《初中數(shù)學(xué)規(guī)律題總結(jié)》

初中數(shù)學(xué)規(guī)律題解題基本方法

（一）數(shù)列的找規(guī)律

初中數(shù)學(xué)考試中，經(jīng)常出現(xiàn)數(shù)列的找規(guī)律題，本文就此類題的解題方法進(jìn)行探索：

一、基本方法——看增幅

（一）如增幅相等（此實(shí)為等差數(shù)列）：對每個數(shù)和它的前一個數(shù)進(jìn)行比較，如增幅相等，則第n個數(shù)

可以表示為：a+（n-l）b,其中a為數(shù)列的第一位數(shù)，b為增幅，（nT）b為第一位數(shù)到第n位的總增幅。

然后再簡化代數(shù)式a+（n-l）bo

例：4、10、16、22、28……，求第n位數(shù)。

分析：第二位數(shù)起，每位數(shù)都比前一位數(shù)增加6,增幅相都是6,所以，第n位數(shù)是：4+（n-l）X6=6n

一2

（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅為等差數(shù)列）。如增

幅分別為3、5、7、9,說明增幅以同等幅度增加。此種數(shù)列第n位的數(shù)也有一種通用求法。

基本思路是：1、求出數(shù)列的第n-1位到第n位的增幅；

2、求出第1位到第第n位的總增幅；

3、數(shù)列的第1位數(shù)加上總增幅即是第n位數(shù)。

舉例說明：2、5、10、17……,求第n位數(shù)。

分析：數(shù)列的增幅分別為：3、5、7,增幅以同等幅度增加。那么，數(shù)列的第n-l位到第n位的增幅是:

3+2義（n-2）=2n-1,總增幅為:

[3+（2n—1）]X（n—1）4-2=（n+1）X（n—1）=n2—1

所以，第n位數(shù)是：2+n2-l=n2+l

此解法雖然較煩，但是此類題的通用解法，當(dāng)然此題也可用其它技巧，或用分析觀察湊的方法求出，方

法就簡單的多了。

（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此類題大概沒有通用解法,

只用分析觀察的方法，但是，此類題包括第二類的題，如用分析觀察法，也有一些技巧。

二、基本技巧

（一）標(biāo)出序列號：找規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找

出一般規(guī)律。找出的規(guī)律，通常包序列號。所以，把變量和序列號放在一起加以比較，就比較容易發(fā)現(xiàn)

其中的奧秘。

例如，觀察下列各式數(shù)：0,3,8,15,24,……o試按此規(guī)律寫出的第100個數(shù)是。

解答這一題，可以先找一般規(guī)律，然后使用這個規(guī)律，計(jì)算出第100個數(shù)。我們把有關(guān)的量放在一起加

以比較：

給出的數(shù):0,3,8,15,24,……o

序列號：1,2,3,4,5,……o

容易發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)的每一項(xiàng)，都等于它的序列號的平方減1。因此，第n項(xiàng)是n2-l,第100項(xiàng)是1002-L

（二）公因式法：每位數(shù)分成最小公因式相乘，然后再找規(guī)律，看是不是與n2、n3,或2n、3n,或2n、

3n有關(guān)。

例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n為（2n-l）2

（三）看例題：

A：2、9、28、65....增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18答案與3有關(guān)且..............即：

n3+l

B：2、4、8、16......增幅是2、4、8.......答案與2的乘方有關(guān)即：2n

（四）有的可對每位數(shù)同時減去第一位數(shù)，成為第二位開始的新數(shù)列，然后用（一）、（二）、（三）技巧

找出每位數(shù)與位置的關(guān)系。再在找出的規(guī)律上加上第一位數(shù)，恢復(fù)到原來。

例：2、5、10、17、26……,同時減去2后得到新數(shù)列:

