浙江省2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月學(xué)業(yè)水平第二次適應(yīng)性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2024年6月浙江省學(xué)業(yè)水平第二次適應(yīng)性聯(lián)考高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本試題卷共4頁(yè)，滿分100分，考試時(shí)間80分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).3.所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分.）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（

）A．1 B． C．2024 D．3．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．樣本數(shù)據(jù)1，3，5，6，7，10的中位數(shù)為（

）A．5 B．5.5 C．6 D．5或65．下列函數(shù)在定義域上為減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．6．已知，則的值（

）A． B． C． D．27．已知，若，，，則（

）A． B． C． D．8．在一次數(shù)學(xué)考試中，超過(guò)85分（含85分）為優(yōu)秀，現(xiàn)有5位學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢?9，83，87，90，95.從這5位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位，則抽到的2位同學(xué)考試成績(jī)都為優(yōu)秀的概率（

）A． B． C． D．9．已知實(shí)數(shù)，是奇函數(shù)，則（

）A．2 B．1 C． D．10．近年來(lái)純電動(dòng)汽車(chē)越來(lái)越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來(lái)了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口，于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時(shí)間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間.若計(jì)算時(shí)取，，則該蓄電池的常數(shù)大約為（

）A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.5511．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則（

）A． B． C． D．12．已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)且沒(méi)錯(cuò)選得2分，不選、錯(cuò)選得0分.）13．已知向量，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則14．已知，，是三條不重合的直線，，，是三個(gè)兩兩不重合的平面，則下列命題中真命題是（

）A．若，，則 B．若，，，，則C．若，，，則 D．若，，，則15．已知函數(shù)，則下列正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的最小正周期為C．當(dāng)時(shí)，方程有且僅有1個(gè)實(shí)根D．在區(qū)間上單調(diào)遞增，則16．如圖，直三棱柱中，，，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與直線所成角的范圍是B．存在點(diǎn)，使得平面C．若為棱的中點(diǎn)，則平面截三棱柱所得截面積為D．若為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分.）17．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則.18．若，且，則的最小值為；的最小值為.19．若函數(shù)，存在使得，則實(shí)數(shù)的值為.20．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則周長(zhǎng)的最小值為.四、解答題（本大題共3小題，共33分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）21．已知平面向量，，且函數(shù).(1)求的值；(2)求函數(shù)的最小正周期；(3)求函數(shù)在上的最大值，并求出取得最大值時(shí)的值.22．如圖，已知四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，分別為棱，的中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)求二面角的平面角余弦值.23．已知函數(shù)，函數(shù).(1)若，且，求，的值；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的值域和函數(shù)的值域相同，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，記為在上的最大值，求的最小值.

