2023-2024學(xué)年山西省陽泉市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年山西省陽泉市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共6小題，每小題5分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(m+1,1)，b=(m?1,1)，且a⊥b，則A.1 B.?1 C.±2 2.復(fù)數(shù)zi=1?2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說法正確的是(

)A.A與B互為對(duì)立事件 B.PA=PB

C.A與B相等 D.A4.如圖所示，點(diǎn)E為△ABC的邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，則AF=(

)

A.38BA+58BC B.55.已知兩條不同直線m，n與三個(gè)不同平面α，β，γ，則下列命題中正確的是(

)A.若m⊥α，n⊥α，則m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若α⊥β，m⊥β，則m//α D.若α⊥β，m⊥α，n//β，則m⊥n6.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象．若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，即A,B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D，測得CD=80，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，則A,BA.80 B.803 C.160 二、多選題：本題共2小題，共10分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。7.給出下列說法，其中正確的是(

)A.數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差與中位數(shù)之積為6

B.已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的方差是5，則數(shù)據(jù)4x1?1,4x2?1,?,4xn?1的方差是20

C.已知一組數(shù)據(jù)x18.如圖圓臺(tái)O1O2，在軸截面ABCD中，AB=AD=BC=12CD=2A.線段AC=23

B.該圓臺(tái)的表面積為11π

C.該圓臺(tái)的體積為73π

D.沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。9.某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)(單位：cm)從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175.則這組樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是

．10.若向量a=(4,0)，b=(1,3)，則向量a在向量b11.如圖，是?OAB在斜二測畫法下的直觀圖，其中，且，則?OAB的面積為

．

12.在一個(gè)正三棱柱中，所有棱長都為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為

．四、解答題：本題共3小題，共36分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。13.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E為棱AD(1)求證：AB//平面PCE；(2)若PA=3，求二面角P?CD?A的平面角的正切值．14.(本小題12分)已知?ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若3(1)求B；(2)若BD=12BA+BC15.(本小題12分)2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式在北京國家體育場(鳥巢)舉行，某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競賽，滿分100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組20,25，第二組25,30，第三組30,35，第四組35,40，第五組40,45，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這m人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者．(i)若有甲(年齡38)，乙(年齡40)兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲?乙兩人至少有一人被選上的概率；(ii)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和52，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．

答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題考查兩向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意建立關(guān)于m的方程，解出即可．【解答】

解：依題意，(m+1)(m?1)+1=0，

即m2=0，

解得m=0．

故選2.【答案】C

【解析】【分析】

由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及它的幾何意義即可求解．【解答】

解：由題意zi=1?2i，所以z=1?2i所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為?2,?1，它在第三象限．故選：C．3.【答案】B

【解析】【分析】

AD選項(xiàng)，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)，求出兩事件的概率；C選項(xiàng)，兩事件不是同一事件，C錯(cuò)誤．【解答】

解：AD選項(xiàng)，事件A與B能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，不是對(duì)立事件，故AD均錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，PA=PBC選項(xiàng)，事件A與事件B不是同一個(gè)事件，故C錯(cuò)誤．故選：B．4.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的線性表示，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：AF5.【答案】A

【解析】【分析】

根據(jù)線線、線面與面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可．【解答】

解：A：若m⊥α，n⊥α，則m//n，故A正確；B：若α⊥γ,β⊥γ，則α與β可能平行或相交，故B錯(cuò)誤；C：若α⊥β，m⊥β，則m//α或m?α，故C錯(cuò)誤；D：若α⊥β，m⊥α，n//β，則m與n可能相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤．故選：A．6.【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)題意，求得各個(gè)角度，即可得AD長，根據(jù)正弦定理，可得BD長，根據(jù)余弦定理，即可得答案．【解答】

解：因?yàn)椤螦DB=135°，所以∠ADC=150°，所以AD=CD=80，又因?yàn)椤螦CB=120所以∠BCD=135在?BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=在?ABD中，由余弦定理得A=80所以AB=80故選：D．

思路點(diǎn)睛；解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等．7.【答案】ACD

【解析】【分析】本題主要考查統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)，屬于中檔題．

對(duì)于A，求得極差、中位數(shù)即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)方差的定義可得

x1=x2【解答】解：對(duì)于A，極差為

4?0=4

，中位數(shù)為

1+22=32

，所以極差與中位數(shù)之積為

4×對(duì)于B，根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)

4x1?1,4x2?1,?,4xn對(duì)于C，由方差

s2=可得

x1=x2對(duì)于D，

∵x1∴x0+x故選ACD．8.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查圓臺(tái)的體積，圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積，旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，屬于中檔題．