0、3、8、15、24....,

序列號：1、2、3、4、5

分析觀察可得，新數(shù)列的第n項(xiàng)為：n2-L所以題中數(shù)列的第n項(xiàng)為：（n2T）+2=n2+l

（五）有的可對每位數(shù)同時加上，或乘以，或除以第一位數(shù)，成為新數(shù)列，然后，在再找出規(guī)律，并恢

復(fù)到原來。

例：4,16,36,64,?,144,196,…?（第一百個數(shù)）

同除以4后可得新數(shù)列：1、4、9、16…，很顯然是位置數(shù)的平方。

（六）同技巧（四）、（五）一樣，有的可對每位數(shù)同加、或減、或乘、或除同一數(shù)（一般為1、2、3）o

當(dāng)然，同時加、或減的可能性大一些，同時乘、或除的不太常見。

（七）觀察一下，能否把一個數(shù)列的奇數(shù)位置與偶數(shù)位置分開成為兩個數(shù)列，再分別找規(guī)律。

三、基本步驟

先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解題。

如不相等，綜合運(yùn)用技巧（一）、（二）、（三）找規(guī)律

如不行，就運(yùn)用技巧（四）、（五）、（六），變換成新數(shù)列，然后運(yùn)用技巧（一）、（二）、（三）找出新數(shù)

列的規(guī)律

最后，如增幅以同等幅度增加，則用用基本方法（二）解題

四、【典型例題】

例1觀察下列算式：

31=3,32=9,33=27,34=81,

35=243,36=729,37=2187,38=6561,

用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出32°°4的末位數(shù)字是

觀察下列式子：

Ix4+2=6=2x3.，2x5+2=12=3x4.，3x6+2=20=4x5.，4x7+2=30=5x6

請你將猜想得到的式子用含正整數(shù)n的式子表示來0

五、圖形找規(guī)律

小時侯我們都玩過搭積木的游戲，今天我們不妨重拾童年趣事，利用手中的火柴棒搭建一些常見的圖形,

探索規(guī)律。

合作交流，探索規(guī)律：

活動一：探索常見圖形的規(guī)律，用火柴棒按下圖的方式搭三角形

AA7AAM7

⑴填寫下表:

三角肘教1__2__3__4_J

以庫悔一

⑵照這樣的規(guī)律搭建下去，搭n個這樣的三角形需要多少根火柴棒？

★注意引導(dǎo)學(xué)生概括“探索規(guī)律”的一般步驟：

①尋找數(shù)量關(guān)系；

②用代數(shù)式表示規(guī)律

③驗(yàn)證規(guī)律。

★練習(xí)：四棱柱有幾個頂點(diǎn)、幾條棱、幾個面？五棱柱呢？十棱柱呢？n棱柱呢?

活動二：探索具體情景下事物的規(guī)律

問題1.若有兩張長方形的桌子，把它們拼成一張大的長方形桌子，有幾種拼法?

UUVUVUuUTTIJU

⑴一張桌子可坐6人，2張桌子可坐人。

⑵按照上圖方式繼續(xù)排列桌子，完成下表:

桌子張數(shù)3456n

可坐人數(shù)

問題3.如果按圖3的方式將桌子拼在一起

⑴2張桌子拼在一起可坐多少人？3張呢？n張呢？

⑵教室有40張這樣的桌子，按上圖方式每5張拼成1張大桌子，則40張桌子可拼成8張大桌子，共可

坐人。

⑶在⑵中，改成每8張桌子拼成1張大桌子，則共可坐人。

活動三：探索圖表的規(guī)律

下面是2000年八月份的日歷:

星期日星期一星期二星期三星期限星期五星期六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

⑴日歷中的綠色方框中的9個數(shù)之和與該方框正中間的數(shù)有什么關(guān)系？

⑵這個關(guān)系對其它這樣的方框成立嗎？你能用代數(shù)式表示這個關(guān)系嗎？

⑶這個關(guān)系對任何一個月的日歷都成立嗎？為什么？

⑷你還能發(fā)現(xiàn)這樣的方框中9個數(shù)之間的其他關(guān)系嗎？用代數(shù)式表示。

⑸你還能提出那些問題？

4圖3—4①是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖3—4②；再分別連結(jié)圖3—4②中

間的小三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖3—4③，按此方法繼續(xù)下去，請你根據(jù)每個圖中三角形個數(shù)的規(guī)律，

完成下列問題。

⑴將下表填寫完整

???

圖形編號12345第

(2)在

三角形個形

159???個圖

數(shù)n有

中

個三角形(用含n的式子表示)。

j_￡

例6.如圖，把一個面積為1的正方形分等分成兩個面積為2的矩形，接著把面積為2的矩形等分成兩

j_j_1

個面積為4的正方形，再把面積為4的矩形等分成兩個面積為§的矩形，如此進(jìn)行下去，試?yán)脠D形提

示的規(guī)律計(jì)算：

11111111

——I-----1------1-------1--------1--------1-------H--------

248163264128256

例7.把棱長為。的正方體擺成如圖的形狀，從上向下數(shù)，第一層1個，第二層3個……按這種規(guī)律擺

放，第五層的正方體的個數(shù)是

例8.觀察下列圖形并填表。

個數(shù)1234567…n

周長581114???

