2024河南中考數(shù)學專題復習第七章 第五節(jié) 軸對稱與折疊 課件

一題串講重難點2河南9年真題子母題31考點精講第五節(jié)軸對稱與折疊

課標要求1.通過具體實例了解軸對稱的概念，探索它的基本性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分；(2022年版課標將“了解”調(diào)整為“理解”)2.能畫出簡單平面圖形(點、線段、直線、三角形等)關于給定對稱軸的對稱圖形；3.了解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì)．(2022年版課標將“了解”調(diào)整為“理解”)命題點1折疊落點在特殊位置(9年4考)

考情及趨勢分析考情分析年份題號題型分值圖形背景折疊次數(shù)折疊方式結(jié)合知識點設問202323解答題10三角形＋平行四邊形//平移，旋轉(zhuǎn)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)(1)旋轉(zhuǎn)角度，平移距離；(2)①判斷兩個角度的數(shù)量關系；②兩點間的距離；(3)平行四邊形存在求線段長202115填空題3直角三角形兩次折痕一端過頂點，一端不固定銳角三角函數(shù)點落在直角三角形邊上時求線段長考情分析年份題號題型分值圖形背景折疊次數(shù)折疊方式結(jié)合知識點設問201915填空題3矩形(圖形不固定)一次折痕一端過頂點，一端不固定相似，勾股定理點落在矩形邊上求邊長201615填空題3圖形不固定一次折痕一端過頂點，一端不固定相似，勾股定理點為線段的三等分點時求線段長

課標要求1.通過具體實例了解軸對稱的概念，探索它的基本性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分；(2022年版課標將“了解”調(diào)整為“理解”)2.能畫出簡單平面圖形(點、線段、直線、三角形等)關于給定對稱軸的對稱圖形；3.了解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì)．(2022年版課標將“了解”調(diào)整為“理解”)命題點2折疊過程中產(chǎn)生特殊圖形(9年3考)

考情及趨勢分析考情分析年份題號題型分值圖形背景折疊次數(shù)折疊方式設問結(jié)合知識點201815填空題3角一次作對稱直角三角形存在時求線段長中位線的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)201715填空題3等腰直角三角形一次折痕過兩邊，折痕兩端不固定直角三角形存在時求線段長等腰直角三角形的性質(zhì)考情分析年份題號題型分值圖形背景折疊次數(shù)折疊方式設問結(jié)合知識點201515填空題3正方形一次折痕過鄰邊兩點，折痕一端不固定等腰三角形存在時求線段長勾股定理考點精講折疊軸對稱定義將一個圖形沿某一直線進行對折，這樣的過程叫做折疊把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸示意圖要素折痕對稱軸折疊軸對稱示意圖性質(zhì)1.折疊的實質(zhì)是軸對稱，位于折痕兩側(cè)的圖形關于折痕成軸對稱圖形1.軸對稱實質(zhì)就是將對稱軸一側(cè)的圖形沿對稱軸進行折疊2.折疊前后的兩部分圖形全等，對應邊、角、線段、周長、面積都分別相等2.對稱軸兩側(cè)的圖形全等，對應邊、角、線段、周長、面積都分別相等3.折疊后對應點的連線被折痕垂直平分3.對應點所連接的線段被對稱軸垂直平分總結(jié)：折疊就是軸對稱一題串講重難點基礎知識鞏固例1

(1)折疊問題的本質(zhì)是全等和軸對稱．①如圖①，已知△ABC，作點A關于BC的對稱點D，連接BD，CD，則圖中相等的線段為AB＝DB，AC＝________；相等的角為∠ABC＝∠DBC，∠ACB＝______，∠BAC＝________；全等圖形為△ABC≌________；連接AD，則AD⊥BC，依據(jù)：___________________________________________________________；例1題圖①DC∠DCB∠BDC△DBC

軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線②如圖②，在矩形ABCD中，E為BC邊上一點，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，則圖中折疊前的部分與折疊后的部分相等的線段為AB＝AF，BE＝________；相等的角為∠ABE＝________；全等圖形為△ABE≌________；連接BF交AE于點O，發(fā)現(xiàn)還有以下結(jié)論：折痕可看作垂直平分線：AE⊥________，BO＝________，依據(jù)：________________________________________________；折痕垂直平分折疊前后兩個對應點的連線例1題圖②FE∠AFE△AFEBFFO折痕可看作角平分線：∠BEA＝________，∠BAE＝________，依據(jù)：對稱線段所在的直線與折痕的夾角相等；例1題圖②∠FEA∠FAE(2)通過上述對稱和折疊變換，可總結(jié)出不同點為：_____________________________；相同點為：_____________________________________________________________．

表述方式不同，知識點有所不同

都是全等關系，對應線段、對應角等全都相等(答案不唯一)(3)原因：∵點O關于BC，AB邊的對稱點分別為P，Q，∴∠ABO＝∠ABQ，OB＝BQ，∠CBO＝∠CBP，OB＝BP，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABO＋∠CBO＝∠ABQ＋∠CBP＝90°，BQ＝BP，∴∠QBP＝180°，∴點P，Q在一條直線上且BP＝BQ，∴點P和點Q關于點B對稱；(3)如圖③，O為矩形ABCD內(nèi)一點，分別作點O關于BC，AB邊的對稱點P，Q，連接BO，BP，BQ，則發(fā)現(xiàn)點P和點Q關于點B對稱，請說明原因；例1題圖③(4)如圖④，已知矩形ABCD，點O為BC下方一點，作點O關于直線BC的對稱點O′，再作點O′關于直線AD的對稱點O″，發(fā)現(xiàn)OO″＝2AB，請證明．例1題圖④(4)證明：如解圖，設OO′與BC交于點E，O′O″與AD交于點F，例1題解圖由對稱的性質(zhì)得，OE＝O′E，O′F＝O″F，∵OO′⊥BC，O′O″⊥AD，∴點O，O′，O″在一條直線上，∴EF＝AB，∴OO″＝OO′＋O′O″＝2O′E＋2O′F＝2EF，∴OO″＝2AB.重難考法突破一、“折疊落點在特殊位置”類問題(9年3考)例2已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，點D，E分別為AB，AC上一點，連接DE.(1)如圖①，將△ABC折疊，使點A與點B重合，例2題圖①折痕為DE.則AE的長為________；(2)如圖②，將△ABC沿DE折疊，使點A與BC的中點N重合，則線段CE的長為______；例2題圖②(3)如圖③，將△ABC沿DE折疊，使點A的對應點F落在BC邊上，當點F為BC的三等分點時，線段AE的長為______________．例2題圖③或二、“折疊產(chǎn)生特殊圖形”類問題(9年3考)例3已知，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E為BC邊上一點．(1)如圖①，P為CD邊上一點，連接PE，將△PCE沿PE折疊得到△PC′E，

①若點C′恰好落在對角線BD上，且PE∥BD，則CP的長為________；例3題圖①【解析】如解圖①，連接CC′交EP于點Q，則CQ＝C′Q，CC′⊥PE，∵PE∥BD，∴CC′⊥BD，∴PQ是△CC′D的中位線，∴CP＝DP＝

CD，∵AB＝CD＝3，∴CP＝

；例3題解圖①【解析】∵△AC′D為等腰三角形，∴分三種情況：①當AD＝AC′時，此時AC′＝4；②當AC′＝DC′時，點C′在AD的垂直平分線上，如解圖②，此時四邊形CPC′E為正方形，EC＝EC′＝2，延長EC′交AD于點M，則∠AMC′＝90°.②如圖②，若點E為BC的中點，連接AC′，DC′，當△AC′D為等腰三角形時，AC′的長為________；例3題圖②例3題解圖②在Rt△AMC′中，AM＝2，C′M＝EM－EC′＝1，∴AC′＝

；③當DA＝DC′時，如解圖③，當點P與點D重合時，例3題解圖③根據(jù)折疊的性質(zhì)得PC′＝PC＝3，∵DA＝4，∴DA＞DC′，∴此種情況不存在．綜上所述，AC′的長為4或

