2024河南中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第七章 第二節(jié) 尺規(guī)作圖 課件

一題串講重難點(diǎn)1河南9年真題子母題2第二節(jié)尺規(guī)作圖

課標(biāo)要求1.能用尺規(guī)作圖(在尺規(guī)作圖中，學(xué)生應(yīng)了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法)：作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線；2.能用尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線；3.能用尺規(guī)作圖：過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線；(2022年版課標(biāo)新增)4.會(huì)利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形．命題點(diǎn)1與尺規(guī)作圖有關(guān)的計(jì)算(9年6考)

考情及趨勢(shì)分析考情分析年份題號(hào)題型分值圖形背景所作線段類型設(shè)問涉及知識(shí)點(diǎn)202318解答題9一般三角形角平分線需要作圖(1)作角平分線；(2)證明線段相等角平分線的性質(zhì)，全等三角形202218解答題2反比例函數(shù)垂直平分線需要作圖求作垂直平分線反比例函數(shù)求表達(dá)式，垂直平分線性質(zhì)、平行線判定202010選擇題3等腰三角形相等的線段給出作圖步驟，需要識(shí)別求四邊形的面積等邊三角形判定及性質(zhì)，解直角三角形，三角形面積考情分析年份題號(hào)題型分值圖形背景所作線段類型設(shè)問涉及知識(shí)點(diǎn)20199選擇題3四邊形垂直平分線給出作圖步驟，需要識(shí)別求線段長全等三角形、平行四邊形、菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理20189選擇題3平行四邊形結(jié)合平面直角坐標(biāo)系角平分線給出作圖步驟，需要識(shí)別求點(diǎn)坐標(biāo)勾股定理，等腰三角形判定及性質(zhì)，角平分線性質(zhì)考情分析年份題號(hào)題型分值圖形背景所作線段類型設(shè)問涉及知識(shí)點(diǎn)20157選擇題3平行四邊形角平分線作出圖，不需要識(shí)別求線段長勾股定理，等腰三角形判定及性質(zhì)，角平分線性質(zhì)【考情總結(jié)】1.近2年分別在解答題中考查了作垂直平分線和作角平分線，其他年份均在選擇題中考查根據(jù)作圖步驟和痕跡判斷作圖并進(jìn)行計(jì)算；2.主要考查的作圖有：作相等線段、作角平分線和作垂直平分線；每年考法不同．考情及趨勢(shì)分析命題點(diǎn)2與尺規(guī)作圖有關(guān)的探究與應(yīng)用(2021.23)考情分析年份題號(hào)題型分值背景設(shè)問涉及知識(shí)點(diǎn)202123解答題10尺規(guī)作角平分線(1)寫證明全等依據(jù)；(2)證明角平分線；(3)求線段長全等三角形判定及判定依據(jù)，角平分線性質(zhì)一題串講重難點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)鞏固例1作一條線段等于已知線段已知：線段a，求作：OA＝a(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖)．作法：(1)作射線OP；(2)以點(diǎn)O為圓心，____為半徑作弧，交OP于點(diǎn)A，OA即為所求作的線段．這種作一條線段等于已知線段的作圖依據(jù)是______________________________．a(chǎn)圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑A作圖如圖所示.例2作一個(gè)角等于已知角已知：∠α，求作：∠AO′B＝∠α(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖)．作法：(1)在∠α上以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，交∠α的兩邊于點(diǎn)P，Q；(2)作射線O′A；(3)以點(diǎn)O′為圓心，____________長為半徑作弧，交O′A于點(diǎn)M，可得到O′M＝OP；(4)以點(diǎn)M為圓心，______長為半徑作弧，與前弧相交于點(diǎn)N，連接PQ，MN，可得到MN＝PQ；(5)過點(diǎn)N作射線O′B，∠AO′B即為所求作的角．OP(或OQ)PQ作圖如解圖所示.例2題解圖請(qǐng)證明∠AO′B＝∠α，并說明依據(jù)．則△OPQ≌△O′MN(SSS)，即∠AO′B＝∠α，依據(jù)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．證明：如解圖，連接PQ，MN，根據(jù)作圖痕跡可知，OQ＝OP，OQ＝O′N，OP＝O′M，PQ＝MN，例2題解圖例3作已知角的平分線已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分線(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖)．作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交OA，OB于點(diǎn)N，M；

(2)分別以點(diǎn)M，N為圓心，以__________長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；

(3)過點(diǎn)O作射線OP，OP即為∠AOB的平分線．大于

MN(1)請(qǐng)?zhí)羁詹⒄f明理由；(1)理由：若不大于

MN，則兩弧沒有交點(diǎn)；作圖如解圖所示．例3題解圖(2)證明∠BOP＝∠AOP，并說明依據(jù)．(2)證明：如解圖，連接MP，NP，根據(jù)作圖可知：OM＝ON，MP＝NP，OP＝OP，例3題解圖則△MOP≌△NOP(SSS)，可得∠BOP＝∠AOP，即OP為∠AOB的平分線，依據(jù)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．例4作線段的垂直平分線已知：線段AB，求作：線段AB的垂直平分線(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖)．