六、鞏固練習(xí)題

1.用黑白兩顏色的正六邊形地面磚按如圖所示規(guī)律，拼成若干個圖案:

(1)第4個圖案中有白色地面磚塊；

(2)第幾個圖案中有白色地面磚塊。

2.下列每個圖形都是若干個棋子圍成的正方形圖案，圖案的每條邊(包括兩個頂點(diǎn))上都有個

棋子，每個圖案棋子總數(shù)為S,按下圖的排列規(guī)律推斷，S與"之間的關(guān)系可以用式子來表示。

3①.觀察與分析下面各列數(shù)的排列規(guī)律，然后填空。

5913

②457119

’

’

，

—

③24243-T75

’

’,I74

④499345444

，

，

，O

⑤539

7,

⑥61831O52

‘X,1,7,

⑦01120n

‘

‘

’

±‘Oo

⑧5

10OL311O8

‘

1’

⑨5545105

⑩,O

6875

—

4.你能很快算出19952嗎?

為了解決這個問題，我們考察個位上的數(shù)為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可寫成10

?"+5,即求(1°"+5)2的值(〃為自然數(shù))，你試分析"=1，〃=2,〃=3,…這些簡單情況，從中控索其規(guī)律,

并歸納，推測出結(jié)論(在下面空格內(nèi)填上你的控索結(jié)果)。

通過計(jì)算，控索規(guī)律：

⑶=225可寫成100義1(1+D+25

252=625可寫成100x2(2+1)+25

352=1225可寫成100x3(3+1)+25

452=2025可寫成100x4(4+1)+25

75?=5625可寫成

852=7225可寫成

從第（1）的結(jié)果，歸納、推測得：（1°〃+5）2=

根據(jù)上面的歸納、推測，請算出：19952=

5.觀察下列幾個算式，找出規(guī)律：

1+2+1=4

1+2+3+2+1=9

1+2+3+4+3+2+1=16

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

利用上面規(guī)律，請你迅速算出：

①1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=

②據(jù)①你會算出1+2+3+…+100是多少嗎？

③據(jù)上你能推導(dǎo)出1+2+3+…+”的計(jì)算公式嗎？

222222

12.給出下歹（J算式：3—I=8=8xl（5-3=16=8x2>7-5=24=8x3;9?—7?=32=8x4,…,

觀察上面的一系列等式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？用代數(shù)式表示這個規(guī)律

是。

6.研究下列算式，你會發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？

1x3+1=4=22.，2x4+1=9=32.，3x5+1=16=4?.，4x6+1=25=52...

請將你找出的規(guī)律用公式表示出來：。

7.如圖的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律填寫:

。所表示的數(shù)：。

匕所表示的數(shù)：o

8.因?yàn)镕=1義1義1=1,I2=1X1=1,

）+23=1+8=9（1+2）2=32=9

I3+23+33=1+8+27=36（1+2+3）2=6?=36

13+23+33+43=1+8+27+64=100（1+2+3+4）2=0=100

那么F+23+3?+43+…+993+10CP=。

9.將1,2,3,4,5,6,…按一定規(guī)律排成下表:

1

試找出2006在第行第個數(shù)

10.如下圖:

25

(1)1026

(2)

n.把1到200的數(shù)像下表那樣排列，用正方形框子圍住橫的3個數(shù)，豎的3個數(shù)，這9個數(shù)的和是162o

如果在表的另外的地方，也用正方形圍住另外的9個數(shù)。

當(dāng)正方形左上角的數(shù)是100時，這9個數(shù)的和是多少？

當(dāng)正方形中9個數(shù)的和是1557時，最大的數(shù)是多少？

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

............................................195196

197198199200

12.將1至1001個數(shù)如下圖的格式排列。用一個長方形框入12個數(shù)，要使這12個數(shù)的和等于（1）1986；

（2）2529；（3）1989是否辦得到？如果辦不到，簡單說明理由：如果辦得到，寫出長方形框里的最大

的數(shù)和最小的數(shù)。

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

99599699799899910001001

13.（2010年山東省青島市）如圖，是用棋子擺成的圖案，擺第1個圖案需要7枚棋子，擺第2個圖案

需要19枚棋子，擺第3個圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第6個圖案需要枚

棋子，擺第n個圖案需要枚棋子.

