，對(duì)

于任意的lWj?i；

a?a"?bb,.〃1?〃|從

而............5

分）〃?l（a?aM?a2008i“是正整數(shù)，故由于??b?b..

3..........................10分

25112?〃?？？？？？？aaa?1??a?q??q?a?由于

\2n'?\n'!]nrinn??????21）?〃1〃??〃？1???（〃？1,2

I2/7W45.

W2008所以，,于是1）?（〃

I

II3〃W

9.,所以，...........15分結(jié)合

25112??na?8?O?1,a?8?1?1,a?8?2?1a?8?7?1,,…，另一方面，令8小。?8?251?1,則這9

個(gè)數(shù)滿足題設(shè)要求.刈的最大值為9..........................

綜上所述，20分

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中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯"2010年全國(guó)初中數(shù)

學(xué)競(jìng)賽試題參考答案“請(qǐng)將正確.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.5小題，每

小題7分，共35分一、選擇題(共不填、多填或錯(cuò)填都得。分)選項(xiàng)的代號(hào)填

入題后的括號(hào)里，baba?,則.的值為(1.若)10??20,.

c/)?c/>2102111011D)(C)(((A)B)一.

11112121al?210?la?/>20b解：.由題設(shè)得???D____

lcllcb??l?l106b

代數(shù)式變形，同除haab.2.若實(shí)數(shù)，(滿足，則)的取值范圍是0?62?a?M?

_laaaacAW)W或W24((A)(B)D4(C)??2???22解.Ckbb

的一元二次方程因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以關(guān)于026??"?“?，2Laa解得4W或.2的判

別式20,2)(a?)??4?l??=(a2?,2方程思想，未達(dá)定理；要解一元二次不等式

‘'1_|CDBCBCABABCDZ4222432,=3.如圖，在四邊形中，Z==135°,/,

=120°,,=AD.邊的長(zhǎng)為()則

?6264))(AB(6?46?22)(D(C)3(第題)D

解：

8。協(xié)物垂足分別，，分別作垂直于直線如圖，過點(diǎn)，F(xiàn)E,為.由已知可得

DFBEAE氏,==題(3EF6于是.=4+ADGGAGADF.在Rt過點(diǎn)△作_L中，根

據(jù)勾股定理得，垂足為血血24)(2??(??(46)?6)622?=.精品文檔.

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勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡(jiǎn)，補(bǔ)全圖形法

?左?次?2?????Alx?N2時(shí)，，且當(dāng)4.在一列數(shù)...中，已知，，x,xx??4?x?lx??????

__"⑵垢44????????????呢?0.2?22.60),則表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整

數(shù)，例如等于().，(取整符號(hào)20.0(A)1(B)2(C)3

(D)4

解：B

?上?次?2?????x?l和可得由？l?4x?x???????_”?M44??????X?1,,,,

4X2?X?3X?M,,,，4XX?3?X?1?X2S657.........

x=2.2010=4X502+2,所以因?yàn)?5。高斯函數(shù)；找規(guī)律。

xOyABCDAB(2,,一1,5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系1中，等腰梯形)的頂點(diǎn)坐

標(biāo)分別為(CDyPAPP繞同)繞點(diǎn)，點(diǎn):旋轉(zhuǎn)).180°得點(diǎn)軸上一點(diǎn)，(01),,一(-

21),2(-1,1“皮羽如叨繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)180°得點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)繞點(diǎn)，

sPPPP的,則點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180。得點(diǎn)……，，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)…，

.)坐標(biāo)是(,)A()(2010,2)(B)(20102?

0(2012,)(D)(,2)(C)2?Z-(第5題)

PP)2,由已知可以得到，點(diǎn)解:B.,,的坐標(biāo)分別為(20),(2?2.,a?)(ba?2,b?2P

記.，其中22222根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，依次可以求得：)baP(47,b(?b)P?a,?2?)4?尸一a(P?4?,

—2b)Qa,.,,,226223242225PPb,?2?a4a)aP(,64?力的坐標(biāo)為()，)，即令(，同樣可以

求得，點(diǎn)⑼02662622P).2010,所以點(diǎn)502+2由于2010=4的坐標(biāo)為(，2??刈。精品

文檔.

