備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第二章函數(shù)第5講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

第5講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)料1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)出詳細(xì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探究并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特別點(diǎn).3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)（a＞0，且a≠1）.對(duì)數(shù)的運(yùn)算2024浙江T7；2024天津T6；2024天津T7；2024全國(guó)卷ⅠT8該講命題熱點(diǎn)為對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的推斷及應(yīng)用，常與指數(shù)函數(shù)綜合考查，且難度有上升趨勢(shì).在2025年備考過(guò)程中要嫻熟駕馭對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式；學(xué)會(huì)構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性比較大??；留意對(duì)函數(shù)圖象的應(yīng)用，留意區(qū)分對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和指數(shù)函數(shù)圖象.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用2024浙江T6對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用2024新高考卷ⅡT7；2024全國(guó)卷乙T12；2024全國(guó)卷ⅠT12；2024全國(guó)卷ⅡT11；2024全國(guó)卷ⅢT12；2024全國(guó)卷ⅠT31.對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（1）對(duì)數(shù)的概念一般地，假如ax＝N（a＞0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作①x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的②底數(shù)，N叫做③真數(shù).以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作④lgN；以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作⑤lnN.（2）對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)及換底公式性質(zhì)loga1＝⑥0，logaa＝⑦1，alogaN＝⑧N（N＞0），其中a＞0運(yùn)算性質(zhì)假如a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：（1）loga（M·N）＝⑨logaM＋logaN；（2）logaMN＝⑩logaM－logaN（3）logaMn＝?nlogaM，logaan＝?n（n∈R）.換底公式logab＝?logcblogca（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；推論：（1）logab·logba＝?1；（2）logambn＝nmlogab；（3）logab·logbc·logcd＝log2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝logax（a＞1）y＝logax（0＜a＜1）圖象性質(zhì)定義域：?（0，＋∞）.值域：?R.圖象過(guò)定點(diǎn)?（1，0），即恒有l(wèi)oga1＝0.當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0.當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0.在（0，＋∞）上單調(diào)遞?增.在（0，＋∞）上單調(diào)遞?減.規(guī)律總結(jié)1.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0），且過(guò)點(diǎn)（a，1），（1a－1），函數(shù)圖象只在第一、四象限.2.如圖，作直線(xiàn)y＝1，則該直線(xiàn)與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)漸漸增大.留意當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時(shí)，需分a＞1和0＜a＜1兩種狀況進(jìn)行探討.3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)?y＝x對(duì)稱(chēng)（如圖所示）.反函數(shù)的定義域、值域分別是原函數(shù)的值域、定義域，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性、奇偶性.1.[全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)alog34＝2，則4－a＝（B）A.116 B.19 C.18 解析解法一因?yàn)閍log34＝2，所以log34a＝2，則有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝1解法二因?yàn)閍log34＝2，所以a＝2log34＝log39log34＝log49，所以4a＝9，所以42.[多選]以下說(shuō)法正確的是（CD）A.若MN＞0，則loga（MN）＝logaM＋logaNB.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函數(shù)C.函數(shù)y＝ln1+x1－x與y＝ln（1＋x）－ln（D.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）的圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0）且過(guò)點(diǎn)（a，1）,（1a－1），函數(shù)圖象只在第一、四象限3.lg25＋lg2·lg50＋（lg2）2＝2.4.若loga34＜1（a＞0，且a≠1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，34）∪（1，＋∞5.設(shè)loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n的值為12.6.