【關(guān)鍵詞】規(guī)律

14、（2010鹽城）填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，m的值是

A.38B.52C.66D.74

關(guān)鍵詞：數(shù)字排列規(guī)律

15.（2010年門頭溝區(qū)）如圖，403=45,過CH上到點(diǎn)。的距離分別為135,7,9,11,的點(diǎn)作的垂

線與相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為*$2,S,‘S4，

則第一個黑色梯形的面積Si=；觀察圖中的規(guī)律，

第n（n為正整數(shù)）個黑色梯形的面積S。=

【關(guān)鍵詞】規(guī)律題、梯形面積

16.（2010年山東省濟(jì)南市）如圖所示，兩個全等菱形的邊長為1厘米，一只螞蟻由A點(diǎn)開始按

ABCDEFCG4的順序沿菱形的邊循環(huán)運(yùn)動，行走2010厘米后停下，則這只螞蟻停在點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】點(diǎn)的移動

17、（2010年畢節(jié)地區(qū)）搭建如圖①的單頂帳篷需要17根鋼管，這樣的帳篷按圖②，圖③的方式串起來

搭建，則串7頂這樣的帳篷需要根鋼管.

【關(guān)鍵詞】找規(guī)律

18、（2010年寧波市）十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）

之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式。請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格:

多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）

四面體47

長方體8612

正八面體812

正十二面

201230

體

你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是。

（2）一個多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8,且有30條棱，則這個多面體的面數(shù)是o

（3）某個玻璃筋品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有

24個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)處都有3條棱，設(shè)該多面體外表三角形的個數(shù)為x個，八邊形的個數(shù)為丁個，求％+y

的值。

【關(guān)鍵詞】規(guī)律與探索

19、15.直線上有2010個點(diǎn),我們進(jìn)行如下操作：在每相鄰兩點(diǎn)間插入1個點(diǎn)，經(jīng)過3次這樣的操作后,

直線上共有個點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】點(diǎn)

20、（2010年安徽中考）下面兩個多位數(shù)1248624……、6248624……,都是按照如下方法得到的:

將第一位數(shù)字乘以2,若積為一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)字寫在第2位。

對第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第3位數(shù)字……，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作

得到的。當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和

是...................................（）

A）495B）497C）501D）503

【關(guān)鍵詞】探索規(guī)律

21、（2010年浙江省東陽市）閱讀材料，尋找共同存在的規(guī)律：有一個運(yùn)算程序a十b=n,

可以使：（a+c）ffib=n+c,affi（b+c）=n—2c,

如果1十1=2,那么2010十2010=

【關(guān)鍵詞】閱讀理解、探究規(guī)律

22、（2010重慶市）有兩個完全重合的矩形，將其中一個始終保持不動，另一個矩形繞其對稱中心0按逆

時針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，每次均旋轉(zhuǎn)45。，第1次旋轉(zhuǎn)后得到圖①，第2次旋轉(zhuǎn)后得到圖②，……，則第

10次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖①?④中相同的是O

:

E

圖①圖②圖③圖④

A.圖①B.圖②C.圖③D.圖④

解析：觀察圖形，可知每轉(zhuǎn)動4次為一個循環(huán)，所以10+4=2…2,即第10次旋轉(zhuǎn)后得到圖形是圖②.

24.（2010年四川省眉山市）如圖，將第一個圖（圖①）所示的正三角形連結(jié)各邊中點(diǎn)進(jìn)行分割，得到

第二個圖（圖②）；再將第二個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，得到第三個圖（圖③）;

再將第三個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，……，則得到的第五個圖中，共有

個正三角形.

【關(guān)鍵詞】規(guī)律與探索

25.（2010年福建省晉江市）如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第

一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；

再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；...，根據(jù)以上

操作，若要得到2011個小正方形，則需要操作的次數(shù)是（）.

A.669B.670C.671D.672

【關(guān)鍵詞】大正方形剪成小正方形、規(guī)律與探索

26、（2010江蘇泰州，17,3分）觀察等式：①9-1=2x4,②25-1=4x6,③49-1=6x8…按照這

種規(guī)律寫出第n個等式：.