精品文檔二、填空題*aaaa5.12的值等于一=2—1,則2+76.已

知一0

解：

^aaa,于是，所以=+由已知得(2+1)4=^^aaaaaaaaa.=62—702

-12=212=+43—+3122++在某一時(shí)刻，一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直

的公路上朝同一方向勻速行駛..一輛客車、7小轎車追上了貨車；分鐘，過了

10客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間.tt貨

車追上了客車，則.小轎車追上了客車；又過了5分鐘，再過=分鐘，

15

解：S千米，小轎車、貨車、客車的速度分設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車

的距離均為胎，a,b別為分鐘追上客車，由題意得（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)

??S?a?610①，？？？？57bc??2sxi5或？③.，

②

xl5?10?5f?30?（分）由①②，得.，所以，=30.故S??c30）b

{AOxOyOABCDE,.如怪I,在平面直角坐標(biāo)系86中，多邊形（的頂點(diǎn)坐標(biāo)分

別是0（0,0處比場(chǎng)刀如完瓦且將多邊形）2,,0）.若直線經(jīng)過點(diǎn)3）6,,（4,4）

（（6,4）,（6（4,/的函數(shù)表達(dá)式分割成面積相等的兩部分，則直線

是.

題（第8

題）（第8111解：+初?？33NCEDFxFOBAFBC軸千點(diǎn)，;連接交，.如圖，延長(zhǎng)，

且相交于點(diǎn)；連接4跖〃M始劭77把矩形的中點(diǎn)，即點(diǎn)，的中心，所以直線）是由

已知得點(diǎn)（2,3為矩形CDEFABFON2）是矩形的中心，所以，分成面積相等的兩

部分.又因?yàn)辄c(diǎn)，（5CDEFN）的直線把矩形5,2分成面積相等的兩部分.過點(diǎn)

QIMN于是，直線即為所求的直線.精品文檔.

精品文檔，?3k+b2?l的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)直線，則6?丘?y?,?2左?b5?l?,??左？,

11173/.，故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為解得+?孫?？..11337.6?.

?3?4%困物如例為8分別交為作9.如圖，射線，上一點(diǎn)，過點(diǎn)都垂直于線段的

垂線，點(diǎn)AECFCDDCDBNFCCAMBE若，過點(diǎn)=作的垂線，貝！I,,垂

I

AB

I--------------

\/

\/

\?

、/

足為于點(diǎn)？ADI、'、/r\---------D

1?5解：2.見題圖，設(shè)〃?尸尸題）（第9248勿反Rt因?yàn)椤鱯Rt/\.,

所以/08??/尸〃〃22月物CFC,,所以又因?yàn)?即=,5）?〃（〃?機(jī)0??1（）?

mm1?〃?51〃5?（舍去）.，或解得?？2m2m

1\5151nAEAFAEAECFB即=.A^RtA,,所以又Rt????AFE

22ADmBCFCAD

力而滿足所得的余數(shù)為的最小值=2,3,…，一，正整數(shù)1除以.若10.對(duì)

于今.，則正整數(shù)的最小值為300()?20()()?”(>,_nn9k,,

3,〃？12的倍數(shù)，所以為解：因?yàn)闈M足的最小值。？？左3?〃？1,2,,,

II。?？,，左23,左32,,,

表示其中的最小公倍

數(shù).II????.,,2,3,

9725202,,3,8?840由于

II????,,727720

11,,,,10725203,232,

------1-------------------------1------------?9A3000?n?2000的

正整數(shù)的最小值為因此滿

足.UI七人。精品文檔.