在等腰梯形中求出AC判斷A；利用圓臺(tái)表面積公式、體積公式計(jì)算判斷BC；利用側(cè)面展開圖計(jì)算判斷D．【解答】

解：根據(jù)題意，顯然四邊形ABCD是等腰梯形，

又AB=AD=BC=2,CD=4，其高即為圓臺(tái)的高?=對(duì)于A，在等腰梯形ABCD中，AC=?2對(duì)于B，圓臺(tái)的表面積S=π×12+π×對(duì)于C，圓臺(tái)的體積V=13π(對(duì)于D，將圓臺(tái)一半側(cè)面展開，如下圖中扇環(huán)ABCD且E為AD中點(diǎn)，而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開為COD且OC=4，又∠COD=2π在Rt△COE中，

CE=42+32=5

，斜邊CE上的高為OC?OE所以C到AD中點(diǎn)的最短距離為5，D正確．

故選：ABD．9.【答案】170

【解析】【分析】

根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可．【解答】

解：因?yàn)?0×60%=6，所以這組樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是169+1712故答案為：170．10.【答案】(1,【解析】【分析】本題考查了投影向量的計(jì)算公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求出答案即可．【解答】

解：∵a=(4,0),b=(1,3)，

∴a在11.【答案】4【解析】【分析】本題主要考查了平面圖形的直觀圖的畫法及應(yīng)用，其中熟記斜二測畫法的規(guī)則，畫出平面圖形的直觀圖是解答的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．

過B′分別作y′，x′軸的平行線，且交x′，y′軸于點(diǎn)M，N，求出O′N，O′M的長度，從而得到原坐標(biāo)系中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再求出三角形的面積．【解答】

解：過B′分別作y′，x′軸的平行線，且交x′，y′軸于點(diǎn)M，N，

∴O′N=22，O′M=2，

∴在原坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B(?2,42)，點(diǎn)A(2,0)，

∴S△OAB12.【答案】28π3【解析】【分析】

由已知畫出圖形，連接上下底面中心MN，則MN的中點(diǎn)即為外接球球心，連接CO，求出CO即可計(jì)算得出外接球的面積．【解答】

解：由已知做出正三棱柱ABC?A1B設(shè)點(diǎn)M,N分別為正?ABC，正?A1B1C連接CM并延長交于AB于點(diǎn)D，則AD=BD=1，CM=2設(shè)點(diǎn)O為MN中點(diǎn)，連接CO，則點(diǎn)O為正三棱柱ABC?A1B1C1外接球的球心，且因?yàn)辄c(diǎn)M為正?ABC的中心，所以CD⊥AB，所以CD=AC因?yàn)镃M?平面ABC，所以MN⊥CM，則正三棱柱外接球半徑R=CO=所以該球的表面積為：4πR故答案為：28π13.【答案】解：(1)由題意知，AE//BC,AE=1，所以AE//BC且AE=BC，所以四邊形ABCE為平行四邊形，則AB//CE，又AB?平面PCE，CE?平面PCE，所以AB//平面PCE；(2)由PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，得PA⊥CD，又AD⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，由PD?平面PAD，得CD⊥PD，所以∠PDA為二面角P?CD?A的平面角，又PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，得PA⊥AD，在?PAD中，AD=2,PA=3，所以tan∠PDA=即二面角P?CD?A的平面角的正切值為32

【解析】(1)根據(jù)平行四邊形的判斷方法可證四邊形ABCE為平行四邊形，則AB//CE，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；(2)根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)可得CD⊥PD，則∠PDA為二面角P?CD?A的平面角，即可求解．14.【答案】解：(1)由正弦定理得3即333sinC所以3sinB=又0<B<π，所以B=π(2)BD得4=14c所以ac≤162+所以S?ABC即?ABC的面積的最大值為8?4

【解析】(1)根據(jù)正弦定理和三角函數(shù)恒等變換的化簡計(jì)算即可求解；(2)由BD215.【答案】解：(1)設(shè)這m人的平均年齡為x，則

x=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75(歲)．

設(shè)第80百分位數(shù)為a，

由0.1+0.35+0.25+(a?35)×0.04=0.8，解得a=37.5．

(2)(ⅰ)由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為A，B，C，甲，第五組抽取2人，記為D，乙，

對(duì)應(yīng)的樣本空間為

Ω={(A,B)，(A,C)，(A，甲)，(A，乙)，(A,D)，(B,C)，(B，甲)，(B，乙)，(B,D)，(C，甲)，(C，乙)，

(C,D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共15個(gè)樣本點(diǎn)．

設(shè)事件M=“甲、乙兩人至少一人被選上”，則

M={(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有9個(gè)樣本點(diǎn)．

所以，P(M)=n(M)n(Ω)