廣西南寧市武鳴區(qū)鑼圩高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月月考 數(shù)學(xué)試題【含答案】

2026屆高一（下）6月份數(shù)學(xué)月考一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每題5分，共40分）1．已知，則（

）A． B． C．4 D．2．若，，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．3．已知一組數(shù)據(jù)：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)和第80百分位數(shù)分別是（

）A．B．C．D．.54．甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，分別對(duì)同一目標(biāo)各射擊10次，其成績（環(huán)數(shù)）如下：甲的環(huán)數(shù)771061087979乙的環(huán)數(shù)7889877989下列說法正確的是（

）A．甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù) B．甲的中位數(shù)等于乙的中位數(shù)C．甲、乙的眾數(shù)都是7 D．乙的成績更穩(wěn)定5．已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是A．若則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則6．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，則△ABC的面積等于()A． B． C． D．7．已知向量，，若，則(

)A．-1或2 B．-2或1 C．1或2 D．-1或-28．在邊長為2的正方形中，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段上，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每題6分，共18分）9．下列命題正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面C．圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面D．梯形可確定一個(gè)平面10．志愿者是一個(gè)城市的一道靚麗的風(fēng)景，他們以自己的行動(dòng)和熱情，為社會(huì)做出了積極的貢獻(xiàn)，他們是社會(huì)進(jìn)步的推動(dòng)者，是人類文明的傳承者，更是社會(huì)和諧的守護(hù)者.城市為舉辦2024年城市馬拉松比賽招募了一批志愿者，現(xiàn)從中隨機(jī)選出200人，并將他們按年齡（單位:歲）進(jìn)行分組:第1組[15，25），第2組[25，35），第3組，第4組，第5組[55，65]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.則（