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三、解答題(共4題，每題20分，共80分)

ABCAPBCDPCBE和為等腰三角形,是線段是底邊上的一點(diǎn)，上的高，點(diǎn)11.如圖，

叢EFEFACDCFABD..和△求證：的外接圓直徑，連接分別是△：*4Dtan?_BC

DM

題）（第11

CFFDBEED直徑，.因?yàn)槎际亲C明：如圖，連接和，

所以BCEDBCFD±±,,

FDE.......（,5,分）三縣共線.因此力有傷連接，則，

AFD???ABC??ACBAEF??,丁n題）（第Z跖/C所以，△分）s

△........COAEFEFAHHAHPDABC由A.作可得，，垂足為s△，則=/〃跖，

?APBCPDEF,從而？

APBCEFPD分）20所以........（?以。?tan?

BCAP

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精品文檔段laEl,已知點(diǎn)相交于點(diǎn)1,12.如圖，拋物線的坐標(biāo)為（（.0）與雙

曲線g?ax??y?_x%08原（在第三象限內(nèi)，且△為坐標(biāo)的面積為3）4,點(diǎn)

點(diǎn)）kba,）求實(shí)數(shù)的值；，（1x4。另〃于作直線軸，交拋物線（2）過拋物線上

點(diǎn)、EAOBCEOC.一點(diǎn)的點(diǎn)，求所有滿足△的坐標(biāo)64

k（第12題）在雙曲線（1上，，）因?yàn)辄c(diǎn)解：（14?y_x4.

k=故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為所以4?y_x4/瓦胡加x?y?OZ?所在直線的函數(shù)表達(dá)

式為，，則有設(shè)點(diǎn)，（，）_t,?加?〃4?1）44（/??.解得，？機(jī)??〃4?__tt,

〃加￡???_〃l）?4（f??川8,故于是，直線軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為與0,??/??）?11

（4/??2,,整理得3?RS??10?3f?22t?Ao321Bt2??t.所以點(diǎn)解得.的坐

標(biāo)為（，），或（舍去）=22??223綣c?or?y以0（因?yàn)辄c(diǎn)）上，，都在拋物線所

2

,4b?a?La???分）.......（10解得??32?22,4a?b????COCACx是（,4）

（2）如圖，因?yàn)?，〃軸，所以于4?CO.6622.又4,所以==22?BOiDxabx^yax

于點(diǎn)軸負(fù)半軸相交（0）與，設(shè)拋物線?為?.

0的坐標(biāo)為（），則點(diǎn)12題）（第々2瞅勿6切?9045?.

因?yàn)?==/=,所以/?斂7??8。490。/8的中點(diǎn)，，）將^。繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（，

得到△.這時(shí)，點(diǎn)是2）2?為精品文檔.

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點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,）.

加？?延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得=,這時(shí)點(diǎn)（8,）是符合條件的點(diǎn).

ElEOAOEOAllm^xBOA,得到點(diǎn)(1,)關(guān)于；延長(zhǎng)軸的對(duì)稱圖形△到點(diǎn)，(ii)

作△胡。為0/34?2222￡?8)是符合條件的點(diǎn).2,=使得，這時(shí)點(diǎn)(0A0E2?

22?8).............................(20),或(2,分)所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是(8,及？

的所有素?cái)?shù)13.求滿足和正整數(shù)機(jī)??加2P2?p?8

.解：由題設(shè)得，2)/n??l)O?4)Q?(2p?j0:4)p(〃z(加??2)夕2)4)(("?加?p....(5

是素?cái)?shù)，故分)，由于，或所以％：4)?(〃卬是正整數(shù)，于是，(1,)若，

令kp2?mm?4?kp?222,p42)?1)?(〃7?4)(加3"??〃(22?2左？1.

,從而故3?加?4?p,p?5,??所以解得.......(10分)

??加?9"?2?22?1,??：42)??(加是正整數(shù).,令)若，(2切?相?2當(dāng)時(shí)，有，

5p?l)k??p?p(m?42kp?6?kp^p?1)?A(44)(1)?(陽?加?2)30(2?如？，

HI,或故,從而2.

3(a?1)?左?2左？1.

由于，從而是奇數(shù)，所以2)?叫以2?1)?(加?4)(加?4?2p?l,?于是？m?2?p,

?這不可能.

2i9?m,無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)，29?/?加?2?63?2相機(jī)2?52?即?32,無正整數(shù)

解.

