2023年上海初三二模數(shù)學圓壓軸題分類

1.(2023靜安，青浦24)已知。。的半徑為3,(DP與。。相切于點4經(jīng)過點4的直線與

◎0、OP分別交于點B、C,cos/B力。,設OP的半徑為x,線段OC的長為y.

⑴求4B的長；

(2)如圖,當。P與。。外切時,求y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域；

(3)當/0C4=/OPC時，求。P的半徑.

〈解答〉

解：⑴在。中，作0?！鯨4B,垂足為D,

在/?必。4。中,cos^BAO==

AD=^AO=I,/.BD=AD=1,:.AB=2AD=2.

⑵連接OB、PA、PC,

；P與。相切于點4二點P、4、。在始終線上.

PC=PA,OA=OB,：.ZPCA=ZPAC=ZOAB=AOBA,

-：OD2=OA2-AD2=32-I2=8,CD=AD+AC=^x+1,

/.OC=VOD2+CD2=J(|x+l)2+8,

y=|V4x2+12x+81,(定義域為x>0).

⑶當P與0外切時，

ZBOA=ZOCA,ZCAO=ZPOC,

^OAC^/XOCP.—=—,OC2=OA-OP,

OCOP

：.19(4x2+12%+81)=3(3+%),/=0(不符合題意,舍去)，小=%

???這時P的半徑為推

4

如圖:當P與。內(nèi)切時，

△CAOs^PAC,.?塔=%.?.亡=/解得:x=?

PAACX-x4

3

???這時P的半徑為9P的半徑為千或9

444

2.(2023年奉賢25)已知:如圖1,在梯形ABCD中，AA=90°,AD//BC,AD=2,AB=

3,tanC=i點P是4。延長線上一點,F為DC的中點,聯(lián)結(jié)BP,交線段DF于點G.

⑴若以4B為半徑的08與以PD為半徑的。P外切，求PD的長；

⑵如圖2,過點F作BC的平行線交BP于點E,

①若設DP=x,EF=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；

②聯(lián)結(jié)DE和PF,若DE=PF,求PD的長.

〈解答〉

解：⑴丫在直角三角形4BP中,40=2,AB=3,DP=x,

BP=Q+(2+x)2,

???以4B為半徑的B與以PD為半徑的P外切,

BP=AB+PD,.'.V32+(2+x)2=3+x,解得:x=2,

???PD的長為2時，以AB為半徑的B與以PD為半徑的P外切.

(2)①聯(lián)結(jié)DE并延長交BC于點M,

A_DP

HM

1??F^)DC^^,EF//BC,

：.DE=EM,：.CM=2EF,：AD//BC,.'.&DEP9/XMEB,DP=BM,

過。作DH1BC于點H,

tanC=I，DH=3,CH=6,AD=BH-2,BC=8,

DP=x、EF=y,BC=BM+CM

%4-2y=8,/.y=(0<x<8);

②;AD〃EF,DE=PF,

當。P=EF時，四邊形OEFP為平彳亍四邊形.y=xy：.x=I，

當DPH股時,四邊形DE”為等腰梯形，

?/EQ//AB,BE=PE,AQ=子,

.??。。=等一2,「.詈=等一2,解得:工=4,

P。的長為g或4.

3.（2023年虹口25）如圖,扇形04B的半徑為4,圓心角N/1OB=90°,點C是液上異于點

A、B的一動點,過點C作CO1。8于點。，作CE1。4于點E,聯(lián)結(jié)DE,過。點作OF1OE于點

F,點”為線段。。上一動點，聯(lián)結(jié)MF,過點F作NF1MF,交OA于點M

⑴當tan/M。F=泄,求等的值；

⑵設OM=x,0N=y,當窈=泄,求遙于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;

⑶在⑵的條件下,聯(lián)結(jié)CF,當aECF與△。尸N相像時,求OD的長.