作法：(1)分別以點(diǎn)A，B為圓心，__________的長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩

弧交于M，N兩點(diǎn)；(2)連接兩弧交點(diǎn)M，N所成直線l即為所求作的垂直平分線．(1)請(qǐng)?zhí)羁詹⒄f明理由；大于

AB；理由：若不大于

AB，則兩弧沒有交點(diǎn)；作圖如解圖所示．例4題解圖(2)請(qǐng)證明直線l垂直平分線段AB，并說明依據(jù)．(2)證明：如解圖，連接AM，BM，AN，BN，例4題解圖根據(jù)作圖可知：AM＝AN，BM＝BN，且AM＝MB，∴AM＝BM＝AN＝BN，∴點(diǎn)M，N均在線段AB的垂直平分線上，∴直線l垂直平分線段AB.依據(jù)：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．例5過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線已知：直線l及直線l上一點(diǎn)P，求作：直線PN，使得PN⊥l(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖)．作法：(1)以點(diǎn)P為圓心，任意長為半徑向點(diǎn)P兩側(cè)作弧，交直線l于點(diǎn)A和點(diǎn)B，可得到PA＝PB；(2)分別以點(diǎn)A，B為圓心，以____________長為半徑在直線兩側(cè)作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，連接MA，MB，NA，NB，可得到MA＝MB＝NA＝______；(3)連接MN，則直線MN即為所求作的垂線．(1)請(qǐng)?zhí)羁詹⒄f明理由；大于

AB；NB理由：若不大于

AB，則兩弧沒有交點(diǎn)；作圖如解圖所示．例5題解圖(2)請(qǐng)證明MN⊥AB，并說明依據(jù)．(2)證明：如解圖，連接AM，BM，AN，BN，由作圖知AM＝MB，AP＝BP，例5題解圖∴△AMB為等腰三角形，且P為AB的中點(diǎn)，∴MP⊥AB.依據(jù)：等腰三角形“三線合一”．例6過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P，求作：直線PN，使得PN⊥l(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖)．作法：(1)在直線l另一側(cè)取點(diǎn)M；(2)以點(diǎn)P為圓心，______長為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)A和點(diǎn)B，連接PA，PB，可得到PA＝PB；(3)分別以點(diǎn)A，B為圓心，以____________長為半徑作弧，交點(diǎn)M同側(cè)于點(diǎn)N，連接AN，BN，可得到AN＝BN；(4)連接PN，則直線PN即為所求作的垂線．(1)請(qǐng)?zhí)羁詹⒄f明理由．大于

ABPM理由：若不大于

AB，則兩弧沒有交點(diǎn)；作圖如解圖所示．例6題解圖(2)請(qǐng)證明MN⊥AB，并說明依據(jù)．(2)證明：如解圖，連接AP，BP，AN，BN，例6題解圖根據(jù)作圖可知：AP＝BP，AN＝BN，結(jié)合PN為公共邊，可得△ANP≌△BNP(SSS)，則A，B關(guān)于PN對(duì)稱，即PN垂直平分AB.依據(jù)：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；(3)為什么要在另一側(cè)取一點(diǎn)M？在直線上取一點(diǎn)M，或者在同側(cè)取一點(diǎn)M，可以嗎？(3)解：在另一側(cè)取點(diǎn)M，可使以P為圓心，PM長為半徑作弧時(shí)，與直線l有兩個(gè)交點(diǎn)；不可以，在直線上取一點(diǎn)M，可能存在以P為圓心，PM長為半徑作弧與直線l只有一個(gè)交點(diǎn)的情況；在直線同側(cè)取點(diǎn)，可能與直線無交點(diǎn)．例6題解圖重難考法突破與尺規(guī)作圖有關(guān)的計(jì)算(9年6考)例7如圖，已知平行四邊形ABCD.(1)如圖①，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于

MN為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線BP交AD于點(diǎn)E，按照上述作圖步驟，下列說法不正確的是(

)A.∠ABE＝∠CBEB．△ABE為等腰三角形C.BE一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心D.BE＝BC例7題圖①D(2)如圖②，連接AC，過點(diǎn)A作BC邊上的高AH.若BC＝5，∠B＝45°，tan∠ACB＝

，請(qǐng)先用尺規(guī)作圖的方法作出圖形，再求平行四邊形ABCD的面積；例7題圖②(2)解：作圖如解圖①；例7題解圖①設(shè)BH＝x，∵∠B＝45°，AH⊥BC，∴AH＝BH＝x，∵tan∠ACB＝