［答案］（2〃+葉T=2〃（2〃+2）

【關(guān)鍵詞】規(guī)律歸納猜想

27、（2010山東德州）電子跳蚤游戲盤是如圖所示的△ABC,AB=AC=BC=6.如果跳蚤開始時在BC邊的P0

處，BP0=2.跳蚤第一步從P0跳到AC邊的Pl（第1次落點(diǎn)）處，且CP1=CPO；第二步從Pl跳到AB邊

的P2（第2次落點(diǎn)）處，且AP2=AP1；第三步從P2跳到BC邊的P3（第3次落點(diǎn)）處，且BP3=BP2；…;

跳蚤按照上述規(guī)則一直跳下去，第n次落點(diǎn)為Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2009與點(diǎn)P2010之間的距離為

【關(guān)鍵詞】尋找規(guī)律

一、數(shù)字規(guī)律類：

1371321

1、一組按規(guī)律排列的數(shù)：4,9,16,25,36,……請你推斷第9個數(shù)是

2、已知下列等式：①13=12；②13+23=32；③13+23+33=62；

④13+23+33+43=102；.......由此規(guī)律知,第⑤個等式是.第

n個等式是

3、觀察下列各式；①、J+rixz；②、22+2=2X3；③、32+3=3X4；.....請把你猜想到的規(guī)

律用自然數(shù)n表示出來。

4、觀察下面的幾個算式：①、1+2+1=4；②、1+2+3+2+1=9；③、1+2+3+4+3+2+1=16；……根據(jù)你所

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你直接寫出第n個式子

5、觀察下列一組數(shù)的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005個數(shù)是。

6、把數(shù)字按如圖所示排列起來，從上開始，依次為第一行、第二行、第三行、……，中間用虛線圍的

一列，從上至下依次為1、5、13、25、……，則第10個數(shù)為0

第1行1

第

2行

-23

第

3行

-45-6

第

4行

7-89-10

第

5行

11-1213-1415

7、已知一列數(shù)：1,-2,3,-4,5,-6,7,…將這列數(shù)排成如上所示的形式：按照上述規(guī)律排下

去，那么第10行從左邊數(shù)第5個數(shù)等于

1121231

8.有一列數(shù)：，2,2,3,3,3,4……，第9個數(shù)是

9.觀察下列各式：

I2+1=1x2,22+2=2x3,32+3=3x4,42+4=4x5,...

將上面的規(guī)律用含有n的公式表示出來是

10.觀察下列各式：P+l=lx2,22+2=2x3,32+3=3x4...,用n（自然數(shù)）把這個規(guī)律表示出來.

11.觀察下列等式9—1=8>16—4=12,25—9=16>36—16=20,..

這些等式反映出自然數(shù)間的什么規(guī)律呢？設(shè)n表示自然數(shù)，請用含有n的等式表示出來。

12計(jì)算：1+2—3—4+5+6—7—8+9+10—11—12+…+1993+1994—1995—1996+1997.

二、圖形規(guī)律類：

13、一質(zhì)點(diǎn)P從距原點(diǎn)1個單位的A點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳動，第一次跳動到0A的中點(diǎn)Ai處，第二次從Ai

點(diǎn)跳動到0人1的中點(diǎn)A2處，第三次從A2點(diǎn)跳動到。八2的中點(diǎn)A3處，如此不斷跳動下去，則第n次跳動

后，該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離為。

14、如下圖是小明用火柴搭的1條、2條、3條“金魚”……，則搭n條“金魚”需要火柴根.

15、觀察下列球的排列規(guī)律（其中?是實(shí)心球，。是空心球）：

?????oooooeooeeoooooeooeeoooooe

從第1個球起到第2005個球止，共有實(shí)心球個.

16、如圖，在圖1中，互不重疊的三角形共有4個，在圖2中，互不重疊的三角形共有7個，在圖3中,

互不重疊的三角形共有10個，……，則在第八個圖形中，互不重疊的三角形共有個（用

含〃的代數(shù)式表示）。

17、已知一個面積為S的等邊三角形，現(xiàn)將其各邊n（n為大于2的整數(shù)）等分，并以相鄰等分點(diǎn)為頂

點(diǎn)向外作小等邊三角形（如上圖所示）.

（1）當(dāng)門=5時，共向外作出了個小等邊三角形

（2）當(dāng)n=k時，共向外作出了個小等邊三角形（用含k的式子表示）.

18、觀察圖形，并完成下列表格：

序號123???n

???