2Pm=9.........(20,正整數(shù)綜上所述，所求素?cái)?shù)=5

分)

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14.從1,2,…，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取

出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？

ll?3311?2?3311?6O?33(BP1991,…，，)滿足題設(shè)條解：首先，如下61個(gè)數(shù)：

[],彳************(5)

a?a??a是從1另一方面，設(shè)，2,…，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對(duì)

1?

于這心n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，因?yàn)閍,,a,aa\士|)?aa?a33(,,)a?a?33(a“由研

所以)”(a?33v因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù)........

(10分)

,…，，設(shè)，3=1,2M。)33(3。?33/335。??33田，，得由3刈2。33。11。心

11.........(15,分)，即所以M4?a2010?lh.W,61?J?

,3333MW6L

60.故所以，的最大值為61.........(20綜上

所述，分)

2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

一二三總題號(hào)分1451—106—121311

評(píng)卷

復(fù)查

答題時(shí)注意：精品文檔.

精品文檔1.用圓珠筆或鋼筆作答；2.解答書寫時(shí)不要超過裝訂線；.

3.草稿紙不上交DC,A,B,分一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35.每

道小題均給出了代號(hào)為不請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，的四個(gè)選項(xiàng),

其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.

0分)填、多填或錯(cuò)填都得.?2().

1的值為.設(shè)，則代數(shù)式12?2?mla?7?l?(D(B)24(O)

(A)-612477?10?必?y,k?kx?y0kk?0?x.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)

()的圖象大致是()與2

(D)B)(C)(A)(請(qǐng)PAC都是等腰

三角形.P，使/PAB、ZPBC,23、在等邊三角形ABC所在的平面內(nèi)存在點(diǎn)的個(gè)

數(shù)()指出具有這種性質(zhì)的點(diǎn)P

15D)(C)10()(Al(B)7

xy^y?x1x?xry?x?,().

4.若，則的值為，且滿足，0?》j；911(D)2(O)B

(A)1(.,22

11114s的整數(shù)部分等于5,則.設(shè)().?????S_________333399123(A)4

(B)5(C)6(D)7

IIIIII

二、填空題(共5小題，每小題7分，共35分)

6.若a是一個(gè)完全平方數(shù)，則比a大的最小完全平方數(shù)是.。

II

2X?4x?/n)?0x?(x2)(有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可.若關(guān)于的方程7機(jī)的取值范圍

是

以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則，,精品文檔.

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8.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4；另

一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8.同時(shí)

擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率是

\yB,,BAA軸的平行線交雙曲線兩點(diǎn)分別作9.如圖，點(diǎn)為直線上的兩點(diǎn)，過?

.X22AC2BDC,￡>?

（）于，則的值為兩點(diǎn).若。D?4OC0>x.

題）（第9（第io題）/比功跖①。8,且其邊長(zhǎng)為內(nèi)接于△的長(zhǎng)為10.如圖，

在Rt435中，斜邊，正方形48C

12,則△的周長(zhǎng)為分）題，每題20分，共80三、解答題（共4原血?x?21??36

是常數(shù)）的根總ak取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x、b的方程（11.已知：不論、b的值。

是x=l,試求a?式的的一元二次方程的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程12.已知關(guān)于

Oax??bx??cxa?0?xc?a?b.,求兩個(gè)根都大1的值

84x任作直線交拋物13.如圖，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，過點(diǎn)

44y2叩?.兩點(diǎn)，于線QP3=1）求證：NN；（/80/8P的函數(shù)解=60,01）,且

Zo,試求所有滿足條件的直線的坐標(biāo)為（）若點(diǎn)（2PQPBQA析式.

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（第13題）

ABCPABCAC2?BAC?60?^S?2,R4?3,PB15PC1.在4,內(nèi)，，14如圖，△中，點(diǎn)且

力比1求△的面積.

