2023-2024學年廣西壯族自治區(qū)桂林市高二下學期期末質量檢測數學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年廣西壯族自治區(qū)桂林市高二下學期期末質量檢測數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列求導運算正確的是A.(cosx)′=sinx B.(sinx)′=cosx2.雙曲線x2?yA.12 B.2 C.2 3.曲線y=x3在點(1,1)處的切線方程是A.x+y?2=0 B.x?y+2=0 C.3x+y?4=0 D.3x?y?2=04.已知數列{an}的各項均不為0，a1=1，A.120 B.121 C.1225.對四組數據進行統(tǒng)計，獲得如下散點圖，其中樣本相關系數最小的是(

)A. B.

C. D.6.從1，3，5，7中任取2個數字，從2，4中任取1個數字，可以組成沒有重復數字的三位數的個數是A.8 B.12 C.18 D.727.在數列{an}中，a1=2，對任意m，n∈N?A.22026 B.22025 C.220248.已知點F1是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點，過原點作直線l交C于A，B兩點，M，N分別是AA.22,1 B.0,22二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.直線l：y=x+m，圓C：x2+y2A.直線l的傾斜角為π3

B.圓C的圓心坐標為(1,0)

C.當m=2?1時，直線l與圓C相切

D.當m∈(?10.已知數列{an}的前n項和SA.a1=12 B.數列{an}11.如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=4A.DE//平面A1CA

B.DE⊥平面D1C1E

C.P為棱A1B1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x+2y)4的展開式中，x2y213.盒子里有4個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．如果不放回地依次抽取2個球，在第一次抽到紅球的條件下，第二次抽到紅球的概率是________．14.若不等式1+lnx≤ax2+bx(a>0)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知函數f(x)=x(1)求f(x)的單調區(qū)間和極值；(2)判斷f(x)在(1,2)上是否有零點，并說明理由．16.(本小題15分)設等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，已知(1)求{a(2)已知等比數列{bn}的公比為q，b1=a1，q=d，設cn17.(本小題15分)已知拋物線E：y=x2，過點T(1,2)的直線與E交于A，B兩點，設E在點A，B處的切線分別為l1和l2，l1(1)若點A的坐標為(?1,1)，求△OAB的面積(O為坐標原點)；(2)證明：點P在定直線上．18.(本小題17分)如圖，已知邊長為1的正方形ABCD，以邊AB所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉120°形成的面圍成一個幾何體ADF?BCE.設P是CE?上的一點，G，H分別為線段AP，EF(1)證明：GH?//平面BCE；(2)若BP⊥AE，求平面BPD與平面BPA夾角的余弦值；(3)在(2)的條件下，線段AE上是否存在點T，使BT⊥平面BPD，證明你的結論．19.(本小題17分)已知函數f(x)=ex，(1)求函數?(x)=f(x)?x?1的最小值；(2)若xf(x)?g(x)≥?e恒成立，求a的取值范圍；(3)設n∈N?，證明：12答案解析1.【答案】B

【解析】解：A.

(cosx)′=?sinx，所以錯誤

B.(sinx)′=cosx，所以正確；

C.(1x2.【答案】B

【解析】解：由雙曲線的方程為x2所以c2則a=1，c=2，所以離心率e=故選B3.【答案】D

【解析】解：y′=3x2

y′|x=1=3，切點為(1,1)

∴曲線y=x3在點(1,1)切線方程為3x?y?2=0

故選：【解析】解：∵

1an+1?1an=3，

∴數列{1an}是等差數列，首項為

1a1=1，公差為

3，

∴

15.【答案】B

【解析】解：當

r>0時，兩變量是正相關，當

r<0時，兩變量是負相關，

且當|r|越大時，兩變量的相關性越強，

由此可得樣本相關系數最小的是B．6.【答案】D

【解析】解：從1，3，5，7中任取2個數字，從2，4中任取1個數字

可以組成C42C217.【答案】C

【解析】解：∵對任意m，n∈N?，都有am+n=aman，且a1=2，

取m=1，則an+1=a1an=2an，

所以數列8.【答案】A

【解析】解：設橢圓的右焦點為F2，

∵M、N分別是AF1、BF1的中點，O為F1F2的中點，

∴MO//AF2，ON//AF1，又∠MON=90°，

∴∠F1AF2=90°，設短軸的一個頂點為P，

則∠F1PF2≥90°，設∠F9.【答案】BCD

【解析】解：直線l：y=x+m的斜率為1，直線的傾斜角為π4，A錯誤；

圓C：x2+y2?2x=0可化為(x?1)2+y2=1，圓心為(1,0)，半徑r=1，B正確，

當m=2?1時，圓心(1,0)到直線l的距離d=|1?0+2?1|2=1=r，

可得直線l與圓C相切，10.【答案】AC

【解析】解：對于A，n=1代入①可得，a

??1=

12，故A正確，

對于B，∵數列{a

?n}的前n項和Sn=1?an,①

∴當n?2時，S

?n?1=1?a

?n?1，②

①?②整理可得：2a

?n=a

?n?1，(n?2)，

∴數列{a

?n}是首項為

12，公比為

12的等比數列，

∴a

?n=(

12)

??n，，an>0

∵an+1an=12<1，11.【答案】BC

【解析】解：對于A：由于E

為

AA1

的中點，所以DE∩平面A1對于B：

∵C1D1⊥

平面

AA1D1D,DE?