1．C【分析】由交集定義運(yùn)算即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)交集運(yùn)算可求得.故選：C2．B【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及虛部的定義可得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的概念可得的虛部是.故選：B3．D【分析】根據(jù)開(kāi)偶次方被開(kāi)方數(shù)非負(fù)以及分母不能為零結(jié)合一元二次不等式以及三角不等式即可求解.【詳解】由題得，，或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.4．B【分析】根據(jù)中位數(shù)定義計(jì)算即可.【詳解】把數(shù)據(jù)從小到大排列為1，3，5，6，7，10，可得中位數(shù)為.故選：B.5．D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】在上是單調(diào)增函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；,,不是單調(diào)減函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；,不是單調(diào)減函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：D.6．A【分析】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系將弦化切代入可得結(jié)果.【詳解】由可得，將分式的分子和分母同時(shí)除以可得，.故選：A7．B【分析】利用分段函數(shù)性質(zhì)可求得當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論.【詳解】由可得，易知，易知，由為單調(diào)遞增函數(shù)可得，即；故選：B8．C【分析】依題意，由古典概型概率計(jì)算公式可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，抽到的2位同學(xué)考試成績(jī)組成的樣本空間共有10個(gè)樣本點(diǎn)；即；其中2位同學(xué)考試成績(jī)都為優(yōu)秀的樣本點(diǎn)為，共3個(gè)；所以抽到的2位同學(xué)考試成績(jī)都為優(yōu)秀的概率為.故選：C9．A【分析】根據(jù)得到方程，化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】由題意得，即，故，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故選：A10．C【分析】利用經(jīng)驗(yàn)公式將數(shù)據(jù)代入構(gòu)造方程組，再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可解得常數(shù).【詳解】根據(jù)題意由可得，兩式相除可得，即可得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，即可得；即.故選：C11．B【分析】設(shè)為圖象的對(duì)稱中心，為奇函數(shù)，利用為奇函數(shù)，則，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱中心為，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以得，解得，.故選：B12．C【分析】將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成判斷函數(shù)與的符號(hào)問(wèn)題，再利用二次函數(shù)和三角函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可得對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)滿足恒成立，因此，只需恒成立即可，因此恒成立；又易知，所以可得，因此可得；當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，此時(shí)，若，可得恒成立，因此只需滿足在上恒成立，顯然不合題意；若，可得恒成立，因此只需滿足在上恒成立，不妨取，可得，顯然不合題意；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決三角不等式往往利用三角函數(shù)有界性，并根據(jù)恒成立條件限定出含參數(shù)不等式范圍，即可求得結(jié)論.13．ABD【分析】根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A；根據(jù)兩向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B；根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐表示判斷C；根據(jù)兩向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷D.【詳解】因?yàn)?，，A選項(xiàng)，若，則有，A正確；B選項(xiàng)，若，則有，解得，B正確；C選項(xiàng)，若，則，即，解得，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，若，則，即，解得，D正確.故選：ABD14．ACD【解析】略15．AD【分析】根據(jù)振幅判斷A選項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)周期判斷B選項(xiàng)；利用數(shù)形結(jié)合分別畫(huà)出與的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷C選項(xiàng)；利用換元法，將函數(shù)，化為，，通過(guò)，再結(jié)合已知條件確定的取值范圍即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，函?shù)振幅為，所以函數(shù)的值域?yàn)椋珹正確；B選項(xiàng)，函數(shù)的周期為，所以B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，時(shí)，，求方程的根，可轉(zhuǎn)化為求與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別畫(huà)出與的圖象，因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)最大值為，在定義域上單調(diào)遞增且，所以兩函數(shù)圖像在之后不會(huì)再有交點(diǎn)，所以如圖方程有個(gè)實(shí)根，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，令，則函數(shù)化為，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，結(jié)合在上單調(diào)遞增，則有，解得，又因?yàn)?，則.故選：AD16．ACD【解析】略17．##【分析】由正弦定理代入即可得結(jié)果.【詳解】利用正弦定理可得，即；可得.故答案為：18．3##【分析】利用基本不等式可得，再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得的最小值為3，根據(jù)基本不等式中“1”的妙用即可求得出的最小值.【詳解】由，且可得，即可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；因此，即當(dāng)時(shí)，的最小值為3；易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：3，；19．【分析】先求得的值域?yàn)?，得到，根?jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以的值域?yàn)椋瑒t，所以，存在使得，則滿足，即，所以，所以實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.20．【解析】略21．(1)(2)(3)，【分析】（1）解法1：將代入可得向量，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得結(jié)果；解法2：由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)的表達(dá)式，再代入可得結(jié)果；（2）根據(jù)解析式即可得最小正周期；（3）利用正弦函數(shù)單調(diào)性求得在上的單調(diào)性，再由其值域即可得出結(jié)果.【詳解】（1）解法1：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，解法2：由誘導(dǎo)公式可得，，所以所以（2）由解法2得，故函數(shù)的最小正周期為（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值1，此時(shí)22．(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，.，分別是，的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，面，面，所以平面（2）取，的中點(diǎn)，，連接，，，作交于，，且，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，，面，面，，即面.過(guò)點(diǎn)作，連接，由三垂線定理知，則為二面角的平面角.在中，，在中，，設(shè)，則，則，，，.在中，.即二面角的平面角的余弦值為.23．(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，