題）（第14

考答案2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參一、選擇題

A.2.C.3.C.4.C.5.A.1二、填空題b破4..9.6.107.3

<.W4.86.l）a?（9三、解答題2a

7—4代入原方程并整理得（b+）k=ll.解：把x=10?b?4??0?2a7??取什么實(shí)

數(shù)均成立，只有）b+4k=7-2a不論k要使等式（7?〃4??b2解之得，

2??????,則方程12的兩個(gè)根為為整數(shù)，且W.解：設(shè)方程，其中（）b?x??ax,,力？的

兩根為，由題意得O?cx?a?xl??l,????????a?ll?,??a??,????兩式相加

得,0?1?2??2??即，32）（?2）（????,

3??2?2??1,??或所以????；3??2?2??1.??精品文檔.

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????5?1,,???或解得????3.??1；?????????所以又因?yàn)椋?）?1）??（）,6?],

c??（[????（a?O,b??Lc??2a?8,b?15,c?6,；或者a?b?c??3,或故29.

13.解：（1）如圖，分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為.D,CP,Qy

.）0,則點(diǎn)的坐標(biāo)為（0設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，I也力的坐并設(shè)設(shè)直線的函數(shù)解

析式為，分標(biāo)0PQ,Pf?y?fcc）聲（,由，別為.）x,yW?fcv???2?2,y?x?,3?2z，

得O??xt?kx.3（第13題）23.

,即于是x?x?t?xtx??”網(wǎng)322222R?x）??xmr（xxt?yBCr,."。3333

于是/>??/>.????

2222ty?BDx22)x(x??xxxxtx?QQPQQPQQQI333PCBCxPC.

又因?yàn)椋???？BDQDXQD^BCP?BCP因?yàn)镹s4,所以

△N,BDQ2BDQ790.

=z故/ABQ4BPbaPC?a2）可知（2）設(shè)＞0,由（，不妨設(shè)，IbDQ?

BC，，/=/=,=?ABQ?30BDABPba33AC.

,=所以=AD23a?b223ACPPC.〃，所以△因?yàn)椤?/p>

ACPC2a3a?，于是，即?？bADDQb?23精品文檔.

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.所以33333）中，即，所以由（1??6,lab,a???abxx??t_______82222

—于是可求得3.b?a?2二=3123“

）代入將的坐標(biāo)（，得到點(diǎn)，？60盯？2232三3,求得再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入

^k.Q\kx?y^3.的函數(shù)解析式為所以直線PQ1???孫3?\33的函數(shù)解析式

為根據(jù)對(duì)稱性知，所求直線，或.尸0?抄?x?l?x?l33/80,使得.解：如圖，

作AM

ACP.ABQ則ACR4BQ??QAB??R4C,??AC2AB?2.由于，所以相似比

為于是丁.4,BQ?2CP?4Q?24P?2314題）（第.

???BAC?6Q??QAB?BAm?以C??BAP?QAP?L由知，.，于是

3AP?3PQ??9SAPQAQ:AP?2:l?*iPQBQBP??25?，從而.所以？9O?80P?于是222.

3?28）?/8PQ?8?（4P?8Q、37136??.故%8/8?/Csin?S60??

ABC?22S

2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（正題）

得分

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評(píng)卷人復(fù)查人答題時(shí)注意：1.用圓珠筆或鋼筆作答；

2.解答書寫時(shí)不要超過裝訂線；

3.草稿紙不上交.

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號(hào)為A,B,

C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入

題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分)?

在數(shù)軸上的位置如圖所示，，那么代數(shù)式如果實(shí)數(shù)1(甲).，可以化簡(jiǎn)為

(),￡

(第1(甲)題)

￡

￡

￡

￡

r

/\

XI7

caabaa、--------1--------1-----一2C

(B)2D(A>TII1(乙).如

果，那么的值為().I一

2(D)(B))(C)(Ayaxay6WO)的圖象有(=2(甲).如果正比例

函數(shù)W0)與反比例函數(shù)=(兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,—2),

那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為().

(A)(2,3)(B)(3,-2)(C)(-2,3)(D)(3,2)

”燈x燈y)+中，滿足不等式2+,W2在平面直角坐標(biāo)系2(乙).的整數(shù)點(diǎn)坐

標(biāo)().的個(gè)數(shù)為(5

79)(C)(D)BIOA()(//這四個(gè)數(shù)據(jù)

(甲).如果3為給定的實(shí)數(shù)，且，那么的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是().