）A．a(chǎn)=0.035 B．估計(jì)眾數(shù)為:40C．估計(jì)平均數(shù)為:38 D．估計(jì)第80百分位數(shù)為:11．在中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AC，AB中點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則是在方向上的投影向量D．若點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，目，則的最大值為三、填空題(本題共3小題，每題5分，共15分）12．圓錐被一平面所截得到一個(gè)圓臺(tái)，若圓臺(tái)的上底面半徑為2cm，下底面半徑為3cm，圓臺(tái)母線長為4cm，則該圓錐的側(cè)面積為cm2.13．2022年8月16日，航天員的出艙主通道——問天實(shí)驗(yàn)艙氣閘艙首次亮相.某高中為了解學(xué)生對(duì)這一新聞的關(guān)注度，利用分層抽樣的方法從高中三個(gè)年級(jí)中抽取了30人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一年級(jí)抽取了11人，高二年級(jí)抽取了9人，且高三年級(jí)共有學(xué)生900人，則該高中的學(xué)生總數(shù)為人.14．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，且，，，，則的面積的最大值為.四、解答題(本題共5小題，共77分）15．已知向量．(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，求的值(3)當(dāng)時(shí)，求的值16．全民健身，強(qiáng)國有我，某企業(yè)為增強(qiáng)廣大職工的身體素質(zhì)和健康水平，組織全體職工開啟了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”平臺(tái)的強(qiáng)國運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，為了解他們的具體運(yùn)動(dòng)情況，企業(yè)工會(huì)從該企業(yè)全體職工中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)他們的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)，并得到如下頻率分布直方圖：(1)求直方圖中a的值；(2)估計(jì)該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(3)若該企業(yè)恰好有的職工的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到了企業(yè)制定的優(yōu)秀強(qiáng)國運(yùn)動(dòng)者達(dá)標(biāo)線，試估計(jì)該企業(yè)制定的優(yōu)秀強(qiáng)國運(yùn)動(dòng)者達(dá)標(biāo)線是多少？17．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)面底面，且，設(shè)，分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：//平面；(2)求證：平面平面.18．已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，.(1)求角的大小;(2)若，的面積為，求的周長.19．如圖，已知正方體中，分別是和的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．1．A【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以；故選：A2．A【分析】借助向量模長與數(shù)量積的關(guān)系以及夾角公式計(jì)算即可得.【詳解】由，，，則，而，即得，所以，又，所以.故選：A.3．D【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解.【詳解】把這15個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得121，123，124，125，125，125，125，126，126，127，127，128，129，129，130，由25%×15＝3.75，80%×15＝12，可知數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為第4項(xiàng)數(shù)據(jù)為125，第80百分位數(shù)為第12項(xiàng)與第13項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即×(128＋129)＝128.5.故選：D4．D【分析】求出甲乙的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，即可判斷選項(xiàng)ABC，求出方差判斷選項(xiàng)D.【詳解】計(jì)算得甲、乙的平均數(shù)都是8，故A錯(cuò)誤；甲從小到大進(jìn)行排序：6,7,7,7,7,8,9,9,10,10，乙從小到大進(jìn)行排序,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9，所以甲的中位數(shù)是7.5，而乙的中位數(shù)是8，故B錯(cuò)誤；乙的眾數(shù)是8，故C錯(cuò)誤；甲的方差為，乙的方差為，所以乙的方差小，所以乙的成績更穩(wěn)定，故D正確．故選：D5．B【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系．6．B【詳解】試題分析：根據(jù)正弦定理由可得,,在中,,為邊長為1的正三角形,.故B正確.考點(diǎn)：正弦定理.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,屬容易題.三角形問題中強(qiáng)調(diào)邊角統(tǒng)一,邊角互化可以用正弦定理和余弦定理.本題中應(yīng)根據(jù)正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)之間的關(guān)系式,即可輕松求得所求.7．A【分析】根據(jù)向量平行滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】∵，，，∴，∴或，故選：A.【點(diǎn)睛】向量的坐標(biāo)運(yùn)算常用的公式和結(jié)論有：(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加減乘：8．C【分析】方法一：設(shè)的中點(diǎn)為，則可得，化簡后可求出其最小值；方法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，則，化簡后可求得其最小值.【詳解】方法一：設(shè)的中點(diǎn)為，則（當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）.方法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，因?yàn)樵谶呴L為2的正方形中，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段上，且，所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值1.故選：C.9．BD【分析】根據(jù)已知條件，利用平面的基本性質(zhì)，以及推論，逐一判斷即可：【詳解】平面上不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，故B正確；如果圓上兩點(diǎn)和圓心共線，不能確定一個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；梯形上下底是兩平行直線，可以確定一個(gè)平面，故D正確；故選：BD.10．ABD【分析】由，計(jì)算可判斷A；易得眾數(shù)的估計(jì)值判斷B；利用平均數(shù)的估計(jì)值的計(jì)算公式計(jì)算可判斷C；求得百分位數(shù)判斷D.【詳解】對(duì)于A：，解得，故A正確；對(duì)于B：頻率分布直方圖的第三組的頻率最大，故數(shù)據(jù)的眾數(shù)的估計(jì)值為，故B正確；對(duì)于C：平均數(shù)的估計(jì)值為，故C錯(cuò)誤；第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為，第四組的頻率為，前三個(gè)組的頻率和為，所以第百分位數(shù)在第四個(gè)組，所以百分位數(shù)為，故D正確.故選：ABD.11．BD【分析】對(duì)選項(xiàng)A，B，利用平面向量的加減法即可判斷A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)選項(xiàng)C，首先根據(jù)已知得到為的平分線，即，再利用平面向量的投影概念即可判斷C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，首先根據(jù)三點(diǎn)共線，設(shè)，，再根據(jù)已知得到，從而得到，即可判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】如圖所示：對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，，，分別表示平行于，，的單位向量，由平面向量加法可知：為的角平分線表示的向量.因?yàn)?，所以為的平分線，又因?yàn)闉榈闹芯€，所以，如圖所示：所以是在的投影向量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，如圖所示：因?yàn)樵谏希慈c(diǎn)共線，設(shè)，.又因?yàn)?，所?因?yàn)?，則，.令，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選項(xiàng)D正確.故選：BD.12．【分析】由所截圓臺(tái)的上下底面半徑的比例及母線長，即可求得圓錐的母線長，以及圓錐底面周長，應(yīng)用扇形面積公式即可求圓錐的側(cè)面積.【詳解】如上圖，圓臺(tái)的上底面半徑為2cm，下底面半徑為3cm，圓合母線長為4cm，∴圓錐的側(cè)面積等于扇形OAB面積：，而且，得，即，又，∴.故答案為：13．2700【分析】根據(jù)題意求得每個(gè)學(xué)生抽到的概率，結(jié)合分層抽樣列出方程，即可求解.【詳解】每個(gè)學(xué)生被抽到的概率為，設(shè)該校共有n名學(xué)生，可得，解得（人）.故答案為：2700.14．【分析】由余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最大值，即可由面積公式求出.【詳解】解析：的面積，如圖，過作的平行線，交于點(diǎn).在中，，，，.由余弦定理，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為，故的面積，最大為.故答案為：.15．(1)5；(2)；(3).【分析】（1）求出的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示求解即可；（3）求出的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】（1）由，，得，∴.（2）∵，，，∴，解得．（3）∵，，且，∴，解得．16．(1)(2)9.08千步(3)11千步【分析】（1）由頻率和為1列式求解，（2）（3）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解，【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，解得．（2）設(shè)平均數(shù)為，則．所以該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)約為9.08千步．（3）日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在的頻率為，日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在的頻率為，則位數(shù)在內(nèi)，為，該企業(yè)制定的優(yōu)秀強(qiáng)國運(yùn)動(dòng)者達(dá)標(biāo)線是11千步17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合線面平行的判定定理作答；（2）根據(jù)給定條件，證明，由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)證得，再利用面面垂直、線面垂直的判定推理作答.【詳解】（1）連結(jié)，如圖：

∵底面為正方形，為的中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，又∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，又平面，平面，∴//平面；（2）∵為正方形，∴，又平面平面，平面面，平面，∴平面，平面，∴，又，則，∴是等腰直角三角形，且，又平面，平面，且，∴平面，又平面，∴平面平面.18．(1)(2)8【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到，再由正弦定理將邊化角，最后利用二倍角公式計(jì)算可得；（2）由面積公式求出，再由余弦定理求出，即可求出，從而得解；【詳解】（1）解：由已知，所以，所以，由正弦定理得，因?yàn)?、，則，，，所以，則，所以，所以，則；（2）解：由的面積為，得，又，所以，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以所以，所以，即的周長為8.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、．由題意可證得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即可證得.（2）設(shè)