.②4或

；

解題關鍵點需分三種情況討論：①AC′＝C′D；②AC′＝AD；③AD＝C′D；(2)如圖③，點F為BC邊的中點，點P為AD邊上一點，連接AF，PE，將矩形ABCD沿直線PE折疊，點C的對應點C′恰好落在AF上，連接AD′，當△AC′D′為直角三角形時，CE的長為________.例3題圖③【解析】∵點F為BC的中點，∴BF＝2，當△AC′D′為直角三角形時，分三種情況進行討論：①當∠AC′D′＝90°時，如解圖④，例3題解圖④∵四邊形ABCD為矩形，∴∠C＝90°，由折疊性質(zhì)得，∠EC′D′＝∠C＝90°，∴A，C′，E三點共線，∴點E與點F重合，∴CE＝CF＝BF＝2；②當∠AD′C′＝90°時，如解圖⑤，例3題解圖⑤∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C′D′P＝∠D＝90°，∴D′在AD上，∵C′D′⊥AD，∴C′D′⊥BC，∵∠D′C′E＝∠C＝90°，∴點C′與點F重合，∴CE＝

CF＝

BF＝1；③當∠C′AD′＝90°時．此種情況不存在．∴CE的長為2或1.(2)2或1

解題關鍵點需分三種情況討論：①∠AC′D′＝90°；②∠AD′C′＝90°；③∠C′AD′＝90°.河南9年真題子母題1命題點折疊落點在特殊位置9年3考1.(2023河南15題3分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，點E在邊BC上，且BE＝

a.連接AE，將△ABE沿AE折疊．若點B的對應點B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為________．第1題圖【解析】①如解圖①，當點B′落在矩形ABCD的邊CD上時，AB＝1，BC＝a，點E在邊BC上，且BE＝

a，第1題解圖①∴EC＝

a，B′E＝BE＝

a，AB′＝AB＝1，AD＝BC＝a，易得△B′EC∽△AB′D，

∴，則

，

∴B′C＝

a2.

在Rt△B′EC中，利用勾股定理得B′E2＝B′C2＋EC2，

∴(a)2＝(a2)2＋(a)2，

由于a是正數(shù)，解得a＝

(負值已舍去)；第1題解圖①②如解圖②，當點B′落在矩形ABCD的邊AD上時，直接得出四邊形ABEB′是正方形，∴a＝1，則a＝

，顯然點B′只能落在矩形ABCD的邊CD或AD上，不可能在邊AB或BC上(點B′與B，E兩點不可能在同一條直線上)，

綜上所述，a的值為

或

.第1題解圖②【答案】

或1.1變折疊方式——過頂點A折疊變?yōu)檫^頂點D折疊如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，點E在邊AB上，且AE＝

AB.連接DE，將△DAE沿DE折疊．若點A的對應點A′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為________．子題1.1圖【解析】如解圖①，點A′落在矩形ABCD的邊BC上，子題1.1解圖①AB＝1，BC＝a，點E在邊AB上，AE＝

AB＝

，∴BE＝AB－AE＝

，由折疊可知，A′E＝AE＝

，在Rt△A′BE中，A′B＝

，易得△EBA′∽△A′CD，

∴，即

，∴a＝

；

如解圖②，點A′落在CD邊上時，可得四邊形AEA′D為正方形，

∴AD＝AE，即a＝

，

∴a的值為

或

.【答案】

或子題1.1解圖②2.如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3.點E為射線BC上一個動點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B′處，過點B′作AD的垂線，分別交AD，BC于點M，N，當點B′為線段MN的三等分點時，BE的長為________．第2題圖【解析】當點B′為線段MN的三等分點時，需要分兩種情況討論：①如解圖①，當B′M＝

MN時，第2題解圖①∵AD∥BC，AB⊥BC,MN⊥BC，∴四邊形ABNM為矩形，∴B′M＝

MN＝

AB＝1,B′N＝2,BN＝AM.由折疊的性質(zhì)可得AB′＝AB＝3，∠AB′E＝∠ABC＝∠AMB′＝∠B′NE＝90°.在Rt△AB′M中，AM＝

，∵∠EB′N＝∠MAB′，∴△B′NE∽△AMB′，∴，即

，解得

EN＝

，第2題解圖①∴BE＝BN－EN＝

；②如解圖②，當B′M＝

MN時，∵AD∥BC，AB⊥BC,MN⊥BC，∴四邊形ABNM為矩形，∴B′M＝

MN＝

AB＝2,B′N＝1,BN＝AM，AB＝AB′，在Rt△AMB′中，∴AM＝

，由折疊的性質(zhì)可得∠AB′E＝∠ABC＝∠AMB′＝∠B′NE＝90°，∴∠EB′N＝∠MAB′，∴△B′NE∽△AMB′，第2題解圖②∴，

即

，解得EN＝

，

∴BE＝BN－EN＝

.