，∴在Rt△AHC中，

，即

，

∴CH＝

，

∴BC＝BH＋CH＝x＋

＝5，解得x＝3，∴AH＝3，S?ABCD＝BC·AH＝5×3＝15.例7題解圖①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，即AP∥CD，∴∠BPM＝∠CDM，∵M(jìn)N為BC的垂直平分線，∴BM＝CM，(3)如圖③，作BC的垂直平分線MN，交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N.連接DM并延長交AB的延長線于點(diǎn)P，請(qǐng)先用尺規(guī)作圖的方法作出圖形，再證明：AP＝2BP；例7題圖③(3)解：作圖如解圖②；例7題解圖②在△BPM和△CDM中，

∴△BPM≌△CDM(AAS)，∴BP＝CD，∴AB＝BP，∴AP＝2BP.例7題解圖②

解題關(guān)鍵點(diǎn)根據(jù)垂直平分線與平行四邊形的性質(zhì)證明△BPM≌△CDM，可得AP＝2BP.(4)如圖④，在AD邊上找一點(diǎn)E，使2∠AEB＝∠ABC.請(qǐng)先用尺規(guī)作圖的方法作出圖形，再證明．例7題圖④(4)解：解法一：作圖如解圖③，例7題解圖③證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，由作圖可知BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠CBE，∴2∠AEB＝∠ABC.解法二：作圖如解圖④，例7題解圖④證明：如解圖④，連接BE∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，由作圖可知AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，∴2∠AEB＝∠ABC.例8

[利用圖形性質(zhì)作圖判定平行四邊形](2023河北)綜合實(shí)踐課上，嘉嘉畫出△ABD，利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C，使得四邊形ABCD為平行四邊形．圖①～圖③是其作圖過程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是(

)A.兩組對(duì)邊分別平行B.兩組對(duì)邊分別相等C.對(duì)角線互相平分D.一組對(duì)邊平行且相等圖①圖②圖③例8題圖C河南9年真題子母題1命題點(diǎn)與尺規(guī)作圖有關(guān)的計(jì)算9年6考1.(2021河南9題改編)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于

AC長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O.若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則BF的長為(

)A.2B.2C.4D.第1題圖B2.(2023河南10題3分)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝

，∠BAC＝30°，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為(

)A.6

B.9

C.6

D.3第2題圖D2.1變兩弧交點(diǎn)位置，變?cè)O(shè)問———將點(diǎn)D變到AC的另一側(cè)，將求四邊形的面積變?yōu)榍缶€段的長如圖，在△ABC中，AB＝BC＝

，∠BAC＝30°，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接DA，DC，BD，則BD的長為(

)A.

B.

C.2

D.3子題2.1圖B3.(2022河南7題3分)如圖，在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E.若BF＝6，AB＝5，則AE的長為(

)A.4B.6C.8D.10第3題圖C3.1變背景變?cè)O(shè)問——與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合，將求AE的長變?yōu)榍簏c(diǎn)E的坐標(biāo)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，B，C在x軸上，以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)F，連接BF，分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于

BF長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，連接AG，并延長交BC邊于點(diǎn)E，若BF＝6，AB＝5，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(

)A.(6，0)

B.(，0)C.(，0)D.(7，0)子題3.1圖B4.(2023河南18題9分)如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝AB.(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)；第4題圖(1)解：如解圖所示，射線AP即為所求；(4分)【作法提示】分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于

BD的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP，射線AP即為所求(方法不唯一)．第4題解圖

一題多解法思路點(diǎn)撥：第4(1)題解法一：連接BD，作BD的垂直平分線(圖形的對(duì)稱性)；解法二：以AB，AD為邊作菱形(圖形的性質(zhì)).(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E，連接DE.求證：DE＝BE.(2)證明：如解圖，第4題解圖∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，(6分)在△BAE和△DAE中，

∴△BAE≌DAE(SAS)．∴DE＝BE.(9分)2命題點(diǎn)與尺規(guī)作圖有關(guān)的探究與應(yīng)用2021.235.(2021河南23題10分)下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖①，(1)分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(點(diǎn)C，E不重合)；(2)分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；(3)作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．簡述理由如下：第5題圖①由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO.則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖②，(1)分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(點(diǎn)C，E不重合)；(2)連接DE，CF，交點(diǎn)為P；(3)作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．…第5題圖②第5題圖①任務(wù)：(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是________(填序號(hào))；①SSS

②SAS

③AAS

④ASA

⑤HL⑤第5題圖①(2)小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說明理由；第5題圖②(2)射線OP是∠AOB的平分線，(3分)理由如下：如解圖①，連接EF，∵OC＝OD，OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，OE－OC＝OF－OD，即CE＝DF.又∵EF＝FE，∴△CEF≌△DFE(SAS)，(4分)∴∠CFE＝∠DEF，∴PE＝PF，第5題解圖①∴OP是EF的垂直平分線．在等腰△OEF中，由三線合一性質(zhì)知OP平分∠AOB，即OP是∠AOB的平分線；(8分)第5題解圖①(3)如圖③，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE＝OF＝

＋1，點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OC