圖形?☆☆會愈???（此空不填）

???

■■⑥?夠,■

的個數(shù)824???

的個數(shù)14???

19.研究下列等式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

1X3+1=4=22

2X4+1=9=32

3X5+1=16=42

4X6+1=25=52

設(shè)n為正整數(shù)，請用n表示出規(guī)律性的公式來.

20.探索規(guī)律討=225可寫成100x1x(1+1)+25,25?=625可寫成100x2x(2+1)+25

35a=1225可寫成100x3x(3+1)+25,45?=2025可寫成100x4x(4+1)+25

(1)把這個規(guī)律用含有n的式子寫出來；

(2)計(jì)算952.

1_J1.1

21.觀察：3^7~(3"7；><4

----+----+-----+-----

計(jì)算：3x77x1111x1555x59.

22.如圖用黑白兩種顏色的正六邊形地面成按如下所示的規(guī)律，拼成若干個圖案:

第1個第2個第3個

（1）第4個圖案中有白色地面糖塊;

（2）第n個圖案中有白色地面磚塊.

…，若10+2=102x2符合前面式子的規(guī)律，貝Ija+b=

aa

'」（一）

24（岳陽04）.觀察：35235,

工」（一）

57257

79279

11111111

—x——I--x——F—X—+LH-----x——

計(jì)算：2446681820

二，探索圖形規(guī)律

25（浙江湖州05）.觀察下面圖形我們可以發(fā)現(xiàn)：第1個圖中有1個正方形，第2個圖中共有5個正方形,

第3個圖中共有14個正方形，按照這種規(guī)律下去的第5個圖形共有個正方形。

26：（05山東泉州）下圖是某同學(xué)在沙灘上用石于擺成的小房子.

觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個小房子用了塊石子.

27、探索題：如下圖在一些大小相等的正方形內(nèi)分別排列著一些等圓.

(1)(2)(3)

請觀察上圖并填寫下表

圖形編號(1)(2)(3)(4)(5)(6)

圓的個數(shù)

你能試著表示出第n個正方形中圓的個數(shù)嗎？用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算出第2008個圖形中有多少個圓.

28電話費(fèi)與通話時間之間的關(guān)系如下表:

通話時間電話費(fèi)

x(分)y(元)

10.3+0.6

20.6+0.6

30.9+0.6

41.2+0.6

51.5+0.6

⑴寫出用通話時間x表示電話費(fèi)y的公式：.

⑵并用你所列的公式求當(dāng)通話時間x=100分鐘時的費(fèi)用：.

⑶小明家四月份電話費(fèi)是96.6元，那么他家一共打了多長時間的電話：.

探索找規(guī)律習(xí)題集及中考題集

如‘圖，都是由若干盆花組成的形如三角形的圖案，則組成第〃個圖案所需花盆的總數(shù)是

*

***

2.觀察正方形圖案，每條邊上有個圓點(diǎn)，每個圖案中圓點(diǎn)總數(shù)式S,按此推斷S與"的關(guān)系式為

3.下面由火柴棒拼出的一列圖形中，第八個圖形由〃個正方形組成，通過觀察可以發(fā)現(xiàn):

(1)第4個圖形中火柴棒的根數(shù)是；(2)第八個圖形中火柴棒的根數(shù)是

4.①?????②???????③

上面是用棋子擺成的“T”字，按這樣的規(guī)律擺下去，擺成第10個“T”字需要多少個棋子？第n個呢？

5.將一張長方形的紙對折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線）.繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次

的折痕保持平行，連續(xù)對折三次后，可以得到7條折痕，那么對折四次可以得到條折痕.如果

對折n次，可以得到條折痕.

iitiiii

第一次對折第二次對折第三次對折

6.下圖是某同學(xué)在沙灘上用石于擺成的小房子.

觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個小房子用了塊石子.

7.為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽.如圖所示:

按照上面的規(guī)律，擺〃個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)

8.柜臺上放著一堆罐頭，它們擺放的形狀見右圖：

第一層有2x3聽罐頭，

第二層有3x4聽罐頭，

第三層有4x5聽罐頭，

根據(jù)這堆罐頭排列的規(guī)律，第〃（"為正整數(shù)）層有聽罐頭（用含〃的式子表示）.

9.按如下規(guī)律擺放三角形：

則第（4）堆三角形的個數(shù)為；第（n）堆三角形的個數(shù)為.