(A)1(B)(C)(D)

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精品文檔II

ABCACBDABCD是等邊三角形.,3(乙).如圖，四邊形，中，是對(duì)角線，XADBD

b0

切的長(zhǎng)為，則，=5=3().

(第3(乙)題)

)(D))4(C4.5

(A()B4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣.小倩對(duì)小

玲說：“你若給切元，我的錢數(shù)將是你的2倍”；小玲對(duì)小倩說：“你若給我2

我元，我的錢數(shù)將是你的“的可能值的個(gè)數(shù)是()?倍”，其中為正整數(shù)，則

(A)1(B)2(C)3(D)4

x是正整數(shù))的正根小于3的方程，(乙).如果關(guān)于4那么這樣).的方程

的個(gè)數(shù)是(8

)6)(C)7(D(A)5(B,擲兩，34,5,65(甲).一枚質(zhì)地均勻的正方

體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2,的概率為1,2,34次骰子，設(shè)其朝上的

面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以的余數(shù)分別是0,,

則).中最大的是(()DC(A)(B)()

(乙).黑板上寫有共5100個(gè)數(shù)字.每次操作先從黑板上的數(shù)中選

,并在黑板上寫上數(shù)，然后刪去，則經(jīng)過99次操作后，黑板上取2個(gè)數(shù)

剩下的數(shù)是().

(A)2012(B)101(C)100(D)99

二、填空題(共5小題，每小題7分，共35分)

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，到''結(jié)果是否''輸入一個(gè)值〉487?”6(甲).按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：

程序運(yùn)行從x的取值范圍是.

Z--JU

D

如果操作進(jìn)行四次才停止，那么為一次操作./

(第6(甲)題)ZXI/,

cab,.如果，那么，是正數(shù)，且滿足，6(乙)/V的值為..

EFABBCABCDAFDE,分別是(甲).如圖，正方形7的中點(diǎn)，的邊長(zhǎng)為，2,與，DBMNDMN

的面積是,

分別交于點(diǎn)，則^,?

2、行

.X--px-q=0(p,

Ro

，#1，PT巧

4o

，PvPTP3

po

plh

.

r^

（第7（甲）題）（第7（乙）題）

且?為對(duì)角線作矩形，是上一點(diǎn).，（乙）7.的半徑為如圖，20以的值等于分

別交于，與兩點(diǎn)，則.延長(zhǎng)22比那么，=—30,8（甲）.如果關(guān)于的

方程++的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為+的值為.

〃能被8（乙）.設(shè)為整數(shù)，且W若5整除，則所有的個(gè)1W2012.

數(shù)為加位九年級(jí)同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有位八年級(jí)同學(xué)

和9（甲）.2參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng).記分規(guī)則是：每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)

者得0分；平局各得1分.

加的值130比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)

的一半，則為.

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zyx那么稱是三角形數(shù).如果正數(shù)可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，，若，9

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（乙）.a+h+e：-----------jcba,則均為三角形數(shù)，且的取值范圍是W.

&和..ABCDOABADDCBACD,交分別延長(zhǎng)（甲）.如圖，四邊形10=內(nèi)接于。，，.

是直徑，EBFEC,并與，.作點(diǎn)為aE"/徽"的長(zhǎng)為，則，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).

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b+cc+aa+b

國(guó)

.若=6=

（第10（甲）題）"1J

使得100成.若有唯一的正整數(shù)對(duì)（乙）.已知10是偶數(shù)，且1WW的個(gè)

數(shù)為.立，則這樣的,分）4題，每題20分，共80三、解答題（共

/Vc//%關(guān)于時(shí)，恒有11，當(dāng)（甲）.已知

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二次函數(shù)108）。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于.求的取值

口，

范圍.的方程n,D：

ABCACxOyAOAB=.=,sin如圖，在平面直角坐標(biāo)系11（乙）.N中，=8,

三點(diǎn)的圖象是一條拋物線，求這條拋軸交于點(diǎn)已知經(jīng)過，且=.,,