〈解答》

四邊形AC。。是矩形，

DE=0C=4,-.'OF1DE,：.OF2=DF-FE,

即

,,,tanZMOF=3OF3DF=-3OF,

2

1.OF=-3OFrF-EFE,3§P—=-,

/ZMFO+NOFN=ZNFE+ZOFN=90°,

?.ZMFO=NNFE=ZMOF+NODE=ZNEF+/ODE=90°,

?.ZMOF=ZNEF,：.AOMFs^ENF,

-OMI即"=I

NE=E2FL=3‘NE3'

(2)如圖2,連接MN,

圖2

設。M=x,ON=y,

???瑞=：,即。。=2OM,△OF。是直角三角形，

OM=MD=MF=x,-：AMON=NMFN=90°,

MN是/ONF的角平分線,MN是。F的中垂線，

ON=NF,可得/FON=NNFO,

■：NFON+NNEF=ZNFO+ZNFE,

ZNEF=ZNFE,.-.ON=NE=NF=y,

-：DE=OC=4,

在RtACOE中,OD2+OE2=DE2

(2x)2+(2y)2=42,即y2=4—x2(0<x<2),

⑶如圖3,

B

I

圖3

????4ECFSA0FN，：M=M

利用AOOE的面積,20EOD=^DE-OF

OD=2x,OE=2y,DE=4,|x2yx2x=1X4-OF,

解得,OF=xy(OE=2y,

EF=VOF2-OF2=44y2_(xy)2=yV4—x2,

由(2)y2=4一%2,二EF=y2,'：CE=OD=2x,：.藁=筒

解得y=夜，代入/+y2=4,得%—y/2,OD=2x=2魚，

②^ECF^/\ONF,:.焉得，

利用ADOE的面積,：OE?OD=\DE?OF,

11

OD=2%,OE=2y,DE=4,-x2yx2%=-x4-OF,

解得,OF=xyf

「OE=2y,EF=>JOE2—OF2=^/4y2—(xy)2=yV4—x2,

由(2年=4-EF=y2：CE=OD=2x,：.子=京

解得,y=代入/+y2=4,得x=平,二.OD=2x=W，

綜上所述0。的長為2夜或誓.

4.(2023年黃浦25)如圖,在平行四邊形ABCD中,4B=4,BC=2,44=60°.

(1)求證:BC1BC-

(2)延長CB至G,使BG=BC,E是邊AB上一點,F是線段CG上一點，且/ED尸=60°,設4E=

%,CF=y.

①當點尸在線段BC上時(點尸不與點8,C重合)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域；

②當以AE為半徑的。E與以CF為半徑的OF相切時，求x的值.

〈解答》

在/?必4"。中，AH=AD?cosA=BC-cosA=1,

絲一工些一工.”一些mAH—AD

AD~2"CD~2f'"AD~CDfWBC-CD'

又「ZC=ZA=60°,.,.2AHDs4CBD,

ZCBD=ZAHD=90°,/.BDIBC;

(2)①:AD//BCt

NADB=NDBC=90°,

,/ZBDH+ZHDA=90°,AA+ZHDA=90°,

?,.NBDH=ZA=60°,

ZEDF=60°,/.ZBDH=/EDF,§PZEDH+NBDE=ZFDB+NBDE,

ZEDH=ZFDB,

又丁/EHD=ZCBD=90°,/.2EHDs/\FBD,

???器=萬.?磊=言，???y=4-2x(l<"2);

②連接EF,分三種狀況：

1。當點F在線段BC(點尸不與點B、C重合)上時，

???△EHDs?m，*器.艮喘噂

又?「ZBDH=ZEDF,：.4BDHs/\FDE,：.NDEF=90°,

在RtAEDH中,DE=y/EH2+DH2=V%2-2x+4,

EF=DE-tan60°=V3-DE=V3x2—6x+12,

i)當E與F內(nèi)切時,|x—(4—2x)|=V3x2-6x+12,

-同

解得,刈=干（舍），到9（舍）；

o6

ii）當E與F外切時,x+（4-2x）=V3x2-6x+12.

解得/=1（舍），小=一2（舍）；

2。點F與點B重合時,即x=1時,兩圓外切；

3。當點F在線段BG（點F不與點B重合）上時，

易得CF=4—2x,且仍舊成立，

EF=V3x2-6x+12,

由1。計算可知x=上咨時兩圓內(nèi)切.

O

綜上所述,當X=1時，兩圓外切,當X=上咨時，兩圓內(nèi)切.