[2024北京高考]已知函數(shù)f（x）＝4x＋log2x，則f（12）＝1解析因?yàn)閒（x）＝4x＋log2x，所以f（12）＝412＋log212＝2＋log22－1＝2研透高考明確方向命題點(diǎn)1對(duì)數(shù)的運(yùn)算例1（1）[2024天津高考]化簡(jiǎn)（2log43＋log83）（log32＋log92）的值為（B）A.1 B.2 C.4 D.6解析（2log43＋log83）（log32＋log92）＝（2log223＋log233）×（log32＋log322）＝（log23＋13log23）（log32＋12log32）＝43×log23×（2）[2024浙江高考]已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝（C）A.25 B.5 C.259 D.解析由2a＝5得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log453＝log方法技巧對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路（1）轉(zhuǎn)化：①利用ab＝N?b＝logaN（a＞0且a≠1）對(duì)題目條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化；②利用換底公式化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)運(yùn)算.（2）利用恒等式：loga1＝0，logaa＝1，logaaN＝N，aloga（3）拆分：將真數(shù)化為積、商或底數(shù)的指數(shù)冪形式，正用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn).（4）合并：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)的運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算.訓(xùn)練1（1）[2024江蘇省如皋市教學(xué)質(zhì)量調(diào)研]我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此時(shí)lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）.當(dāng)n＞0時(shí)，N是n＋1位數(shù)，則41000是（C）位數(shù).（lg2≈0.3010）A.601 B.602 C.603 D.604解析由lg41000＝lg22000＝2000lg2≈2000×0.3010＝602＝602＋lg1，得n＝602，所以41000是603位數(shù).故選C.（2）[2024山東泰安其次中學(xué)模擬]（2＋1027）－23＋2log32－log349－5解析原式＝[（43）3]－23＋log34－log349－5log53＝（43）－2＋log39－3＝命題點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2（1）[浙江高考]在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝1ax，y＝loga（x＋12）（a＞0，且a≠1）的圖象可能是（A BC D解析若0＜a＜1，則函數(shù)y＝1ax是增函數(shù)，y＝loga（x＋12）是減函數(shù)且其圖象過(guò)點(diǎn)（12，0），結(jié)合選項(xiàng)可知，選項(xiàng)D可能成立；若a＞1，則y＝1ax是減函數(shù)，而y＝loga（x＋12）是增函數(shù)且其圖象過(guò)點(diǎn)（（2）已知當(dāng)0＜x≤14時(shí)，有x＜logax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（116，1解析若x＜logax在x∈（0，14]時(shí)成立，則0＜a＜1，且y＝x的圖象在y＝logax圖象的下方，作出y＝x，y＝logax的圖象如圖所示.由圖象知14＜loga14，所以0<a<1，a12＞14，解得1方法技巧與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象問(wèn)題的求解策略1.對(duì)于圖象的識(shí)別，一般通過(guò)視察圖象的變更趨勢(shì)、利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特別點(diǎn)（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等）解除不符合要求的選項(xiàng).2.對(duì)于對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象，一般從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換而得到.訓(xùn)練2（1）[多選/2024遼寧省部分學(xué)校模擬]已知ax＝b－x（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），則函數(shù)y＝loga（－x）與y＝bx的圖象可能是（AB）解析因?yàn)閍x＝b－x，即ax＝（1b）x，所以a＝1b，當(dāng)a＞1時(shí)，0＜b＜1，函數(shù)y＝bx在R上單調(diào)遞減，且過(guò)點(diǎn)（0，1），因?yàn)閥＝logax與y＝loga（－x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故y＝loga（－x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減且過(guò)點(diǎn)（－1，0），故A當(dāng)0＜a＜1時(shí)，b＞1，函數(shù)y＝bx在R上單調(diào)遞增，且過(guò)點(diǎn)（0，1），y＝loga（－x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增且過(guò)點(diǎn)（－1，0），故B符合題意.故選AB.（2）[2024安徽省皖江名校聯(lián)考]已知函數(shù)f（x）＝｜log3｜x｜｜,x≠0，0，x=0，設(shè)a，b，c，d是四個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)意f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），則｜a｜＋｜b解析作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示，易知f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).