10.下列圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成。依次規(guī)律，第5個圖案中白色正方

形的個數(shù)為；第n個圖案中白色正方形的個數(shù)為。

H、用同樣大小正方形按下列規(guī)律擺放，將重疊部分涂上顏色，第n個圖案中正方形的個數(shù)是

12.用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成一列圖案:

（1）第4個圖案中有白色紙片張；（2）第n個圖案中有白色紙片張.

13.如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，然后將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，再將

其中的一個正方形剪成四個小正方形，如此繼續(xù)下去，……，根據(jù)以上操作方法，請你填寫下表：

操作次數(shù)N12345???N???

正方形的個

4710??????

數(shù)

15.觀察下列等式：9-1=8

16-4=12.，25-9=16.，............

這些等式反映出自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)"表示自然數(shù)，用關(guān)于"的等式表示出來：

16.觀察下列等式：I2+1=1x2；22+2=2x3；32+3=3x3；............

請你將猜想到的規(guī)律用自然數(shù)〃（〃之D表示出來；

17.觀察下列各式：F+1=1x2；22+2=2x3；3?+3=3x4；............

請你將猜想到的規(guī)律用自然數(shù)表示出來：；

18.樹的高度與樹生長的年數(shù)有關(guān)，測得某棵樹的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（樹苗原高100厘米）

年數(shù)a高度h（單位：厘米）

1115

2130

3145

4

???

⑴填出第4年樹苗可能達(dá)到的高度；（2）請用含a的代數(shù)式表示高度h：

⑶用你得到的代數(shù)式求生長了10年后的樹苗可能達(dá)到的高度。

2+—=22X—3+—=32X—4+—=42X—10+—=102x—

19.已知：33,88,1515,…若bb（a、b為正整數(shù)），則

a+b=o

20.觀察如下圖的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：

（1）在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應(yīng)的等式；

（2）通過猜想寫出與第n個點(diǎn)陣相對應(yīng)的等式

21.閱讀下列一段話，并解決后面的問題

觀察下面一列數(shù)：1,2,4,8,…，我們發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于2.

一般地，如果一列數(shù)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，這一列數(shù)就叫做等比數(shù)列,

這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.

等比數(shù)列5,-15,45,…，的第4項(xiàng)是.

%

~=Q-=Q-=q---

如果一列數(shù)為"2,%，%，…是等比數(shù)歹u,且公比為心那么根據(jù)上述的規(guī)定，有為，的%

2

所以。2=a/,。3=a?q=a〔q%=qq=qq3■■■an

一個等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10,第3項(xiàng)是20,求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng).

1111i

22.將1,2,3,4,5,6,按一定規(guī)律排成下表:

第一行1

]_

第二行23

第三行456

]_]_1

第四行78910

11111

第五行1112131415

111

從表中可以看到，第4行中自左向右第3個數(shù)是5,第5行中自左向右第4個數(shù)是14,那么（1）32

是第行中自左向右第一個數(shù)

（2）第12行中自左向右第11個數(shù)是（3）第199行中自左向右第8個數(shù)是

23.如果依次用心如。3，。4分別表示圖⑴、⑵、⑶、（4）中三角形的個數(shù)，那么

a1=3,/=8,03=15,%=

如果按照，上述規(guī)律繼續(xù)畫圖，那么“9與生之間是:

猜想、探索規(guī)律型（提高）

一、選擇題

1.（2009年貴州黔東南州）某校生物教師李老師在生物實(shí)驗(yàn)室做試驗(yàn)時，將水稻種子分組進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn);

第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7?！疵拷M所取種子數(shù)目比該組前一組增加2粒，按此規(guī)

律，那么請你推測第n組應(yīng)該有種子數(shù)（）粒。

2

A、2〃+1B、2n-lc、2nD、N+

2.（2009年江蘇?。┫旅媸前匆欢ㄒ?guī)律排列的一列數(shù):

1+^

第1個數(shù):2

第3個數(shù):

第〃個數(shù):

那么，在第10個數(shù)、第n個數(shù)、第12個數(shù)、第13個數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.第10個數(shù)B.第n個數(shù)C.第12個數(shù)D.第13個數(shù)

3.（2009年重慶）觀察下列圖形，則第"個圖形中三角形的個數(shù)是（）

A.2〃+2B.4〃+4c.4〃一4D.4〃

4.（2009年河北）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、

4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1

的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中，符合這一規(guī)律的是（）

A.13=3+10B.25=9+16C.36=15+21D.49=18+31

二、填空題

1.（2009年四川省內(nèi)江市）把一張紙片剪成4塊，再從所得的紙片中任取若干塊，每塊又剪成4塊，像

這樣依次地進(jìn)行下去，到剪完某一次為止。那么2007,2008,2009,2010這四個數(shù)中

可能是剪出的紙片數(shù).