O

6.(2023年普陀25)如圖,已知在等腰△4BC中,4B=4C=5,BC=6,點。為BC邊上一動

點(不與點B重合)，過點。作射線DE交力B于點E,ZBDE=N4,以點。為圓心,DC的長為半

徑作。D

(1)設BD=x,4E=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(2)當。。與邊48相切時,求8。的長；

⑶假如。E是以E為圓心,4E的長為半徑的圓,那么當8D為多少長時,。。與OE相切？

解：(1)如圖，,:NB=NB,NBDE=ZA,

ABDEs/\BAC,

.BD_BE

''BA~BCy

?「AB=AC=5,BC=6,BD=%,AE=y,

.?q=手，艮叩=5-凱

0<x<6,且0Vy<5,

25

o

綜上所述,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域為:y=5-1x(0<x<^);

⑵如圖，假設4B與。相切于點F,連接FD,則DF=DC,NBFD=90°,

過點4作AG18C于點G,則/BG4=90°,

在48尸。和ABG4中，NBFD=ZBGA=90°,NB=NB,

ABFDSLBGA,

.DF_BD

??AG一BA"

又：AB=AC=5,BC=6,AGA.BC,

BG=：BC=3,AG=7AB2-M=V52-32=4,

.??華=?,解得8。=日，

(3)-/由⑴知,

.處=竺即處=〃=i

BAACDEAC

BD=DEy

如圖2,當。與球目外切時.

圖2

AE+CD=DE=BD,

;由(1)知,BD=%,4E=y,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=5-|x,

5-——6X4-6,—X=%,

解得,x=3符合

loo

???BD的長度為衰

16

如圖3,當。與E相內(nèi)切時.CD—AE=DE=BD,

圖3

由（1）知,BD=x,AE=y,y關(guān)于%的函數(shù)關(guān)系式是y=5-|x,

6—x—5+—X=%,解得,%=符合0V%V—,

546

8。的長度為:，

4

綜上所述,BD的長度是意或?

7.（2023年徐匯25）如圖，已知NMON兩邊分別為。M,ON,sin/。=:且。4=5,點。為

線段。A上的動點（不與。重合），以4為圓心、力。為半徑作。4設。。=%.

⑴若。4交/。的邊OM于乩C兩點,BC=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義

域；

（2）將。A沿直線OM翻折后得到。4.

①若。4與直線04相切,求x的值；

②若。4與以。為圓心、DO為半徑的OD相切,求x的值.

備用圖

〈解答〉

解:⑴作AH10M于乩如圖1,

在Rt△。力”中,OA=5,sinZAOH=—=

OA5

..4H=3,

AH1BC,

?**CH=BH=^BC=^

OD=x,

AD=5—%,

在RtMCH中,4C=5-x,4H=3,CH=1y,

.-.(1y)2=(5-x)2-32,

y=2A/X2—10%4-16(0<x<2);

(2)①作A'EIOA于E,如圖，

???A沿直線OM翻折后得到4,

/.A'H=AH=3,4的御空為5-x,

在Rt△。力H中,OH=\/OA2-AH2=4,

4與直線0月相切，

A'E=5-x,

ZHAO=ZEAA',

Rt^OAH^Rt^A'AE,

：.0A-.AA'=OH-.A'E,即5:6=4:(5-x),

???x=(；

②當。與小外切時，作4'G1。4于G,連結(jié)4D,如圖3,

A與以。為圓心、。。為半徑的。相切,

A'D=x+5—x=5,

???ZHAO=ZGAA',

Rt^OAH^Rt^A'AG,

,AH_OH_OABn34_5

AGArGAArrAGArG6

??.AG=—,A'G=

55

??DG=AG—AD=——(5—x)=x——,

在RtzU'GD中，?「AG?+GD2=A'D2,

.■.(Y)2+(X-1)2=52,

整理得/一=0,解得XI=0（舍去），X2=3

當。與A內(nèi)切時，同理作圖求解得x=^>OA（舍去）

x的值為？

8.（2023年楊浦18）如圖,扇形04B的圓心角為2a,點P為弧力B上一點將此扇形翻折,當

點。和點P重合時折痕恰巧過點B,且箓=I，則a正切值為

oB

〈解答》

解：BE為折痕，作OC148于C,交弧4B于D,如圖,

...一AB=6

PB5

?,?設AB=6t,PB=5t,

二?點。和點P重合時折痕恰巧過點當

BP=B0-5t,

,/0C1AB,

??.AC=BC=^AB=3t,AB=ST),

/BOD=-/.AOB=--2a=a,

22

在RSBOC中,OC=>JOB2-BC2=4t,

.A/D”BC3t3

..tanZFOC=—=—=

OC4t4’