平面

AA1D1D

，∴又因為C1D1?

平面

D1C1E

，

D∴DE⊥

平面

D1C1E對于C:∵A1B1

//

CD,CD?

平面

CDE

，

A1B∴A1B1

//

平面

CDE,P∈A1對于D

：設外接球球心為

O

，即為體對角線

A1CO

到平面

DCE

距離為

A1

到平面

DCE

A1

到平面

CDE

距離等于

A

到平面

CDE

距離，設為

d

由

VA?CDE=VC?ADE

，即d=12×2×2×212×2×22=2

，則

正四棱柱外接球半徑為R=

22所以截面圓半徑

r=R故選：BC12.【答案】24

【解析】解：由于(x+2y)4的展開式的通項公式為Tr+1=C4rx4?r(2y)r=2r13.【答案】35【解析】解：

記“第一次抽到紅球”為事件A，記“第二次抽到紅球”為事件B，

∵P(A)=C41C61=23，P(AB)=14.【答案】?1【解析】解：由不等式1+lnx≤ax2+bx，易知x>0，

所以等價于lnx+1x≤ax+b恒成立，

設f(x)=lnx+1x，g(x)=ax+b，

f′(x)=1x?x?(1+lnx)x2=?lnxx2，

當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)遞增；x∈(1,+∞)，f′(x)<0，f(x)遞減，

可得f(x)在x=1處取得極大值，且為最大值1，且f(1e)=0，g(?ba)=0，

要使不等式lnx+1x≤ax+b恒成立，必有g(x)的零點與f(x)的零點重合，或者在f(x)的零點左側，如圖所示：

故有?ba≤1e，解得ba≥?1e，當且僅當g(x)=ax+b恰為f(x)在x=1e處的切線時取等號，15.【答案】解：(1)函數f(x)的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=2x?1?1x=(2x+1)(x?1)x，

令f′(x)>0，得x>1，f(x)的增區(qū)間為(1,+∞)，

令f′(x)<0，得0<x<1，f(x)的減區(qū)間為(0,1)，

則f(x)的極小值為f(1)=?1，無極大值；

(2)?f(x)在(1,2)上有零點，

因為f(1)=12?1?1?ln1=?1<0，【解析】

(1)利用導數研究單調性和極值即可；

(2)由由零點存在定理可得結論．16.【答案】解：(1)因為S10=100，所以10a1+45d=100?①．

又a3+a5=14，所以2a1+6d=14?②，

由?①?②得a1=1，d=2，

所以an=a1+(n?1)d=2n?1；

(2)因為b1=a1，q=d，所以b1=1，q=2，【解析】

(1)根據條件得出等差數列的基本量，可得{an}的通項公式；

(2)先由等比數列得出b17.【答案】解：(1)直線AB的斜率k1=2?11?(?1)=12，

直線AB的方程為y?1=12(x+1)，即x?2y+3=0，

聯(lián)立方程x?2y+3=0y=x2，整理得：2x2?x?3=0，

設A(x1,x12)，B(x2,x22)，則x1+x2=12，x1x2=?32，

設直線AB與y軸的交點為D，則D(0,32)，

SΔOAB=SΔOAD+SΔOBD=12×32×|x1|+12×3【解析】

(1)先得出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立，得出直線AB與y軸的交點為D坐標，由

SΔOAB=SΔOAD+SΔOBD，計算即可；

(2)點T(1,2)在拋物線內部，可知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k(x?1)+218.【答案】證明：(1)取BP的中點Q，連接GQ，EQ，

因為G，H分別為線段AP，EF的中點，所以GQ//AB，GQ=12AB，

又因為AB=?//EF，所以GQ=?//HE，

所以四邊形GQEH是平行四邊形，所以GH//QE，

所以GH/?/面BCE．

(2)解：依題意得，AB⊥面BCE，又因為BP?面BCE，所以AB⊥BP．

又因為BP⊥AE，AB//AE=A，AB，AE?面ABEF，

所以BP⊥面ABEF，

又BE?面ABEF，所以BP⊥BE，

所以BP，BE，BA兩兩垂直．

以B為原點，BP，BE，BA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．

則P(1,0,0)，D(32,?12,1)，BP=(1,0,0)，BD=(32,?12,1)，

即x=032x?12y+z=0,取y=2，得x=0，z=1，

所以平面BPD的一個法向量是m=(0,2,1)，

又平面BPA的一個法向量為n=(0,1,0)，

設平面BPD與平面BPA的夾角為θ，則cosθ=|m?n||m|n=25×1【解析】(1)取BP的中點Q，連接GQ，EQ，易得四邊形GQEH是平行四邊形，所以GH//QE，由線面平行的判定即可得證；

(2)先證出BP，BE，BA兩兩垂直，然后以B為原點，BP，BE，BA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，再分別求出平面BPD與平面BPA的法向量，利用向量法進行求解可得；

(3)設T(x,y,z)，AT=λAE(0<λ<1)，因為BT⊥平面BPD，所以BT19.【答案】解：(1)??(x)=ex?x?1，?′(x)=ex?1，

當x∈(?∞,0)時，?′(x)<0，?(x)單調遞減，當x∈(0,+∞)時，?′(x)>0，?(x)單調遞增，

所以?(x)min=?(0)=0;

(2)因為xf(x)?g(x)≥?e恒成立，即xex?x?lnx?a?lna+e≥0恒成立，

令φ(x)=xex?x?lnx?a?