綜上所述，BE的長為

或

.【答案】

或

第2題解圖②2．1變已知——將不定圖形轉(zhuǎn)化為定圖形(矩形)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，點E是線段BC上一動點，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AB′E，延長AB′交CD于點F，若點F為DC的三等分點，則BE的長為________．子題2.1圖【解析】當CF＝

DC時，如圖，連接EF，由折疊可知，BE＝B′E，AB＝AB′，∠AB′E＝∠ABE＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，AB＝3，AD＝6，∴BC＝6，DC＝3，∵CF＝

DC，∴DF＝2，CF＝1.∵在Rt△AFD中，根據(jù)勾股定理可得AF2＝AD2＋DF2，即AF＝2，∴B′F＝2－3.在Rt△B′EF中，根據(jù)勾股定理可得EF2＝B′E2＋B′F2，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理可得EF2＝CE2＋CF2，子題2.1圖則EF2＝B′E2＋B′F2＝CE2＋CF2，即B′E2＋B′F2＝CE2＋CF2，∴B′E2＋(2－3)2＝(6－BE)2＋1，解得B′E＝

－1；當DF＝

DC時，如解圖，連接EF，由折疊可知，BE＝B′E，AB＝AB′，∠AB′E＝∠ABE＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，AB＝3，AD＝6，∴BC＝6，DC＝3，子題2.1解圖∵DF＝

DC，∴CF＝2，DF＝1，∵在Rt△AFD中，根據(jù)勾股定理可得AF2＝AD2＋DF2，即AF＝

，∴B′F＝

－3，在Rt△B′EF中，根據(jù)勾股定理可得EF2＝B′E2＋B′F2，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理可得EF2＝CE2＋CF2，則EF2＝B′E2＋B′F2＝CE2＋CF2，即B′E2＋B′F2＝CE2＋CF2，∴B′E2＋(－3)2＝(6－BE)2＋4，子題2.1解圖

解得B′E＝

.

綜上所述，BE的長為

－1或

.子題2.1解圖【答案】－1或2命題點折疊過程中產(chǎn)生特殊圖形9年3考3.如圖，∠MAN＝90°，點C在邊AM上，AC＝4，點B為AN上一動點，連接BC，△A′BC與△ABC關于BC所在直線對稱，點D，E分別為AC，BC的中點，連接DE并延長交A′B所在直線于點F，連接A′E.當△A′EF為直角三角形時，AB的長為________．第3題圖【解析】當△A′EF為直角三角形時，需分兩種情況討論：①當∠A′EF是直角時，如解圖①，延長A′E交AB于點H，則A′H⊥AB.第3題解圖①∵點E是BC中點，EH⊥AB，AC⊥AB，∴BH＝

AB＝

A′B，EH＝

AC＝2，∴∠BA′H＝30°.在Rt△A′BC中，∵點E是BC的中點，∴A′E＝BE，∴∠EBA′＝∠BA′H＝30°，∴∠BEH＝60°，∴BH＝2，∴AB＝2BH＝4；第3題解圖①②當∠A′FE是直角時，如解圖②，則A′F⊥EF，∵∠CA′B＝90°，∴A′C∥DF，∵DF∥AB，∴A′B⊥AB，∴四邊形ABA′C為矩形，∠ABC＝∠A′BC＝45°，∴四邊形ABA′C為正方形，∴AB＝AC＝4；③∵∠EA′F＜∠CA′B，∴∠EA′F始終是銳角，不可能為直角．綜上所述，AB的長為4或4.第3題解圖②【答案】4或44.如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE＝3，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處．若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為________．第4題圖【解析】根據(jù)題意，若△CDB′恰為等腰三角形，需分三種情況討論：①當DB′＝DC時，則DB′＝16(易知點F在BC上且不與點C，B重合)；②當CB