設(shè)f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直線(xiàn)y＝m，則由圖象得0＜b＜1＜a，則由題意知，log3a＝－log3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝1a，則｜a｜＋｜b｜＋｜c(diǎn)｜＋｜d｜2（a＋b）＝2（a＋1a）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c(diǎn)｜＋｜d｜的取值范圍是（4，＋∞）命題點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較大小例3（1）[2024新高考卷Ⅱ]若a＝log52，b＝log83，c＝12，則（CA.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c解析a＝log52＝log54＜log55＝12＝c，b＝log83＝log89＞log88＝12＝c，所以a＜c＜b.（2）[2024天津市薊州區(qū)第一中學(xué)模擬]已知函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，若a＝f（log215），b＝f（log24.1），c＝f（20.5），則a，b，c的大小關(guān)系為（AA.a＜c＜b B.b＜a＜cC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析log215＝－log25＜－log24＝－2，log24.1＞log24＝2，20.5＝2∈（1，2），故log215＜20.5＜log24.1.由于f（x）在R上是增函數(shù)，故f（log215）＜f（20.5）＜f（log24.1），所以a＜c＜b方法技巧比較對(duì)數(shù)值大小的常用方法1.底數(shù)相同時(shí)，比較真數(shù)的大??；真數(shù)相同時(shí)，利用換底公式轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的形式，再比較大小，也可以借助對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象比較大小.2.當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)都不相同時(shí)，常借助0，1或題干中出現(xiàn)的有理數(shù)等中間量比較大小，也可以通過(guò)作差或者作商比較大小.角度2解對(duì)數(shù)方程或不等式例4（1）[2024湘豫名校聯(lián)考]已知函數(shù)f（x）＝log2｜x｜＋x2，則不等式f（lnx）＋f（－lnx）＜2的解集為（D）A.（1e，1） B.（1e，C.（1，e） D.（1e，1）∪（1，e解析由題可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，＋∞），∴l(xiāng)nx≠0.∵f（－x）＝log2｜－x｜＋（－x）2＝log2｜x｜＋x2＝f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，∴由f（lnx）＋f（－lnx）＜2可得2f（lnx）＜2，即f（lnx）＜1.當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝log2x＋x2.∵y＝log2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是單調(diào)遞增的，∴f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又f（1）＝1，∴｜lnx｜＜1且lnx≠0，∴1e＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集為（1e，1）∪（1，e）.（2）[2024江蘇省淮安市五校聯(lián)考]已知x＝4log6x－9log6x，y＝9loA.5+12 B.C.5＋1 D.5－1解析令log6x＝m，log4y＝n，則x＝6m，y＝4n.由x＝4log6x－9log6x，y＝9log4y＋6log4y可得6m進(jìn)而可得（32）m＝1－（32）2m，故（32）m＋（32）2m＝1，同理得（32）2n＋（32）n＝1，所以（32）m與（32）n均為方程t由t2＋t－1＝0，解得t＝－1+52或t因?yàn)椋?2）m＞0，（32）n＞所以（32）m＝（32）n＝由于函數(shù)y＝（32）x為增函數(shù)，所以m＝n，xy＝6m4n＝（32方法技巧1.（1）logaf（x）＝b?f（x）＝ab（a＞0，且a≠1）.（2）logaf（x）＝logag（x）?f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.2.解簡(jiǎn)潔對(duì)數(shù)不等式，先統(tǒng)一底數(shù)，化為形如logaf（x）＞logag（x）的不等式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解.角度3對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例5（1）[全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，則f（x）（D）A.是偶函數(shù)，且在（12，＋∞B.是奇函數(shù)，且在（－12，1C.是偶函數(shù)，且在（－∞，－12D.是奇函數(shù)，且在（－∞，－12解析由2x+1≠0，2x－1≠0，得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?，?＋∞），其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閒（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，解除A，C.當(dāng)x∈（－12，12）時(shí)，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，解除B.當(dāng)x∈（－∞，－12）時(shí)，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln2x+12x－1＝ln（（2）[全國(guó)卷Ⅰ]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則（B）A.a＞2b B.a＜2bC.a＞b2 D.a＜b2解析令f（x）＝2x＋log2x，因?yàn)閥＝2x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，y＝log2x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故選B.方法技巧對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的求解策略（1）對(duì)于y＝logaf（x）型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)y＝logaf（x）的單調(diào)性與函數(shù)u＝f（x）（f（x）＞0）的單調(diào)性在a＞1時(shí)相同，在0＜a＜1時(shí)相反.（2）探討y＝f（logax）型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用換元法，即令t＝logax，則只需探討t＝logax及y＝f（t）的單調(diào)性即可.留意