即tcma=

4

故答案為*

4

9.（2023年楊浦25）已知AM平分NBAC,力B=AC=10,cosZBAM=點。為射線力M上的

動點,以。為圓心,BO為半徑畫圓交直線4B于點E（不與點B重合）.

⑴如圖⑴，當點。為BC與的交點時,求BE的長；

（2）以點4為圓心,力。為半徑畫圓,假如。4與。。相切,求4。的長；

⑶試就點E在直線XB上相對于4B兩點的位置關(guān)系加以探討,并指出相應的40的取值范

圍.

備用圖

解：(1):力M平分=力。,

/.AM1BC,

cosZ-BAM=45,AB=10,

3

cos/B=BO=6,AO=8,

作?！?AEy

。為圓心，

BH=EH,

在RtZkB。“中，BHBO=cosB,

??,BE=2BH=^

(2)v4與。相切,4。為4格至，

A與。只可能相內(nèi)切,且力在。的內(nèi)部，

/.OA=OB—OA,

OB=2OA,

設。4=居貝(JOB=2%,

作BP1AM,則4P=8,BP=6,OP=8-

在RSBP。中,OP2+BP2=OB2,即(8-%)2+62=4x2,

3x2+16%—100=0,

…警i,(負舍),

.八人-8+2V91

?.OA=x=----------.

3

(3)過4B中點作48的垂線交4M于點。i，可得40[=g

過B作4B的垂線交4M于點。2,可得A"=y,

當0<A0<E時,點E在BA的延長線上，

當彳《4。<與時,點E在線段AB上，

當4。>弓時，點E在48的延長線上.

10.(2023年長寧24)如圖,在直角坐標平面內(nèi),四邊形0ABe是等腰梯形，其中OA=4B=

BC=4,tanZBCO=V3.

⑴求經(jīng)過。、8、C三點的二次函數(shù)解析式；

(2)若點P在第四象限，且△POCSAAOB相像,求滿意條件的全部點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，若。P與以OC為直徑的。。相切，請干脆寫出OP的半徑.

〈解答〉

解:⑴；四邊形是等腰梯形，其中。4=AB=BC=4,tanNBC。=代,

0(0,0),B(6,2?C(8,0),

設經(jīng)過。、B、C三點的二次函數(shù)解析式為:y=ax2+bx+c,

貝（l{36a+6b+c=2百,

64a+8b+c=0

解得a=-^-,b=c=0;

???過。、B、C三點的二次函數(shù)解析式為:y=-哼/+竽方

Cx

P

(2)有兩種狀況，

如圖1,當PO=PC時,

/tanZFCO=V3,

ZAOC=ZBCO=60°,

AOAB=120°,

?「OA=AB=4,

??.ZAOB=/ABO=30°,

2P0Cs/\A0B,OA=AB,PO=PC,

??.ZPOC=ZPCO=30°,

.??P(4，T),

如圖2,當PC=OC時，

???AP0Cs/\A0B,OA=OB,CO=PC,

：.NOPC=ZCOP=30°,

OC=PC=8,

/PCD=60°,

PD=4V3,CD=4,

P(12,-4V3),

圖①

⑶P的半徑是4+^^或—4;

如圖①,PD=

P的半徑為4+或4—

如圖②，作QM1OP,-：ZPOC=30°,

QM=+OQ=：OC=2,OM=2亞

???P(12,-4V3),

OP=8V3,

PM=OP-OM=6V3,

PQ=4PM2+QM?=4V7,

P的半徑為4b-4或4,+4,

綜上,P的半徑為4+竽或4-誓或4夕-4或4夕+4.

11.（2023閘北24）已知:如圖,二次函數(shù)y