2.（2009武漢）14.將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個圖形有6個小圓，第2個圖

形有10個小圓，第3個圖形有16個小圓，第4個圖形有24個小圓，……，依次規(guī)律，第6個圖形有

個小圓.

3.（2009年廣東?。┯猛瑯右?guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按下圖的方式鋪地板，則第（3）個圖

形中有黑色瓷磚塊，第九個圖形中需要黑色瓷磚塊（用含〃的代數(shù)式表示）.

4.（2009年山西?。┫铝袌D案是晉商大院窗格的一部分，其中代表窗紙上所貼的剪紙，則第九個

圖中所貼剪紙的個數(shù)為

5.（2009年婁底）王婿同學(xué)用火柴棒擺成如下的三個“中”字形圖案，依此規(guī)律，第n個“中”字形圖

案需根火柴棒.

dj匚」匚_」___I……

III

（1）II

（2）|

（3）

6.（2009年廣州市）如圖7-①，圖7-②，圖7-③，圖7-④，…，是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一

行“廣”字，按照這種規(guī)律，第5個“廣”字中的棋子個數(shù)是，第"個“廣”字中的棋子個數(shù)

是

圖7-①圖7-②圖7-③?*圖7-④

7、（2009麗水市）如圖，圖①是一塊邊長為1,周長記為P1的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊

邊長為5的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為

￡

前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的5）后，得圖③,④，…，記第n（n23）塊紙板的周長為Pn,則Pn-Pn-1=

8、.（2009年益陽市）圖8是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第2個圖案由7個

基礎(chǔ)圖形組成,,第九（n是正整數(shù)）個圖案中由個基礎(chǔ)圖形組成.

9.觀察下表，回答問題:

23

第個圖形中的個數(shù)是的個數(shù)的5倍.

10.（2009年濟(jì)寧市）觀察圖中每一個大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個大三角形中白色三

角形有

11.（2009年鐵嶺市）如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下

去，則第幾個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是

12.（2009年撫順市）觀察下列圖形（每幅圖中最小的三角形都是全等的），請寫出第九個圖中最小的三

角形的個數(shù)有

13.（2009年梅州市）如圖5,每一幅圖中有若干個大小不同的菱形，第1幅圖中有1個，第2幅圖中

有3個，第3幅圖中有5個，則第4幅圖中有個，第n幅圖中共有個.

14.（2009年廣西梧州）圖（3）是用火柴棍擺成的邊長分別是1,2,3根火柴棍時的正方形.當(dāng)邊長

為n根火柴棍時，設(shè)擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為s,則$=.（用n的代數(shù)式表示s）

15.觀察：工,-2x2,4x3,-8/，...根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第7個單項(xiàng)式為；第〃個單項(xiàng)式為

￡357

16.觀察下列一組數(shù)：2,4,6,8,……，它們是按一定規(guī)律排列的.那么這一組數(shù)的第k個數(shù)

是

17.一組按一定規(guī)律排列的式子：2,-3,4,…，（aWO）則第n個式子是.

（n為正整數(shù)）.

18.觀察下列等式：

1.42—17=3><5；2.52—22—3x7.3.62—3-=3x9.4.7"—42=3x11....則第n（〃是正整數(shù)）個等式

為.

19.（2009恩施市）觀察數(shù)表

根據(jù)表中數(shù)的排列規(guī)律，則字母A所表示的數(shù)是

1

3^5

20.（2009肇慶）15.觀察下列各式:2根據(jù)觀

---------1-----------1-----------FH---------------------------

察計(jì)算.1x33x55x7(2n-l)(2n+l).（n為正整數(shù)）

_i_2__3_4

21.（2009年牡丹江市）有一列數(shù)展了10'17’...，那么第7個數(shù)是

22.（2009年廣西南寧）正整數(shù)按圖8的規(guī)律排列.請寫出第20行，第21列的數(shù)字

23.將正整數(shù)依次按下表規(guī)律排成四